Поурочные планы по алгебре 8класс по учебнику Алгебра 8 под ред. Теляковского
Учебник: Алгебра 9, под редакцией Теляковского
У р о к 1 (1) Понятие рациональной дроби
Цели: ввести понятия «дробное выражение» и «рациональная дробь»; формировать умение находить значения рациональных дробей при заданных значениях переменных.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
– Назовите дробь, соответствующую данному частному:
а) 3 : 7
б) 18 : 5
в) 20 : 30
г) 4 : 12 д) –2 : 9
е) 3 : (–8)
ж) –5 : (–11)
з) –2 : (–4)
III. Объяснение нового материала.
Объяснение провожу согласно пункту учебника, обращая внимание на усвоение учащимися основных понятий. Для контроля предлагаю учащимся задание на распознавание различных рациональных выражений.
З а д а н и е. Какие из следующих рациональных выражений являются целыми, а какие – дробными?
а) ;д) ;
б) ;е) ;
в) ;ж) ;
г) ;з) .
– Какие из дробных выражений являются рациональными дробями?
З а м е ч а н и е. Вопрос о допустимых значениях переменных, входящих в рациональное выражение, целесообразно подробно изучить на следующем уроке.
IV. Формирование умений и навыков.
1. № 1 (устно).
2. № 3, № 4, № 5 (а).
При вычислениях необходимо следить, чтобы учащиеся грамотно и подробно выполняли все записи.
О б р а з е ц о ф о р м л е н и я:
№ 5 (а).
;а = –3, b = –1.
1,5.
3. № 7 (а), № 8.
В случаях затруднения учащихся при выполнении этих заданий напоминаю им, что для выражения переменной из формулы достаточно рассматривать эту переменную как неизвестную величину.
4. № 9, № 16.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Какое выражение называется целым? дробным?
– Как называются целые и дробные выражения?
– Что такое рациональная дробь?
– Всякая ли рациональная дробь является дробным выражением? Приведите примеры.
– Как найти значение рациональной дроби при заданных значениях входящих в неё переменных?
Домашнее задание: № 2, № 5 (б), № 6, № 7 (б).
У р о к 2 (2)Допустимые значения переменных,входящих в дробное выражение
Цели: формировать умение находить допустимые значения переменных, входящих в дробные выражения.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
– Подставьте вместо * какое-нибудь число и назовите полученную дробь:
а) ;б) ;в) ;г) ;
д) ;е) ;ж) ;з) .
III. Объяснение нового материала.
Объяснение нового материала происходит в т р и э т а п а:
1. Актуализация знаний учащихся.
2. Рассмотрение вопроса о том, всегда ли рациональная дробь имеет смысл.
3. Вывод правила нахождения допустимых значений переменных, входящих в рациональную дробь.
При актуализации знаний учащимся задаю следующиев о п р о с ы:
– Какую дробь называют рациональной?
– Всякая ли дробь является дробным выражением?
– Как найти значение рациональной дроби при заданных значениях входящих в неё переменных?
Для выяснения вопроса о допустимых значениях переменных, входящих в рациональную дробь, предлагаю учащимся выполнить задание.
З а д а н и е. Найдите значение дроби при указанных значениях переменной:
при х = 4; 0; 1.
Выполняя данное задание, учащиеся понимают, что при х = 1 невозможно найти значение дроби. Это позволяет им сделать следующий в ы в о д: в рациональную дробь нельзя подставлять числа, которые обращают её знаменатель в нуль (этот вывод должен быть сформулирован и произнесён вслух самими учащимися).
После этого сообщаю учащимися, что все значения переменных, при которых рациональное выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных.
Далее ставится вопрос: как находить допустимые значения переменных? При поиске ответа на этот вопрос учащиеся должны сформулировать р я д в о п р о с о в:
1) Если выражение является целым, то все значения входящих в него переменных будут допустимыми.
2) Чтобы найти допустимые значения переменных дробного выражения, нужно проверить, при каких значениях знаменатель обращается в нуль. Найденные числа не будут являться допустимыми значениями.
IV. Формирование умений и навыков.
1. № 10, № 11.
Ответ на вопрос о допустимых значениях переменных, входящих в дробное выражение, может звучать по-разному. Например, рассматривая рациональную дробь , можно сказать, что допустимыми значениями переменной являются все числа, кроме х = 4, или что в допустимые значения переменной не входит число 4, то есть х ≠ 4.
И та и другая формулировки являются верными, главное – следить за правильностью оформления.
О б р а з е ц о ф о р м л е н и я:
№ 11.
г)
4х (х + 1) = 0
4х = 0 или
х = 0 х + 1 = 0
х = –1
О т в е т: х ≠ 0 и х ≠ 1 (или все числа, кроме 0 и –1).
2. № 13.
3. № 14 (а, в), № 15.
При выполнении этих заданий обращаю внимание учащихся на необходимость учёта допустимых значений переменных.
№ 15.
г)
х (х + 3) = 0
х = 0 или 2х + 6 ≠ 0
х = –3 х ≠ –3
О т в е т: х = 0.
4. № 17.
Слежу за обоснованием всех рассуждений.
В классе с высоким уровнем подготовки можно дополнительно выполнить № 18 и № 20.
№ 18.
Р е ш е н и е
а) .
Из всех дробей с одинаковым положительным числителем большей будет та, у которой знаменатель является наименьшим. То есть необходимо найти, при каком значении а выражение а2 + 5 принимает наименьшее значение.
Поскольку выражение а2 не может быть отрицательным ни при каких значениях а, то выражение а2 + 5 будет принимать наименьшее значение при а = 0.
О т в е т: а = 0.
б) .
Рассуждая аналогично, получим, что необходимо найти то значение а, при котором выражение (а – 3)2 + 1 принимает наименьшее значение.
О т в е т: а = 3.
№ 20.
Р е ш е н и е
.
Для ответа на вопрос предварительно нужно преобразовать выражение, стоящее в знаменателе дроби.
.
Дробь будет принимать наибольшее значение, если выражение (2х ++ у)2 + 9 принимает наименьшее значение. Поскольку (2х + у)2 не может принимать отрицательные значения, то наименьшее значение выражения (2х + у)2 + 9 равно 9.
Тогда значение исходной дроби равно = 2.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Какие значения называются допустимыми значениями переменных, входящих в выражение?
– Каковы допустимые значения переменных целого выражения?
– Как найти допустимые значения переменных дробного выражения?
– Существуют ли рациональные дроби, для которых все значения переменных являются допустимыми? Приведите примеры таких дробей.
Домашнее задание: № 12, № 14 (б, г), № 212.
Д о п о л н и т е л ь н о: № 19.
У р о к 1 (3) основное свойство дроби
Цели: вывести основное свойство дроби, формировать умение его применять.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Проверочная работа.
В а р и а н т 1
1. Найдите значение дроби при а = 12, с = –2.
2. Найдите значение переменной, при котором значение дроби равно нулю. Сделайте проверку.
3. Найдите допустимые значения переменной в выражении:
а) ;б) ;в) .
В а р и а н т 2
1. Найдите значение дроби при х = –4, у = –16.
2. Найдите значение переменной, при котором значение дроби равно нулю. Сделайте проверку.
3. Найдите допустимые значения переменной в выражении:
а) ;б) ;в) .
III. Объяснение нового материала.
Изложение материала начинаю с актуализации знаний о сокращении обыкновенных дробей и приведении их к общему знаменателю.
В о п р о с ы и з а д а н и я учащимся:
1. Что значит сократить дробь?
– Сократим дробь . Для этого разделим числитель и знаменатель на их общий множитель.
.
– Сократите дроби: .
2. Как привести дробь к новому знаменателю?
– Приведём дробь к знаменателю 28. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на 4:
.
– Приведите дроби к знаменателю 60.
3. Каким свойством мы воспользовались при сокращении дробей и приведении дробей к новому знаменателю? Сформулируйте основное свойство дроби.
После этого перехожу к буквенной записи основного свойства дроби, которую записываю на доске:
Далее выделяю д в а т и п а з а д а н и й, при выполнении которых применяется основное свойство дроби:
– приведение дробей к новому знаменателю;
– сокращение дробей.
На этом уроке главное, чтобы учащиеся осознали, в чём состоит основное свойство дроби и научились применять его при выполнении несложных заданий. Задания на сокращение дробей, в которых необходимо разложить на множители числитель и знаменатель, рассмотрю на следующем уроке.
Поэтому для демонстрации примеров применения основного свойства дроби использую:
1) пример 1 из учебника (приведение дроби к новому знаменателю);
2) (сокращение дроби).
Остальные примеры пока не рассматриваю.
IV. Формирование умений и навыков.
1. Умножьте числитель и знаменатель дроби на указанное число.
а) на 5;б) на 2;в) на 6.
2. Разделите числитель и знаменатель дроби на указанное число:
а) на 2;б) на 3;в) на 5.
3. Заполните пустые места так, чтобы равенство было верным:
1) ;2) ;3) ;
4) ;5) ;6) .
4. № 23, № 25(а, в, д), № 26, № 28 (а, б).
5. № 47.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– В чём состоит основное свойство рациональной дроби?
– Что такое тождество?
– Когда применяется основное свойство дроби?
Домашнее задание: № 24, № 25 (б, г, е), № 28 (в, г), № 48.
У р о к 2 (4)Сокращение дробей
Цели: формировать умение применять основное свойство дроби при сокращении дробей.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
– Сократите дробь:
а) ;б) ;в) ;г) ;
д) ;е) ;ж) ;з) .
III. Объяснение нового материала.
Для успешной работы учащихся на уроке им необходимо не только использовать основное свойство дроби, но и применять ряд других знаний и умений, полученных и сформированных ранее.
Учащиеся должны помнить формулы сокращенного умножения и основные приёмы разложения многочлена на множители. Поэтому начинаю с актуализации знаний и умений.
З а д а н и я и в о п р о с ы учащимся:
1. Какие существуют способы разложения многочлена на множители?
2. В чём состоит каждый из этих способов?
3. Разложите на множители многочлен:
а) х2у – 2х;д) х2 + 6х + 9;
б) 3a2b – 9ab2;е) а2 – 10а + 25;
в) т2 – 4п;ж) ax + bx + ay + by.
г) а3 – а;з) ab – b + 3a – 3.
После проведения этой работы следует разбираю пример 3 из учебника и делаю в ы в о д: чтобы сократить рациональную дробь, нужно сначала разложить на множители её числитель и знаменатель.
IV. Формирование умений и навыков.
1. № 29, № 30 (а, в, д), № 32 (а, в).
2. № 31, № 34.
3. № 35 (а, в).
Р е ш е н и е
а) .
в) .
Д о п о л н и т е л ь н о можно выполнить № 36 (а).
Р е ш е н и е
Областью определения этой функции является множество всех чисел, кроме х = –5. Сократим дробь, задающую функцию:
.
Графиком функции является прямая, а графиком функции – та же прямая, но с «выколотой» точкой (–5; –5).
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– В чём состоит основное свойство дроби?
– Когда применяется основное свойство дроби?
– Что нужно сделать, чтобы сократить рациональную дробь?
– Какие существуют способы разложения многочлена на множители?
Домашнее задание: № 30 (б, г, е), № 32 (б, г), № 33, № 35 (б, г).
У р о к 3 (5)Следствие из основного свойства дроби
Цели: продолжить формирование умения сокращать дроби; вывести следствие из основного свойства дроби и формировать умение его применять при сокращении дробей.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
– Сократите дробь:
а) ;б) ;в) ;г) ;
д) ;е) ;ж) ;з) .
III. Проверочная работа.
В а р и а н т 1
1. Приведите дроби к указанному знаменателю:
а) ;б) ;в) .
2. Сократите дробь:
а) ;б) .
В а р и а н т 2
1. Приведите дроби к указанному знаменателю:
а) ;б) ;в) .
2. Сократите дробь:
а) ;б) .
IV. Объяснение нового материала.
Специальное внимание на этом уроке уделяю следствию из основного свойства дроби.
При объяснении материала провожу аналогию с обыкновенными дробями. Для этого предлагаю учащимся выполнить з а д а н и е: среди данных дробей найти такие, которые равны ; ответ объяснить.
.
Здесь же следует вспомнить, что «минус» перед дробью можно записывать как перед числителем, так и перед знаменателем. Для этого даю учащимся такое задание: среди данных дробей найти такие, которые равны ; ответ объяснить.
.
После выполнения этих заданий перехожу к буквенной записи следствия из основного свойства дроби:
Необходимо, чтобы учащиеся знали и осознавали формулировку этого следствия. В случае затруднений можно продемонстрировать практическое применение следствия и дать его более прикладную к задачам формулировку:
1. «Минус» перед дробью можно вносить либо в числитель, либо в знаменатель дроби.
П р и м е р:
.
.
2. «Минус» из числителя или знаменателя дроби можно выносить за знак дроби.
П р и м е р:
.
.
V. Формирование умений и навыков.
1. № 38, № 39.
2. № 40 (а, в, д, ж), № 41, № 44 (а, в).
При выполнении № 44 учащиеся могут допустить ошибку, вынося за скобки общий множитель. Поэтому следует привести подробную запись преобразований:
а) .
в) .
3. № 43.
В классе с высоким уровнем подготовки можно дополнительно выполнить № 46.
Р е ш е н и е
а) .
Сначала необходимо сократить данную дробь, вынося в числителе и знаменателе за скобки общий множитель.
.
Таким образом, каким бы ни было п, данная дробь принимает значение , то есть значение дроби не зависит от п.
б)
.
VI. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– В чём состоит основное свойство дроби?
– Сформулируйте следствие из основного свойства дроби.
