Для студентов технических специальностей лекции по технической механике
ВВЕДЕНИЕ
План лекции:
1.Историческая справка о развитии дисциплины «Техническая механика».
2. Цели и задачи дисциплины.
Механика является одной из старейших отраслей наук, возникновение и развитие которой обусловлено потребностями практики. Известно, например, что при постройке египетских пирамид применились простейшие механизмы и механические устройства: рычаги, блоки, наклонная плоскость.
Постепенно шел процесс их исследования, совершенствования и внедрения в практику с целью облегчить труд человека, повысить производительность труда.
Выдающийся деятель эпохи Возрождения Леонардо да Винчи (1452-1519) разработал проекты конструкции механизмов ткацких, печатных и деревообрабатывающих станков. Итальянский врач и математик Д, Кардан (1501-1576) изучал движение механизмов часов и мельниц. Французский ученые Г.Амонтон (1663-1705) и Ш. Кулон (1736-1806) первыми предложили формулы для определения силы трения покоя и скольжения.
Однако дальнейшее развитие теории механизмов и машин следует отнести к значительно более поздним временам, когда в результате накопления опыта стали возможными некоторые обобщения и методы этой науки. В этом смысле датой рождения науки о машинах и механизмах можно считать конец XVIII в. Задачи теории механизмов и машин рассматривались ранее в курсах прикладной механики, выделившейся из состава теоретической механики более 180 лет тому назад. Теория механизмов и машин оформилась как самостоятельную ветвь науки в XX в..
В 1724 г. по инициативе Петра 1 была основана Российская Академия наук, деятельность которой с первых же дней существования была посвящена решению практических задач по постройке сооружений и машин, развитию отечественного кораблестроения, артиллерии и другой техники.
Достойный вклад в развитие практической механики в России в ХУШ в. внес гениальный ученый - академик М.В. Ломоносов, разработавший конструкции машин для производства стекла и испытаний материалов. Его научные открытия послужили источником творчества русских умельцев, изобретателей и конструкторов: И.И. Ползунова — творца паровой машины; И. П. Кулибина - создателя механизма протеза, часов-автоматов, «водохода». «самокатки» и др.; К. А Фролова — строителя механизированного комплекса рудо- и водоподъемных устройств; отца и сына Е. А. и М. Е. Черепановых, построивших первый в России паровоз, и многих других. Интересно отметать, что конструкция «самокатки», созданной И. И. Кулибиным в 1791 г., носила черты будущих автомобилей: она имела устройства для переключения зубчатых передач и свободного хода, тормоз, управляемые колеса.
В это же время протекала плодотворная деятельность величайшего математика и механика акад. Л. Эйлера, разработавшего теорию плоских зацеплений и предложившего эвольвентный профиль зубьев колес. Эти исследования послужили основой для создания французом Т. Оливье общей теории пространственных зацеплений, которая была переработана и дополнена одесским профессором X..И. Гохманом - автором фундаментального труда «Кинематика машин» (1890г.).
Основными задачами структурного анализа механизмов являются:
- исследование структурно-кинематических схем механизмов;
- определение количества свобод движения механизмов в зависимости от геометрических форм сопряжения звеньев и их количества;
- определение возможности движения механизма в заданном интервале обобщенных координат;
- обеспечение полнооборотного вращения входных и выходных звеньев (в случае необходимости);
- обеспечение заданных форм проекций движения точек звеньев механизма.
Для анализа используют структурно-кинематическую схему механизма - изображение механизма с помощью условных обозначений, содержащую общую информацию о размерах и количестве звеньев, количестве кинематических пар, способе соединения звеньев и видах возможных движений в пространстве.
Звеном механизма называется одно или несколько твердых тел, соединенных неподвижно. Здесь имеются ввиду как абсолютно твердые так и деформируемые и гибкие тела.
Звенья механизма могут быть подвижными и неподвижными относительно выбранной системы координат. Неподвижное звено называется стойкой. В каждом механизме всегда есть одно (и только одно) неподвижное звено.
Звено, совершающее движение, для выполнения которого предназначен механизм, называется выходным. Выходное звено обычно соединено с исполнительным органом машины либо с входным звеном другогомеханизма.
Звено, которому сообщается движение от двигателя или выходного звена другого механизма, называется входным звеном.
Соединение двух соприкасающихся звеньев, допускающее их относительное движение, называется кинематической парой.
Система звеньев, образующих между собой кинематические пары, называется кинематической цепью.
Кинематическая цепь замкнута, если каждое ее звено входит не менее чем в две кинематические пары.
Цепь разомкнута, если в ней есть звено, входящее только в одну кинематическую пару.
Используя понятие "Кинематическая цепь", можно дать еще одно определение механизму:
Материалы лекции в видеоформате можно посмотреть на сайте YouTube, руководством для выбора темы видеоролика является тема лекции, кроме этого студент может использовать онлайн-сервис для вычисления необходимых величин. Также материалы лекции с решением задач хорошо изложены в решебниках И.В.Мещерского, А.А. Яблонского.
Механизмом называется замкнутая кинематическая цепь, предназначенная для преобразования заданного движения одного или нескольких входных звеньев в требуемое движение остальных звеньев.
Материалы лекций в видеоформате можно посмотреть на сайте YouTube, руководством для выбора темы видеоролика является тема лекции, кроме этого студент может использовать онлайн-сервис для вычисления необходимых величин. Также материалы лекции с решением задач хорошо изложены в решебниках И.В.Мещерского, А.А. Яблонского.
Вопросы для самоконтроля:
1. Что называется структурно-кинематической схемой механизма?
2. Что называется звеном механизма?
3. Сколько неподвижных звеньев может быть в механизме?
4. Чем отличаются входные и выходные звенья?
5. Что называется кинематической парой?
6. Что такое кинематическая цепь?
7. Чем отличаются замкнутая и разомкнутая кинематические цепи?
ЛЕКЦИЯ №1РАЗДЕЛ 1 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Тема 1.1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И АКСИОМЫ СТАТИКИ
План лекции:
Основные понятия статики.
Аксиомы статики.
Виды связей и их реакции.
1.1.1 Основные понятия статики
Статикой называется раздел теоретической механики, в котором излагается общее учение о силах и изучаются условия равновесия тел, находящихся под действием сил. Силой называется физическая величина, являющаяся мерой механического взаимодействия тел. Сила – величина векторная. Она характеризуется величиной (модулем), направлением и точкой приложения. Основной единицей измерения силы является Ньютон [Н].В статике все тела считаются абсолютно твёрдыми, то есть под действием сил их форма и размеры остаются неизменными. Совокупность сил, приложенных к телу, называется системой сил. Если все силы лежат в одной плоскости, то такая система сил называется плоской. Если силы не лежат в одной плоскости, то они образуют пространственную систему сил.Тело, которое из данного положения может переместиться в любое положение в пространстве, называется свободным телом. Две системы сил называют эквивалентными одна другой, если каждая из них, действуя по отдельности, может сообщить покоящемуся телу одно и то же движение .Система сил, под действием которой покоящееся тело не изменяет своего состояния покоя, называется уравновешенной или эквивалентной нулю – .Сила, которая одна заменяет действие системы сил на твёрдое тело, называется равнодействующей – . Силы могут быть сосредоточенные (рис. 1.1, а) и распределенные . Сила, приложенная к какой-нибудь одной точке тела, называется сосредоточенной.
