Программа профильного математического отряда Эрудит
«Рассмотрено» «Утверждено»
на заседании МС 12.02.15г. Директор МБОУ СОШ№16
Заместитель директора по УВР
___________ Н.В.Харисова 16.02.15г.__________Н.П.Федорченко
Администрация Советско-Гаванского муниципального района
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа № 16
рабочего поселка Заветы Ильича
Советско-Гаванского района Хабаровского края улица Николаева, 10
Дата образования – 2 февраля 1993 года
КРАТКОСРОЧНАЯ ДОСУГОВО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА КАНИКУЛЯРНЫХ ФОРМИРОВАНИЙ,
ПРОШЕДШАЯ НЕ МЕНЕЕ ОДНОГО СРОКА РЕАЛИЗАЦИИ,
летнего математического отряда «Эрудит»
Автор: учитель математики
МБОУ СОШ №16
Галина Егоровна Беляева
Директор МБОУ СОШ № 16:
Федорченко Надежда Павловна,
телефон – 8-421-38-6-26-04
E-mail – zavety16@mail.ru
р.п.Заветы Ильича
2014-2015гг
Информационная карта программы работы профильного отряда
1. Полное наименование программы.
Программа работы летнего профильного математического отряда «Эрудит».
2. Автор программы: Беляева Галина Егоровна, учитель математики
3. Учреждение, заявившее программу.
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняяобщеобразовательная школа № 16 р.п.Заветы Ильича, тел. 6-26-04
4. Полный адрес учреждения : 682844 Хабаровский край, Советско-Гаванский район, р.п. Заветы Ильича, ул.Николаева,10
5. Образовательная область, в которой реализуется программа.
Математика
6. Возраст и категория школьников, для которых предназначена программа.
Программа рассчитана на учащихся 8 класса.
7. Количество смен: 1 смена (01.06.15 – 11.06.15)
8. Общее количество детей за смену: 12 человек
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Настоящая Программа разработана в соответствии с Законом РФ «Об
образовании», Положением о профильных классах, а также на основе анализа работы профильного отряда за прошедшие 2 года. В школе сложилась определѐнная система работы по математике с талантливыми детьми. Ежегодно проводится «Неделя математики», в рамках которой проходят олимпиады во всех классах, учащиеся выполняют творческие практические задания, проводятся математические игры и конкурсы. Ученики принимают участие в олимпиадах по математике, международном математическом конкурсе “Кенгуру”, но количество призовых мест за последние 5 лет не увеличивается. Наблюдается снижение познавательного интереса учащихся к изучению математики. Это следует из результатов анкет учащихся, где на вопрос “Зачем я изучаю математику?” только 30 % ответили, что им интересно. Поэтому возникли противоречия между сложившейся системой работы с детьми по развитию познавательного интереса, творческих способностей и удовлетворѐнностью учащихся и педагогов результатами данной работы.
Проблема заключается в отсутствии формы работы, способной интегрировать воздействия по формированию творческого мышления учащихся. Данная форма должна объединить усилия учащихся и педагогов и стать:
- звеном для реализации принципа цикличности в развитии творческого
мышления;
- “началом всех начал” и своеобразным итогом деятельности;
- тренингом творческого мышления;
- площадкой для самореализации учащихся.
Наиболее эффективной является идея организации в школе Математических отрядов, в которых реализуется идея погружения детей в процесс творчества. Профильный отряд – форма организации образовательно – досуговой деятельности детей, проявивших особые способности в освоении научных знаний и имеющих интерес к углублѐнному изучению отдельных предметов.
Цель деятельности профильного отряда: создание среды, обеспечивающей условия для гармоничного развития талантливых детей, предоставления им полноценного отдыха, оздоровления и совершенствования интеллектуально-креативных способностей; способствующей продуктивному общению учащихся, расширению и углублению знаний по математике, умений в исследовательской и поисковой деятельности.
Задачи:
развивать мышление, устойчивый интерес к предмету, инициативу,
эрудицию, повышать логическую культуру;
организовывать значимую общественно-полезную деятельность и
активный отдых детей, способствовать развитию лидерских и
организаторских качеств подростков;
развивать талантливость через создание активной творческой
образовательной среды и активную творческую деятельность
учащихся.
Для учителя:
Образовательные: способствовать формированию умений применять
основные методы и идеи решения олимпиадных задач в различных
ситуациях. Апробировать методику проведения летнего математического
лагеря в условиях одной школы.
Развивающие: способствовать развитию исследовательской и
познавательной деятельности учащихся.
Воспитательные: способствовать формированию математической
культуры.
Для учащихся:
Образовательные: научиться применять основные методы и идеи решения олимпиадных задач в различных ситуациях.
Развивающие: развивать исследовательские навыки.
Воспитательные: воспитывать волевые качества характера.