– Как применяется это следствие при преобразовании дробей?
Домашнее задание: № 40 (б, г, е, з), № 44 (б, г), № 42.
Д о п о л н и т е л ь н о: № 45.
У р о к 1 (6)Правило сложения и вычитания дробейс одинаковыми знаменателями
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
– Вычислите:
а) ;б) ;в) ;г) ;
д) ;е) ;ж) ;з) .
III. Объяснение нового материала.
Устная работа дает возможность актуализировать знания учащихся о сложении и вычитании обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями.
После этой работы сообщаю учащимся, что рациональные дроби с одинаковыми знаменателями складываются и вычитаются по тем же правилам, которые учащиеся способны сформулировать самостоятельно.
После формулировки правил на доску выносится их буквенная запись:
и .
Далее рассмотриваю примеры 1–3 из учебника. Вопрос о сложении и вычитании дробей с противоположными знаменателями целесообразно рассмотреть на следующем уроке.
IV. Формирование умений и навыков.
1. № 53, № 55, № 57.
При вычитании дробей учащиеся могут допускать распространенную ошибку: не учитывать, что «минус» перед дробью вносится в числитель, и неправильно расставлять знаки.
Поэтому важно следить, чтобы первое время учащиеся вели подробные записи.
№ 57.
в)
= .
2. № 58 (а), № 59 (а).
3. № 60.
Р е ш е н и е
= .
При а = –0,8 дробь равна –4, то есть данное в условии значение b является лишним.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Сформулируйте правило сложения рациональных дробей с одинаковыми знаменателями.
– Сформулируйте правило вычитания рациональных дробей с одинаковыми знаменателями.
Домашнее задание: № 54, № 56, № 59 (б).
У р о к 2 (7)Сложение и вычитание дробейс противоположными знаменателями
Цели: формировать умение складывать и вычитать рациональные дроби с противоположными знаменателями.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
– Вычислите:
а) ;д) ;
б) ;е) ;
в) ;ж) ;
г) ;з) .
III. Объяснение нового материала.
Сначала необходимо, чтобы учащиеся вспомнили следствие из основного свойства дроби, и предлагаю им выполнить задание, в котором нужно поменять знак числителя или знаменателя рациональной дроби.
а) ;в) ;
б) ;г) .
Затем демонстрирую пример 4 из учебника и сделаю вывод о том, как сложить или вычесть две рациональные дроби с противоположными знаменателями.
IV. Формирование умений и навыков.
1. Выполните сложение или вычитание дробей:
а) ;в) ;
б) ;г) .
2. № 61, № 63.
3. Преобразуйте выражение:
а) ;
б) ;
в) ;
4. № 66.
5. № 68.
Р е ш е н и е
.
Полученное выражение принимает натуральные значения, если дробь является натуральным числом, то есть когда 6 делится на п. Значит, п = 1; 2; 3; 6.
О т в е т: 1; 2; 3; 6.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Сформулируйте правило сложения и вычитания рациональных дробей с одинаковыми знаменателями.
– Как выполнить сложение или вычитание рациональных дробей, знаменатели которых являются противоположными выражениями?
Домашнее задание: № 62, № 64, № 67.
Д о п о л н и т е л ь н о: № 69.
У р о к 1 (8)Правило сложения и вычитания дробейс разными знаменателями
Цели: формировать умение приводить рациональные дроби к общему знаменателю и выполнять их сложение и вычитание.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Проверочная работа.
В а р и а н т 1
Выполнить сложение и вычитание дробей:
а) ;г) ;
б) ;д) .
в) ;
В а р и а н т 2
Выполнить сложение и вычитание дробей:
а) ;г) ;
б) ;д) .
в) .
III. Устная работа.
– Найдите наименьший общий знаменатель дробей:
а) и ;е) и ;
б) и ;ж) и ;
в) и ;з) и ;
г) и ;и) и 0,1;
д) и ;к) и .
IV. Объяснение нового материала.
Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю зачастую вызывает у учащихся трудности. При объяснении этого вопроса использую аналогию с обыкновенными дробями.
В процессе проведения устной работы у учащихся была возможность вспомнить, как найти общий знаменатель обыкновенных дробей. После устной работы следует выделить три случая, которые возникают при нахождении общего знаменателя, и привести аналогичные примеры с алгебраическими дробями.
С л у ч а й 1. Знаменатели дробей не имеют общих делителей.
В этом случае наименьший общий знаменатель равен произведению знаменателей дробей.
О б ы к н о в е н н ы е д р о б и:
.
Р а ц и о н а л ь н ы е д р о б и:
1) .
2)
= .
С л у ч а й 2. Знаменатель одной из дробей является делителем знаменателя второй дроби.
В этом случае знаменатель, который делится на другой, является наименьшим общим знаменателем дробей.
О б ы к н о в е н н ы е д р о б и:
.
Р а ц и о н а л ь н ы е д р о б и:
1) ;
2) .
С л у ч а й 3. Знаменатели дробей имеют общие делители, но знаменатель одной из дробей не является делителем знаменателя другой дроби.
В этом случае наименьший знаменатель состоит из нескольких множителей: общего делителя дробей и результатов деления на этот делитель.
О б ы к н о в е н н ы е д р о б и:
.
Р а ц и о н а л ь н ы е д р о б и:
1) ;
2)
= .
V. Формирование умений и навыков.
1. № 73, № 75, № 76.
2. № 78 (а, г), № 79 (б, г).
3. № 84 (а, в, д), № 85 (а, в).
При выполнении № 85 учащиеся впервые будут складывать и вычитать дроби, в которых для нахождения общего знаменателя необходимо сначала разложить на множители знаменатели исходных дробей. Важно, чтобы учащиеся осознавали это и использовали в дальнейшем при выполнении действий с рациональными дробями.
№ 85.
в)
= .
VI. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Как найти общий знаменатель дробей, если их знаменатели не имеют общих делителей?
– Как найти общий знаменатель дробей, если знаменатель одной дроби является делителем знаменателя другой дроби?
– Как найти общий знаменатель дробей, знаменатели которых имеют общий делитель, не совпадающий ни с одним из знаменателей этих дробей?
Домашнее задание: № 74, № 77, № 84 (б, г, е), № 85 (б, г).
У р о к 2 (9)Сложение и вычитание дробейс разными знаменателями
Цели: продолжить формирование умения складывать и вычитать рациональные дроби с разными знаменателями.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
– Найдите общий знаменатель дробей:
а) и ;е) и ;
б) и ;ж) и ;
в) и ;з) и ;
г) и ;и) и ;
д) и ;к) и .
III. Формирование умений и навыков.
1. № 86 (а, в), № 87, № 88.
2. № 92, № 93.
3. И г р а «Дешифровщик».
Учитель. Помимо христианства и ислама, существует еще такая религия, как буддизм. Эта религия возникла в Древней Индии в VI–V веках до нашей эры. Сейчас буддизм распространен в Азии, его приверженцами являются несколько сотен миллионов человек.
В отличие от других культов, священнослужителями здесь могут стать и мужчины, и женщины. Если вы верно упростите выражения и замените результаты соответствующими буквами, то узнаете, как называют буддийского священнослужителя.
1) .
Б. ;М. ;
Д. ;Н. .
2) .
А. ;О. ;
И. ;У. .
3) .
Д. ;М. ;
Н. ;Р. .
4) .
А. ;З. ;
И. ;К. .
5) .
А. ;О. ;
И. ;У. .
О т в е т: БОНЗА.
Некоторым сильным в учебе учащимся можно дать задание по карточкам.
К а р т о ч к а № 1
1. Упростить выражение:
.
2. Вычислить значение выражения при х = 3,1:
.
К а р т о ч к а № 2
1. Упростить выражение:
.
2. Вычислить значение выражения при а = 4,5:
.
Р е ш е н и е з а д а н и й карточки № 1
1)
.
2)
.
При х = 3,1: = 10.
Р е ш е н и е з а д а н и й карточки № 2
1)
.
2)
.
IV. Проверочная работа.
В а р и а н т 1
Упростить выражение:
а) ;г) ;
б) ;д) .
в) ;
В а р и а н т 2
Упростить выражение:
а) ;г) ;
б) ;д) .
в) ;
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Как найти общий знаменатель двух рациональных дробей?
– Как найти общий знаменатель трёх и более рациональных дробей?
– Как выполнить сложение или вычитание рациональных дробей с разными знаменателями?
Домашнее задание: № 86 (б, г), № 89, № 94.
Д о п о л н и т е л ь н о: № 102.
У р о к 3 (10)Сложение и вычитание рациональной дробии целого выражения
Цели: формировать умение выполнять сложение и вычитание рациональных дробей и целых выражений; продолжить формирование умения преобразовывать рациональные дроби.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
– Вычислите:
а) ;е) ;
б) ;ж) ;
в) ;з) ;
г) ;и) ;
д) ;к) .
III. Объяснение нового материала.
При объяснении использую аналогию с числовыми выражениями.
Вначале предлагаю учащимся выполнить сложение:
2 + abИм известно, что любое целое число может быть представлено в виде дроби со знаменателем 1.
Поэтому . Очевидно, что общим знаменателем этих дробей будет b.
Имеем: .
Заметим, что принцип сложения и вычитания рациональной дроби и целого числа учащиеся могли увидеть и при выполнении устной работы.
Далее обратить внимание учащихся, что любой многочлен может быть также представлен в виде рациональной дроби со знаменателем 1. В этом и состоит основная идея сложения и вычитания рациональных дробей и целых выражений.
П р и м е р 1.
.
П р и м е р 2.
.
После приведения этих примеров предложить учащимся сделать вывод о том, как складываются (вычитаются) рациональные дроби с целыми выражениями.
IV. Формирование умений и навыков.
Все з а д а н и я можно разбить на д в е г р у п п ы:
– задания на сложение (вычитание) рациональных дробей с целыми выражениями;
– задания на различные более сложные преобразования дробно-рациональных выражений.
1-я г р у п п а.
1. № 80, № 82.
2. № 90 (а, в, д).
2-я г р у п п а.
1. № 96 (б, г), № 97 (а, в), № 98 (а).
2. № 91 (а).
Р е ш е н и е
.
3. № 99 (а).
Р е ш е н и е
Чтобы доказать тождественное равенство данных выражений, нужно преобразовать их.
;
.
Значит, данные выражения тождественно равны.
4. Запишите данные дроби в виде суммы целого выражения и дроби.
а) ;б) .
Р е ш е н и е
а) .
б)
.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Как ищется общий знаменатель рациональных дробей?
– Как выполнить сложение или вычитание двух рациональных дробей с разными знаменателями?
– Как выполнить сложение или вычитание рациональной дроби и целого выражения?
Домашнее задание: № 81, № 83, № 90 (б, г, е), № 91 (б), № 97 (б, г).
У р о к 11 Контрольная работа № 1
В а р и а н т 1
1. Сократить дробь:
а) ;б) ;в) .
2. Представить в виде дроби:
а) ;б) ;в) .
3. Найти значение выражения:
при а = 0,2; b = –5.
4. Упростить выражение:
.
5. При каких целых значениях а является целым числом значение выражения ?
В а р и а н т 2
1. Сократить дробь:
а) ;б) ; в) .
2. Представить в виде дроби:
а) ;б) ;в) .
3. Найти значение выражения:
при х = –8, у = 0,1.
4. Упростить выражение:
.
5. При каких целых значениях b является целым числом значение выражения ?
В а р и а н т 3
1. Сократить дробь:
а) ;б) ;в) .
2. Представить в виде дроби:
а) ;б) ;в) .
3. Найти значение выражения:
при b = 0,5; c = –14.
4. Упростить выражение:
.
5. При каких целых значениях р является целым числом значение выражения ?
В а р и а н т 4
1. Сократить дробь:
а) ;б) ;в) .
2. Представить в виде дроби:
а) ;б) ;в) .
3. Найти значение выражения:
при р = –0,35, q = 28.
4. Упростить выражение:
.
5. При каких целых значениях х является целым числом значение выражения ?
Решение вариантов контрольной работы
В а р и а н т 1
1. а) ; б) ;
в) .
2. а) ;
б) ;
в) .
3. ,
при а = 0,2, b = –5: = 25.
4.
.
5. .
Чтобы исходное выражение принимало целые значения, нужно, чтобы было целым числом.
О т в е т: ±1; ±5.
В а р и а н т 2
1. а) ; б) ;
в) .
2. а)
;
б) ;
в) .
3. ,
при х = –8, у = 0,1: = –40.
4.
.
5. .
О т в е т: ±1; ±5.
В а р и а н т 3
1. а) ; б) ;
в) .
2. а)
;
б) ;
в) .
3. ,
при b = 0,5; c = –14: = 4.
4.
.
5.
.
О т в е т: ±1; ±3.
В а р и а н т 4
1. а) ; б) ;
в) .
2. а)
;
б) ;
в) .
3. ,
при р = –0,35, q = 28: = 20.
4.
.
5. .
О т в е т: ±1; ±7.
У р о к 1 (12)Правила умножения рациональных дробейи возведения их в степень
Цель: формировать умение умножать рациональные дроби и возводить их в степень.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
– Вычислите:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;
е) ; ж) ; з) ; и) ; к) .
III. Объяснение нового материала.
Объяснение проводить, используя аналогию с обыкновенными дробями.
В результате учащиеся должны проговаривать правила умножения рациональных дробей и возведения их в степень. Эти правила выносятся на доску.
После этого необходимо привести несколько примеров из учебника, показывающих применение данных правил.
IV. Формирование умений и навыков.
1. № 108, № 109, № 111 (а, г).