рисунок 1.1 - Сосредоточенная сила.
1.1.2. Аксиомы статики В основе статики лежат некоторые основные положения(аксиомы), которые являются обобщением многовекового производственного опыта человечества и теоретических исследований.
Аксиома 1. Если на свободное абсолютно твёрдое тело действуют две силы, то тело может находиться в равновесии тогда и только тогда, когда эти силы равны по величине и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны
Рисунок 1.2 –Пример равновесия тел под действием двух сил.
Аксиома 2. Действие данной системы сил на абсолютно твёрдое тело не изменится, если к ней прибавить или от неё отнять уравновешенную систему сил. Если , то .Следствие: действие силы на абсолютно твёрдое тело не изменится, если перенести точку приложения силы вдоль её линии действия в любую другую точку тела.Пусть на тело действует приложенная в точке А сила . Выберем на линии действия этой силы произвольную точку В, и приложим к ней уравновешенные силы и , причём , . Так как силы и образуют уравновешенную систему сил, то согласно второй аксиоме статики их можно отбросить. В результате на тело будет действовать только одна сила , равная , но приложенная в точке В .
Рисунок 1.3 – Пример переноса сил вдоль линии действия силы.
Аксиома 3. Две силы, приложенные к твёрдому телу в одной точке, имеют равнодействующую, приложенную в той же точке и изображаемую диагональю параллелограмма, построенного на этих силах как на сторонах.Вектор , равный диагонали параллелограмма, построенного на векторах и , называется геометрической суммой векторов и .
Рисунок 1.4 – Определение равнодействующей двух сил, начало которых совпадает.
Аксиома 4. Закон равенства действия и противодействия.При всяком действии одного тела на другое имеет место такое же по величине, но противоположное по направлению противодействие.
Рисунок 1.5 – Равенство действия и противодействия.
Аксиома 5. Принцип отвердевания.Равновесие изменяемого (деформируемого) тела, находящегося под действием данной системы сил, не нарушится, если тело считать отвердевшим, т.е. абсолютно твёрдым.
1.1.3. Виды связей и их реакции
Связями называются любые ограничения, препятствующие перемещению тела в пространстве.Тело, стремясь под действием приложенных сил осуществить перемещение, которому препятствует связь, будет действовать на нее с некоторой силой, называемой силой давления на связь. По закону о равенстве действия и противодействия, связь будет действовать на тело с такой же по модулю, но противоположно направленной силой. Сила, с которой данная связь действует на тело, препятствуя тем или иным перемещениям, называется силой реакции (реакцией) связи. Обычно обозначается буквой RА (указываем точку приложения силы). Одним из основных положений механики является принцип освобождаемости от связей: всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если отбросить связи и заменить их действие реакциями связей. Реакция связи направлена в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу. Основные виды связей и их реакции приведены в таблице 1.1.
Таблица 1.1
Виды связей и их реакции
№ Наименование связи Условное обозначение
1 Гладкая поверхность (опора) – поверхность (опора), трением о которую данного тела можно пренебречь.При свободном опирании реакция направляется перпендикулярно касательной, проведенной через точку А контакта тела 1 с опорной поверхностью 2.
2 Нить (гибкая, нерастяжимая). Связь, осуществлённая в виде нерастяжимой нити, не позволяет телу удаляться от точки подвеса. Поэтому реакция нити направлена вдоль нити к точке её подвеса.
3 Невесомый стержень – стержень, весом которого по сравнению с воспринимаемой нагрузкой можно пренебречь. Реакция невесомого шарнирно прикрепленного прямолинейного стержня направлена вдоль оси стержня.
4 Подвижный шарнир, шарнирно-подвижная опора. Реакция направлена по нормали к опорной поверхности.
5 Цилиндрический шарнир (подшипник, шарнирно-неподвижная опора). При осуществлении связи в виде цилиндрического шарнира одно тело может поворачиваться относительно другого вокруг общей оси, называемой осью шарнира. Реакция цилиндрического шарнира заранее не известна ни по величине, ни по направлению; может иметь любое направление в плоскости, перпендикулярной оси шарнира. Модуль и направление полной реакции определяют две составляющие реакции в этой плоскости.
6 Сферический (шаровый) шарнир, подпятник. Тела, соединённые с помощью сферического шарнира, могут как угодно поворачиваться относительно центра шарнира. Реакция сферического шарнира может иметь любое направление в пространстве. Реакция сферического шарнира и подпятника (подшипника с упором) может иметь любое направление в пространстве. Три составляющие , , реакции определяют модуль и направление полной реакции.
7 Жесткая заделка. В плоскости жесткой заделки будут две составляющие реакции , и момент пары сил, который препятствует повороту балки 1относительно точки А.Жесткая заделка в пространстве отнимает у тела 1 все шесть степеней свободы – три переме-щения вдоль осей координат и три поворота отно-сительно этих осей.В пространственной жесткой заделке будут три составляющие , , и три момента пар сил .
8 Ползун 1 на стержне 2. Рекция направлена перпендикулярно стержню 2, момент пары сил препятствует повороту ползуна 1 относительно точки А.
9 Ползун 1 в направляющих. Рекция направлена перпендикулярно направляющим, момент пары сил препятствует повороту ползуна 1 относительно точки А.
Перечень практических работ по данной лекции:
Практическая работа №1 Определение равнодействующей двух сил.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ:
РЕКОМЕНДАЦИИ: посмотреть лекцию по данной теме на сайте YouTube
ЛЕКЦИЯ №2
Тема 1.2 ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ (ПССС)
План лекции:
1.2.1 Определение плоской системы сходящихся сил.
1.2.2 Геометрический способ сложения сходящихся сил.
1.2.3 Разложение сил
1.2.1 Определение плоской системы сходящихся сил
Системой сходящихся сил называется система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке. Две силы, сходящиеся в одной точке, согласно третьей аксиоме статики можно заменить одной силой –равнодействующей.
Рисунок 1.5 – F1 и F2 сходящиеся силы, R – их равнодействующая.Решение многих задач статики связано с операцией сложения векторов, в частности, сил. Главный вектор системы сил – величина, равная геометрической сумме сил системы. Главный вектор системы сил не следует путать с равнодействующей. Равнодействующая – всегда главный вектор, а главный вектор равен равнодействующей, если система сил является сходящейся. Равнодействующую плоской системы сходящихся сил можно определить графически(геометрически по правилу сложения векторов) и графоаналитически. 1.2.2 Геометрический способ сложения сходящихся сил
Сложение двух сил. При графическом определении равнодействующей на чертеже и выбранном масштабе изображаются силы, затем они складываются по правилу параллелограмма. По длине диагонали параллелограмма, учитывая выбранный масштаб, определяется равнодействующая, равная сумме слагаемых сил. Точность определения равнодействующей зависит в этом случае от точности построения силового треугольника. Графоаналитический способ сложения сил позволяет более точно определить равнодействующую, используя тригонометрические зависимости: - теорему косинусов:
или - теорему синусов:
Рисунок 1.6 – Использование теорем косинуса или синуса по данному чертежу.
