Конспект факультатива по математике для 8 класса четность и нечетность чисел

Конспект факультатива по математике для 8 класса
Учитель математики
МБОУ СОШ №24
поселка Бира
Мостовая Дарья Владимировна
Организационная информация
Тема: Четность и нечетность чисел.
Класс 8
Цели урока
Образовательная: Мотивировать учащихся к дальнейшему изучению математики, научить решать задачи с применением четности и нечетности чисел.
Воспитательная: Воспитание интереса к изучению математики, умения работать в парах.
Развивающая: Развитие умения анализировать полученную информацию, логически и творчески мыслить.
Задачи урока
Сформулировать свойства четности и нечетности чисел.
Научиться решать нестандартные задачи.
Научиться применять четность в играх.
Решение олимпиадных задач.
Необходимое оборудование и материалы, демонстрации Ноутбук, проектор, карточки для учащихся.
Конспект урока
Мотивация учащихся, актуализация знаний
Эпиграф к уроку:
Высшее назначение математики – находить порядок в хаосе, который нас окружает.
Норберт Винер
амер. ученый
1) Орг. Момент
2) Слово учителя:
Тема нашего сегодняшнего занятия четность и нечетность чисел. Как вы думаете, о чем мы сегодня будем говорить? Какие задачи на урок мы себе поставим?
Задачи на слайде.
Давайте с вами вспомним понятие четного числа. Нечетного.
Ввести понятия четного и нечетного чисел.
Свойства четных и нечетных чисел.
Четные и нечетные числа обладают замечательными свойствами:
Сумма четных слагаемых - четна.
4+6+2=12
Сумма четного и нечетного чисел – нечетное число
8+7=15
Если число нечетных слагаемых четно, то и сумма четна.
3+5+7+9=24
Если сумма двух чисел - четное число, то и их разность тоже четное число.
9+7=16 9-7=2
Если сумма двух чисел - нечетное число, то и их разность тоже нечетное число.
9+4=13 9-4=5
Если число нечетных слагаемых нечетно, то и сумма нечетна.
3+5+7=15
Если один из множителей - четное число, то и произведение четно.
3*5*11*2=330
Если все множители нечетны, то и произведение нечетно.
3*5*11=165
Признак чётности
Если в десятичной форме записи числа последняя цифра является чётным числом (0, 2, 4, 6 или 8), то всё число так же является чётным, в противном случае — нечётным.
42, 104, 11110, 9115817342 — чётные числа.
31, 703, 78527, 2356895125 — нечётные числа.
Арифметика
Сложение и вычитание:
Чётное ± Чётное = Чётное
Чётное ± Нечётное = НечётноеНечётное ± Чётное = Нечётное
Нечётное ± Нечётное = Чётное
Умножение:
Чётное × Чётное = Чётное
Чётное × Нечётное = Чётное
Нечётное × Нечётное = Нечётное
Деление:
Чётное / Чётное — однозначно судить о чётности результата невозможно (если результат целое число, то оно может быть как чётным, так и нечётным)
Чётное / Нечётное = если результат целое число, то оно Чётное
Нечётное / Чётное — результат не может быть целым числом, а соответственно обладать атрибутами чётности
Нечётное / Нечётное = если результат целое число, то оно Нечётное
История и культура
Понятие чётности чисел известно с глубокой древности и ему часто придавалось мистическое значение. В китайской космологии и натурософии чётные числа соответствуют понятию Инь, а нечётные — Ян.
В разных странах существуют связанные с количеством даримых цветов традиции, например в США, Европе и некоторых восточных странах считается что чётное количество даримых цветов приносит счастье. В России чётное количество цветов принято приносить лишь на похороны умершим; в случаях когда в букете много цветов, чётность или нечётность их количества уже не играет такой роли.
В старину люди верили в магию чисел, где всё хорошее ассоциировалось с нечетными цифрами, а плохое – с четными. Именно поэтому, например, в Рождество на стол всегда ставили нечетное количество блюд. Люди верили, что нечетные числа символизируют постоянное продолжение жизни, незавершенность. А четные, наоборот, означают конечность всего живого, остановку движения. В связи с этим девушкам тоже дарили только нечетное количество цветков, а на похороны несли четное число.