Важно следить за грамотностью и рациональностью выполнения этих заданий. Необходимо объяснить учащимся, что для простоты преобразования дробных выражений желательно в буквенном выражении на первое место ставить коэффициент и располагать буквы, содержащиеся в числителе и знаменателе дроби, в соответствующем порядке.
№ 109.
б) .
2. № 115, № 116.
3. № 112, № 114.
Д о п о л н и т е л ь н о можно выполнить № 118.
Р е ш е н и е
– Возведём обе части равенства а – = 2 в квадрат. Получим:
О т в е т: 14.
Некоторым сильным в учебе учащимся можно предложить работу по карточкам.
К а р т о ч к а № 1
1. Выполните умножение:
а) ; б) ; в) .
2. Найдите значение выражения:
при т = 2, п = –3.
К а р т о ч к а № 2
1. Выполните умножение:
а) ; б) ; в) .
2. Найдите значение выражения:
при с = 2, х = 6, у = –1.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Сформулируйте правило умножения рациональных дробей.
– Сформулируйте правило возведения рациональной дроби в степень.
– Как удобно располагать буквы и числа в числителе и знаменателе перемножаемых дробей?
Домашнее задание: № 110, № 111 (б, в), № 113, № 117.
У р о к 2 (13)Преобразование дробных выражений,содержащих действие умножения
Цели: продолжить формирование умения выполнять умножение рациональных дробей.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
– Выполните действия:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;
е) ; ж) ; з) ; и) ; к) .
III. Формирование умений и навыков.
Если на прошлом уроке учащиеся выполняли задания на непосредственное применение правила умножения рациональных дробей, то на этом уроке задания направлены ещё и на сокращение полученных при умножении дробей.
1. № 119 (а, в, д), № 121.
2. № 120 (а, в), № 123, № 125.
Р е ш е н и е
№ 123 (г).
.
№ 125 (б).
.
3. № 127.
Р е ш е н и е
б)
.
г) .
4. Дополнительно.
– Упростите выражение:
а) , где т и п – натуральные числа.
б) , где п – натуральное число.
Р е ш е н и е
а) .
б)
.
IV. Самостоятельная работа с последующей проверкой.
Учащиеся выполняют задания, отдельно выписывая ответы. После окончания работы обмениваются вариантами и проверяют работу соседа по парте, сравнивая полученные ответы с верными, которые записаны учителем заранее на откидной части доски.
В а р и а н т 1
Выполнить действия:
1) ;6) ;
2) ;7) ;
3) ;8) ;
4) ;9) ;
5) ;10) .
О т в е т ы:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4xy2 6axy
В а р и а н т 2
Выполнить действия:
1) ;6) ;
2) ;7) ;
3) ;8) ;
4) ;9) ;
5) ;10) .
О т в е т ы:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
За каждый верный ответ выставляется 1 балл.
К р и т е р и и о ц е н к и:
«5» – 10 баллов;
«4» – 8, 9 баллов;
«3» – 6, 7 баллов;
«2» – менее 6 баллов.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Сформулируйте правило умножения рациональных дробей.
– Какие знания и умения необходимы, чтобы сократить рациональную дробь, полученную в результате умножения?
Домашнее задание: № 119 (б, г, е), № 120 (б, г), № 124, № 126 (б, г).
У р о к 1 (14)Правило деления рациональных дробей
Цель: изучить правило деления рациональных дробей и формировать умение его применять.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
– Вычислите:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;
е) ; ж) ; з) ; и) ; к) .
III. Объяснение нового материала.
Объяснение проводить, используя аналогию с обыкновенными дробями. В результате учащиеся должны уметь формулировать правило деления рациональных дробей. Это правило выносится на доску:
После этого необходимо привести несколько примеров из учебника, показывающих применение этого правила.
IV. Формирование умений и навыков.
На этом уроке учащиеся отрабатывают правило деления рациональных дробей на простых примерах: если числитель и знаменатель делимых дробей являются одночленами.
1. № 132 (а, в, д, ж), № 133.
Как и при умножении дробей, выполняя деление, важно следить за рациональностью проводимых учащимися записей.
№ 133.
а) .
в) .
2. № 135.
3. Выполните действия:
а) ;г) ;
б) ;д) ;
в) ;е) .
Сильным в учебе учащимся можно дополнительно предложить выполнить задания по карточкам.
К а р т о ч к а № 1
Выполнить действия:
а) ;б) ;
в) .
К а р т о ч к а № 1
Выполнить действия:
а) ;б) ;
в) .
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Сформулируйте правило деления рациональных дробей.
– Как удобно располагать буквы и числа в числителе и знаменателе делимых дробей?
Домашнее задание: № 132 (б, г, е, з), № 134, № 136.
У р о к 2 (15)Преобразование дробных выражений,содержащих действие деления
Цели: продолжить формирование умения выполнять деление рациональных дробей.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
– Вычислите:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;
е) ; ж) ; з) ; и) ; к) .
III. Формирование умений и навыков.
На этом уроке учащиеся выполняют деление дробей, у которых числитель и (или) знаменатель являются многочленами, то есть им пригодится умение раскладывать многочлен на множители и сокращать дробь.
1. № 137 (а, в, д, ж), № 138.
2. № 139.
Р е ш е н и е
б) .
г) .
3. Выполните деление:
а) ;в) ;
б) ;г) .
Р е ш е н и е
б) .
г)
.
4. № 142.
Р е ш е н и е
б)
.
5. И г р а «Дешифровщик».
Учитель. Когда астрономы начали исследование Вселенной с помощью радиотелескопов, они обнаружили, что многие звёзды меняют интенсивность и частоту излучаемых ими волн.
Однако некоторые из звёзд испускают постоянный поток волн, который меняется только в зависимости от времени. Долгое время ученые не могли объяснить природу этого явления.
Говорили, например, что это – радиостанции, с помощью которых неизвестные нам разумные существа ищут во Вселенной собратьев по разуму.
Но исследования, проведенные с помощью искусственных спутников Земли, показали, что эти звёзды являются просто звёздами огромной величины и состоят из раскаленной материи.
Вы узнаете, как называются эти необычные звёзды, если правильно выполните все задания и составите слово из полученных букв.
Учащиеся выполняют задания по вариантам: первый вариант получает первую, третью, пятую и седьмую буквы данного слова, а второй – вторую, четвёртую, шестую и восьмую.
З а д а н и е: выполните действия.
В а р и а н т 1
1) .
Д. ;Н. ;
К. ;П. .
2) .
З. ;М. ;
Л. ;Р. .
3) .
К. ;С. ;
М. ;Т. .
4) .
Н. ;Т. ;
Р. ;Х. .
В а р и а н т 2
1) .
А. ;О. ;
Е. ;У. .
2) .
И. ;Ь. ;
У. ;Ю. .
3) .
А. ;О. ;
И. ;У. .
4) .
И. ;С. ;
Т. ;Ы. .
О т в е т: ПУЛЬСАРЫ.
IV. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Сформулируйте правило деления рациональных дробей.
– Что нужно сделать, чтобы сократить рациональную дробь?
– Какие существуют способы разложения многочлена на множители?
Домашнее задание: № 137 (б, г, е, з), № 140, № 141.
У р о к 1 (16)Совместные действия с рациональными дробями
Цели: формировать умение упрощать выражения, содержащие различные действия с рациональными дробями.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Проверочная работа.
В а р и а н т 1
Выполнить действия:
1) ;2) ;
3) ;4) .
В а р и а н т 2
Выполнить действия:
1) ;2) ;
3) ;3) .
III. Объяснение нового материала.
Учащиеся к данному моменту должны уметь выполнять все действия с рациональными дробями, поэтому задания на преобразование дробных выражений не должны вызывать у них затруднений.
Необходимо разобрать примеры 1 и 2 из учебника. Вопросы о преобразовании «многоэтажных» дробей и вычислении среднего гармонического ряда целесообразно рассмотреть на следующих уроках.
IV. Формирование умений и навыков.
На первых порах необходимо подсказывать учащимся, как рациональнее выполнять преобразования и как удобнее вести записи.
1. № 148 (а, в), № 149 (а, в), № 150 (а).
Важно, чтобы учащиеся осознали, что преобразования можно выполнять как по действиям, так и «цепочкой». Выбор способа зависит от особенностей дробных выражений, а также от личного желания учащихся.
Н а п р и м е р, выражение из № 148 (а) удобно преобразовывать «цепочкой»:
.
Выражение из № 150 (а) – выполнять по действиям:
.
1)
;
2) .
2. № 151 (а), № 152 (а, в).
3. № 153 (а, в).
Р е ш е н и е
а) .
1) ;
2) .
в) .
1)
.
2) ;
3) ;
4) .
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Как выполнить сложение или вычитание нескольких рациональных дробей?
– Сформулируйте правила умножения и деления рациональных дробей.
– Какими способами можно упрощать выражения, содержащие совместные действия с рациональными дробями?
Домашнее задание: № 148 (б, г), № 149 (б), № 151 (б), № 152 (б), № 153 (б, г).
У р о к 2 (17)Совместные действия с рациональными дробями
Цель: продолжить формирование умения выполнять преобразования на совместные действия с дробями.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
– Вычислите:
а) ;д) ;
б) ;е) ;
в) ;ж) ;
г) ;з) .
III. Формирование умений и навыков.
1. № 154 (а, в), № 159.
2. № 155.
Р е ш е н и е
б) .
1) ;
2)
;
3) .
3. № 161.
Р е ш е н и е
б) .
1)
;
2) ;
3) .
Таким образом, исходное выражение принимает значение –1 при любых значениях переменных х и у.
В классе с высоким уровнем подготовки можно выполнить некоторые более сложные задания.
4. № 157.
Р е ш е н и е
– Сначала упростим данное выражение.
.
1)
;
2) 0,5 (а – 1)2 – 18 = 0,5 (а2 – 2а + 1) – 18 = 0,5а2 – а + 0,5 – 18 =
= 0,5а2 – а – 17,5;
3)
.
Представим полученный многочлен в виде суммы квадрата двучлена и некоторого числа:
а2 – 2а + 37 = а2 – 2а + 1 – 1 + 37 = (а – 1)2 + 36.
Поскольку выражение (а – 1)2 неотрицательно при любом а, то выражение (а – 1)2 + 36 принимает наименьшее значение при а = 1, и это значение равно 36.
О т в е т: 36.
5. № 160 (а).
Р е ш е н и е
.
– Преобразуем выражение, стоящее в левой части равенства:
.
Таким образом, эти выражения тождественно равны.
Некоторым сильным в учебе учащимся можно дополнительно дать задания по карточкам.
К а р т о ч к а № 1
Упростить выражение:
.
Р е ш е н и е
1)
;
2)
;
3)
.
К а р т о ч к а № 2
Упростить выражение:
.
Р е ш е н и е
Данное выражение лучше преобразовать «цепочкой», при этом рациональнее будет сначала раскрыть скобки:
.
IV. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Как выполнить сложение или вычитание рациональных дробей?
– Сформулируйте правила умножения и деления рациональных дробей.
– Какими способами можно упрощать выражения, содержащие совместные действия с дробями?
Домашнее задание: № 154 (б, г), № 156, № 162.
Д о п о л н и т е л ь н о: № 158, № 160 (б).
У р о к 3 (18)Преобразование дробных выражений
Цель: формировать умение преобразовывать дроби, числитель и знаменатель которых являются дробными выражениями.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
– Вычислите:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) .
III. Проверочная работа.
В а р и а н т 1
Упростить выражение:
а) ;
б) .
В а р и а н т 2
Упростить выражение:
а) ; б) .
IV. Объяснение нового материала.
Учащиеся уже знакомы с аналогом изучаемых дробей – «многоэтажными» числовыми дробями. Они должны знать несколько приёмов упрощения таких выражений. Поэтому достаточно рассмотреть пример 3 из учебника.
V. Формирование умений и навыков.
1. № 163 (а, в).
2. № 164, № 168 (а).
3. № 166.
Р е ш е н и е
а) ;
б) .
В классе с высоким уровнем подготовки дополнительно можно выполнить № 169.
Р е ш е н и е
а) .
Чтобы это выражение имело смысл, необходимо потребовать от всех входящих в его запись знаменателей необращения в нуль, то есть:
1) х – 2 ≠ 0, откуда х ≠ 2;
2) 3 – ≠ 0
3(х – 2) – 1 ≠ 0
3х – 6 – 1 ≠ 0
3х ≠ 7
х ≠
О т в е т: х ≠ 2, х ≠ 2.
VI. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Сформулируйте правила действий с дробными выражениями.
– Какими способами можно преобразовать дробь, числитель и знаменатель которой является дробными выражениями?
Домашнее задание: № 163 (б, г), № 165, № 168 (б).
Д о п о л н и т е л ь н о: № 167
У р о к 4 (19)Нахождение среднего гармонического рядаположительных чисел
Цели: формировать умение отыскивать среднее гармоническое для ряда положительных чисел; продолжить формирование умения выполнять преобразования дробных выражений.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
1. Вычислите:
а) ;г) .
б) ;д) ;
в) ;е) .
2. Найдите среднее арифметическое чисел:
а) 7 и 10; б) 3,5 и 13; в) 0,5 и ; г) .
III. Объяснение нового материала.
Объяснение лучше начать с задачи на вычисление средней скорости, в которой данные будут числовыми.
З а д а ч а. Одну и ту же дистанцию лыжник прошёл сначала со скоростью 18 км/ч, а затем – со скоростью 20 км/ч. Какова была средняя скорость на всём пути?
Очень часто учащиеся допускают ошибку: находят среднюю скорость как среднее арифметическое данных скоростей. Важно, чтобы они осознали, что так отыскивать среднюю скорость нельзя.
