Урок математики в 9 классе Арифметическая прогрессия

Тема урока: «Арифметическая прогрессия»
Образовательные цели: создание условий на уроке для:
проверки и коррекции знаний, умений и навыков учащихся, связанных с решением задач по теме "Арифметическая прогрессия";
решения задач с использованием межпредметных связей;
преодоления в сознании учащихся представлений об оторванности данного материала от жизни и практики.
Развивающие цели: способствовать развитию:
исследовательских навыков учащихся, умений анализировать полученные данные и делать выводы;
умений осуществлять самопроверку и взаимопроверку, работу в группах;
внимания, зрительной памяти, математически грамотной речи, логического мышления, сознательного восприятия учебного материала.
Воспитательные цели:
формирование таких качеств личности, как ответственность, организованность, честность, дисциплинированность;
воспитание культуры общения, культуры диалога.
Задачи учителя на уроке:
проконтролировать знания основных формул арифметической прогрессии;
оценить умения решать ключевые задачи по данной теме;
проверить навыки учащихся по применению своих знаний в ходе решения нестандартных задач;
развить представления учащихся об использовании арифметической прогрессии в окружающей их жизни;
продолжить работу над развитием логического мышления, умением анализировать, сопоставлять и обобщать полученные знания.
Задача учащихся на уроке: устранить проблемы в знаниях; подготовиться к успешному решению контрольной работы.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор; кейсы с теоретическим и практическим заданием.
Тип урока: урок проверки, оценки и коррекции знаний, умений и навыков.
Ход урока.
Учитель: Здравствуйте, ребята!
Сегодняшний урок хотелось бы начать словами:
Закончился двадцатый век.
Куда стремится человек?
Изучен космос и моря,
Строенье звезд и вся земля.
Но математиков зовет
Известный лозунг «Прогрессия – движение вперёд!
Вместе с вами мы будем двигаться только вперёд, т.к. слово «Прогрессио» в переводе с греческого языка означает движение вперёд.
Перед вами кейс с заданиями, который вы должны решить в течение урока.
I задание. Проверка знания учащимися фактического материала и умение раскрывать связи в предметах и явлениях.
Перед Вами теоретически-практический тест.
Вариант 1
1. Бесконечно упорядоченный набор чисел:
а) порядок б) последовательность в) номер
2. Последовательность обозначается6а) а n б) аn в) ( аn )
3. Числа, образующие последовательность, называются:
а) членами б) номерами в) числами
4. Члены последовательности обозначаются:
а) а 1 , а 2 , а 3 ,… б) 1а, 2а, 3а,… в) а1, а2,а3,…. 5.
5. Последовательности бывают:
а) параллельные б) конечные в) бесконечные г) колеблющиеся д) постоянные е) квадратные.
6. Способы задания последовательностей:
а) формулой n – го члена б) уравнением в) рекуррентный способ г) словесно.
7. Найдите первые 3 члена последовательности, заданной формулой n – го члена
хn = 2n – 1:
а) 2; 7; 8;… б) 1; 3; 5; … в) -1; 2; 6; …
8. Найдите седьмой член последовательности (аn), заданной формулой: аn = n( n + 1 ):
а) 5 б) 12 в) 56
9. Найдите второй член последовательности ( сn ), если с1 = 8; сn+1 = cn – 1
а) 6 б) 7 в) 8
10. ( аn) – последовательность квадратов натуральных чисел. Выпишите первые 3 её члена. а) 1; 4; 9; … б) 1; 2; 3; …. в) 1; 5; 12.
Вариант 2
1. Способы задания последовательностей:
а) формулой n – го члена б) уравнением в) рекуррентный способ г) словесно.
2. Последовательности бывают:
а) параллельные б) конечные в) бесконечные г) колеблющиеся д) постоянные е) квадратные
3. Члены последовательности обозначаются:
а) а1, а2 , а3 ,… б) 1а, 2а, 3а,… в) а1, а2,а3,….
4. Числа, образующие последовательность, называются:
а) членами б) номерами в) числами
5. Последовательность обозначается а) а n б) аn в) (аn)
6. Бесконечно упорядоченный набор чисел:
а) порядок б) последовательность в) номер
7. ( аn) – последовательность квадратов натуральных чисел. Выпишите первые 3 её члена.
а) 1; 4; 9; … б) 1; 2; 3; …. в) 1; 5; 12; …
8. Найдите второй член последовательности ( сn ), если с1 = 8; сn+1 = cn – 1:
а) 6 б) 7 в) 8
9. Найдите седьмой член последовательности ( аn), заданной формулой:
аn = n( n + 1 ):
а) 5 б) 12 в) 56
10. Найдите первые 3 члена последовательности, заданной формулой n – го члена хn = 2n – 1
а) 2; 7; 8;… б) 1; 3; 5; … в) -1; 2; 6; …
Учащиеся выполняют тест по вариантам, при проверке обмениваются тестами и выполняют взаимопроверку по предложенным ответам, выставляют оценки согласно критериям.
Ответы: В1: 1.б; 2.в; 3.а; 4.в; 5.б,в; 6.а,в,г; 7.б; 8.в; 9б; 10.а
В2: 1.а,в,г; 2.б,в; 3.а; 4.а; 5.в; 6.б; 7.а; 8.б; 9 .в; 10а.
II задание. Обратимся к страницам истории.
“Пусть властно по своей орбите нас ритм сегодняшний кружит – Вернее будущее видит лишь тот, кто прошлым дорожит”
Хочу рассказать вам об одном интересном эпизоде из жизни немецкого математика К.Ф.Гаусса (1777-1855).
Когда ему было 9 лет, учитель, стремясь надолго занять детей, задал на уроке следующую задачу.
“Сосчитать сумму всех натуральных чисел от 1 до 40”
На удивление учителя один из учеников (это был Гаусс) через минуту воскликнул: “Я уже решил”. В тетради Гаусса было только одно число, но зато верное.
Ребятам предлагается решить туже самую задачу, ведь 9 – летний Гаусс с ней справился. Рассуждения Гаусса – как проверка. (Слайд №9)