Пифагор
Проникая в свойства чисел, объясняя их различные сочетания, Пифагор пытался создать науку всех наук. Все числа он разделил на два вида: чётные и нечётные, и с удивительной чуткостью выявил свойства чисел каждой группы. Чётные числа обладают следующими свойствами: любое число может быть разделено на две равные части, каждая из которых либо чётна, либо нечётна. Например, 14 делится на две равные части: 7+7, где обе части нечётные; 16 = 8 + 8, где обе части чётные. Пифагорейцы рассматривали чётное число, прототипом которого была дуада, неопределённым и женским. "Чётные числа, допускавшие раздвоение, казались более разумными, олицетворяли некоторое положительное явление", - писал Аристотель. Так число получало характер, теряло вечное, абстрактное начало.
Пифагорейцы рассматривали нечётное число, прототипом которого была монада, определённым и мужским, хотя по поводу единицы среди них существовали определённые разногласия. Некоторые считали его положительным, потому что если его добавить к нечётному числу, оно станет чётным и, таким образом, рассматривается как андрогенное число, совмещающее как мужские, так и женские атрибуты, значит, оно и чётно и нечётно.
В 1966 году Чэнь Цзинжунь (Chen Jingrun) доказал, что любое достаточно большое чётное число представимо или в виде суммы двух простых чисел, или же в виде суммы простого числа и полупростого (произведения двух простых чисел)
Задания на закрепление знаний
Четно или нечетно число 1+2+3+4+…+2000?
Ответ: четно.
Верно ли равенство 1х2+2х3+3х4+…+99х100 = 20002007?
Ответ: нет, сумма четных слагаемых всегда четна.
Определить на четность числа 3(х+1); х+х; х+х+2005, если х нечетное.
Ответ: первое - четное, второе - четное, третье - нечетное.
Проверка домашнего задания
Расположите числа от 1 до 16 в клетках таблицы 4x4 так, чтобы суммы чисел каждой строки и каждого столбца и двух диагоналей были нечетны.
1 9 3 10
2 11 8 14
5 4 12 16
7 13 6 15

2 11 9 1
4 12 3 10
15 5 13 6
8 7 16 14
Можно ли расположить числа от 1 до 25 в клетках таблицы 5x5 так, чтобы суммы чисел каждой строки и каждого столбца были четны?
Ответ: нет, число 25 не делится на 2.
Можно ли квадрат размером 25х25 разрезать на прямоугольники 1х2?
Ответ: нет, число 625 не делится на2.
Можно ли разменять 100 рублей при помощи 25 монет достоинством 1 и 5 рублей?
Ответ: нет, сумма нечетного количества нечетных слагаемых - нечетное число.
Можно ли разменять 100 рублей при помощи 24 монет достоинством 1 и 5 рублей?
Ответ: да, 5 по рублю и 19 по 5 рублей
Можно ли соединить 13 городов дорогами, так чтобы из каждого города выходило ровно 5 дорог?
Ответ: нет, каждую дорогу считаем дважды, поэтому общее количество дорог должно быть четным. В нашем случае их 13х5 =65.
Можно ли из 36 веревочек сплести сетку так, чтобы каждая веревочка была связана ровно с тремя другими?
Ответ: да, произведение 36х3 четно.
Задача 10. На столе 6 стаканов, Из них 5 стоят правильно, а один перевернут вверх дном. Разрешается переворачивать одновременно 4 любых стакана. Можно ли все стаканы поставить правильно?
Решение. Нет, так как в любом случае перевернутых вверх дном стаканов будет числом нечетным.
Задача 11. В некотором государстве было 10 банков. С момента перестройки общества все захотели стать банкирами. Но по закону открыть банк можно только путем деления уже существующего банка на 4 новых. Через некоторое время министр финансов сообщил президенту, что в стране действует 2007 банков, после чего был немедленно уволен за некомпетентность. Что не понравилось президенту?
Решение. Заметим, что в результате превращения одного старого банка в четыре новых общее количество банков увеличится на 3. Таким образом, в любой момент времени число банков равно Б = 10 + 3 k и остаток от деления числа банков на 3 постоянен.
Задача 12: По кругу расставлено 9 чисел – 4 единицы и 5 нулей. Каждую секунду над числами проделывают следующую операцию: между соседними числами ставят ноль, если они различны, и единицу, если они равны; после этого старые числа стирают. Могут ли через некоторое время все числа стать одинаковыми?
Решение: Ясно, что комбинация из девяти единиц раньше, чем девять нулей, получиться не может. Если же получилось девять нулей, то на предыдущем ходу нули и единицы должны были чередоваться, что невозможно, так как их всего нечетное количество.