Чтобы найти среднюю скорость, нужно разделить весь пройденный путь на общее время движения на этом пути. Если обозначить длину дистанции за S км, то в первый раз лыжник потратил на её прохождение ч, а второй – ч. Получим:
– Упростим полученное дробное выражение:
.
Таким образом, средняя скорость лыжника на всём пути была равна км/ч.
После того как учащиеся решат эту задачу, привести пример 4 из учебника, в котором показан общий вид решения подобных задач. Далее вводится понятие среднего гармонического ряда положительных чисел.
IV. Формирование умений и навыков.
На этом уроке учащиеся выполняют задания двух групп. В первой группе будут задачи на нахождение среднего гармонического ряда положительных чисел, а во второй – задания на преобразование дробных выражений.
1-я г р у п п а.
1. № 170 (а, в).
2. № 171, № 172.
3. № 173.
2-я г р у п п а.
1. № 248 (а, в).
2. № 247.
Р е ш е н и е
.
Таким образом, исходное выражение не зависит от значений a и b.
3. № 249 (б).
Р е ш е н и е
Чтобы выражение имело смысл, необходимо выполнение трёх условий:
1) х ≠ 0; 2) 1 – ≠ 0
≠ 1
х ≠ 1; 3) 1 – ≠ 0
≠ 1
1 – ≠ 1
≠ 0
О т в е т: х ≠ 0; х ≠ 1.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Сформулируйте правила действий с дробными выражениями.
– Как найти среднюю скорость движения на определённом участке пути?
– По какой формуле вычисляется среднее гармоническое ряда положительных чисел а1, а2, …, ап?
Домашнее задание: № 170 (б), № 250, № 251, № 248 (б, г).
У р о к 1 (20)Построение графика функции y = kxЦели: ввести понятие функции «обратная пропорциональность»; формировать умение строить график этой функции.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
– Выразите из формулы величину х:
а) y = x · z;г) 3а = сх;
б) а = b · x;д) y = 2xz;
в) t = 7x;е) p2 = –4tx.
III. Объяснение нового материала.
Объяснение проводится в н е с к о л ь к о э т а п о в.
1. В в е д е н и е ф у н к ц и и обратная пропорциональность.
Начать нужно с рассмотрения реальных процессов и ситуаций.
П р и м е р 1. Пешеходу надо пройти 12 км. Если он будет идти со скоростью V км/ч, то зависимость времени t, которое он затратит на весь путь, от скорости движения выражается формулой t = .
П р и м е р 2. Площадь прямоугольника равна 60 см2, а одно из его измерений равно а см. Тогда второе измерение можно найти по формуле b = .
П р и м е р 3. Количество товара т, которое можно купить на одну и ту же сумму денег в 500 р., зависит от его стоимости Р (в рублях). Эта зависимость выражается формулой т = .
Полученные в примерах формулы выносятся на доску:
Далее спросить учащихся, что общего имеют все данные формулы. После этого записать полученные зависимости в общем виде:
y =
Заметить, что в данной формуле величины находятся в обратно пропорциональной зависимости, поэтому функцию y = называют обратной пропорциональностью.
На доску выносится з а п и с ь:
Функция, заданная формулой вида y = kx, где k ≠ 0,называется обратной пропорциональностью.
Полезно предложить учащимся устное задание, проверяющее правильность усвоения новой функции.
З а д а н и е. Укажите, какие из функций являются обратной пропорциональностью.
а) y = ;д) y = ;
б) у = 2х – 1;е) y = ;
в) y = ;ж) y = ;
г) y = x;з) y = .
2. График функции y = kx.
Подробно остановиться на вопросе построения графика функцииy = 12x. По этому графику описать некоторые свойства функции. Затем построить график функции y = - 12x и сопоставить его с графиком функции y = 12x.
После этого полезно сделать вывод о расположении гиперболы в зависимости от коэффициента k, то есть выполнить № 192. После его выполнения желательно, чтобы учащиеся занесли в тетрадь следующую иллюстрацию:
Функция y = kxГрафик – гипербола
IV. Формирование умений и навыков.
1. № 179, № 182.
2. Графиком какой из функций y = x, y = , y = является гипербола? Постройте эту гиперболу.
3. № 185.
4. № 181.
Сильным в учебе учащимся можно предложить выполнить дополнительно № 257 (а, д).
Р е ш е н и е
а) Для построения графика функции y = необходимо рассмотреть два случая. При х > 0 данная функция совпадает с функцией y = , а при х < 0 – с функцией y = . Поэтому получим график:
д) y = .
Рассуждая аналогично, получим график:
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Функция какого вида называется обратной пропорциональностью?
– Что является графиком функции y = ?
– В каких координатных четвертях расположен график функции y = в зависимости от k?
– Какова область определения функции y = ?
Домашнее задание: № 180, № 184, № 193.
Д о п о л н и т е л ь н о: № 257 (б, г).
У р о к 2 (21)Функция y = и её график в решенииразличных задач
Цель: продолжить формирование умения использовать понятие, свойства и график функции y = при решении различных задач.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Даны функции:
y = ;y = x;y = ;y = ;
y = ;y = ;y = ;y = .
– Какие из них являются обратной пропорциональностью? Среди таких функций найдите те, которые:
а) расположены в I и III координатных четвертях;
б) расположены в II и IV координатных четвертях;
в) положительны на промежутке (0; +∞);
г) отрицательны на промежутке (0; +∞).
III. Проверочная работа.
В а р и а н т 1
Дана функция y = .
а) Найдите значение у, соответствующее значению х, равному 2; 8; –1; –7.
б) Найдите значение х, которому соответствует значение у, равное 2; –1; –8.
в) Постройте график этой функции.
г) Укажите, при каких значениях х функция принимает положительные значения.
В а р и а н т 2
Дана функция y = .
а) Найдите значение у, соответствующее значению х, равному 2; 8; –3; –9.
б) Найдите значение х, которому соответствует значение у, равное –3; 1; 12.
в) Постройте график этой функции.
г) Укажите, при каких значениях х функция принимает положительные значения.
IV. Формирование умений и навыков.
1. № 183, № 190 (в).
2. № 191.
3. № 186 (а), № 187.
В классе с высоким уровнем подготовки можно выполнить несколько дополнительных заданий, связанных с использованием графика функций y = при решении уравнений.
4. № 188.
Р е ш е н и е
Предложить учащимся проиллюстрировать каждый из случаев.
а) б)
одно решение одно решение
в) г)
два решения нет решений
5. № 261.
Р е ш е н и е
Если ответ на вопрос будет положительным, то необходимо показать его на рисунке.
а) Графики функций y = и y = kx + b могут пересекаться только в одной точке. В этом случае прямая касается одной из ветвей гиперболы.
б) Прямая может пересекать гиперболу в двух точках.
в) Прямая не может пересекать гиперболу в трёх точках. Это утверждение можно доказать, решая соответствующее уравнение: = ax + b.
Преобразовав это уравнение, получим квадратное уравнение ax2 + bx –– k = 0, которое не может иметь более двух корней.
Значит, графики функций y = и y = kx + b не могут пересекаться в трёх точках.
Найдите координаты какой-нибудь точки, принадлежащей графику функции y = и находящейся от оси х на расстоянии меньшем, чем 0,1.
Р е ш е н и е
Сначала необходимо изобразить схематически график функции y = и прямые у = 0,1 и у = –0,1, поскольку точки, находящиеся от оси х на расстоянии 0,1, лежат на этих прямых.
Прямые у = 0,1 и у = –0,1 пересекут ветви гиперболы в точках А и В, которые находятся от оси х на расстоянии, равном 0,1. Очевидно, что все точки на гиперболе, расположенные правее точки А, будут ближе к оси х, значит, находятся на расстоянии, меньшем 0,1. То же самое можно сказать обо всех точках гиперболы, находящихся левее точки В.
Найдем абсциссу точки А:
0,1 = , откуда х = 50.
Таким образом, для нахождения искомых точек можно брать те точки, абсциссы которых больше 50. Аналогично получаем, что для левой ветви гиперболы такими точками будут те, абсциссы которых меньше –50.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Как называется функция y = ? Что является ее графиком?
– В каких четвертях расположен график функции y = ?
– Какова область определения функции y = ?
Домашнее задание: № 186 (б), № 189, № 190 (б).
Д о п о л н и т е л ь н о: № 262.
У р о к 22Контрольная работа № 2
В а р и а н т 1
1. Представьте в виде дроби:
а) ;б) ;
в) ;г) .
2. Постройте график функции y = . Какова область определения функции? При каких значениях х функция принимает отрицательные значения?
3. Докажите, что при всех значениях b ≠ ±1 значение выражения не зависит от b.
4. При каких значениях а имеет смысл выражение ?
В а р и а н т 2
1. Представьте в виде дроби:
а) ;б) ;
в) ;г) .
2. Постройте график функции y = . Какова область определения функции? При каких значениях х функция принимает положительные значения?
3. Докажите, что при всех значениях х ≠ ±2 значение выражения не зависит от х.
4. При каких значениях b имеет смысл выражение ?
В а р и а н т 3
1. Представьте в виде дроби:
а) ;б) ;
в) ;г) .
2. Постройте график функции y = . Какова область определения функции? При каких значениях х функция принимает положительные значения?
3. Докажите, что при всех значениях y ≠ ±3 значение выражения не зависит от у.
4. При каких значениях х имеет смысл выражение ?
В а р и а н т 4
1. Представьте в виде дроби:
а) ;б) ;
в) ;г) .
2. Постройте график функции y = . Какова область определения функции? При каких значениях х функция принимает отрицательные значения?
3. Докажите, что при всех значениях a ≠ ±5 значение выражения не зависит от а.
4. При каких значениях у имеет смысл выражение ?
Решение вариантов контрольной работы
В а р и а н т 1
1. а) ; б) ;
в) ;
г)
.
2. y = .
х 1 2 3 6 –1 –2 –3 –6
у 6 3 2 1 –6 –3 –2 –1
Область определения функции: (–∞; 0) (0; +∞).
Функция принимает отрицательные значения при х (–∞; 0).
3. Упростим данное выражение: .
1)
;
2) ;
3) = 2.
Таким образом, при любом значении b данное выражение равно 2, то есть не зависти от b.
4. Чтобы выражение имело смысл, должны выполняться два условия:
1) 4а – 6 ≠ 0 2) 3 + ≠ 0
4а ≠ 6
а ≠ 1,5 12а – 18 + 21 ≠ 0
12а ≠ –3
а ≠
О т в е т: а ≠ 1,5; а ≠ .
В а р и а н т 2
1. а) ;
б) ;
в) ;
г)
.
2. y = .
х 1 2 3 6 –1 –2 –3 –6
у –6 –3 –2 –1 6 3 2 1
Область определения функции: (–∞; 0) (0; +∞).
Функция принимает положительные значения при х (–∞; 0).
3. Упростим данное выражение:
.
1)
;
2) ;
3) = 0.
Таким образом, при любом значении х данное выражение равно нулю, то есть не зависит от х.
4. Чтобы выражение имело смысл, должны выполняться два условия:
1) 3 – 2b ≠ 0 2) 2 – ≠ 0
2b ≠ 3
b ≠ 1,5 6 – 4b – 4 ≠ 0
4b ≠ 2
b ≠ 0,5
О т в е т: b ≠ 0,5; b ≠ 1,5.
В а р и а н т 3
1. а) ;
б) ;
в) ;
г)
.
2. y = .
х 1 2 4 –1 –2 –4
у 4 2 1 –4 –2 –1
Область определения функции: (–∞; 0) (0; +∞).
Функция принимает положительные значения при х (0; +∞).
3. Упростим выражение:
.
1)
;
2) ;
3) = 3.
Таким образом, при любом значении у данное выражение равно 3, то есть не зависит от у.
4. Чтобы выражение имело смысл, должны выполняться два условия:
1) 10 – 5х ≠ 0 2) 1 – ≠ 0
5х ≠ 10
х ≠ 2 10 – 5х – 6 ≠ 0
5х ≠ 4
х ≠
О т в е т: х ≠ 2; х ≠ .
В а р и а н т 4
1. а) ;
б) ;
в) ;
г)
.
2. y = .
х 1 2 4 –1 –2 –4
у –4 –2 –1 4 2 1
Область определения функции: (–∞; 0) (0; +∞).
Функция принимает отрицательные значения при х (0; +∞).
3. Упростим данное выражение:
.
1)
.
2) .
3) = 2.
Таким образом, при любом значении а данное выражение равно 2, то есть не зависит от a.
4. Чтобы выражение имело смысл, должны выполняться два условия:
1) 6 + 2у ≠ 0 2) 2 – ≠ 0
2у ≠ –6
у ≠ –3 12 + 4у – 7 ≠ 0
4у ≠ –5
у ≠
О т в е т: у ≠ –3; у ≠ .
У р о к 23Рациональные числа
Цели: изучить множество рациональных чисел; формировать умение сравнивать рациональные числа и представлять их в виде бесконечных десятичных дробей.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
1. Сравните числа:
а) 0,07 и 0,123;г) - 223 и –2,1;
б) 114 и 1,02;д) 0,913 и 0,91;
в) –3,72 и –3,6; е) 6,7 и 617.
2. Переведите обыкновенную дробь в десятичную:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .
III. Объяснение нового материала.
Объяснение проводится в н е с к о л ь к о э т а п о в.
1. В в е д е н и е м н о ж е с т в а рациональных чисел.
Рассмотреть, как происходит расширение числовых множеств от натуральных до рациональных чисел. Для наглядности на доске можно изобразить вложение одних множеств в другие.
З а д а н и е. Определить, к какому множеству принадлежит каждое из чисел:
7; –5; 23; –6,1; –100; –1712.