Сложение трех сил, не лежащих в одной плоскости: геометрическую сумму трех сил , , не лежащих в одной плоскости, изображают диагональю параллелепипеда построенного на этих силах (правило параллелепипеда).
Рисунок 1.7 – Сложение трех сил, не лежащих в одной плоскости.
Сложение системы сил. Сложение плоской системы сходящихся сил осуществляется либо путём последовательного сложения сил с построением промежуточной равнодействующей , либо путём построения силового многоугольника.
Рисунок 1.8 – Сложение нескольких сил путём последовательного сложения сил с построением промежуточной равнодействующей
Рисунок 1.9 _ Сложение нескольких сил путём построения силового многоугольника.
1.2.3 Разложение сил
Разложить данную силу на составляющие – означает найти такую систему сил, для которой данная сила является равнодействующей. Подобная задача имеет однозначное решение, если необходимо разложить силу по двум направлениям, лежащим в одной плоскости.
Рисунок 1.10 - Разложение силы F по двум направлениям abи cd.
Перечень практических работ по данной лекции:
Практическая работа № 2 Силовой многоугольник
Практическая работа №3 Разложение силы на составляющие.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ:
ЛЕКЦИЯ №3
Тема 1.3 ПРОЕКЦИИ ВЕКТОРА НА ОСИ И ПЛОСКОСТЬ
План лекции:
1.3.1 Проекция силы на ось и на плоскость.
1.3.2 Аналитический способ задания и сложения сил.
1.3.3 Условия равновесия плоской системы сходящихся сил.
1.3.1 Проекция силы на ось и на плоскость
Проекция силы на ось – алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на косинус угла между силой и положительным направлением оси.Проекция Fx силы на ось х положительна, если угол α острый, отрицательна - если угол α тупой. Если сила перпендикулярна оси, то ее проекция на ось равна нулю.
Рисунок 1.11 –Примеры проекций силы на ось Ох.
Формула для определения проекции силы на оси х и y
Fx =F cosα
Fy =F cos (90-α) = F sinα
Проекция силы на плоскость Оху – вектор , заключенный между проекциями начала и конца силы на эту плоскость. Т.е. проекция силы на плоскость величина векторная, характеризуется не только числовым значением, но и направлением в плоскости Оху.
Рисунок 1.12 -Проекция силы на плоскость Оху
Тогда модуль проекции на плоскость Оху будет равен:
Fxy = F cosα, где α - угол между направлением силы и ее проекцией . Если сила и ось координат не лежат в одной плоскости, то проекция силы на ось проводится методом двойного проецирования. Например, чтобы определить проекцию силы на ось х, надо спроецировать ее на плоскость Оху, а затем разложить проекцию силы на составляющие по осям координат Fx и Fy .
(3) Fx = Fxy cosφ = F cosα cosφ;(4) Fy = Fxy sinφ = F cosα sinφ;(5) Fz = F sinα.
1.3.2 Аналитический способ задания и сложения сил
Аналитический способ задания сил. Для аналитического способа задания силы необходимо выбрать систему координатных осей Охуz, по отношению к которой будет определяться направление силы в пространстве.Вектор, изображающий силу , можно построить, если известны модуль этой силы и углы α, β, γ, которые сила образует с координатными осями. Точка А приложения силы задается отдельно своими координатами х, у, z. Можно задавать силу ее проекциями Fx, Fy, Fz на координатные оси. Модуль силы в этом случае определится по формуле:
(6 ) ,
а направляющие косинусы: , , . Аналитический способ сложения сил: проекция вектора суммы на какую–либо ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось, т.е., если: , то , , .Зная Rx, Ry, Rz, можем определить модуль и направляющие косинусы: , , .
1.3.3 Условия равновесия плоской системы сходящихся сил
Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая этих сил была равна нулю.1) Геометрическое условие равновесия сходящейся системы сил: для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный из этих сил, был замкнут (конец вектора последней слагаемой силы должен совместиться с началом вектора первой слагаемой силы). Тогда главный вектор системы сил будет равен нулю ().2) Аналитические условия равновесия. Модуль главного вектора системы сил определяется по формуле
(7) .
Поскольку , то подкоренное выражение может быть равно нулю только в том случае, если каждое слагаемое одновременно обращается в нуль, т.е.
Rx = 0, Ry = 0, Rz = 0.
Следовательно, для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из трёх координат осей были равны нулю:
Для равновесия плоской системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций сил на каждую из двух координатных осей были равны нулю:
(8) ΣFx =0
ΣFy =0
Теорема о трех силах: если твердое тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то линии их действия пересекаются в одной точке (необходимое условие равновесия твердого тела).
Рисунок 1.13- Пример равновесия тела под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости.
Это условие равновесия не является достаточным, т.к. равнодействующая этих сил может оказаться не равной нулю. Достаточным условием является наличие замкнутого силового треугольника при одновременном пересечения линий действия трех сил в одной точке.Рассмотрим тело, на которое действуют три непараллельные силы , и
Рисунок 1.14 – Пример тела, на которое действуют три непараллельные силы , и
Так как эти силы непараллельны, то две любые силы, например, и должны пересечься в некоторой точке А. Перенесём силы и вдоль линии их действия и приложим их к точке А. Заменим сходящиеся силы и их равнодействующей . Следовательно, теперь на тело действуют только две силы и .Поскольку тело находится в равновесии под действием двух сил, то согласно первой аксиоме статики, эти силы должны действовать вдоль одной прямой АВ. Таким образом, линия действия силы должна проходить через точку А.
1.3.4 Методические указания к решению задач по исследованию условий равновесия системы сходящихся сил
Задачи данного типа могут решаться либо геометрическим (графическим) способом, либо аналитическим.
При решении задач геометрическим (графическим) способом необходимо придерживаться следующего порядка:1. Выделить тело (или точку), равновесие которого следует рассмотреть.2. Изобразить все активные (заданные) силы, действующие на выделенное тело.3. Освободить это тело от наложенных на него связей, заменив их действие реакциями связей.4. Построить замкнутый силовой многоугольник (или треугольник – если действуют три силы). При этом следует сначала сложить все заданные, а затем достроить неизвестные силы.5. Решить силовой многоугольник (по известным элементам определить неизвестные) или, если силовой многоугольник построен в масштабе, определить искомые силы по масштабу.
При решении задач аналитическим способом рекомендуется придерживаться следующего порядка:
1. Выделить точку, равновесие которой надо рассмотреть.2. Изобразить активные (заданные) силы.3. Освободить точку от связей, приложив соответствующие реакции. При этом необходимо убедиться, что данная задача является статически определимой – число неизвестных величин должно быть не более двух или трех (в случаях плоской и пространственной систем сходящихся сил соответственно).4. Направить оси координат.5. Составить уравнения равновесия системы сходящихся сил, из которых можно найти неизвестные величины.Пример. Стержни АС и ВС соединены между собой и с вертикальной стеной посредством шарниров. На шарнирный болт С действует вертикальная сила Р=1000 Н.Определить реакции этих стержней на шарнирный болт С, если углы, составляемые стержнями со стеной, равны: α=30° и β=60°.
ДАНО:
сила Р=1000 Н, α=30° и β=60°.
НАЙТИ: реакции стержней RA , RВ
Рисунок 1.15 - Стержни АС и ВС соединены между собой и с вертикальной стеной посредством шарниров.