Задача 13: Есть 101 монета, из которых 50 фальшивых, отличающихся по весу на 1 грамм от настоящих. Петя взял одну монету и за одно взвешивание на весах со стрелкой, показывающей разность весов на чашках, хочет определить фальшивая ли она. Сможет ли он это сделать?
Решение: Нужно отложить данную монету в сторону, а затем разделить остальные 100 монет на две кучки по 50 монет, и сравнить веса этих кучек. Если они отличаются на четное число грамм, то интересующая нас монета настоящая. Если же разность весов нечетна, то монета фальшивая.
Работа в группах.
Игра 1 (Сыграть в парах, результат фиксировать в тетради)
На крайней правой клетке полоски клетчатой бумаги стоит фишка (рис.).

За один ход каждому из двух игроков разрешается передвинуть фишку на 1 клетку влево. Проигрывает тот, кому некуда будет ходить. Кто в этой игре выигрывает — 1-й игрок или 2- й, если полоска состоит из 10 клеток; из 25 клеток?
Игра 2. (Сыграть в парах, результат фиксировать в тетради)
На крайних клетках полоски клетчатой бумаги стоят белая и черная фишки (рис).

1-й игрок своим ходом передвигает белую фишку на 1 клетку вправо, а 2-й игрок — черную фишку на 1 клетку влево. Прыгать через фишку и ставить две фишки на одну клетку запрещено. Проигрывает тот, кому некуда будет ходить. Кто выигрывает в этой игре — 1-й игрок или 2-й, если полоска состоит из 10 клеток; из 25 клеток?
Игра 3. (Сыграть в парах, результат фиксировать в тетради)
Дано число. Первый игрок разлагает его на два множителя, меньшие этого числа (если это возможно). Второй игрок может выбрать любое число из получившихся чисел и тоже разлагает его на два меньших множителя. Затем первый игрок выбирает любой из трех получившихся множителей и разлагает его на два меньших множителя. Затем второй и т.д. Проигрывает тот, кто уже не сможет увеличить количество получающихся таким способом множителей. Кто выигрывает этой игре, если первоначально дано число: а) 14; б) 12; в)36; г) 1000?
Игра 4. (Сыграть в парах, результат фиксировать в тетради) В первой куче 18 конфет, в другой - 23. Двое по очереди съедают одну из куч, а другую – делят на две кучи. Кто не может поделить (если в куче осталась одна конфета), проигрывает. Есть ли у начинающего выигрышная стратегия?
Игра 5. (Сыграть в парах, результат фиксировать в тетради). Имеется две кучи спичек, в одной 20 спичек, в другой - 25. Каждый из двух играющих по очереди выбрасывает одну из кучек, а другую разбивает на две части. Проигравшим считается тот, кто не может сделать очередного хода из-за того, что в каждой куче осталось по одной спичке. Кто и как выиграет при правильной игре?
Решение олимпиадных задач
Всероссийская олимпиада школьников по математике – 2014 8 класс
Можно ли в равенстве 1*2*3*…*10 = 0. Вместо знаков * поставить знаки плюс и минус так, чтобы получилось верное равенство?
Ответ: Нет, так как сумма 1+2+3+…+10=55 – нечетное число.
9 класс. Докажите, что произведение двух последовательных натуральных чисел не может быть представлено в виде 25к + 1, где к = 0; 1; 2; …
Ответ: 2k*(2k+1)=4k2+2k. Решим уравнение 4k2+2k=25k+1. Оно не имеет целых решений. Поэтому произведение двух последовательных натуральных чисел не может быть представлено в виде 25к + 1, где к = 0; 1; 2; …
Итог урока.
Все ли мы выполнили задачи сегодня? (Проговорить задачи)
Ребята, мы сегодня рассмотрели с вами четность и нечетность чисел. Но в олимпиадных заданиях также встречаются задачи на кратность чисел и признаки делимости (еще одни свойства чисел).
Например:
Поставить вместо звёздочек такие цифры, чтобы число 32*35717* делилось на 72.
Доказать, что число делится на 37.
Поэтому на следующем занятии мы продолжим изучать свойства чисел, а именно кратность и признаки делимости. Поэтому вам домашнее задание: повторить признаки делимости чисел на 3, на 9, на 4, на 5, на 10.