2. П р е д с т а в л е н и е рациональных чисел в виде обыкновенных дробей.
Показать, что любое рациональное число может быть представлено в виде дроби (m Z, n N) различными способами.
3. П р е д с т а в л е н и е рациональных чисел в виде десятичных дробей.
Показать, как с помощью деления уголком любое рациональное число может быть представлено в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.
IV. Формирование умений и навыков.
1. № 263, № 264.
2. № 265.
3. № 267 (а, в, д, ж, и).
4. № 268 (а, в, д, ж), № 269, № 271.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Принадлежит ли число –2 множеству натуральных чисел? целых чисел? рациональных чисел?
– Какие числа составляют множество рациональных чисел?
– Сколькими способами можно представить рациональное число в виде обыкновенной дроби?
– Как представить рациональное число в виде десятичной дроби?
– Какая десятичная дробь может представлять рациональное число?
Домашнее задание: № 266, № 267 (б, г, е, з, к), № 268 (б, г, е, з),№ 270.
У р о к 1 (24)Множество действительных чисел
Цели: изучить множества иррациональных и действительных чисел; формировать умение различать различные множества чисел и сравнивать действительные числа.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
– Определите, к какому множеству принадлежит каждое из чисел:
–7; 19; ; –5,7; 235; –90; –1.
III. Объяснение нового материала.
Объяснение проводится в н е с к о л ь к о э т а п о в.
1. И з м е р е н и е д л и н отрезков на координатной прямой.
2. П о с т а н о в к а проблемной задачи: как измерить диагональ квадрата со стороной 1.
Можно обратиться к истории этого вопроса.
Математики Древней Греции более двадцати веков тому назад пришли к выводу, что нет ни целого, ни дробного числа, выражающего диагональ квадрата со стороной 1. Это вызвало кризис в математической науке: диагональ у квадрата есть, а длины у неё нет!
Математики нашли выход из этой ситуации: раз имеющегося запаса чисел – целых и дробных – не хватает для выражения длин отрезков, значит, нужны какие-то новые числа. Так появились иррациональные числа.
3. В в е д е н и е множества действительных чисел.
Обобщить знания учащихся о различных множествах чисел. На доску вынести рисунок:
4. С р а в н е н и е иррациональных чисел.
Привести различные примеры иррациональных чисел и показать, как они сравниваются.
Вопрос о действиях с иррациональными числами целесообразно рассмотреть на следующем уроке.
IV. Формирование умений и навыков.
Все задания, которые будут выполнять учащиеся на этом уроке, можно разбить на две группы. В первую группу войдут устные задания на определение принадлежности чисел различным числовым множествам. Во второй группе будут задания на сравнение действительных чисел.
1-я г р у п п а.
1. № 276, № 277.
2. Даны числа:
9; 0; – 12; –6(3); 7,020020002…; 1,24(53); 345; π; –738.
а) Разделить их на две группы: рациональные и иррациональные.
б) Заполнить таблицу:
Натуральныечисла Целые числа Рациональныечисла Иррациональные числа
3. № 279.
2-я г р у п п а.
1. № 280, № 281 (а, в, д).
2. № 285, № 286.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Какие числа называются рациональными?
– Какие числа называются иррациональными?
– Из каких чисел состоит множество действительных чисел?
Домашнее задание: № 278, № 281 (б, г, е), № 282.
У р о к 2 (25)Действия над иррациональными числами
Цели: формировать умение различать рациональные и иррациональные числа и осуществлять действия над ними.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
– Вычислите:
а) 0,15 + 1,37;д) –3,8 – 5,7;
б) 1,27 + 3,3;е) 2,9 – 6,3;
в) 6,42 – 3,2;ж) 1,7 – 0,95;
г) –8 + 4,7;з) –1,25 – 5,8.
III. Тест с последующей проверкой.
«+» – согласен с утверждением;
«–» – не согласен с утверждением.
1) Всякое целое число является натуральным.
2) Всякое натуральное число является рациональным.
3) Число –7 является рациональным.
4) Сумма двух натуральных чисел всегда является натуральным числом.
5) Разность двух натуральных чисел всегда является натуральным числом.
6) Произведение двух целых чисел всегда является целым числом.
7) Частное двух целых чисел всегда является целым числом.
8) Сумма двух рациональных чисел всегда является рациональным числом.
9) Частное двух рациональных чисел всегда является рациональным числом.
10) Всякое иррациональное число является действительным.
11) Действительное число не может быть натуральным.
12) Число 2,7(5) является иррациональным.
13) Число π является действительным.
14) Число 3,1(4) меньше числа π.
15) Число –10 принадлежит одновременно множеству целых, рациональных и действительных чисел.
К л ю ч: – + + + – + – + + + – – + – +
IV. Объяснение нового материала.
Привести примеры из учебника, показывающие, как осуществлять арифметические действия над иррациональными числами.
V. Формирование умений и навыков.
1. № 283, № 284 (а), № 287.
2. № 288, № 290.
В классе с высоким уровнем подготовки можно дополнительно разобрать вопрос о том, каким числом представляется сумма или разность рациональных и иррациональных чисел. Для этого нужно решить ряд задач.
1) № 292.
Р е ш е н и е
– Сложим данные иррациональные числа в столбик:
Получили число, дробная часть которого представлена группой цифр, состоящих из одной, двух, трёх и т. д. троек, разделённых шестёрками. Очевидно, что данное число является иррациональным.
2) Может ли сумма двух иррациональных чисел быть числом рациональным?
Р е ш е н и е
– В предыдущей задаче мы выполнили сложение двух иррациональных чисел и получили в сумме иррациональное число. Но это не означает, что сумма любых двух иррациональных чисел является иррациональным числом.
Нужно подобрать такие два иррациональных числа, которые в сумме дали бы бесконечную десятичную периодическую дробь. В качестве первого слагаемого можно взять число из предыдущей задачи: 1,323223222… Тогда вторым слагаемым может быть число 1,676776777… (группы цифр состоят из одной, двух, трёх и т. д. семёрок, разделённых шестёрками).
То есть в сумме получим число 2,(9) или 3.
Значит, можно подобрать два таких иррациональных числа, которые в сумме дают рациональное число.
3) Может ли разность двух иррациональных чисел быть числом рациональным?
4) Если число а – рациональное, а число b – иррациональное, то каким числом будет сумма а + b и разность а – b?
VI. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Какие множества чисел вы изучили? Как они связаны между собой?
– В виде какой десятичной дроби может быть представлено любое рациональное число?
– Существуют ли иррациональные числа, которые могут быть представлены в виде периодической десятичной дроби?
– В виде каких десятичных дробей представляются иррациональные числа?
Домашнее задание: № 284 (б), № 289, № 291.
Д о п о л н и т е л ь н о: № 293.
У р о к 1 (26)Извлечение квадратных корней
Цели: ввести понятия квадратного корня и арифметического квадратного корня; формировать умение извлекать квадратные корни.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
– Вычислите:
а) 72;б) ;в) 112;г) ;
д) ; е) 0,22;ж) ;з) 0,62.
III. Объяснение нового материала.
Объяснение материала проводится в н е с к о л ь к о э т а п о в.
1. В в е д е н и е п о н я т и я квадратного корня.
Сначала необходимо рассмотреть задачу о нахождении стороны квадрата по его площади.
Затем предложить учащимся следующее з а д а н и е: вписать в пустые клеточки числа, чтобы равенства были верными:
2 = 16
2 =
2 = 100
После этого дать определение квадратного корня из числа.
Определение: Число b называют квадратным корнем из числа а, если b2 = а.
Для первичного усвоения определения можно дать учащимся з а д а-н и е: выяснить, является ли число п квадратным корнем из числа т, если:
а) п = 5, т = 25;в) п = 0,3, т = 0,9;
б) п = –7, т = 49;г) п = 6, т = –36.
2. В в е д е н и е п о н я т и я арифметического квадратного корня.
Учащиеся должны четко усвоить существенный признак данного понятия – арифметический квадратный корень является неотрицательным числом. То есть необходимо твёрдое знание того, что равенство = b означает одновременное выполнение двух условий: b2 = а и b ≥ 0.
Для усвоения определения предложить учащимся следующее з а д а-н и е: определить, является ли число п арифметическим квадратным корнем из числа т, если:
а) п = 8, т = 64;в) п = 0,2, т = 0,4;
б) п = –3, т = 9;г) п = 0,4, т = 0,16.
3. И с т о р и ч е с к а я с п р а в к а.
– Обратим внимание на совпадение в терминах – квадратный корень и корень уравнения. Это совпадение не случайно. Уравнения вида х2 = а исторически были первыми сложными уравнениями, и их решения были названы корнями по метафоре, что из стороны квадрата, как из корня, вырастает сам квадрат. В дальнейшем термин «корень» стал употребляться и для произвольных уравнений.
Название «радикал» тоже связано с термином «корень»: по-латыни корень – radix (он же редис – корнеплод). Также слово «радикальный» в русском языке является синонимом слова «коренной». Происхождение же символа связывают с написанием латинской буквы r.
4. Основное свойство арифметического квадратного корня.
Предложить учащимся вычислить значения следующих выражений: .
После этого попросить их сформулировать вывод и вынести его запись на доску:
IV. Формирование умений и навыков.
1. № 298, № 299.
2. № 300.
При вычислении обратить внимание на следующее:
– На первых порах необходимо, чтобы учащиеся проговаривали вслух и объясняли полученный результат. Н а п р и м е р: = 7, поскольку 72 = 49.
– При нахождении корня из дроби пока нельзя извлекать отдельно корень из числителя и из знаменателя, поскольку соответствующее свойство корней будет рассмотрено позже.
3. № 305, № 306 (а, б).
4. № 309.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Что называется квадратным корнем из числа а?
– Сколько квадратных корней может быть из числа а?
– Что такое арифметический квадратный корень из числа а?
– Имеет ли смысл запись ? Почему?
– Всегда ли верно равенство = а?
Домашнее задание: № 301, № 304, № 306 (в, г).
У р о к 2 (27)Применение понятия квадратного корняпри решении различных задач
Цели: продолжить формирование умения извлекать квадратные корни; формировать умение применять понятие квадратного корня при решении различных задач.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Проверочная работа.
В а р и а н т 1
1. Найдите значение арифметического квадратного корня:
а) ;б) ;в) ;
г) ;д) ;е) .
2. Найдите значение выражения:
а) ;в) ;
б) – 1;г) .
В а р и а н т 2
1. Найдите значение арифметического квадратного корня:
а) ;б) ;в) ;
г) ;д) ;е) .
2. Найдите значение выражения:
а) ;в) ;
б) – 2;г) .
III. Формирование умений и навыков.
На этом уроке учащиеся выполняют задания двух групп. В первую группу входят задания на нахождение значений квадратных корней. Во вторую – задания на решение простейших уравнений с квадратным корнем.
1-я г р у п п а.
1. № 302.
2. № 307.
Р е ш е н и е
а) Чтобы значение выражения являлось натуральным числом, подкоренное выражение должно быть равно 1, 4 или 9. Получаем три случая:
11 – п = 1
п = 10 11 – п = 4
п = 7 11 – п = 9
п = 2
Эти же значения можно было найти подбором.
О т в е т: 2; 7; 10.
2-я г р у п п а.
1. № 310.
2. № 311, № 312.
3. Найдите значение переменной х, при котором верно равенство:
а) = 3; б) = 7; в) .
Р е ш е н и е
Выполнение этого задания может вызвать затруднения у учащихся. Необходимо добиться, чтобы они выражали в словесной форме, что нужно найти.
а) = 3.
Нужно найти такое число, корень которого равен 3. Это число 9, то есть:
2х – 1 = 9
2х = 10
х = 5.
Можно предложить учащимся сделать поверку. Нельзя допускать, чтобы учащиеся полагали, что при решении этого уравнения обе части возводятся в квадрат. Иначе, решая в дальнейшем, например, уравнение = –2, они перейдут к уравнению х + 1 = 4.
б) = 7 в)
3 – 5х = 49
5х = –46
х = –9,6. 4x + = 0
4x =
x = .
Д о п о л н и т е л ь н о можно выполнить № 315.
Р е ш е н и е
Чтобы значение выражения являлось двузначным числом, должны обязательно выполняться два условия:
1) корень из этого выражения должен извлекаться;
2) квадраты числа п и числа п2 + 39 должны отличаться на 39.
Пользуясь таблицей квадратов натуральных чисел, заметим, что, начиная с 20, квадраты чисел отличаются друг от друга более, чем на 40. Значит, число п нужно искать среди чисел двух первых десятков.
Заметим, что только квадраты чисел 19 и 20 отличаются на 39: 192 = 361 и 202 = 400. Это означает, что п = 19. Получим:
= 20.
О т в е т: п = 19.
IV. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Что называется арифметическим квадратным корнем из числа а?
– Может ли подкоренное выражение быть отрицательным?
– Когда уравнение = a имеет решение? Сколько решений может иметь такое уравнение?
– Как решаются уравнения вида = a?
Домашнее задание: № 303, № 313, № 314.
Д о п о л н и т е л ь н о: № 466.
У р о к 1 (28)Решение уравнений вида х2 = а
Цели: рассмотреть вопрос о количестве корней уравнения х2 = а и формировать умение решать такие уравнения.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
– Вычислите:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;
е) ; ж) 0,32; з) (–0,3)2; и) ; к) .
III. Объяснение нового материала.
Желательно, чтобы учащиеся самостоятельно решили вопрос о возможном количестве корней уравнения вида х2 = а.
Для этого сначала можно предложить им выполнить следующее задание: какие числа можно вписать в пустые карточки, чтобы равенство было верным?