Задачу можно решить либо аналитически, либо графически.
I. Геометрический способ. Очевидно, что объектом исследования в данной задаче является болт C, т.к. именно к нему приложены заданная сила и стержни AC и BC, реакции которых нужно определить. Отбросим связи, заменив их действие реакциями.Построим замкнутый треугольник abc для сил , и (т.к. болт C находится в равновесии), начав построение с известной силы , которую изобразим вектором , тогда вектор определит силу , а вектор - силу . При этом следует учесть, что известны только направления реакций связей.
Рисунок 1.16 – Силовой многоугольник, построенный по данным задачи.
Измерив отрезки и выбранной единицей масштаба, найдем величины неизвестных сил и и задача будет графически решена.Величины неизвестных сил и можно найти тригонометрически, решив силовой треугольник abc, т.е. в этом треугольнике известны сторона ab и два угла α и β. Итак, построим в масштабе вектор (который, как и , направлен вертикально вниз) из точки a под углом α проведем одну линию, из точки b проведем вторую линию под углом β до пересечения их в точке с, треугольники ΔАВС и Δabc подобны.α+β=90° - по условию задачи, следовательно, Δabc – прямоугольный. Из этого треугольника находим:
II. Аналитический способ.
1.Строим рабочую схему: оси координат, активная сила P, силы реакции SB, SА, углы α, β.
Выполним пункты 1-3 аналогично, как и при решении задачи графическим способом. Поэтому продолжим решение данной задачи с пункта 4 – выберем систему координат. Так как угол между неизвестными силами и равен 90°, то удобнее всего направить по линиям действия этих сил оси координат. Направим Ох по линии действия , а ось Оу – по линии действия .
Рисунок 1.17 – Рабочая схема для решения задачи: оси координат, активная сила P, силы реакции SB, SА, углы α, β.
2. Для данной плоской системы сходящихся сил составим 2 уравнения равновесия:При аналитическом способе заранее неизвестно, в какую сторону направить реакции стрежней вдоль прямых АС иВС. Если в результате решения получим положительные значения, то реакции были направлены верно, если получим отрицательные, то выбранное направление реакции изменим на противоположное. Перечень практических работ по данной лекции:
Практическая работа № 4 Определение проекции силы
Практическая работа №5 Определение силы через проекции
Практическая работа №6 Аналитический способ решения задач по теме ПССС.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ:
РЕКОМЕНДАЦИИ: посмотреть лекцию по данной теме на сайте YouTube
ЛЕКЦИЯ №4
Тема 1.4 ПЛОСКАЯ СИСТЕМА ПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННЫХ СИЛ План лекции:
1.4.1 Понятие плоской системы произвольно расположенных сил.
1.4.2 Пара сил. Момент силы относительно точки.
1.4.3 Свойства пар сил.
1.4.1 Понятие плоской системы произвольно расположенных сил.
Под произвольной системой сил понимают совокупность сил, расположенных в одной плоскости, линии действия которых не пересекаются в одной точке. Произвольную плоскую систему сил можно значительно упростить, приведя силы к одному центру приведения О. В результате чего в этом центре будет приложена сила , называемая главным вектором.
1.4.2 Пара сил. Момент силы относительно точки.
1. Сила действует на тело и может:
А) смещать его;
Б) поворачивать вокруг точки
2. Пусть сила , приложенная в точке А, стремится повернуть тело вокруг точки О
3. Вращательный момент этой силы будет зависеть от расстояния h- от точки О до линии действия силы (и не зависеть от точки приложения силы– так как силу можно переносить по линии её действия)
4. Момент силы относительно точки (центра О) называется величина = сила ×на кратчайшее расстояние: от точки О до линии действия силы с соответствующим знаком.
Моментом силы относительно любой точки О называется произведение модуля силы на плечо, взятое со знаком плюс или минус.
(9)
Плюс берется, если сила стремится повернуть тело вокруг точки О против хода часовой стрелки, минус, - если, - по ходу часовой стрелки.
5. Правило знаков:
А) знак «+» - момент (изгиб) силы, которая стремится повернуть тело вокруг точки О против хода часовой стрелки.
Б) знак «-» - по ходу часовой стрелки.
В) если линия действия силы проходит через точку, то момент силы относительно этой точки = нулю
Плечо относительно центра О – перпендикуляр из точки О на линию действия силы. Плечо - кратчайшее расстояние от точки поворота О до линии действия силы.
Если линия действия силы пересекает точку О, то ее момент относительно этой точки равен нулю, так как .
Рисунок 1.18 – Примеры построения плеч сил.
Парой сил называют две силы и равные по величине, противоположно направленные и параллельные между собой.
Рисунок 1.19 - Пара сил.
Моментом пары сил называют произведение модуля одной из сил пары на плечо, взятое со знаком плюс или минус, то есть
(10) .
Момент пары считается положительным, если пара, в плоскости ее действия, стремится повернуть тело против хода часовой стрелки, и отрицательным, если, - по ходу.
Плечо пары - кратчайшее расстояние между линиями действия пары.
Так как действие пары сил на твердое тело характеризуется (определяется) только моментом.
Рисунок 1.20 – Условное обозначение момента пары сил на чертежах при решении задач.
1.4.3 Свойства пары сил.
1. Сумма проекций на любую ось сил пары равна нулю
F2cosα – F1cosα = 0
2. Сумма моментов сил пары относительно любой точки плоскости равна моменту пары.
mo1() = - F1d = - Fd
mo2() = + F2l = +Fl
mo1() + mo2() = - Fd + Fl = - F(d-l) = - Fh
Следовательно, пару сил нельзя заменить равнодействующей.
3. Главный вектор равен геометрической сумме сил, входящих в данную систему, а главный момент МО - алгебраической сумме моментов сил относительно центра приведения, включая и алгебраическую сумму моментов пар сил:
,
Численное значение главного вектора определяется по его проекциям на координатные оси:
,
где и
Направление главного вектора находят по косинусам направляющих углов:
где , - орты осей Ох и Оу.
4.Условиями равновесия тела под действием произвольной плоской системы сил являются равенство нулю главного вектора и главного момента относительно любого центра О:
= 0 и МО = 0.
Эти условия выполняются, если
(11) (1)
Уравнения (1) называются основными уравнениями равновесия. Существуют еще две формы уравнений равновесия:
(12) (2)
(13 ) (3)
В системе уравнений (2) ось х не должна быть перпендикулярной к прямой, проходящей через центры А и В, а центры А, В и С в системе (3) не должны лежать на одной прямой.
ПЕРЕЧЕНЬ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ ПО ДАННОЙ ЛЕКЦИИ
Практическая работа № 7 Определение момента сил относительно точки.
Практическая работа №8 Пара сил
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ:
РЕКОМЕНДАЦИИ: посмотреть лекцию по данной теме на сайте YouTube
ЛЕКЦИЯ №5
Тема 1.4 ПЛОСКАЯ СИСТЕМА ПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННЫХ СИЛ (продолжение)
План лекции:
1.4.4. Момент пары сил. Сложение пар сил. Равновесие пар сил.
1.4.5 Определение равнодействующей произвольной плоской системы сил
1.4. 6 Теорема Вариньона
1.4.7 Равновесие произвольной плоской системы сил консольной балки.