Если организовать целенаправленный процесс по формированию
творческого мышления учащихся в рамках ежегодного математического
отряда, то это позволит достичь высокого уровня сформированности умений
решать нестандартные задачи.
Математический отряд, как форма, объединит в одну цепочку все звенья:
урок, кружок, турниры, интеллектуальные конкурсы, «Неделю математики»,
олимпиады, летний математический лагерь.
Причѐм каждое звено имеет своѐ предназначение: на уроке формируются
базовые знания для решения задач, на занятиях кружка изучаются методы
решения нестандартных задач, турниры, интеллектуальные конкурсы – это
своеобразная площадка для реализации полученных умений и навыков,
«Неделя математики» способствует развитию познавательного интереса,
олимпиада формирует адекватную самооценку, а летний математический
отряд – это творчество.
Содержание деятельности
Вся работа профильного отряда состоит из комплекса учебных,
воспитательных, физкультурно-оздоровительных, общественно-полезных
мероприятий.
Образовательный процесс в отряде является продолжением учебно-
воспитательного процесса, проводимого в школе, и строится с учетом
специфики избранного учащимися профиля, предусматривает различные
формы обучения и воспитания, направленные на развитие интеллектуального
и творческого потенциала учащихся, самосознания, дисциплины,
трудолюбия, чувства коллективизма и взаимопомощи.
Основные принципы организации учебной деятельности
обеспечение организации психологического комфорта ребенка научебных занятиях с целью сохранения его психического, физического и
духовного здоровья;
создание условий для саморазвития учащихся, выстраивания своейиндивидуальной траектории учебной деятельности;
обеспечение оптимального сочетания успешности в обучении синтеллектуальным напряжением и преодолением трудностей.
Основные принципы организации воспитательной деятельности
Принцип открытости
Принцип обратной связи
Принцип сотворчества
Принцип успешности
Принцип деятельности
Принцип свободы выбора
Основные направления воспитательной работы
1. Направление «Здоровье»
2. Направление «Интеллект»
3. Направление «Общение»
4. Направление «Нравственность»
5. Направление «Досуг»
Направление «Интеллект»
Цели: оказание помощи учащимся в развитии в себе способности
действовать целесообразно, мыслить рационально и эффективно проявлять
интеллектуальные умения в окружающей среде; развитие творческих и
исследовательских способностей.
Задачи: создать условия для продвижения учащихся в интеллектуальномразвитии.
Формы работы:
Математическая викторина
Защита интеллектуальных проектов.
Интеллектуально-творческие игры
Брейн-ринг головоломок
Аукцион знаний
Направление «Общение»
Цели: передача учащимся знаний, умений и навыков социального общения
людей.
Задачи: формировать у учащихся культуру общения в системе “учитель –
ученик”, “ученик – ученик”, “взрослый – ребенок”, учить конструированию и
моделированию в сфере общения с помощью организации активных форм
деятельности.
Формы работы:
Интерактивные игры
Самопрезентации и представления
Праздники, конкурсы, дебаты
Этапы и сроки реализации проекта:
1. Подготовительный – март- апрель 2015 г.
На данном этапе необходимо было обеспечить теоретическую и
мотивационную готовность участников проекта к проведению летнего
математического отряда. Изучены материалы передового педагогического
опыта по организации математического отряда. Результат I этапа: готовность
учащихся 8 классов к работе в математическом отряде и написание
программы математического отряда.
2. Организационный - май 2015 г.
Основная задача: обеспечить разработку нормативно-правовой базы поматематическому отряду.
3. Этап практической реализации - июнь 2015 г.
Работа по плану.
Режим жизнедеятельности отряда :9.00-9.10 – встреча детей
9.10-9.20 – спортивная разминка
9.20-9.45 - завтрак
9.45 10.00 – утренняя линейка «Что? Где? Когда?»
10.00- 13.00 –занятия по математике, познавательные игры, экскурсии
13.00-13.30 – обед
Развитие детского самоуправления
Ученическое самоуправление в отряде – это демократическая форма
организации жизнедеятельности ученического коллектива, обеспечивающая:
развитие самостоятельности учащихся;
оптимальное решение повседневных задач с учетом интересов детей;
приобретение каждым подростком знаний, умений и навыков
управленческой деятельности.
Творческие микрогруппы – временные детские объединения, которые
разрабатывают и организуют различные конкурсные программы, праздники
и т.д.
Законы отряда
Закон доброго отношения к людям.
Закон охраны природы.
Закон здорового образа жизни.
Закон соуправления.
Закон свободы слова.
Закон “ноль-ноль”.
Закон поднятой руки.
Программа отряда «Эрудит» предполагает, что подросток каждый день
должен делать для себя открытие:
- открытие о себе и своей личности,
- открытие в образовательной области,
- открытие в своих друзьях.