Страницы Российской истории.
В первом учебнике “ Арифметика” Магницкого (конец 18 в.) имеется значительное количество задач на прогрессии. Приведем пример задачи аналогичной тем, что упоминаются в математическом учебнике.
“ Некто продавал коня. Просил за него 25 рублей. Пожелавший купить купец возмутился, что дорого. “Хорошо, - ответил продавец. Бери коня даром, а заплати только за гвозди на его подковах. А гвоздей во всякой подкове 6 штук. И будешь ты мне платить за них таким образом: за первый гвоздь 10 копеек, за второй гвоздь 20 копеек, за третий – 30 копеек и т.д.” Купец же, думая, что заплатит намного меньше, чем 25 рублей, согласился. Проторговался ли купец, и если да, то на сколько?”
Решение
а1=10,а2=20, а3=30,…а24=240
Sn=(10+240)/2*24=250*12=3000=30рублей
Эту задачу решаем у доски.
Страницы современной школы.
Задача 1 (физическая). 1 группа  "Свободно падающее тело проходит в первую секунду 4,9 м, а в каждую следующую секунду на 9,8 м больше, чем в предыдущую. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло дна шахты через 5 секунд после начала падения".
Решение:

Ответ: глубина шахты 122,5 м.
Задача 2 (от строителя). 2 группа. При хранении бревен строевого леса их укладывают так, как показано на рисунке. Сколько бревен находится в одной кладке, если в ее основание положить 12 бревен?