а) 2 = 25;б) 2 = 14;в) 2 = –9;
г) 2 = - 116;д) 2 = 0;е) 2 = 481Затем перейти к уравнению х2 = а и предложить учащимся сформулировать утверждение о различных случаях, возникающих при поиске корней таких уравнений.
На доску можно вынести з а п и с ь:
Уравнение х2 = а
1) имеет 2 корня, если а > 0;
2) имеет 1 корень, если а = 0;
3) не имеет корней, если а < 0.
После этого перейти к графической интерпретации решения уравнения х2 = а. Сделать вывод, что если а > 0, то корнями уравнения х2 = а будут числа и –.
IV. Формирование умений и навыков.
1. № 319, № 320.
2. № 321 (а, в).
3. Даны уравнения:
х2 = 16, х2 = –100, х2 = 5, х2 = 0, х2 = 49.
Выберите из них те, которые:
а) имеют два корня;
б) имеют два рациональных корня;
в) имеют два иррациональных корня;
г) имеют один корень;
д) не имеют корней.
4. № 322.
5. Составьте какое-нибудь уравнение, имеющее корни:
а) 7 и –7;б) 0,2 и –0,2;в) и –.
Необходимо, чтобы учащиеся составили к каждому случаю несколько уравнений. Можно устроить своеобразное соревнование: у кого из них получится больше различных уравнений.
Н а п р и м е р, в первом случае можно составить такие уравнения:
х2 = 49, 2х2 = 98, х2 + 1 = 50, 10 – х2 = –39 и т. п.
6. № 324 (а, в).
О б р а з е ц о ф о р м л е н и я:
а) (х – 3)2 = 25
х – 3 = 5 или
х = 8 х – 3 = –5
х = –2
О т в е т: –2; 8.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Что называется арифметическим квадратным корнем из числа?
– Может ли в выражении число а быть отрицательным? Почему?
– Сколько корней может иметь уравнение х2 = а? От чего это зависит?
– Какие корни имеет уравнение х2 = а, если а > 0? а = 0?
Домашнее задание: № 321 (б, г), № 323, № 324 (б, г).
У р о к 2 (29)Вычисление значений выражений,содержащих квадратные корни
Цели: продолжить формирование умений преобразовывать выражения, содержащие квадратные корни.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
1. Вычислите:
а) ;б) ;в) ;
г) ;д) ;е) .
2. Решите уравнение:
а) х2 = 16;б) х2 = ;в) х2 = 0;
г) х2 = ;д) х2 = 0,04;е) х2 = .
III. Формирование умений и навыков.
Все задания, которые будут выполнять учащиеся на этом уроке, можно разбить на две группы. В первую группу войдут задания на нахождение допустимых значений переменных, входящих в выражения с квадратным корнем. Во второй группе будут задания на вычисление значений выражений, содержащих квадратные корни.
1-я г р у п п а.
1. № 325, № 326.
2. Укажите несколько значений переменной х, при которых выражение имеет смысл.
2-я г р у п п а.
1. № 328.
2. Найдите значение выражения:
а) ;б) ;в) ;
г) ;д) ;е) .
3. № 330, № 332.
4. № 331 (а, в).
Р е ш е н и е
а) = 9;
б) = 18.
Некоторым сильным в учебе учащимся можно предложить карточки.
К а р т о ч к а № 1
1. Решите уравнение: .
2. Из формулы W = выразите t.
3. При каких значениях переменной х имеет смысл выражение:
а) ;б) ;в) ?
К а р т о ч к а № 2
1. Решите уравнение: .
2. Из формулы T = 2π выразите l.
3. При каких значениях переменной х имеет смысл выражение:
а) ;б) ;в) ?
IV. Проверочная работа.
В а р и а н т 1
1. Решите уравнение:
а) х2 = 36;г) 3 – х2 = 3;
б) х2 = ;д) 2х2 + 6 = 0;
в) х2 + 1 = 3;е) .
2. Имеет ли смысл выражение
а) при х = 2; б) х = 0; в) х = 4; г) х = –1?
3. Найдите значение выражения:
а) ;в) ;
б) ; г) .
В а р и а н т 2
1. Решите уравнение:
а) х2 = 64;г) 5 – х2 = 5;
б) х2 = ;д) 3х2 + 12 = 0;
в) х2 – 2 = 1;е) .
2. Имеет ли смысл выражение
а) при х = 3; б) х = ; в) х = 7; г) х = –4?
3. Найдите значение выражения:
а) ;в) ;
б) ;г) .
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Сколько корней может иметь уравнение х2 = а? От чего это зависит?
– Какие корни имеет уравнение х2 = а, если а > 0? а = 0?
– При каких значениях а выражение имеет смысл?
– При каких значениях b выражение имеет смысл?
Домашнее задание: № 327, № 329, № 331 (б, г), № 332.
У р о к 30нахождение приближенных значений квадратногокорня с помощью оценки и на калькуляторе
Цели: формировать умение находить приближенные значения квадратного корня при помощи оценки и на калькуляторе.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
– Вычислите:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;
е) ; ж) ; з) ; и) ; к) .
III. Объяснение нового материала.
Объяснение материала проводится согласно пункту учебника.
Сначала показать учащимся, как найти приближённое значение квадратного корня, оценивая его. При этом желательно привлекать учащихся к «открытию» этого способа. Затем попросить их сформулировать, как с помощью оценки может быть найдено приближённое значение любого квадратного корня.
После этого объяснить учащимся, как применяется калькулятор для извлечения квадратных корней, приведя несколько примеров.
IV. Формирование умений и навыков.
Все задания, выполняемые учащимися, можно разбить на две группы: в одну группу войдут задания на нахождение приближенных значений квадратных корней с помощью оценки, а в другую – с помощью калькулятора.
1-я г р у п п а.
1. № 336.
2. Площадь квадрата равна 5 см2. Чему равна его сторона? Дайте точный ответ, записав его с помощью знака , и приближённый, выразив результат десятичной дробью с двумя знаками после запятой.
2-я г р у п п а.
1. № 338 (б).
2. С помощью калькулятора найдите значение для всех натуральных п от 1 до 10. Заполните таблицу, указывая приближённое значение с тремя знаками после запятой.
п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Используя таблицу, сравните и , и , и .
3. № 342, № 343, № 344 (а, в, д).
4. № 345, № 347.
V. Тест с последующей проверкой.
«+» – согласен с утверждением;
«–» – не согласен с утверждением.
Утверждения:
1) – это иррациональное число;
2) – это иррациональное число;
3) – это действительное число;
4) – это действительное число;
5) меньше 1;
6) больше ;
7) любое иррациональное число заключено между двумя целыми числами;
8) если число стоит под корнем, то оно иррациональное;
9) меньше, чем –;
10) заключено между числами 7 и 8.
К л ю ч: + – + + – + + – – +
VI. Итоги урока.
Учащиеся, сидящие за одной партой, обмениваются ключами к тесту. Учитель снова читает все десять утверждений, каждое из которых обсуждается. Одновременно учащиеся проверяют свои работы и выставляют друг другу о т м е т к и п о с л е д у ю щ е й ш к а л е:
«5» – все ответы верные;
«4» – одна или две ошибки;
«3» – три или четыре ошибки;
«2» – более четырёх ошибок.
Затем можно ещё задать в о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Как найти приближённое значение квадратного корня с помощью метода оценки? с помощью калькулятора?
– Какое из чисел или расположено левее на числовой оси? Почему?
Домашнее задание: № 337, № 339, № 334 (б, г, е), № 346.
У р о к 1 (31)Построение графика функции y = и применение её свойств
Цели: изучить функцию y = , её график и свойства; формировать умение строить график этой функции и применять её свойства.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
1. Решите уравнение:
а) х2 = 16;б) х2 = ;в) х2 = 0;
г) х2 = ;д) х2 = 10;е) х2 = .
2. Вычислите:
а) ;б) ;в) ;
г) ;д) ;е) .
III. Объяснение нового материала.
Объяснение проводится согласно пункту учебника.
1) Рассмотреть, из каких практических ситуаций возникает потребность в изучении функции y = .
2) Составить таблицу значений функции y = и построить её график.
3) Перечислить свойства функции y = .
4) Сопоставить графики функций у = х2 и y = .
IV. Формирование умений и навыков.
Все з а д а н и я, которые должны быть выполнены учащимися на этом уроке, можно условно разбить на т р и г р у п п ы:
выражение из различных формул зависимости вида y = ;
построение графика функции y = и его «чтение»;
применение свойства возрастания функции y = для сравнения квадратных корней.
1-я г р у п п а.
1. № 352.
2. № 354.
Р е ш е н и е
S = 4πR2
R2 =
R =
2-я г р у п п а.
1. № 355.
2. № 357.
3-я г р у п п а.
1. С помощью графика функции y = сравните числа:
а) и 1;в) и ;
б) 3 и ;г) и .
2. № 364.
Р е ш е н и е
Учащиеся должны воспользоваться следующим свойством функции y = : большему значению аргумента соответствуют большие значения функции. При сравнении квадратного корня с рациональным числом можно это число записать в виде корня.
а) < ;
б) < ;
в) < , то есть < 3;
г) = , то есть = 2,5;
д) > .
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Что называется арифметическим квадратным корнем из числа а?
– Как построить график функции y = ?
– Какими свойствами обладает функция y = ?
– Как располагаются относительно друг друга графики функций у = х2 и y = при х ≥ 0?
Домашнее задание: № 353, № 356, № 363.
У р о к 2 (32)Использование графика и свойств функции y = при решении различных задач
Цели: продолжить формирование умения строить график функции y = и использовать её свойства при решении различных задач.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
– Определите, принадлежат ли графику функции y = следующие точки:
а) А (49; 7);в) С ;
б) В (–36; 6);г) D .
III. Формирование умений и навыков.
1. Сравните числа:
а) и ;в) и ;
б) и ;г) 2,7 и .
2. Расположите числа в порядке убывания:
а) 5; ; ; 7;
б) 0,25; ; и .
3. № 358, № 362 (а).
4. № 359.
Р е ш е н и е
Чтобы доказать, что графики функций y = и у = х + 0,5 не имеют общих точек, достаточно их построить.
Можно эту задачу решить аналитически, показав, что с увеличением значений аргумента значения функции у = х + 0,5 увеличивается быстрее, чем значения функции y = .
5. № 360 (а, в), № 361.
В классе с высоким уровнем подготовки можно дополнительно выполнить № 475.
Р е ш е н и е
а) Построим график функции y = и будем относительно него передвигать прямые вида y = x + b. Это параллельные прямые, которые образуют острый угол с положительным направлением оси абсцисс.
Таким образом, очевидно, что уравнение = x + b может иметь один, два корня, а может и не иметь корней.
б) Прямые вида y = –x + b – это параллельные прямые, которые образуют тупой угол с положительным направлением оси абсцисс.
Получаем, что уравнение = –x + b имеет либо один корень, либо не имеет корней.
IV. Проверочная работа.
В а р и а н т 1
1. Постройте график функции y = . По графику найдите:
а) значение функции при х = 1; 3; 4; 6;
б) значение аргумента, которому соответствует значение y = ; 1; 1,8; 3.
2. Принадлежит ли графику функции y = точка:
а) А (36; 6); б) В (–9; 3); в) С ?
3. Сравните числа:
а) и ;в) 2 и ;
б) и ;г) и 2.
В а р и а н т 2
1. Постройте график функции y = . По графику найдите:
а) значение функции при х = 0; 2; 5; 9;
б) значение аргумента, которому соответствует значение y = 0,49; 1,5; 2; 2,8.
2. Принадлежит ли графику функции y = точка:
а) А (81; 9); б) В (–16; 4); в) С ?
3. Сравните числа:
а) и ;в) 3 и ;
б) и ;г) и 4.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Какими свойствами обладает функция y = ?
– Как сравнить два квадратных корня?
– Сколько общих точек могут иметь графики функций y = и y = kx + b?
Домашнее задание: № 360 (б, г), № 362 (б), № 365.
У р о к 1 (33)Вычисление квадратного корняиз произведения и дроби
Цели: выявить и доказать свойства квадратного корня; формировать умение непосредственно применять их при вычислениях.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
– Вычислите:
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ; ж) ; з) ;
и) ; к) .
III. Объяснение нового материала.
При объяснении необходимо показать преимущество, которое дает при вычислениях использование свойств корней. Это будет способствовать созданию у учащихся мотивации к осознанному восприятию материала.
Начать можно с того, что предложить учащимся на калькуляторе вычислить значения нескольких корней:
1) ; 2) ; 3) .
После этого предложить другой способ вычисления без использования калькулятора:
;
;
.
Предложить учащимся сравнить полученные результаты и сделать предположение.
После того как учащиеся сделают предположение, что такой прием будет справедлив для любых неотрицательных чисел, попросить их сформулировать данное свойство.
Затем учитель четко сам формулирует свойство: корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел.
Проводится доказательство свойства, а на доску выносится запись:
для любых a ≥ 0 и b ≥ 0.
Аналогично формулируется второе свойство и выносится на доску его запись:
для любых a ≥ 0 и b > 0.
Далее предложить учащимся вычислить .
Большинство из них догадаются внести множители под общий корень. Учитель сообщает, что использование полученных равенств справа налево дает правила умножения и деления корней:
, где a ≥ 0 и b ≥ 0.
, где a ≥ 0 и b > 0.
IV. Формирование умений и навыков.
На этом уроке основное внимание следует уделить непосредственному применению изученных свойств квадратных корней при вычислениях.
1. № 369, № 370.
2. № 378, № 379.
3. № 382, № 383.