Ожидаемые результаты:
1. Оздоровление находящихся в отряде детей, содействие сохранению и
укреплению их здоровья, приучение к здоровому образу жизни.
2. Развитие интереса к занятиям математики.
3. Раскрытие и развитие творческих способностей детей. Умение
участвовать в коллективной творческой деятельности.
4. Укрепление дружбы и сотрудничества между детьми. Умение самим
организовывать свою деятельность, разрешать возможные конфликтные ситуации.
5. Развитие толерантности детей.
Календарно-тематическое планирование
№п/п Дата занятия Тема курса Преподаватель Количество часов
1 01.06.15 Чётность Беляева Г.Е. 3
2 02.06.15 Принцип Дирихле Беляева Г.Е. 3
3 03.06.15 Делимость Беляева Г.Е. 3
4 04.06.15 Логические задачи Беляева Г.Е. 3
5 05.06.15 Инвариант Беляева Г.Е. 3
6 06.06.15 Числа Фибоначчи Беляева Г.Е. 3
7 08.06.15 Математические игры Беляева Г.Е. 3
8 09.06.15 Занимательная геометрия Беляева Г.Е. 3
9 10.06.15 Весёлая математика Беляева Г.Е. 3
10 11.06.15 Олимпиада
« Летний олимп».
Беляева Г.Е. 3
ПРИЛОЖЕНИЯ
Список учащихся математического отряда «Эрудит»
2014-2015 учебного года
№ п/п Ф. И. учащихся Класс
1 Анисимова Наталия 8-а класс
2 Бодаева Елена 8-а класс
3 Кузнецова Анастасия 8-а класс
4 Лукина Дарья 8-а класс
5 Рослякова Екатерина 8-а класс
6 Силкина Татьяна 8-а класс
7 Сурник Никита 8-а класс
8 Цымбал Денис 8-а класс
9 Чистякова Таисия 8-а класс
10 Шевырева Валерия 8-а класс
11 Шишкина Лариса 8-а класс
12 Идрисов Рустам 8-а класс
Приложения.
Тема: « Числа Фибоначчи и золотое сечение в окружающем нас мире»
Цели занятия: использование математических навыков в нестандартных ситуациях; гуманитаризация обучения математике; развитие умственных операций(прием создания образа, перенос знаний, обобщение, сравнение, анализ синтез); развитие наблюдательности и познавательного интереса; развитие психических процессов мышления, смысловой памяти ; использование новых технологий( развитие коммуникативных навыков общения и умения слушать и слышать).
Умение: сотрудничать в коллективе и работать самостоятельно; выявить свойства чисел Фибоначчи; находить их в различных ситуациях
Ход занятия.
Вступление.
1.Слова учителя: Сегодня мы начинаем увлекательное путешествие в математику. Математическое исследование – это поход в неизвестность, я постараюсь показать путь, которым шли великие математики. А вот направление движения вы будете выбирать сами.
Я пожелаю вам испытать удовольствие от сознания того, что ты объяснил все возможные варианты, или от того, что нашёл ответ задачи, или просто от ощущения, что занят чем-то стоящим.
2.Головоломка, взята из « Книги абака », написанной итальянским математиком по имени Леонардо Фибоначчи. Книга была опубликована в 1202 году, а головоломка привлекает математиков до сих пор. Конечно их очаровывает не ответ сам по себе, а , скорее , последовательность чисел, которая возникает, когда пытаешься его найти. Ещё более замечательно то, что эта последовательность встречается в самых неожиданных ситуациях.
Головоломка: В январе тебе подарили пару новорожденных кроликов. Через два месяца они рождают новую пару кроликов. Новая пара через 2 месяца после рождения рождает новую пару. Сколько пар кроликов у тебя будет в декабре ?- У нас три группы и пять минут на размышление. Но в начале, уточним, как решать задачу по схеме:
Январь | | - исходная пара
Февраль | |
Март | | ------------------------------------------- | |
Апрель | | | |---------------------------------------------| |
Май | |------------------------| | | |-----------------------------| | | |
Июнь | |----| | | | | |----| | | | | |-----| |
- Продолжим до июля. Какая будет ситуация в этом месяце? (дать группам 5 минут на обдумывание)
- Что у вас получилось?
-Составим из количества получившихся кроликов последовательность чисел:
1 1 2 3 5 8 13
- Можно ли заметить некую закономерность в их образовании?
Ответ ребят: Каждое новое число последовательности является суммой двух предыдущих.
- Тогда какая ситуация будет в августе?
Ответ ребят: 8 + 13 = 21
Пар родятся в августе пары родились до августа
- Сколько пар кроликов будет в декабре?
Ответ : 144.
3. Посмотрим на получившуюся последовательность чисел: 1 , 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 – члены этой последовательности с их таинственными свойствами известны сейчас, как числа Фибоначчи. Что же это за свойства? Одно из них можно определить прямо сейчас.