1.4.4. Момент пары сил. Сложение пар сил. Равновесие пар сил
При изучении теоретической механики необходимо совершенно отчетливо уяснить, что в статике рассматриваются два простейших элемента: сила и пара сил. Любые две силы, кроме сил, образующих пару, всегда можно заменить одной – сложить их (найти равнодействующую). Пара сил не поддается дальнейшему упрощению, она не имеет равнодействующей и является простейшим элементом.
Действие пары сил на тело характеризуется ее моментом – произведением одной из сил пары на ее плечо (на кратчайшее расстояние между линиями действия сил, образующих пару).
Единицей момента пары сил в Международной системе служит 1 Н*м (ньютон-метр = 1 Н * 1 м), а в системе МКГСС (технической) – 1 кГ*м.
Несколько пар сил, действующих на тело в одной плоскости, можно заменить одной парой сил (равнодействующей парой), момент которой равен алгебраической сумме моментов данных пар:
(14 ) Mрав = ∑ Mi.
При равновесии пар сил: ∑ Mi = 0.
Если пары сил действуют в одной плоскости, то при решении задач достаточно рассматривать моменты пар как алгебраические величины. Причем знак момента определяется в зависимости от направления вращающего действия пары сил.
Момент пары сил считается момент положительным, если пара сил действует против хода часовой стрелки, если же пара сил действует на тело по ходу часовой стрелки, то момент считается отрицательным.
Рисунок 1.21 – Момент пары сил.
В том случае когда пары сил действуют на тело, будучи расположенными в различных плоскостях, гораздо удобнее рассматривать пару сил как вектор, направленный перпендикулярно к плоскости действия пары сил. Направление вектора в зависимости от направления вращательного действия пары определяется по направлению движения винта с правой нарезкой.
1.4.5 Определение равнодействующей произвольной плоской системы сил
Произвольную плоскую систему сил можно заменить одной силой – главным вектором– и одной парой сил, момент которой называется главным моментом (Е. М. Никитин, § 25).
Замену любой плоской системы сил главным вектором и главным моментом необходимо рассматривать как предварительную операцию перед определением равнодействующей силы или равнодействующего момента (пары сил), если система не имеет равнодействующей.
Главный вектор по модулю и направлению соответствует геометрической сумме всех данных сил и приложен в произвольно выбранной точке – в центре приведения. Главный момент равен алгебраической сумме моментов всех данных сил относительно точки, в которой приложен главный вектор.
Задачу определения главного вектора и главного момента можно решать как графическим методом, так и аналитическим. Графический метод здесь не рассматривается, а аналитически решение задачи выполняется так:
модуль главного вектора:
(15) Rгл = (Xгл2 + Yгл2), где проекция главного вектора на ось х: Xгл = ∑ Xi и проекция главного вектора на ось у: Yгл = ∑ Yi;
2) направление главного вектора, т. е. углы φx или φy, образуемые Rгл с осями координат, можно определить при помощи тригонометрических соотношений ;
3) знак и числовое значение главного момента определяются по формуле
(16) Mгл = ∑ M0(Pi), где M0(Pi) – моменты последовательно всех сил относительно одной и той же точки – точки, выбранной для приложения главного вектора – центра приведения.
В частном случае, как это показано в задачах 60 и 61, плоскую систему сил можно привести либо только к одной силе – равнодействующей, либо только к одной паре сил – равнодействующему моменту.
Замена главного вектора Rгл и главного момента Mгл равнодействующей R (Е. М. Никитин, § 27) представляет операцию, обратную приведению силы к точке. Приводя силу к любой точке, не расположенной по линии ее действия, получаем силу и пару (Е. М. Никитин, § 25). Теперь необходимо от силы и пары перейти к одной эквивалентной им силе.
Рисунок 1.22 – Условно показана последовательность операции замены главных вектора и момента – равнодействующей:
1) на рисунке а) изображены найденные Rгл и Mглнекоторой плоской системы сил;
2) на рисунке б) главный момент Mгл представлен в виде пары (R1, R) (причем, R=R1=Rгл), расположенной так, что одна из сил R1 пары уравновешивает главный вектор Rгл;
3) уравновешенную систему сил можно убрать и вместо Rгл и Mгл останется одна сила R – равнодействующая данной системы сил на рисунке в).
Таким образом, если плоская система сил приводится к главному вектору и главному моменту, то ее равнодействующая R численно и по направлению соответствует главному вектору: R=Rгл.
Но линия действия равнодействующей ВС расположена от центра приведения О на расстоянии l = OA = Mгл/R = (∑ M0(Pi))/R.
1.4.6 Теорема Вариньона
Из формулы, определяющей расстояние от центра приведения до линии действия равнодействующей, OA = (∑ M0(Pi))/R
можно вывести уравнение, выражающее теорему Вариньона для произвольной плоской системы сил:
R * OA = ∑ M0(Pi): момент равнодействующей относительно любой точки равен алгебраической сумме моментов заданных сил относительно той же точки.
Теорема Вариньона находит широкое применение при решении задач по статике, в частности во всех тех задачах, где рассматривается равновесие рычага.
Рисунок 1.23 – Изображение параллельных сил, действующих на рычаг.
При помощи теоремы Вариньона очень просто определяется равнодействующая какого угодно числа параллельных сил Р1, Р2, Р3, ..., Р.
Но если в данном случае расположить оси проекций так, как показано на, одну ось – перпендикулярно к силам, а другую – параллельно им, то XR = ∑ Xi = 0 и R = |YR| = |∑ Yi|.
Таким образом, модуль равнодействующей, параллельной системы сил равен абсолютному значению алгебраической суммы проекций сил на ось, параллельную этим силам.
Так как XR=0, то вектор равнодействующей R направлен параллельно составляющим силам. Сторона, в какую направлен R, определяется по знаку ∑ Yi. Если у алгебраической суммы проекций получается знак «плюс», то равнодействующая направлена в сторону положительного направления оси; если получается знак «минус», то равнодействующая направлена противоположно положительному направлению оси.
Определив модуль и направление равнодействующей, по теореме Вариньона находим расстояние OA, на котором расположена KL – линия действия R от произвольно выбранного центра моментов O.
Задачи, приведенные ниже, решаются при помощи так называемого условия равновесия рычага, непосредственно вытекающего из теоремы Вариньона
Рисунок 1.24 – Построение равнодействующей системы сил, приложенной к рычагу.
Рычагом можно назвать любое тело, поворачивающееся либо вокруг закрепленной оси, либо около линии контакта, образующейся при свободном опирании на другое тело.
Находясь под действием сил, рычаг уравновешен лишь в том случае, если линия действия равнодействующей пересекает ось или линию опоры. Причем, если опорой рычага АВ служат закрепленная ось (неподвижный шарнир), то линия действия равнодействующей может быть направлена к рычагу под любым углом α- рисунок а). Если же рычаг АВ свободно опирается на идеально гладкую опору- рисунок б), то линия действия равнодействующей должна быть перпендикулярна к опорной поверхности.
В любом из этих случаев равновесие возникает потому, что система сил, действующих на рычаг, уравновешивается реакцией опоры Rур, численно равной равнодействующей. А так как момент равнодействующей относительно опоры равен нулю, то из выражения теоремы Вариньона следует уравнение (17) ∑ Mоп(Pi) = 0, выражающее условие равновесия рычага.