4. № 385 (а, в, д, ж), № 386.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Сформулируйте свойство вычисления корня из произведения неотрицательных чисел.
– Сформулируйте свойство вычисления корня из частного от деления неотрицательного числа на положительное число.
– Сформулируйте правила умножения и деления корней.
– Как вычислить корень из смешанного числа?
Домашнее задание: № 371, № 384, № 385 (б, г, е, з).
У р о к 2 (34)Квадратный корень из произведения и дробипри преобразовании выражений с корнем
Цели: продолжить формирование умения применять свойства квадратного корня при преобразовании выражений.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
а) ; б) ; в) ; г) 2;
д) ; е) ; ж) ; з) ;
и) ; к) .
III. Формирование умений и навыков.
1. № 372, № 387 (а, в, д, ж).
2. № 374.
Р е ш е н и е
Это задание может вызвать затруднения у учащихся. Раньше им встречались выражения вида , в которых и извлекались. При выполнении данного номера это свойство корней напрямую применять нецелесообразно.
Необходимо подкоренное выражение представить в виде произведения таких множителей, из которых корень извлекается.
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е) ;
ж) ;
з) .
3. № 376.
При выполнении этого задания учащиеся довольно часто допускают следующую ошибку: = 13 – 12 = 1.
В этом случае следует предложить учащимся вычислить значение подкоренного выражения, извлечь корень и сравнить полученные результаты.
Данный пример помогает избежать подобных ошибок в дальнейшем и еще раз заостряет внимание учащихся на свойствах квадратных корней.
Если в примерах а) и б) учащиеся просто могут вычислить значение подкоренного выражения и извлечь корень, то в следующих примерах это можно сделать только при помощи калькулятора. Чтобы учащиеся «увидели» формулу разности квадратов, нужно требовать вычислений без калькулятора.
в) ;
д)
.
4. № 380.
Р е ш е н и е
а) .
– Преобразуем выражение, стоящее в правой части равенства:
.
б) .
.
Некоторым сильным в учебе учащимся дополнительно можно предложить выполнить задания по карточкам.
К а р т о ч к а № 1
1. Расположите в порядке возрастания числа: .
2. Найдите значение выражения:
а) ;б) ;
в) .
3. Известно, что a < 0 и b < 0. Представьте выражение в виде частного корней.
К а р т о ч к а № 2
1. Расположите в порядке возрастания числа: .
2. Найдите значение выражения:
а) ;б) ;
в) .
3. Известно, что a < 0 и b < 0. Представьте выражение в виде частного корней.
Р е ш е н и е заданий карточки № 1.
1. Все дроби имеют числители, равные 1. Поэтому достаточно сравнить знаменатели дробей. Имеем:
2 < 3 < , поэтому .
2. а)
= 10 · 11 · 6 = 660;
б)
= 2160;
в)
= 8,5.
3. Если a < 0 и b < 0, то ≠ ∙ .
Чтобы подкоренные выражения стали положительными, перед ними нужно поставить «минус». Получим, что = .
IV. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Сформулируйте свойство вычисления корня из произведения неотрицательных чисел.
– Сформулируйте свойство вычисления корня из частного от деления неотрицательного числа на положительное число.
– Сформулируйте правила умножения и деления корней.
– Как преобразовать выражение вида , если корни из чисел х и у не извлекаются?
Домашнее задание: № 373, № 375, № 377 (б, г, е), № 387 (б, г, е, з).
У р о к 1 (35)Применение свойства квадратного корняиз степени при вычислениях
Цели: изучить свойство квадратного корня из степени и формировать умение его применять при вычислении выражений с корнем.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Проверочная работа.
В а р и а н т 1
1. Найдите значение корня:
а) ;б) ;в) ;
г) ;д) ;е) .
2. Найдите значение выражения:
а) ;б) ;в) ;
г) ;д) ;е) .
В а р и а н т 2
1. Найдите значение корня:
а) ;б) ;в) ;
г) ;д) ;е) .
2. Найдите значение выражения:
а) ;б) ;в) ;
г) ;д) ;е) .
III. Объяснение нового материала.
Желательно, чтобы учащиеся самостоятельно вывели свойство квадратного корня из степени.
Им уже знакомо следующее свойство: = x. Предварительно можно провести актуализацию знаний учащихся, предложив им вычислить устно:
а) ;б) ;в) ;
г) ;д) ;е) .
Затем попросить учащихся сделать предположение, чему равно значение выражения . Довольно часто учащиеся говорят, что как = x, так и = x.
Чтобы они поняли, в чём состоит их ошибка, нужно взять конкретные значения х и подставить их в выражение . Н а п р и м е р: x = 5; ; –1; –3.
Полученные равенства вынести на доску:
= 5;
;
= 1;
= 3.
После этого попросить учащихся сформулировать, в чём состояла их ошибка, как её исправить. Они должны осознать, что если х – положительное число, то = x, а если х – отрицательное число, то = –x. Поэтому
IV. Формирование умений и навыков.
1. № 393 (а, в, д, ж, и).
На первых порах требовать от учащихся подробных записей:
а) = | 0,1 | = 0,1;
в) = | –0,8 | = 0,8.
Это позволит закрепить изученное свойство и избежать в дальнейшем ошибок.
2. № 394 (а, б).
3. № 402.
При выполнении этого номера также необходимо вести подробные записи.
а) = 121;
в) = 81;
д) = 48.
4. № 403.
Р е ш е н и е
а) = 16 ∙ 9 = 144;
г) = 25 ∙ 3 ∙ 11 = 825.
Некоторым учащимся дополнительно можно предложить выполнить № 482 (а, в, д, ж).
Р е ш е н и е
а) = 4 ∙ 2 = 8;
в) = 256 ∙ 4 = 1024;
д) = 4 ∙ 9 = 36;
ж)
= 25 ∙ 9 ∙ 10 = 2250;
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Чему равно выражение ?
– Сформулируйте свойство квадратного корня из квадрата.
– Чему равно выражение , если х > 0? x < 0?
– При каких значениях х верно равенство = ?
Домашнее задание: № 393 (б, г, е, з), № 394 (в), № 401, № 404.
У р о к 2 (36)Квадратный корень из степенипри преобразовании различных выражений
Цели: продолжить формирование умения применять свойство квадратного корня из степени.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Вычислите:
а) ;б) ;в) ;
г) ;д) ;е) .
III. Формирование умений и навыков.
На этом уроке учащиеся выполняют более сложные задания на преобразование корня из степени.
Все задания можно условно разбить на две группы. В первую группу войдут задания, в которых необходимо применить формулу = | x |, раскрыв знак модуля в зависимости от значения x. Во второй группе будут задания повышенного уровня сложности. Их можно выполнять в классе с высоким уровнем подготовки.
1-я г р у п п а.
1. № 395, № 396 (а, б, г, д, ж).
2. № 484 (устно).
3. № 487 (а, б, г, ж).
Р е ш е н и е
а) .
Так как а2 ≥ 0 при любом а и b2 ≥ 0 при любом b, то и . Имеем:
.
б) .
По условию b ≥ 0, значит ; с4 ≥ 0 при любом с, значит . Имеем:
.
г) .
По условию р ≥ 0, поэтому = p; у ≤ 0, поэтому . Имеем:
.
ж) .
По условию х < 0, поэтому ; у < 0, поэтому . Имеем:
.
2-я г р у п п а.
1. Упростите выражение:
а) ;б) ;
в) .
2. № 397.
Р е ш е н и е
.
Если 0 ≤ а < 2, то а – 2 < 0, то есть = 2 – a.
Если а ≥ 2, то а – 2 ≥ 0, то есть = a – 2.
3. № 400.
Р е ш е н и е
а) ;
б) .
4. № 485 (а, г).
Р е ш е н и е
а) y = .
Преобразовав выражение , получим функцию y = . Для построения её графика нужно раскрыть знак модуля, рассмотрев два случая:
1) если х > 0, то y = , то есть у = 1;
2) если х < 0, то y = , то есть у = –1.
Получим такой график:
г) y = .
y = .
1) если х ≥ 0, то у = –х2;
2) если х < 0, то у = х2.
5. № 488.
Р е ш е н и е
Преобразуем выражение, стоящее под корнем. Сначала перемножим первый множитель с четвёртым, а второй – с третьим.
.
Сделаем замену: п2 + 3п = т. Получим:
.
Если п – натуральное число, то выражение п2 + 3п принимает натуральные значения, то есть число т – натуральное. Это значит, что | m + 1 | == m + 1 и это выражение принимает всегда натуральные значения.
IV. Проверочная работа.
В а р и а н т 1
1. Вычислите:
а) ;б) ;в) ;
г) ;д) ;е) .
2. Упростите выражение:
а) , если m > 0;в) , если n < 0;
б) , если с < 0;г) .
3*. Вычислите:
.
В а р и а н т 2
1. Вычислите:
а) ;б) ;в) ;
г) ;д) ;е) .
2. Упростите выражение:
а) , если р < 0;в) , если с < 0;
б) , если х > 0;г) .
3*. Вычислите:
.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Чему равно выражение , если х > 0? х < 0?
– При каких значениях а верно равенство ? ?
– Может ли выражение принимать отрицательные значения? Почему?
– Какие значения может принимать выражение ?
Домашнее задание: № 396 (в, е, з), № 487 (в, д, е, з).
Д о п о л н и т е л ь н о: № 398, № 485 (б, в).
У р о к 37 Контрольная работа № 3
В а р и а н т 1
1. Вычислите:
а) ; б) – 1; в) .
2. Найдите значение выражения:
а) ; б) ; в) ; г) .
3. Решите уравнение: а) х2 = 0,49; б) х2 = 10.
4. Упростите выражение:
а) , где х ≥ 0; б) , где b < 0.
5. Укажите две последовательные десятичные дроби с одним знаком после запятой, между которыми заключено число .
6. При каких значениях переменной а имеет смысл выражение ?
В а р и а н т 2
1. Вычислите:
а) ; б) ; в) .
2. Найдите значение выражения:
а) ; б) ; в) ; г) .
3. Решите уравнение: а) х2 = 0,64; б) х2 = 17.
4. Упростите выражение:
а) , где у ≥ 0; б) , где а < 0.
5. Укажите две последовательные десятичные дроби с одним знаком после запятой, между которыми заключено число .
6. При каких значениях переменной х имеет смысл выражение ?
В а р и а н т 3
1. Вычислите:
а) ; б) ; в) .
2. Найдите значение выражения:
а) ; б) ; в) ; г) .
3. Решите уравнение: а) х2 = 0,81; б) х2 = 46.
4. Упростите выражение:
а) , где b ≤ 0; б) , где х > 0.
5. Укажите две последовательные десятичные дроби с одним знаком после запятой, между которыми заключено число .
6. При каких значениях переменной х имеет смысл выражение ?
В а р и а н т 4
1. Вычислите:
а) ; б) ; в) .
2. Найдите значение выражения:
а) ; б) ; в) ; г) .
3. Решите уравнение: а) х2 = 0,09; б) х2 = 92.
4. Упростите выражение:
а) , где х ≥ 0; б) , где у < 0.
5. Укажите две последовательные десятичные дроби с одним знаком после запятой, между которыми заключено число .
6. При каких значениях переменной у имеет смысл выражение ?
Решение вариантов контрольной работы
В а р и а н т 1
1. а) = 0,1 + 2 = 2,1;
б) – 1 = 1,5;
в) = 2.
2. а) = 4;
б) = 28;
в) = 2;
г) = 72.
3. а) х2 = 0,49
х = ±0,7; б) х2 = 10
х = ±.
4. а) .
Так как х ≥ 0, то | x | = x. Получим:
.
б) .
Так как b < 0, то | b | = –b. Получим:
.
5. 4,1 < < 4,2.
6. Чтобы выражение имело смысл, должны выполняться два условия:
1) а ≥ 0; 2) – 4 ≠ 0
≠ 4
a ≠ 16.
О т в е т: а ≥ 0 и a ≠ 16.
В а р и а н т 2
1. а) = 7 + 0,9 = 7,9;
б) = 1,5 – 5 = –3,5;
в) = 6.
2. а) = 3;
б) = 12;
в) = 3;
г) = 20.
3. а) х2 = 0,64
х = ±0,8; б) х2 = 17
х = ±.
4. а) .
Так как у ≥ 0, то | y | = y. Получим:
.
б) .
Так как а < 0, то | a | = –a. Получим:
= –28.
5. 6,1 < < 6,2.
6. Чтобы выражение имело смысл, должны выполняться два условия:
1) х ≥ 0; 2) – 5 ≠ 0
≠ 5
х ≠ 25.
О т в е т: х ≥ 0 и х ≠ 25.
В а р и а н т 3
1. а) = 12 – 0,55 = 11,45;
б) = –0,5;
в) = 5.
2. а) = 3,6;
б) = 60;
в) = 5;
г) = 54.
3. а) х2 = 0,81
х = ±0,9; б) х2 = 46
х = ±.
4. а) .
Так как b ≤ 0, то | b | = –b. Получим:
.
б) .
Так как х > 0, то | x | = x. Получим:
= 14x.
5. 5,2 < < 5,3.
6. Чтобы выражение имело смысл, должны выполняться два условия:
1) х ≥ 0; 2) – 2 ≠ 0
≠ 2
х ≠ 4.
О т в е т: х ≥ 0 и х ≠ 4.
В а р и а н т 4
1. а) = 2 + 0,3 = 2,3;
б) = 2,1 + 0,9 = 3;
в) = 0,8.
2. а) = 3;
б) = 42;
в) = 4;
г) = 56.
3. а) х2 = 0,09
х = ±0,3; б) х2 = 92
х = ±.
4. а) .
Так как х ≥ 0, то . Получим:
.