Задание: С помощью калькулятора разделите каждое на предыдущее.
Ответ: 1: 1=1 ; 2: 1=2 ; 3:2= 1,5 ; 5:3=1,666 ; 8:5=1,6 ; 13:8=1,625 ; 21:13=1,615384
4.Если делить все большие и большие числа Фибоначчи, то можно очень близко подойти к Золотому сечению. Что это , спросите вы меня?
Выступление ученика: (заранее подготовленное; для наглядности фотография Парфенона на доске) Парфенон в Афинах - одно из самых знаменитых сооружений в мире. Он был построен в эпоху расцвета древнегреческой математики.
-Спасибо. Мы видим его фасад, вписанным в прямоугольник, стороны которого образовывают так называемое золотое сечение.
Задание: 1. Измерьте длину прямоугольника и ширину.
2. Во сколько раз длина больше ширины Ответ: Длина7.1 см; ширина 4,5 см; 7,1 : 4,5 = 1,5777≈1,6 раз
- Прямоугольник, у которого длина больше чем ширина в 1,6 раза образовывает Золотое сечение.
Выступление ученика: Греки считали, что золотые прямоугольники наиболее приятные глазу и приписывали ему магические свойства. Как и египтяне использовавшие их при расчетах пирамид.
-Я покажу вам таблицу примеров прямоугольников, стороны которого образуют золотое сечение.
Ширина ( в метрах) Длина ( в метрах) Вычисления
1 1,618 2 3,236 1,618*2
5 8,090 1,618*3
-Как можно вычислить эти стороны покажем в таблице.
5..А теперь я попрошу вас построить Золотые прямоугольники, используя числа Фибоначчи. Для этой работы нам потребуется две группы ребят.
Задание: Начните с квадрата со стороной в 1 клетку. Добавьте к нему второй такой же . На длинной стороне постройте еще один квадрат , потом еще и еще.
Первая группа : я предлагаю вам дорешать и показать нам ответ т. е. ваши золотые прямоугольники.( ученики работают на листочках в клеточку не менее чем в 4 экземплярах) .
Второй группе я предлагаю построить его с помощью циркуля и линейки. Начните с квадрата произвольной длины. Разделите его на два равных прямоугольника
, проведите диагональ одного из них циркулем проведите дугу окружности с
радиусом АВ и с центром А.
Всем остальным могу предложить найти знакомые вам уже числа Фибоначчи, в таких незнакомых продуктах, как: СЕЛЬДЕРЕЙ,
АНАНАС, СОСНОВАЯ ШИШКА (принести заранее в натуральном виде)
Рассмотрим разрез сельдерея на рисунке. Вы видите, как стебли накладываются друг на друга, так что срез напоминает водоворот. Это потому , что, как и многие растения, сельдерей растет спиралями, растение как бы закручивается. Давайте найдем, сколько тут спиралей?
Ответ: Их три. Одна раскручивается против часовой стрелки; две другие – по часовой стрелке (если начинать из нутрии).
Продолжим эти исследования с ананасом и сосновой шишкой, смотрите с низу двигаясь по часовой стрелке(потом против).На эту работу отводим 5 минут.
-Проверим .Что у нас получилось? Первая группа построила золотые прямоугольники, используя числа Фибоначчи. Покажите нам и гостям. Вторая- циркуль и линейку. Готово? А остальные: сколько спиралей вы нашли у ананаса, у шишки?
Ответ: Ананас 8 по часовой стрелке, а 13 против часовой. У сосновой шишки 8 по часовой и 13 против часовой стрелки.-Поразительно то , что эти два числа соседние числа Фибоначчи ( 1 и 2 у сельдерея, 8 и 13 у ананаса, 5 и 8 у сосновой шишки, 21 и 24 у подсолнуха). Дома попробуйте найти растении, в которых встречается пара 2 и 3 ; 3 и 5; 5 и 8; 13 и 21.
6.Поможет ли наше умение наблюдать, решать не стандартные задачи?
Задача № 1. Геологи нашли 19 самородков массами 1 кг, 2 кг, 3 кг, … , 19 кг. Как разложить эти самородки по десять рюкзакам так, чтобы в каждом был одинаковый груз?
Ответ: 1 + 18; 2 + 17 ; 3 + 16 ; 4 + 15 ; 5 + 14 ; 6 + 13 ; 7 + 12 ; 8 + 11; 9 + 10,19.
Задача № 2. Найдите значение выражения: 26*25-25*24+24*23-23*22+22*21-21*20+20*19-19*18+18*17-17*16+16*15-15*14 ? Ответ: 25*(26-24)+23*(24-22)+21*(22-20)+19*(20-18)+17*(18-16)+ 15* ( 16 – 14) = 2*(25+23+21+19+17+15)= 2*(40+40+40)= 2*120= 240.
Принцип Дирихле.