Общий вид уравнения равновесия по теореме Вариньона
(18) Mо(Fi) = M o(F x) + M o(Fy)
Теорема Вариньона: Момент равнодействующей силы относительно точки О равен алгебраической сумме моментов составляющих ее сил относительно той же точки О.
Рисунок 1.25 – Применение теоремы Вариньона для определения момента равнодействующей.
или
.
1.4.7 Равновесие произвольной плоской системы сил
Задача на равновесие произвольной плоской системы сил решается по той же общей схеме. Придерживаясь этой схемы, необходимо учитывать следующее:
А) Если же система сил уравновешена (тело, находящееся под действием такой системы сил, либо неподвижно, либо равномерно вращается около неподвижной оси, либо находится в равномерном и прямолинейном поступательном движении), то Rгл=0 и Mгл=0 Эти равенства выражают два необходимых и достаточных условия равновесия любой системы сил.
Б) Для произвольной плоской системы сил из этих двух условий непосредственно получаем три уравнения равновесия:
∑ Xi = 0; (19) ∑ Yi = 0; ∑ M0(Pi) = 0.
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ:
В) Если на тело действует система параллельных сил, то уравнений равновесия получится только два: уравнение проекций на ось, параллельную силам, и уравнение моментов
(∑ Yi = 0; ∑ M0(Pi) = 0.
Г) При решении некоторых задач одно или оба уравнения проекций целесообразно заменить уравнениями моментов относительно каких-либо точек, т. е. систему уравнений равновесия можно представить в таком виде:
∑ Xi = 0; ∑ MA(Pi) = 0; ∑ MB(Pi) = 0. или ∑ MA(Pi) = 0; ∑ MB(Pi) = 0; ∑ MC(Pi) = 0.
В первом случае линия, проходящая через точки А и В, не перпендикулярна к оси х. Во втором случае центры моментов А, В и С не лежат на одной прямой линии.
Для системы параллельных сил соответственно получаем два уравнения моментов:
∑ MA(Pi) = 0; ∑ MB(Pi) = 0.
В этом случае точки А и В не лежат на прямой, параллельной силам.
В задачах, решаемых при помощи уравнений равновесия, обычно рассматриваются тела, находящиеся в состоянии покоя, тогда система сил, действующих на это тело, уравновешена.
Силы, действующие на тело, делятся на две группы. Одна группа сил называется нагрузками (активные силы), вторая группа сил называется реакциями связей (пассивные силы).
ПЕРЕЧЕНЬ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ ПО ДАННОЙ ЛЕКЦИИ
Практическая работа № 7 Момент силы.
Практическая работа №8 Теорема Вариньона
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ:
РЕКОМЕНДАЦИИ: посмотреть лекцию по данной теме на сайте YouTube
ЛЕКЦИЯ №6
Тема 1.4 ПЛОСКАЯ СИСТЕМА ПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННЫХ СИЛ (продолжение)
План лекции:
1.4.8 Виды опор.
Расчет опорных реакций в жесткой заделке
1.4.8 Виды опор
Существуют виды опор балок:
шарнирно неподвижная опора;
шарнирно подвижная опора;
жесткая заделка.
Опоры шарнирно-неподвижные
Рисунок 1.26 – Вид шарнирно-неподвижной опоры.
Неподвижными называются шарнирные опоры, в которых возможность линейного перемещения точки закрепления ограничивается во всех направлениях (это закрепление конца балки, при котором балка может поворачиваться, но не может перемещаться ни в горизонтальном (влево или вправо), ни в вертикальном (вверх или вниз) направлениях, то есть не может перемещаться ни в каком направлении.)
В шарнирно неподвижной опоре может возникнуть реакция, которую удобно представить в виде двух составляющих: вертикальной
(или YA) и горизонтальной ( или XA).
Рисунок 1.27 – Реакция ШНО и ее разложение на составляющие.
Опоры шарнирно-подвижные
Шарнирно подвижная опора - это устройство, в котором конец балки может свободно перемещаться в горизонтальном направлении, может поворачиваться при изгибе, но не может перемещаться в вертикальном направлении. Со стороны шарнирно подвижной опоры может возникнуть только вертикальная реакция ( или YB). Шарнирно подвижная опора изображается посредством одного стерженька, шарнирно соединенного и с землей, и с балкой. (Буквой А обозначена часть конструкции).
Рисунок 1.28 – Шарнирно-подвижная опора, ее условные обозначения и реакции.
Жесткая заделка
Жесткая заделка - это закрепление, при котором конец балки не может ни поворачиваться, ни перемещаться. В заделке могут возникнуть реактивный момент (момент жесткой заделки) и реакции RX, R.Y Балка при жестком закреплении показывается заделанной в часть стены, которая штрихуется.
Рисунок 1.29 – Балки – консоли с жесткой заделкой.
1.4.9 Расчет опорных реакций в жесткой заделке
АЛГОРИТМ РАСЧЕТ ОПОРНЫХ РЕАКЦИЙ В ЖЕСТКОЙ ЗАДЕЛКЕ КОНСОЛЬНОЙ БАЛКИ:
Построение рабочей схемы: чертеж с указанием осей координат, активных сил, реактивных сил, углов.
Запись условия равновесия для ПСПРС.
Составление уравнений условия равновесия по рабочей схеме данной задачи.
Решение системы уравнений.
Задача- образец
Рассчитать величину и направление опорных реакций в жесткой заделке консольной балки, нагруженной заданной системой внешних нагрузок.
Дано: m=70кН*м, q=100кН/м, F= 40кН, a=0,5м, b=1м
Найти: реакции заделки в т.А
Рисунок 1.30 – Данные задачи.
Решение:
I.Строим рабочую схему по данным задачи: В случае плоского поперечного изгиба в жесткой заделке консольной балки могут иметь место только две опорные реакции:
Поперечная сила R, которую можно разложить на 2 составляющие(поданным задачи нет сил, расположенных под углом к балке, следовательно не будет проекции силы на ось Х).
Изгибающий момент M
На данном этапе решения задачи эти реакции можно направить в любую сторону.
Рисунок 1.31- Расчетная схема задачи.
II. Записываем условие равновесия ПСПРС.
(1 ) ∑ Xi = 0; (2 )∑ Yi = 0; (3) ∑ M0(Pi) = 0.
По (2) R*cos 0 – q*b *cos 180 +F* cos 0 =0
R=100*1 -40 =60 кН
По (3) -M +m + F*(1+0,5) –q*b(b/2 +0,5)=0
М=70+40*1,5 -100*1*(1/2 +0,5)=70+60 – 100=30 кН*м
Рисунок 1.32 – Нагрузки балки.
Ответ: 60 кН; 30кН*м
ПЕРЕЧЕНЬ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ ПО ДАННОЙ ЛЕКЦИИ
Практическая работа № 9 Расчет реакции опор консольных балок с жесткой заделкой.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ:
РЕКОМЕНДАЦИИ: посмотреть лекцию по данной теме на сайте YouTube
ЛЕКЦИЯ №7
Тема 1.4 ПЛОСКАЯ СИСТЕМА ПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННЫХ СИЛ (продолжение)
План лекции:
Расчет опорных реакций двухопорных балок.