б) .
Так как у < 0, то . Получим:
.
5. 7,4 < < 7,5.
6. Чтобы выражение имело смысл, должны выполняться два условия:
1) у ≥ 0; 2) + 3 ≠ 0
у – любое.
О т в е т: у ≥ 0.
У р о к 38Вынесение множителя за знак корня.Внесение множителя под знак корня
Цели: изучить такие преобразования квадратных корней, как вынесение множителя за знак корня и внесение множителя под знак корня; формировать умение выполнять эти преобразования.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
– Вычислите:
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ; ж) ; з) .
III. Объяснение нового материала.
Объяснение материала проводить согласно пункту учебника, но придать ему больше проблемности и требовать от учащихся самостоятельности при формулировании выводов.
1. Поставить проблему: как сравнить значения выражений и .
2. Рассмотреть два способа, которые могут быть использованы для этого.
3. Сделать выводы.
Спросить учащихся, какое действие нужно было выполнить при решении задачи первым способом.
Сообщить им, что такое преобразование называется вынесением множителя из-под знака корня. Аналогично проанализировать действие, выполняемое при решении задачи вторым способом, и сообщить учащимся, что это преобразование называется внесением множителя под знак корня.
После этого можно задать учащимся вопрос: в каких случаях пригодятся умения выносить множитель из-под знака корня и вносить множитель под знак корня? Добиться, чтобы учащиеся выделили две основные ситуации, в которых применяются данные умения:
1) Сравнение двух выражений.
2) Преобразование выражений.
IV. Формирование умений и навыков.
З а д а н и я можно разбить на т р и г р у п п ы:
Вынесение множителя за знак корня.
Внесение множителя под знак корня.
Сравнение значений выражений с корнями.
1-я г р у п п а.
№ 407, № 408.
Не все учащиеся могут быстро раскладывать подкоренные выражения на два «удобных» множителя. Некоторые подбирают «очевидные» делители, например 4 или 9. В этом случае не нужно требовать от учащихся, чтобы они отыскивали другое разложение, главное – получение верного результат.
Н а п р и м е р, .
Этот же результат можно получить по-другому:
.
2-я г р у п п а.
1. № 410.
2. № 412.
При выполнении этого номера учащиеся могут допустить довольно распространённую ошибку: внести под корень отрицательный множитель:
.
В этом случае нужно предложить учащимся сравнить с нулем данное и полученное число. Данное число является отрицательным, а после внесения множителя под корень получили положительное число. Учащиеся должны найти ошибку в рассуждениях и сделать выводы.
3-я г р у п п а.
1. № 414, № 417.
2. № 416.
3. № 411.
Р е ш е н и е
Из данных четырёх выражений не имеет смысла то, которое содержит под корнем отрицательное число. Таким образом, нужно сравнить с нулём все подкоренные выражения. А для этого нужно сравнить уменьшаемое и вычитаемое.
1. имеет смысл, так как > 4.
2. имеет смысл, так как > .
3. имеет смысл, так как > .
4. не имеет смысла, так как < 14.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– В чём состоит приём вынесения множителя из-под знака корня?
– В чём состоит приём внесения множителя под знак корня?
– Как сравнивать значения выражений, содержащих корни?
– Как сравнивать корень с целым числом?
Домашнее задание: № 409, № 413, № 415.
У р о к 1 (39)Приведение подобных радикалови применение формул сокращённого умноженияпри преобразовании выражений с корнями
Цель: формировать умения выделять и приводить подобные радикалы, преобразовывать выражения, содержащие корни, с использованием формул сокращённого умножения.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Проверочная работа.
В а р и а н т 1
1. Вынесите множитель из-под знака корня:
а) ;б) ;в) .
2. Внесите множитель под знак корня:
а) ;б) ;в) .
3. Сравните значения выражений:
а) и ;б) и .
В а р и а н т 2
1. Вынесите множитель из-под знака корня:
а) ;б) ;в) .
2. Внесите множитель под знак корня:
а) ;б) ;в) .
3. Сравните значения выражений:
а) и ;б) и .
III. Объяснение нового материала.
Сначала необходимо, чтобы учащиеся вспомнили все свойства квадратных корней и все виды преобразований выражений с корнями, которые они уже умеют выполнять.
Затем рассмотреть несколько примеров, отражающих другие виды преобразований: приведение подобных радикалов и применение формул сокращённого умножения.
П р и м е р 1 (пример из учебника).
П р и м е р 2. Преобразуйте выражение:
а) = 20 – 9 = 11;
б) = 7.
Остальные виды преобразований целесообразно рассмотреть на следующем уроке.
IV. Формирование умений и навыков.
Учащимся уже известно понятие «подобные слагаемые».
На этом уроке вводится понятие «подобные радикалы» и формируется умение упрощать соответствующие выражения.
З а д а н и я, которые должны быть выполнены на этом уроке, можно разбить на д в е г р у п п ы:
1) Выделение и приведение подобных радикалов.
2) Преобразование выражений, содержащих корни, с использованием формул сокращенного умножения.
1-я г р у п п а.
1. Приведите подобные слагаемые.
а) ;в) ;
б) ;г) .
2. № 421, № 422 (а, в).
2-я г р у п п а.
1. № 423, № 426.
2. № 425.
Р е ш е н и е
а)
= 8 + 6 = 14.
б)
= 8.
Сильным в учебе учащимся можно предложить дополнительно выполнить задания по карточкам.
К а р т о ч к а № 1
1. Упростите выражение:
а) ;
б) ;
в) .
2. Докажите, что = 2.
3. Выберите выражение, равное :
А. – 3;Б. ;В. 3 – .
К а р т о ч к а № 2
1. Упростите выражение:
а) ;
б) ;
в) .
2. Докажите, что = 33.
3. Выберите выражение, равное :
А. – 2;Б. ;В. .
Р е ш е н и е з а д а н и й карточки № 1
1. а)
;
б) ;
в)
.
2.
= 2.
3. Выражение А является отрицательным, поэтому его можно не проверять. Возведём выражения Б и В в квадрат.
;
.
О т в е т: В.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Какие существуют виды преобразований квадратных корней?
– Как привести подобные радикалы?
– Рациональным или иррациональным является выражение вида ?
Домашнее задание: № 422 (б, г, д, е), № 424.
Д о п о л н и т е л ь н о: № 496.
У р о к 2 (40)Сокращение дробей, содержащихквадратные корни, и освобождениеот иррациональности в знаменателе дроби
Цели: продолжить формирование умения преобразовывать выражения, содержащие квадратные корни.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
– Приведите подобные радикалы:
а) ;д) ;
б) ;е) ;
в) ;ж) ;
г) ;з) .
III. Формирование умений и навыков.
З а д а н и я, выполняемые учащимися на этом уроке, можно разбить на д в е г р у п п ы:
1) Сокращение дробей, содержащих квадратные корни.
2) Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби.
1-я г р у п п а.
1. № 427, № 428.
2. № 429.
2-я г р у п п а.
1. № 431.
2. № 433 (а, в, д).
Р е ш е н и е
а) ;
в) ;
д)
.
В классе с высоким уровнем подготовки можно дополнительно выполнить ещё несколько заданий.
1. Сократите дробь:
.
Р е ш е н и е
.
2. Вычислите:
.
Р е ш е н и е
.
3. Освободить от иррациональности в знаменателе дроби:
.
Р е ш е н и е
.
IV. Проверочная работа.
В а р и а н т 1
1. Упростите выражение:
а) ;
б) ;
в) .
2. Выполните действия:
а) ;
б) ;
в) .
3. Сократите дробь:
а) ;б) .
4. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
а) ;б) .
В а р и а н т 2
1. Упростите выражение:
а) ;
б) ;
в) .
2. Выполните действия:
а) ;
б) ;
в) .
3. Сократите дробь:
а) ;б) .
4. Освободить от иррациональности в знаменателе дроби:
а) ;б) .
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Как приводить подобные радикалы?
– Как освобождаться от иррациональности в знаменателе дроби в различных случаях?
Домашнее задание: № 430, № 432, № 433 (б, г, е).
Д о п о л н и т е л ь н о: № 503 (а, д), № 507 (а).
У р о к 3 (41)Решение различных задач,связанных с преобразованием выражений,содержащих квадратные корни
Цели: закрепить знания и умения учащихся по преобразованию выражений, содержащих квадратные корни.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
– Приведите подобные слагаемые:
а) ;д) ;
б) ;е) ;
в) ;ж) ;
г) ;з) .
III. Формирование умений и навыков.
На этом уроке учащиеся выполняют более сложные задания на преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Все задания можно разбить на две группы. Во вторую группу войдут задания повышенного уровня сложности, поэтому их можно не выполнять в классе с низким уровнем подготовки.
1-я г р у п п а.
1. № 436 (а, в, д), № 437.
2. № 435 (а, в).
3. № 434.
Р е ш е н и е
а) Преобразуем данное выражение:
.
Таким образом, значение выражения является рациональным числом.
б) .
Таким образом, значение выражения является иррациональным числом.
4. № 438.
Р е ш е н и е
Известно, что взаимно-обратные числа в произведении дают единицу, а противоположные числа в сумме дают ноль.
= 4 – 3 = 1, то есть данные числа являются взаимно-обратными.
= 0, то есть данные числа являются противоположными.
2-я г р у п п а.
1. № 508.
Р е ш е н и е
– Сначала сократим данную дробь:
.
Так как выражение положительно при любых х, то дробь принимает наибольшее значение, когда её знаменатель наименьший. Выражение принимает наименьшее значение при х = 0.
О т в е т: при х = 0.
2. № 511.
Р е ш е н и е
.
Выражение + 7 положительно при всех допустимых значениях b, поэтому .
По условию 0 ≤ b ≤ 49, при таких значениях b выражение – 7 меньше либо равно нулю, поэтому .
Таким образом, имеем:
= 14, то есть исходное выражение не зависит от b.
3. Докажите, что верно равенство:
– 1.
Р е ш е н и е
– Освободимся от иррациональности в знаменателе каждой дроби:
– 1;
;
;
.
Преобразуем левую часть исходного равенства, подставляя в него полученные выражения:
– 1
– 1.
Равенство доказано.
IV. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Что называется арифметическим квадратным корнем из числа а?
– Сформулируйте все свойства арифметического квадратного корня.
– В чём состоит приём вынесения множителя из-под знака корня? внесения множителя под знак корня? Когда используются эти приёмы?
– Как освободиться от иррациональности в знаменателе дроби?
Домашнее задание: № 435 (б, г), № 436 (б, г, е), № 439.
У р о к 42Контрольная работа № 4
В а р и а н т 1
1. Упростите выражение:
а) ; б) ; в) .
2. Сравните: и .
3. Сократите дробь:
а) ;б) .
4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе:
а) ;б) .
5. Докажите, что значение выражения есть число рациональное.
6. При каких значениях а дробь принимает наибольшее значение?
В а р и а н т 2
1. Упростите выражение:
а) ; б) ; в) .
2. Сравните: и .
3. Сократите дробь:
а) ;б) .
4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе:
а) ;б) .
5. Докажите, что значение выражения есть число рациональное.
6. При каких значениях х дробь принимает наибольшее значение?
В а р и а н т 3
1. Упростите выражение:
а) ; б) ; в) .
2. Сравните: и .
3. Сократите дробь:
а) ;б) .
4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе:
а) ;б) .
5. Докажите, что значение выражения есть число рациональное.
6. При каких значениях х дробь принимает наибольшее значение?
В а р и а н т 4
1. Упростите выражение:
а) ; б) ; в) .
2. Сравните: и .
3. Сократите дробь:
а) ;б) .
4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе:
а) ;б) .
5. Докажите, что значение выражения есть число рациональное.
6. При каких значениях р дробь принимает наибольшее значение?
Решение вариантов контрольной работы
В а р и а н т 1
1. а)
;
б)
= 10 – 6 = 4;
в) .
2. ;
.
Так как , то .
3. а) ;
б) .
4. а) ;
б)
.
5.
.
Значит, значение исходного выражения есть число рациональное.
6. .
Выражение принимает положительные значения при всех допустимых значениях а.
Дробь будет наибольшей, если её знаменатель – наименьший, а выражение принимает наименьшее значение при а = 0.
О т в е т: при а = 0.
В а р и а н т 2
1. а)
= 0;
б)
= 15 – 10 = 5;
в)
.
2. ;
.
Так как , то .
3. а) ;
б) + 2.
4. а) ;
б)
– 6.
5.
.
Значит, значение исходного выражения есть число рациональное.
6. .
Выражение принимает положительные значения при всех допустимых значениях х.
Дробь будет наибольшей, если её знаменатель – наименьший, а выражение принимает наименьшее значение при х = 0.
О т в е т: при х = 0.
В а р и а н т 3
1. а)
;
б)
= 10 – 4 = 6;
в) .
2. ,
.
Так как , то .
3. а) ;
б) .
4. а) ;
б)
.
5.
.
Значит, значение исходного выражения есть число рациональное.
6. .
Выражение принимает положительные значения при всех допустимых значениях х.
Дробь будет наибольшей, если её знаменатель – наименьший, а выражение принимает наименьшее значение при х = 0.
О т в е т: при х = 0.
В а р и а н т 4
1. а)
;
б)
= 12 + 9 = 21;
в)
.
2. ;
.
Так как , то .
3. а) ;
б) .
4. а) ;
б)
.
5.
= –1.
Значит, значение исходного выражения есть число рациональное.
6. .
Выражение принимает положительные значения при всех допустимых значениях р.
Дробь будет наибольшей, если её знаменатель – наименьший, а выражение принимает наименьшее значение при р = 0.
О т в е т: при р = 0.