1. Вводная часть:
При решении различных математических задач применяется специальный метод, получивший название: принцип Дирихле. Существует несколько формулировок данного принципа.
Самая популярная следующая:
«Если в n клетках сидит m зайцев, причём m>n, то хотя бы в одной клетке сидят, по крайней мере, два зайца».
Еще применяется такая формулировка:
« Пусть в n клетках сидят m зайцев, причём n>m. Тогда найдётся хотя бы одна пустая клетка».
Доказывается данный методом доказательства от противного.
На первый взгляд, непонятно, почему это совершенно очевидное предложение, тем не менее, является мощным математическим методом решения задач, причём самых разнообразных. Все дело оказывается в том, что в каждой конкретной задаче нелегко понять, что же здесь выступает в роли «зайцев», а что - в роли «клеток». И почему надо, чтобы «зайцев» было больше, чем «клеток». Выбор «зайцев» и «клеток» часто неочевиден. Далеко не всегда по формулировке задачи можно определить, что следует применить принцип Дирихле. Главное же достоинство данного метода решения в том, что он даёт неконструктивное решение, попытка же дать конструктивное решение приводит к большим трудностям.
Рассмотрим примеры различных задач, решаемых с помощью принципа Дирихле.
2. Задачи для обсуждения на уроке.
В классе 15 учеников. Докажите, что найдутся как минимум 2 ученика, отмечающих дни рождения в один месяц.
Внутри равностороннего треугольника со стороной 1 см расположено 5 точек. Докажите, что расстояние между некоторыми двумя из них меньше 0,5 см.
Дано 12 целых чисел. Докажите, что из них можно выбрать два, разность которых делится на 11.
В ковре размером 3х3 метра Коля проделал 8 дырок. Докажите, что из него можно вырезать коврик размером 1х1 метр, не содержащий внутри себя дырок. (Дырки можно считать точечными.)
3. Выводы:
Таким образом, применяя данный метод, надо:
определить, что удобно в задаче принять за «клетки», а что за «зайцев»;
получить «клетки». Чаще всего «клеток» меньше (больше), чем «зайцев» на одну
( или более);
выбрать для решения требуемую формулировку принципа Дирихле.
4. Самостоятельная работа.
1)Дано 9 целых чисел. Докажите, что из них можно выбрать два, разность которых делится на 8.
2)В классе 35 учеников. Можно ли утверждать, что среди них найдутся хотя бы два ученика, фамилии которых начинаются с одной буквы?
3)В лесу растет миллион елок. Известно, что на каждой из них не более 600 000 иголок. Докажите, что в лесу найдутся две елки с одинаковым количеством иголок.
4)На дискотеку в студенческое общежитие, в котором 42 комнаты, пришло 36 гостей. Докажите, что найдется комната, в которую не пришёл ни один гость.
5) В классе 26 учеников, из них более половины- мальчики. Докажите, что какие-то 2 мальчика сидят за одним столом, если в классе 13 столов.
5. Задачи- шутки.
1)Как одним мешком пшеницы, смолов его наполнить два таких же мешка?
2)Что это: две головы, две руки, шесть ног, а идут или бегут только четыре?
3)Как-то в праздник один мой знакомый сказал мне: « Позавчера мне было 40 лет, а в будущем году исполнится 43 года». Могло ли такое быть?.6. Домашнее задание.
1)Внутри правильного шестиугольника со стороной 1 см расположено 7 точек. Докажите, что расстояние между некоторыми двумя точками меньше, чем 1 см.
2)В вершинах квадрата записаны числа 3,1,2,5. Разрешается прибавлять к любым двум числам, стоящим в квадрате, одно и то же целое число. Можно ли через несколько ходов получить во всех вершинах одинаковые числа?
3)Имеется два ведра – одно емкостью 4 литра, другое 9 литров. Можно ли набрать из реки ровно 6 литров воды?
Литература:
http://ru.wikipedia.org/wiki/Принцип_ДирихлеФарков А.В., Математические кружки в школе. 5-8 класс, Издательство: Айрис
Серия: Школьные олимпиады, 2007г.
3.http://www.smekalka.pp.ru/math_dir.htmlЛитература
Иченская М.А. Внеклассная работа по математике. – Волгоград: изд-во “Учитель”, 2013.
Игнатьев Е.И. В царстве смекалки. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1979.
Екимова М.А Задачи на разрезание. М.: МЦНМО, 2002.
Фарков А.В. Математические кружки в школе М.: Айрис-пресс, 2007.
Фарков А.В. Математические олимпиады в школе. 5-11 классы. 3-е издание, испр. И доп. М.: Айрис-пресс, 2010.
Олимпиадные задачи по математике и методы их решения. М.: Народное образование, 2003.
Шарыгин И.Ф. Уроки дедушки Гаврилы, или Развивающие каникулы. М.: Дрофа, 2011.