Расчет опорных реакций двухопорных балок
АЛГОРИТМ РАСЧЕТ ОПОРНЫХ РЕАКЦИЙ ДВУХОПОРНОЙ КОНСОЛЬНОЙ БАЛКИ:
Построение рабочей схемы: чертеж с указанием осей координат, активных сил, реактивных сил, углов.
Запись условия равновесия для ПСПРС.
Составление уравнений условия равновесия по рабочей схеме данной задачи.
Решение системы уравнений.
Задача- образец
Для заданной двухопорной балки с консольной частью, нагруженной комплексом нагрузок: силой F, моментом m и распределенной нагрузкой q, определить величину и направление опорных реакций. Дано: F =30кН, m=50кН*м, q=40кН/м , a=2 м, b= 1м, c=1,5 м
Найти: реакции опор в т.А,С
Рисунок 1.33 – Двухопорная балка с нагрузками.
Решение:
Строим рабочую схему:
- оси координат: Для решения задачи, обозначим характерные точки (сечения) балки (точки A, B, C и D) и определим положение системы координат y-, выбрав ее начало например в т. A , ось Z направляем по оси балки, ось Y вертикально.
- в т.А ШНО – заменяем ее действие реакциям силой RА( горизонтальная составляющая равна нулю, т.к. нет сил расположенных наклонно к балке),
- в т.С – ШПО - заменяем ее действие реакциям силой Rс
- распределенную нагрузку заменяем силой Q=q*3=120 кН,
-сносим активные нагрузки: силу F и М
Рисунок 1.34 – Рабочая схема двухопорной балки с нагрузками.
Записываем условие равновесия ПСПРС.
(1 ) ∑ Xi = 0; (2 )∑ Yi = 0; (3) ∑ MА(Pi) = 0.
(4) ∑ MС(Pi) = 0.
По (2) RА*cos 0 – Q*cos 180 + F* cos 180+RC =0
Уравнение содержит 2 неизвестные, поэтому решить в данный момент его невозможно, необходимо еще одно уравнение.
По (3) +m - F*(2+1+1,5) –Q (1,5)+RC *(1+2)=0
RC =( -50 + 30*4,5 +120*1,5)/3 = 88,3 кН
По (4) +m - F*(1,5) +Q (1,5) - RА *(1+2)=0
RА =( 50 - 30*1,5 +120*1,5)/3 = 61, 7 кН
Проверка правильности определения опорных реакций
Подставляем во (2) уравнение значения
61,7*cos 0 –120*cos 180 +30* cos 180+88,3=0
0=0
Реакции определены верно.
Рисунок 1.35 –Схема двухопорной балки с нагрузками.
Ответ: RА =61,7 кН, RC =88,3 кН
ПЕРЕЧЕНЬ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ ПО ДАННОЙ ЛЕКЦИИ
Практическая работа № 10 Расчет реакции опор двухопорной балки.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ:
РЕКОМЕНДАЦИИ: посмотреть лекцию по данной теме на сайте YouTube
ЛЕКЦИЯ №8
Тема 1.5 ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СИСТЕМА СИЛ
План лекции:
1.5.1 Пространственная система сил.
1.5.2 Условие равновесия пространственной системы сил.
1.5.3 Момент силы относительно оси
1.5.4 Правило параллелепипеда сил
1.5.1 Пространственная система сил
Система сил называется пространственной, если линии действия сил не лежат в одной плоскости. В этом случае систему также можно привести к центру, заменив ее одной силой, равной главному вектору, и парой с моментом, равным главному моменту относительно центра приведения, однако в общем случае сила не будет лежать в плоскости результирующей пары.
Главный вектор системы сил найдется через его проекции на оси координат Х,У,Z.
(20)
Модуль главного момента системы можно найти через моменты
силы относительно осей координат:
(21)
В пространстве вектор силы проецируется на три взаимно перпендикулярные оси координат. Проекции вектора образуют ребра прямоугольного параллелепипеда, вектор силы совпадает с диагональю.
Рисунок 1.35 – Проекции вектора на ось Z и плоскость XY
1.36 - Изометрическая проекция вектора.
На рисунке показано изображение трех взаимно перпендикулярных плоскостей в изометрической проекции. Пересечение двух вертикальных плоскостей определяет положение вертикальной оси z, пересечением обеих вертикальных плоскостей с горизонтальной определяются положения двух горизонтальных осей х и у.
Момент силы относительно оси равен моменту проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью. (22) M00(F) = npFa, где а – расстояние от оси до проекции F; прF – проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси 00.Правило знаков: Момент считается положительным, если сила разворачивает тело по часовой стрелке (смотреть со стороны положительного направления оси). Если линия действия силы пересекает ось или линия действия силы параллельна оси, моменты силы относительно этой оси равны нулю.1.5.2 Условие равновесия пространственной системы сил Пространственная система сил будет эквивалентна нулю, то есть находиться в равновесии, если величины R и М0, будут равны нулю. На этом основании следует шесть уравнений равновесия
(22)
1.5.3 Момент силы относительно оси
Момент силы относительно оси равен моменту проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью. (23) M00(F) = npFa,
где а – расстояние от оси до проекции F; прF – проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси 00.Правило знаков: Момент считается положительным, если сила разворачивает тело по часовой стрелке (смотреть со стороны положительного направления оси). Если линия действия силы пересекает ось или линия действия силы параллельна оси, моменты силы относительно этой оси равны нулю.
1.5.4 Правило параллелепипеда сил
Простейшую пространственную систему сходящихся сил образуют три силы, приложенные к одной точке.
Для сложения таких трех сил применяется правило параллелепипеда. Если даны силы P1, P2 и P3, то заменяющая их действие равнодействующая R по модулю и направлению соответствует диагонали АЕ параллелепипеда, ребра которого AB, АС и AD соответствуют трем силам.
В частном случае, который наиболее характерен для решения практических задач, три данные силы P1, P2 и P3 взаимно перпендикулярны и тогда при их сложении образуется прямоугольный параллелепипед .
Рисунок 1.37 – Правило параллелепипеда.
В этом случае модуль равнодействующей R . Проекции вектора образуют ребра прямоугольного параллелепипеда, вектор силы совпадает с диагональю.
(23) R = (P12 + P22 + P32) а направление R относительно каждой из составляющих сил можно найти по формулам (24) cos α1 = P1/R; cos α2 = P2/R; cos α3 = P3/R.
Так же как и правило параллелограмма, правило параллелепипеда можно использовать не только при сложении сил, но и при разложении данной силы на три составляющие. Наиболее часто производят разложение силы на составляющие, действующие по трем взаимно перпендикулярным направлениям.
ПЕРЕЧЕНЬ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ ПО ДАННОЙ ЛЕКЦИИ
Практическая работа №11 Проекции сил, входящих в ПСС.
Практическая работа №12 Моменты сил, входящих в ПСС.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ:
РЕКОМЕНДАЦИИ: посмотреть лекцию по данной теме на сайте YouTube
ЛЕКЦИЯ №9
Тема 1.5 ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СИСТЕМА СИЛ
(продолжение)
План лекции:
1.5.5 Расчет реакции опор ПСС.
