Презентация Математика в таблицах. Начала математического анализа

Математика в таблицахНачала математического анализаРазработчик: Андрюхина М.И.ГАПОУ КК КГТККраснодар 2014 г. 𝐥𝐢𝐦𝐱→+∞𝒒𝒙= 0 ух0y = 𝒒𝒙0 < q < 1 10 < q < 1𝐥𝐢𝐦𝐱→±∞𝟏х= 0 ух0y = 𝟏х x ≠𝟎  Пределы элементарных функций𝐥𝐢𝐦𝐱→±∞С= С ух0C – const y = Cc●●Таблица 1. Предел функции на бесконечности𝐥𝐢𝐦𝐱→−∞𝐠𝐱= b ух0y = g(x)y = bb●𝐥𝐢𝐦𝒙→ +∞𝐟𝐱= a уx0y = f(x)y = aa●𝐥𝐢𝐦𝐱→±∞𝐯𝐱= c ух0y = v(x)y = cc● Таблица 1. Предел функции на бесконечности{69012ECD-51FC-41F1-AA8D-1B2483CD663E}СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ𝐥𝐢𝐦х →∞𝐟(𝐱) = b, 𝐥𝐢𝐦х →∞𝐠(𝐱) = с1𝐥𝐢𝐦х →∞(𝐟𝐱+𝐠(𝒙)) = b + с2𝐥𝐢𝐦х →∞(𝐟𝐱·𝐠(𝒙)) = bс3𝐥𝐢𝐦х →∞𝐟(𝐱)𝐠(𝐱)  = 𝒃с; с ≠ 04𝐥𝐢𝐦х →∞𝐤𝐟(𝐱) = kb{69012ECD-51FC-41F1-AA8D-1B2483CD663E}СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ1234{21E4AEA4-8DFA-4A89-87EB-49C32662AFE0}Пределы функций𝐥𝐢𝐦𝐱→±∞С= С, С -число𝐥𝐢𝐦𝐱→+∞𝐪𝐱= 0, |q| < 1𝐥𝐢𝐦𝐱→±∞𝟏х= 0, x ≠ 0𝐥𝐢𝐦𝐱→±∞𝐤𝐱𝐫= 0, k - число{21E4AEA4-8DFA-4A89-87EB-49C32662AFE0}Пределы функций Таблица 2. Предел функции в точке●𝛐●●ухy = g(x)bа𝐥𝐢𝐦𝐱→𝒂𝐠(𝐱)=𝐛 g(a) ≠ b ●●●хуy = f(x)bа𝐥𝐢𝐦𝐱→𝒂𝐟(𝐱)=𝐛 f(a) = b 𝐲= 𝐟𝐱 − непрерывная функция ⇓ {69012ECD-51FC-41F1-AA8D-1B2483CD663E}СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ𝐥𝐢𝐦х →а𝐟(𝐱) = b, 𝐥𝐢𝐦х →а𝐠(𝐱) = с1𝐥𝐢𝐦х →а(𝐟𝐱+𝐠(𝒙)) = b + с2𝐥𝐢𝐦х →а(𝐟𝐱·𝐠(𝒙)) = bс3𝐥𝐢𝐦х →а𝐟(𝐱)𝐠(𝐱)  = 𝒃с; с ≠ 04𝐥𝐢𝐦х →а𝐤𝐟(𝐱) = kb{69012ECD-51FC-41F1-AA8D-1B2483CD663E}СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ1234 Таблица 3. Задачи, приводящие к понятию производной. Мгновенная скорость движущегося тела.Задача. Тело движется по закону s(t), где t − время (с), s(t) − положение тела в момент времени t. Найти скорость тела в момент времени t.Решение. М − положение тела в момент времени t: ОМ = s(t). Р − положение тела в момент времени (t + ∆t): ОР = s(t + ∆t). За ∆t секунд тело переместилось из точки M в точку Р: МР = ОР − ОМ = s(t + ∆t) − s(t) = ∆s.Найдем среднюю скорость тела vcp: vcp = ∆𝐬∆𝐭 .При ∆t → 0 получим мгновенную скорость тела в момент времени t:vмгн = 𝐥𝐢𝐦∆𝐭→𝟎∆𝐬∆𝐭 . 0ОXРМs(t +∆t)s(t)∆s●●● Таблица 4. Задачи, приводящие к понятию производной. Угловой коэффициент касательной.у = f(x)ХУх0+∆хМРР1Р2Р3∆х∆х∆у∆уу0у0+∆уx0 αββ●●●●●Задача. 1) К графику функции у = f(x) в точке М провести касательную. 2) Найти угловой коэффициент касательной.Решение. 1) Проведем секущую МР: М(x0 ; у0), Р(х0+∆х; у0+∆у),∆х – приращение аргумента,∆у – приращение функции.Если ∆х → 0, то Р → М.Получим касательную – предельное положение секущей МР при Р → М.2) kсек = tg β, kкас = tg α.kсек = ∆у∆х.