Для информационной компьютерной поддержки учебного процесса предполагается использование следующих программно-педагогических средств, реализуемых с помощью компьютера:
Математика 5-11 классы. Практикум: Учебное электронное издание.
Большая электронная детская энциклопедия по математике.
Алгебра не для отличников: Учебное электронное издание.
1С: Репетитор. Математика. Часть 1.Для обеспечения плодотворного учебного процесса предполагается использование информации и материалов следующих Интернет – ресурсов:
Министерство образования РФ: http://www.informika.ru/; http://www.ed.gov.ru/; http://www.edu.ru/
Тестирование online: 5-11 классы: http://www.kokch.kts.ru/cdo/
Педагогическая мастерская, уроки в Интернет и многое другое: http://teacher.fio.ru
Новые технологии в образовании: http://www.edu.secna.ru/main/
Проект:
«Исследование квадратного трехчлена»
Выполняла: Аниськова Екатерина
Ученица 9 – «А» класса
МБОУ СОШ № 16
Руководитель: Беляева Галина Егоровна
Введение:
Мне захотелось взять эту тему, т.к. стало интересно, какие бывают квадратные трехчлены, кому впервые довелось исследовать квадратные трехчлены и посмотреть несколько примеров решения задач с помощью квадратных трехчленов.
Основная часть:
Квадра́тное уравне́ние — алгебраическое уравнение общего вида
где — свободная переменная , , , — коэффициенты, причём
Выражение называют квадратным трёхчленом.
Корень такого уравнения (корень квадратного трёхчлена) — это значение переменной , обращающее квадратный трёхчлен в нуль, то есть значение, обращающее квадратное уравнение в тождество.
Коэффициенты квадратного уравнения имеют собственные названия: коэффициент называют первым или старшим, коэффициент называют вторым или коэффициентом при , называется свободным членом этого уравнения.
Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент :
Полным квадратным уравнением называют такое, все коэффициенты которого отличны от нуля.
Неполным квадратным уравнением называется такое, в котором хотя бы один из коэффициентов кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член) равен нулю.
Исторические сведения о квадратных уравнениях
Древний Вавилон
Уже примерно за 2000 лет до нашей эры Вавилоняне знали, как решать квадратные уравнения. Решение их в Древнем Вавилоне было тесно связано практическими задачами, в основном такими, как измерение площади земельных участков, земельные работы, связанные с военными нуждами; наличие этих познаний также обусловлено развитием математики и астрономии вообще. Были известны способы решения как полных, так и неполных квадратных уравнений. Приведём примеры квадратных уравнений, решавшихся в Древнем Вавилоне, используя современную алгебраическую запись:
Правила решения квадратных уравнений во многом аналогичны современным, однако в вавилонских текстах не зафиксированы рассуждения, путём которых эти правила были получены.
Индия
Задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений, встречаются в трактате по астрономии «Ариабхаттиам», написанным индийским астрономом и математиком HYPERLINK "https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%B1%D1%85%D0%B0%D1%82%D0%B0" \o "Ариабхата" Ариабхатой в 499 году нашей эры. Другим индийским учёным, HYPERLINK "https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%80%D0%B0%D1%85%D0%BC%D0%B0%D0%B3%D1%83%D0%BF%D1%82%D0%B0" \o "Брахмагупта" Брахмагуптой, было изложено универсальное правило решения квадратного уравнения, приведённого к каноническому виду: ; притом предполагалось, что в нём все коэффициенты, кроме могут быть отрицательными. Сформулированное учёным правило по своему существу совпадает с современным.
Корни квадратного уравнения на множестве действительных чиселI способ. Общая формула для вычисления корней
Для нахождения корней квадратного уравнения в общем случае следует пользоваться приводимым ниже алгоритмом:
Выведение формулы
Изложенный метод универсален, однако он далеко не единственный. К решению одного уравнения можно подойти различными способами, предпочтения обычно зависят от самого решающего. Кроме того, часто для этого некоторый из способов оказывается значительно более элегантным, простым, менее трудоёмким, чем стандартный.II способ. Корни квадратного уравнения при чётном коэффициенте b
Для уравнений вида , то есть при чётном , где вместо формулы (1) для нахождения корней можно использовать более простые выражения.
Примечание: данные ниже формулы можно получить, подставив в стандартные формулы выражение b=2k и совершив при этом несложные преобразования.
III способ. Решение неполных квадратных уравнений
К решению неполных квадратных уравнений следует подходить по-особому. Рассмотрим три возможных ситуации.
IV способ. Использование частных соотношений коэффициентов
Существуют частные случаи квадратных уравнений, в которых коэффициенты находятся в соотношениях между собой, позволяющих решать их гораздо проще.