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ ПСС:
Построение рабочей схемы: чертеж с указанием осей координат, активных сил, реактивных сил, углов. Записать плоскость действия каждой силы( для наглядности сделать чертежи, поясняющие записи)
Запись условия равновесия для ПСПРС (уравнения (22)).
Составить таблицу проекций сил и моментов сил относительно осей.
Составление уравнений условия равновесия по рабочей схеме данной задачи.
Решение системы уравнений.
ЗАДАЧА - ОБРАЗЕЦ:
Плоская прямоугольная плита ADCD со сторонами АD=2м, AB = 3 м, расположена в горизонтальной плоскости. Вес плиты 5 кН, плита закреплена в т.А - подшипником, в т В –подшипником, ось вращения подшипников – горизонтальная, в т.С - жесткий невесомый стержень, расположенный к плоскости плиты под углом 30 градусов, расположен в вертикальной плоскости. Определить реакции опор, которые возникают в т.А,В,С.
Дано:Р=5кН, α=300
Найти: реакции опор в т.А,В,С.
Решение:
Строим рабочую схему(чертеж), отмечаем оси координат XYZ и относительно их задаем
- активные силы: Р- вертикальная сила, расположена параллельно оси Z,
-реактивные силы: в т.А и т.В подшипники с горизонтальной осью вращения - Y, следовательно реакции буду расположены перпендикулярно этой оси –параллельно осям X,Z : R AZ, R AX , RBZ,
RBX,
Реакцию стержня направляем вдоль стержня от т.С к точке закрепления, считаем стержень растянутым -S
(4)
(1)
Условие равновесия ПСС
(6)
(5)
(3)
(2)
Составляем проекции векторов и определяем момент сил относительно осей:
силы проекции на ОСИ МОМЕНТЫ относительно осей
FX FY FZ MX MY MZ
Р 0 0 -P -Р*1,5 Р*1 0
R AZ 0 0 R AZ 0 0 0
R AX R AX 0 0 0 0 0
RBZ
0 0 RBZ RBZ *3 0 0
RBX
RBX
0 0 0 0 - RBX *3
S -S*cos 30 0 S*sin 30 S*sin 30*3 -S*sin 30*2 S*cos 30*3
IV Составляем уравнения условия равновесия по рабочей схеме данной задачи.
0+0+ R AX + RBX+(-S*cos 30) =0
0=0
-P + R AZ + 0+ RBZ + S*sin 30 =0
-Р*1,5+0+0+ RBZ *3 + S*sin 30*3 =0
Р*1+0+0+0+0+(-S*sin 30*2)=0
0+0+0+0+ - RBX *3 + S*cos 30*3 =0
Решаем уравнение (5)
Р*1+0+0+0+0+-S*sin 30*2=0
S =5*1/0,5*2=5 кН
Решаем уравнение (4)
-Р*1,5+0+0+ RBZ *3 + S*sin 30*3 =0
RBZ =(5*1,5 -5*0,5*3)/3 =0
Решаем уравнение (6)
0+0+0+0+ - RBX *3 + S*cos 30*3 =0
RBX =5*0,87*3/3 = 4,35 кН
Решаем уравнение (1)
0+0+ R AX + RBX+(-S*cos 30) =0
R AX =- RBX-(-S*cos 30)=-4,35 +5*0,87=0
Решаем уравнение (2)
-P + R AZ + 0+ RBZ + S*sin 30 =0
R AZ=P - RBZ -S*sin 30=5- 0-5*0,5=2,5 кН
Ответ: S=5 кН, R AZ =2,5 кН, R AX =0, RBX =4,35 кН, RBZ =0.
ПЕРЕЧЕНЬ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ ПО ДАННОЙ ЛЕКЦИИ
Практическая работа №13 Расчет реакции опор тел с ПСС.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ:
РЕКОМЕНДАЦИИ: посмотреть лекцию по данной теме на сайте YouTube.
ЛЕКЦИЯ №10
Тема 1.6 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ
План лекции:
Статичекие моменты сечений.
Центр тяжести сечения.
Определение центра тяжести сложного сечения.
1.6.1 Статичекие моменты сечений
Рисунок 1.38 – Плоскость поперечного сечения F/
Рассмотрим поперечное сечение бруса F, связанное с системой координат ZOY. Выделим элементарную площадку dF. с координатами z,y Произведение элементарной площади dF на расстояние y от оси OZ ,
(24) dSZ =y* dF
называется элементарным статическим моментом площадки относительно оси Z
dSy= z* dF - cтатический момент площадки относительно оси Y.
Проведя суммирование величин dSZ и dSy по площади сечения F, получим
(25) Sy = z* dF Sz =y* dF где Sy, Sz – статические моменты сечения F относительно осей Y и Z соответственно. Из выражений (2) видно, что статические моменты могут быть положительными, отрицательными или равными нулю и измеряются в единицах длины в кубе (например, м3).
Статический момент составной площади равен сумме статических моментов ее составных частей относительно той же оси:
(26) Sy = i=1nSyi Sz =i=1nSzi Центр тяжести сечения
Статическими моментами площади сечения относительно осей X и У называются определенные интегралы вида:
где F - площадь сечения; X и у - координаты элемента площади dF.
Для определения положения центра тяжести сечения, используем формулу статических моментов сечения
где Xc и Yc - координаты центра тяжести сечения.
(27) YC = SXF = i=1nSziF XC =SyF=i=1nSyiFИз выражений (2) можно определить координаты центра тяжести сечения Xc и Yc:
Рисунок 1.39 –Центр тяжести тела и формулы координат центра тяжести.
Статический момент сечения относительно оси, проходящей через центр тяжести, равен нулю.
Оси, проходящие через центр тяжести сечения - называются центральными. Центр тяжести сечения лежит на оси симметрии сечения. Если сечение имеет хотя бы две оси симметрии, то центр тяжести лежит на пересечении этих осей.
Для сложного сечения, состоящего из n простейших фигур, координаты центра тяжести сечения определяются по формулам
(27) YC = SXF = i=1nSziF XC =SyF=i=1nSyiF
где Xj и Yj - координаты центров тяжести отдельных фигур сечения.
Определение центра тяжести сложного сечения
АЛГОРИТМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ СЛОЖНОГО СЕЧЕНИЯ
Определить положение центра тяжести фигуры, показанной на чертеже
1) Выбираем произвольные оси координат
2) Разбиваем сечение на простейшие фигуры
3) Находим площадь каждой из фигур
мм2;
мм2.
4) Определяем статические моменты площади
мм3
мм3
5) Находим координаты центра тяжести
мм;
мм.
ОТВЕТ:
фигуры 1.прямоугольник 100х20 2.прямоугольник 20х60
площадь 2000 1200
статические моменты всей фигуры SX =112000
S Y= 80000
координаты центров тяжести фигур Х1 = 10
Y1 = 50 Х2 =80
Y2 =10
координаты центров тяжести всей фигуры XC =25
YC =35
ПЕРЕЧЕНЬ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ ПО ДАННОЙ ЛЕКЦИИ
Практическая работа №14 Определение центров тяжести сложных сечений.
Практическая работа №15 Определение центра тяжести сечения фигуры, образованной прокатными профилями.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ:
РЕКОМЕНДАЦИИ: посмотреть лекцию по данной теме на сайте YouTube.