Если ∆х → 0, то β → α, tg β → tg α:kкас = 𝐥𝐢𝐦∆х →𝟎𝐤сек,kкас = 𝐥𝐢𝐦∆х →𝟎∆у∆х.  у = f(x)ХУх0+∆хМРР1Р2Р3∆х∆х∆у∆уу0у0+∆уx0 αββ●●●●● Таблица 5. Определение производной∆у∆х − средняя скорость изменения функции у = f(x) на промежутке ∆х.При ∆х → 0 получим скорость изменения функции в точке х0: 𝐥𝐢𝐦∆х →𝟎∆у∆х .Определение . f ΄(x0) − производная функции у = f(x) в точке х0:f ΄(x0) = 𝐥𝐢𝐦∆х →𝟎∆у∆х Физический смысл производной. s(t) – закон движения тела. Мгновенная скорость тела в момент времени t0: vмгн = 𝐥𝐢𝐦∆𝐭→𝟎∆𝐬∆𝐭 ,vмгн = s ΄(t0)Геометрический смысл производной. у = kx + b – касательная, проведенная к графику функции у = f(x) в точке x0 (kкас = tg α): kкас= 𝐥𝐢𝐦∆х →𝟎∆у∆х .kкас = f ΄(x0) ●x0уу = f(x)f(x0)М у = kx+b 0хα Таблица 6. Правила вычисления производных{9DCAF9ED-07DC-4A11-8D7F-57B35C25682E}f(x)f ΄(x)1. C - число02. x13. kxk - число4.  𝐱𝐧n𝐱𝐧 −𝟏5. 𝟏𝐱 − 𝟏𝐱𝟐6. 𝐱𝟏𝟐𝐱 7. 𝐬𝐢𝐧𝐱𝐜𝐨𝐬𝐱8.  𝐜𝐨𝐬𝐱− 𝐬𝐢𝐧𝐱9. tg x𝟏𝐜𝐨𝐬𝟐𝐱 10 . ctg x− 𝟏𝐬𝐢𝐧𝟐𝐱 {9DCAF9ED-07DC-4A11-8D7F-57B35C25682E}f(x)f ΄(x)1. C - число02. x13. kxk - число9. tg x10 . ctg x{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}Правила вычисления производных(u + v)΄ = u΄ + v΄(ku) ΄ = ku΄(uv) ΄ = u΄ v + u v΄( uv )΄ = u΄v − uv΄v𝟐 Производная сложной функции(f(kx + b)) ΄ = kf ΄(kx + b)(f(g(x))) ΄ = f ΄(x) g΄(x){5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}Правила вычисления производных(u + v)΄ = u΄ + v΄(ku) ΄ = ku΄(uv) ΄ = u΄ v + u v΄Производная сложной функции(f(kx + b)) ΄ = kf ΄(kx + b)(f(g(x))) ΄ = f ΄(x) g΄(x) Таблица 7. Уравнение касательной к графику функции●К графику функции у = f(x) в точке x0 проведена касательная.Уравнение касательной задается формулой: у = f(x0) + f΄(x0)(x − x0) (1)x0Уу = f(x)f(x0)М 0●ХАлгоритм составления уравнения касательной к графику функции.Вычислить f(x0).Найти производную f΄(x). Вычислить f΄(x0).Подставить полученные значения f(x0), f΄(x0), x0, в формулу (1).Особые случаиКасательная задается уравнением х = аах = а●В точке х = а нельзя провести касательнуюааВ точке х = а функция не определена● Таблица 8. Исследование функции с помощью производной●●ХХу = f(x)●●x2x1x2maxminf(x)f΄(x)++−x1{3C2FFA5D-87B4-456A-9821-1D502468CF0F}Монотонность функцииf(x) f΄(x)f(x) ↗f ʹ(x) > 0f(x) ↘f ʹ(x) < 0f(x) - constf ʹ(x) = 0⟹ fʹ(x) = 0 min●max●x0●x0●−++−f΄(x)Экстремумы функцииТочки перегиба00fʹ(x)fʹ(x)0+−0+−●●Точки, в которых производная не существует●●●x0x0x0в т. x0 положение касательной не определенов т. x0 тангенс угла наклона касательной не определенв т. x0 функция не определена {69012ECD-51FC-41F1-AA8D-1B2483CD663E}Алгоритм исследования