Корни квадратного уравнения, в котором сумма старшего коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту
Если в квадратном уравнении сумма первого коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту: (речь идёт об уравнении с вещественными коэффициентами), то его корнями являются и число, противоположное отношению свободного члена к старшему коэффициенту ().Доказательство
Отсюда, прежде, чем решать какое-либо квадратное уравнение, следует проверить возможность применения к нему этой теоремы: сравнить сумму старшего коэффициента и свободного члена со вторым коэффициентом.
Корни квадратного уравнения, сумма всех коэффициентов которого равна нулю
Если в квадратном уравнении сумма всех его коэффициентов равна нулю (), то корнями такого уравнения являются и отношение свободного члена к старшему коэффициенту ().
Доказательство
Отсюда, прежде, чем решать уравнение стандартными методами, следует проверить применимость к нему этой теоремы: сложить все коэффициенты данного уравнения и посмотреть, не равна ли нулю эта сумма.
V способ. Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители
Если трёхчлен вида удастся каким-либо образом представить в качестве произведения линейных множителей , то можно найти корни уравнения - ими будут и , действительно, ведь , а решив указанные линейные уравнения, получим вышеописанное. Отметим, что квадратный трёхчлен не всегда раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами: это возможно, если соответствующее ему уравнение имеет действительные корни.
Рассмотрим некоторые частные случаи.
Использование формулы квадрата суммы (разности)
Если квадратный трёхчлен имеет вид , то применив к нему названную формулу, мы сможем разложить его на линейные множители и, значит, найти корни:
Выделение полного квадрата суммы (разности)
Также названную формулу применяют, пользуясь методом, получившим названия "выделение полного квадрата суммы (разности)". Применительно к приведённому квадратному уравнению с введёнными ранее обозначениями, это означает следующее:
1)прибавляют и отнимают одно и то же число
2)применяют формулу к полученному выражению, переносят вычитаемое и свободный член в правую часть
3)извлекают из левой и правой частей уравнения квадратный корень и выражают переменную
Примечание: если вы заметили, данная формула совпадает с предлагаемой в разделе "Корни приведённого квадратного уравнения", которую, в свою очередь, можно получить из общей формулы (1) путём подстановки равенства a=1. Этот факт не просто совпадение: описанным методом, произведя, правда некоторые дополнительные рассуждения, можно вывести и общую формулу, а также доказать свойства дискриминанта.
VI способ. Использование прямой и обратной теоремы Виета
Прямая теорема Виета и обратная ей теорема позволяют решать приведённые квадратные уравнения устно, не прибегая к достаточно громоздким вычислениям по формуле.
Согласно обратной теореме, всякая пара чисел (число) , будучи решением нижеприведенной системы уравнений, являются корнями уравнения :
Подобрать устно числа, удовлетворяющие этим уравнениям, поможет прямая теорема. С её помощью можно определить знаки корней, не зная сами корни. Для этого следует руководствоваться правилом:
1)если свободный член отрицателен, то корни имеют различный знак, и наибольший по модулю из корней - знак, противоположный знаку второго коэффициента уравнения;
2)если свободный член положителен, то оба корня обладают одинаковым знаком, и это - знак, противоположный знаку второго коэффициента.
VII способ. Метод "переброски"
Так называемый метод "переброски" позволяет сводить решение неприведённых и непреобразуемых к виду приведённых с целыми коэффициентами путём их деления на старший коэффициент уравнений к решению приведённых с целыми коэффициентами. Он заключается в следующем:
1)умножаем обе части на выражение:
2)вводим новую переменную y=ax:
.
Далее уравнение решают устно описанным выше способом, затем возвращаются к исходной переменной и находят корни уравнений и .
Геометрический смысл
Графиком квадратичной функции является парабола. Решениями (корнями) квадратного уравнения называют абсциссы точек пересечения параболы с осью абсцисс. Если парабола, описываемая квадратичной функцией, не пересекается с осью абсцисс, уравнение не имеет вещественных корней. Если парабола пересекается с осью абсцисс в одной точке (в вершине параболы), уравнение имеет один вещественный корень (также говорят, что уравнение имеет два совпадающих корня). Если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, уравнение имеет два вещественных корня.
Если коэффициент положительный, ветви параболы направлены вверх и наоборот. Если коэффициент положительный (при положительном , при отрицательном наоборот), то вершина параболы лежит в левой полуплоскости и наоборот.
Графический способ решения квадратных уравнений
Помимо универсального способа, описанного выше, существует так называемый графический способ. В общем виде этот способ решения рационального уравнения вида заключается в следующем: в одной системе координат строят графики функций и и находят абсциссы общих точек этих графиков; найденные числа и будут корнями уравнения.
Есть всего пять основных способов графического решения квадратных уравнений.
Способ I
Для решения квадратного уравнения этим способом строится график функции и отыскивается абсциссы точек пересечения такого графика с осью .