Решение:

Ответ: 78 бревен в одной кладке.
Задача 3 (Задача от будущего медика). 3 группа 
Курс воздушных ванн начинают с 15 минут в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 минут. Сколько дней следует принимать воздушные ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1ч 45 мин?
Решение: Имеем арифметическую прогрессию а1=15, d=10, аn=105. Найти n.Решение:аn=a1 +(n-1)*d105=15+(n-1)*10105=15+10n-1010n=100n=10  Ответ: 10 процедур.
Задача 4 (Задача от будущего биолога). 4 группа 
Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями 150 метров.
Решение.
Пусть n – количество дней, тогда Sn = (a1+an)2∙n.
150= 102∙nn = 30
Ответ: 30 дней.
Задача 5 (бытовая) 5 группа.
Бригада маляров красит забор длиной 300 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый день бригада покрасила 20 метров забора. Определите, сколько метров забора покрасила бригада в последний день, если вся работа была выполнена за 6 дней.
Решение.
Задачу можно решить задав арифметическую прогрессию (аn), где а1=20; Sn=300; n=6; an=?
Из условия задачи имеем: а1=20; S6=300; a6=?
I способ:

II способ:

На 12 метров бригада ежедневно увеличивала норму покраски.
Ответ: 80 метров.
Итоговый тест по теме « Арифметическая прогрессия»
Вариант 1
1. В арифметической прогрессии (аn): 15; 11; 7;… разность d=?
2. а1= - 4; d=3. Найдите а20.
3. а7=21; а9=29. Найдите d; а1.
4. а1= - 3; d=7. Найдите S7.
5. (аn): 5; 2; -1; -4;… арифметическая прогрессия. Найдите S20.
6. Каким будет номер члена арифметической прогрессии равного -198, если а1=5; d= - 7?
Вариант 2
1. В арифметической прогрессии (аn): 12; 9; 6;…разность d=?
2. а1=5; d=-7. Найдите а30.
3. а7=22; а9=32. Найдите d; а1.
4 а1= - 2; d=9. Найдите S7.
5. (аn): 7; 5; 3; 1;…арифметическая прогрессия. Найдите S20.
6. Каким будет номер члена арифметической прогрессии равного 53, если а1= - 4; d=3?
Ответы к тесту
№ п/п Вариант 1 Вариант 2
1. d= - 4 d= - 3
2. a20=53 a30= - 198
3. d=4; a1= - 3 d=5; a1= - 8
4. S7=108 S7=175
5. S20= - 470 S20=240
6. n=30; a30=-198 n=20; a20=53
Учащиеся выполняют самопроверку теста, сравнивая полученные ими ответы с представленными верными ответами на доске. Учитель сообщает оценки за устную работу и ответы у доски.
Информация учащимся о домашнем задании и инструктаж к его выполнению
п.25-26; №№ 610,611, 612,619; ГИА № 7.14 (2).
задача: бригада маляров красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и тоже число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 60 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.
"Да, путь познания не гладок,
Но знаем мы со школьных лет,
Загадок больше, чем разгадок И поискам предела нет".
Желаю вам успехов в ваших дальнейших поисках! Урок окончен.
Список используемой литературы
1. Алгебра: 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова; под ред. С.А.Теляковского. - М.:Просвещение, 2010.
Алгебра: сб. заданий для подгот. к гос. итоговой аттестации в 9 кл. / Л.В.Кузнецова, С.Б. Суворова, Е.А.Бунимович. – М.: Просвещение, 2011.
С.А.Шестаков,Д.Д.Гущин. «ЕГЭ 2011. Математика. Задачи В12. Рабочая тетрадь». МИО, 2011.
Открытый банк заданий по математитике. http://www.mathege.ru/or/ege/main.html.
http://school-collection.edu.ru/catalog/rubr/73bc8240-49f3-44c6-8991a547d457a20f/112769/?interface=pupil&class=51&subject=17.
http://cor.edu.27.ru/catalog/res/5781955d-3c28-19b8-b315-f3a763be6f6a/?sort=order&&rubric_id[]=28333&rubric_id[]=28335.
http://cor.edu.27.ru/dlrstore/9/9cc8ddaf-8699-17cf-a944-aed055d17c62/index1.htm.
http://cor.edu.27.ru/dlrstore/9/9cc8ddaf-8699-17cf-a944-aed055d17c62/index2.htm.