функцииАналитическая и геометрическая интерпретации1. Найти производную функцииf'(x).2. Найти точки в которых производная равна нулю или не существует f'(x) = 0,x1, x2, x3, … , xn - нули производной.3. Отметить точки на числовой прямой и определить знак производной на получившихся промежутках4. По знаку производной определить характер монотонности функции и точки экстремума5. Записать ответf(x) ↗ на промежутках (x2; x3) и (x4; +∞),f(x) ↘ на промежутках (− ∞; x2) и (x3; x4),x3 − точка максимума функции,х2 и x4 − точки минимума функции.{69012ECD-51FC-41F1-AA8D-1B2483CD663E}Алгоритм исследования функцииАналитическая и геометрическая интерпретации1. Найти производную функцииf'(x).2. Найти точки в которых производная равна нулю или не существует f'(x) = 0,x1, x2, x3, … , xn - нули производной.3. Отметить точки на числовой прямой и определить знак производной на получившихся промежутках4. По знаку производной определить характер монотонности функции и точки экстремума5. Записать ответТаблица 9. Алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы. Хf΄(x)f(x)●●●●x1x2−+−+−↗↘↗↘↘x3x4точки экстремума точка перегиба minminmax {72833802-FEF1-4C79-8D5D-14CF1EAF98D9}Алгоритм построения графикаАналитическая и геометрическая интерпретации1. Найти область определенияD(f): q(x) ≠ 02. Исследовать функцию на четностьf(-x) = f(x) – функция четная,f(-x) = - f(x) – функция нечетная3. Найти асимптоты графикаq(x) = 0 при х = а ⟹ x = a – вертикальная асимптота,𝐥𝐢𝐦𝐱 ⟶ ∞𝐟(𝐱) = b ⟹ у = b – горизонтальная асимптота4. Исследовать функцию на монотонность и экстремумы5. Вычислить значения функции в точках экстремума 6. Построить график функции:• построить систему координат;• наметить асимптоты графика;• отметить точки экстремума;• построить эскиз графика функции{72833802-FEF1-4C79-8D5D-14CF1EAF98D9}Алгоритм построения графикаАналитическая и геометрическая интерпретации1. Найти область определения2. Исследовать функцию на четностьf(-x) = f(x) – функция четная,f(-x) = - f(x) – функция нечетная3. Найти асимптоты графика4. Исследовать функцию на монотонность и экстремумы5. Вычислить значения функции в точках экстремума 6. Построить график функции:• построить систему координат;• наметить асимптоты графика;• отметить точки экстремума;• построить эскиз графика функцииТаблица 10. Алгоритм построения графика функции f(x) = 𝒑(𝒙)𝒒(𝒙), где p(x) и q(x) – многочлены  x+●𝛐+−f(x)f΄(x)−ax1x2↘↗↗↘maxmin●●●⦁xx = aymaxx1x2yminayy = b●●●●ymax = f(x1), ymin = f(x2) Таблица 11. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на промежутке [a; b].xyаb●●●●●●yнаибyнаимxy●●а●●●●byнаимyнаибунаиб = у(b) унаиб = у(a) унаим = у(b) унаим = у(а) f(x) ↗ на [a; b] ⟹ f(x) ↘ на [a; b] ⟹ Если функция монотонна на отрезке [a; b], то набольшее и наименьшее значения она достигает на концах отрезка [a; b].Если функция в точке x0 ∈ [a; b] достигает максимума (минимума), то в этой точке функция принимает набольшее (наименьшее) значение на отрезке [a; b]. yхbyнаим●●●●●●●●●yнаибx0аyхx0b●●●●●yнаим●●yнаиб●а●унаиб = у(x0) унаим = у(x0) х0 ∈ [a; b]х0 - максимум ⇓ х0 ∈ [a; b]х0 - минимум ⇓  {69012ECD-51FC-41F1-AA8D-1B2483CD663E}Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции у = f(x) на отрезке [а; b]Аналитическая и геомотрическая интерпретации1. Найти производную функции f(x)f'(x)2. Найти точки экстремума функции на отрезке [а ; b]f'(x) = 0; х1, …, xn - экстремумы функцииxi, …, хj ∈ [a; b]3. Вычислить значения функции в точках экстремума и на концах отрезкаf(xi), …, f(хj )f(a), f(b)4. Сравнить полученные значения и выбрать среди них наименьшее и наибольшее{69012ECD-51FC-41F1-AA8D-1B2483CD663E}Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции у = f(x) на отрезке [а; b]Аналитическая и геомотрическая интерпретации1. Найти производную функции f(x)f'(x)2. Найти точки экстремума функции на отрезке [а ; b]3. Вычислить значения функции в точках экстремума и на концах отрезкаf(xi), …, f(хj )f(a), f(b)4. Сравнить полученные значения и выбрать среди них наименьшее и наибольшееТаблица 12. Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке [a; b].унаимунаибxyх2 х3 ●b●●●●●●●●●●х1 ●a●●х2, х3 ∈ [a; b]  x1 ∉ [a; b]  Таблица 13. Решение задач на оптимизацию1. Работа с условием задачиПостроить геометрическую модель: отобразить данные задачи на рисунке или схеме2. Создание математи- ческой моделиВыделить оптимизируемую и независимую величины, установить область допустимых значений . Построить аналитическую модель: функцию связывающую оптимизируемую и независимую величины3. Работа с математи- ческой модельюНаметить алгоритм решения, исследовать функцию на экстремумы, учесть область определения и область значений функции4. Формулировка ответа Вернуться к постановке вопроса задачиЭТАПЫ решения задач на оптимизациюУЧЕБНЫЕ ДЕЙСТВИЯ ТАБЛИЦА 14. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ ФУНКЦИИ {3C2FFA5D-87B4-456A-9821-1D502468CF0F}f(x)F(x)0C1xx𝐱𝟐𝟐𝐱𝐫𝐱𝐫+𝟏𝐫+𝟏𝟏𝐱ln x𝟏𝟐𝐱𝐱𝐞𝐱𝐞𝐱𝐚𝐱𝐚𝐱𝐥𝐧 𝐱sin x− cos xcos xsin x{3C2FFA5D-87B4-456A-9821-1D502468CF0F}f(x)F(x)0C1xxln xsin x− cos xcos xsin xФункция y = F(x) − первообразная для функции у = f(x):F'(x) = f(x)ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПЕРВООБРАЗНЫХF(x) и G(x) − первообразные функций f(x) и g(x)F(x) + G(x) − первообразная функции у = f(x) + g(x) F(x) − первообразная функции f(x)F(x) − первообразная функции f(x)F(x) − первообразная функции f(x)kF(x) − первообразная функции kf(x)𝟏𝒌F(kx + b) − первообразная функции f(kx + b) F(x) + C − первообразная функции f(x) Таблица 15. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции. а0bхуу = f(x)хnх0х1хn-1f(хk)●хkх2Рис. 1Криволинейная трапеция – фигура, ограниченная линиями у = 0, х = а, х = b, у = f(x) Геометрический смысл определенного интеграла Задача 1. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = 0, х = а, х = b, у = f(x). Решение. S – площадь криволинейной трапеции𝐒𝐧 – площадь ступенчатой фигуры (рис. 1):Sn = f(х0)∆х0 +... + f(хk)∆хk + ... + f(хn-1)∆хn-1,∆хk − длина отрезка [хk; xk+1]S = 𝐥𝐢𝐦𝐧→∞𝐒𝐧= а𝐛𝐟𝐱𝐝𝐱 ● а0btvv = v(t)tnt0t1tn-1v(tk)●tkt2Рис. 2v = СvtаbС0Рис. 1Таблица 16. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Перемещение тела.Физический смысл определенного интеграла.Задача 2. Найти перемещение тела за промежуток времени [a; b], если скорость тела задается формулой: v = v(t) Решение. 1. Тело движется равномерно v = const .S – перемещение тела за время [a; b] (рис. 1):S = vt = v(a – b). 2. Тело движется неравномерно . S – перемещение тела за время [a; b] 𝐒𝐧– площадь ступенчатой фигуры (рис. 2):Sn = v(t0)∆t0 +... + v(tk)∆tk + ... + v(tn-1)∆tn-1, ∆tk − длина отрезка [tk; tk+1]S = 𝐥𝐢𝐦𝐧→∞𝐒𝐧= а𝐛𝐯𝐭𝐝𝐭  Формула Ньютона-Лейбница:а𝐛𝐟𝐱𝐝𝐱 = F(b) − F(а) у = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] F(x) − первообразная для f(x)f(x) ≥ 0 на [𝒂; b] ух0𝒂 by = f(x)𝒂𝐛𝐟𝐱𝐝𝐱 ≥ 0 𝒂𝐛𝐟𝐱𝐝𝐱 = 𝒂𝐜𝐟𝐱𝐝𝐱 + 𝒄𝐛𝐟𝐱𝐝𝐱  уху = f(x)𝒂 сb0c ∈[𝒂;𝒃] ух𝒂 0by = f(x)f(x) < 0 на [𝒂; b] 𝒂𝐛𝐟𝐱𝐝𝐱 < 0 Таблица 17. Формула Ньютона-Лейбница.{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}Свойства определенного интеграла𝐚𝐛(𝐟𝐱+𝐠(𝐱))dx = 𝐚𝐛𝐟𝐱𝐝𝐱 + 𝐚𝐛𝐠𝐱𝐝𝐱𝐚𝐛𝐤𝐟𝐱𝐝𝐱 = k𝐚𝐛𝐟𝐱𝐝𝐱 {5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}Свойства определенного интеграла Таблица 18. Вычисление площадей плоских фигур1) y = f(x) y = g(x) 𝐛 xy𝒂 𝟎 f(x) ≥ g(x) на [a; b] S = 𝐚𝐛𝐟𝐱− 𝐠𝐱𝐝𝐱 Задача 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = f(x), y =g(x), x = a, x = b. Решение. y = f(x) xy𝐛 𝒂 𝟎 y = f(x) xy𝒂 𝐛 𝟎 S = 𝒂𝐛𝐟𝐱𝐝𝐱 S = |𝐚𝐛𝐟𝐱𝐝𝐱| S = |𝐚с𝐟𝐱𝐝𝐱 | + с𝐛𝐟𝐱𝐝𝐱 𝒂𝐛𝐟𝐱𝐝𝐱 < 0 𝒂𝐛𝐟𝐱𝐝𝐱 ≥ 0 S = 𝐒𝟏+ 𝐒𝟐 y = f(x) xy𝒂 𝟎 𝐜 𝐛 𝐒𝟐 𝐒𝟏 Задача 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = f(x), y = 0, x = a, x = b. Решение. Возможны случаи:1) 2) 3)