Способ II
Для решения того же уравнения этим способом его преобразуют к виду и строят в одной системе координат графики квадратичной функции и линейной функции , затем находят абсциссу точек их пересечения.
Способ III
Решение этим методом подразумевает преобразование исходного уравнения к виду , используя метод выделения полного квадрата суммы (разности) и затем в . После этого строятся график функции (им является график функции , смещённый на единиц масштаба в право или влево в зависимости от знака) и прямую , параллельную оси абсцисс. Корнями уравнения будут абсциссы точек пересечения параболы и прямой.
Способ IV
Квадратное уравнение преобразуют к виду , строят график функции (им является график функции , смещённый на единиц масштаба вверх, если этот коэффициент положителен, либо вниз если он отрицателен), и , находят абсциссы их общих точек.
Способ V
Квадратное уравнение преобразуют к особому виду:
затем
.
Совершив преобразования, строят графики линейной функции и обратной пропорциональности , отыскивают абсциссы точек пересечения этих графиков. Этот метод имеет границу применимости: если , то метод не используется.
Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки
Описанные выше методы графического решения имеют существенные недостатки: они достаточно трудоёмки, при этом точность построения кривых - парабол и гипербол - низка. Указанные проблемы не присущи предлагаемому ниже методу, предполагающему относительно более точные построения циркулем и линейкой.
Чтобы произвести такое решение, нужно выполнить нижеследующую последовательность действий.
Построить в системе координат Oxy окружность с центром в
точке , пересекающую ось y в точке C(0;1).
Далее возможны три случая:
длина радиуса окружности превышает длину перпендикуляра к оси абсцисс, опущенного из точки S: в этом случае окружность пересекает ось x в двух точках, а уравнение имеет два действительных корня, равных абсциссам этих точек;
радиус равен перпендикуляру: одна точка и один вещественный корень кратности 2;
радиус меньше перпендикуляра: корней в множестве нет.
«Проценты в школе и в жизни»
Работу выполнили ученики 9А класса Мельник Иван, Котик Дмитрий.
План
Введение
1. Из истории происхождения процентов
2. Решение задач на проценты разными способами
3. Банки и проценты
Заключение
Список источников
Введение.
В 6 классе на уроке математики мы изучили тему «Проценты» и решили огромное количество интересных задач на нахождение процентов. Нам эта тема показалась тесно связанной с реальной жизнью. Очень часто, приобретая ту или иную вещь, мы подсчитываем свои доходы и расходы. Мы увидели связь между темой «Проценты» и экономической стороной жизни.
Прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую, экономическую, демографическую и другие сферы нашей жизни. Изучение процента продиктовано самой жизнью. Умение выполнять процентные вычисления и расчеты необходимо каждому человеку, так как мы ежедневно встречаемся с ценами на товары и услуги, приходится иметь дело при оформлении в банке сберегательного вклада или кредита, покупке товара в рассрочку, при выплате налогов, страхования.
Цель проекта. Показать, что тема "Проценты" имеет практическое применение.
Основополагающий вопрос: А все ли мы знаем о процентах?
Проблемно-тематический вопрос: Как проценты помогают нам в жизни?
Цель исследовательской работы:
Расширение знаний о применении процентных вычислений в задачах и из разных сфер жизни человека;
Составить и решить задачи по данной тематике
Задачи:
Познакомиться с историей возникновения процентов;
Решать задачи на проценты разными способами;
Применять полученные знания в дальнейшем обучении.
Расширить и углубить представление о практическом значении математики в жизни.
Научиться сравнивать, делать выводы.
Мы выбрали эту тему из-за необходимости решения практических задач на уроках математики применении их в жизни, т.к. они имеют социальную значимость, помогают разобраться в новых экономических сферах жизни.
1. Из истории происхождения и применения процентов.
Проценты – одно из математических понятий, которые часто встречаются в повседневной жизни. Так, мы часто читаем или слышим, что например, в выборах приняли участи 52,5% избирателей, рейтинг победителя хит-парада равен 75%, промышленной производство сократилось на 11,3%, уровень инфляции 8% в год, банк начисляет 12% годовых, молоко содержит 3,2% жира, материал содержит 60% хлопка и т.д.
Слово «процент» происходит от латинского pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают целые части чисел в одних и тех же сотых долях. Знак «%» происходит, как полагают, от итальянского слова cento(сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Существует и другая версия возникновения этого знака. Предполагается, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 году в Париже была опубликована книга «Руководство по коммерческой арифметике» Матье де ла Порта. В одном месте речь шла о процентах, которые тогда обозначали «cto» (сокращённо от cento). Однако наборщик принял это «cto» за дробь и напечатал «%». Так из-за опечатки этот знак вошёл в обиход.
Впервые опубликовал таблицы для расчета процентов в 1584 году Симон Стевин - инженер из города Брюгге (Нидерланды). Стевин известен замечательным разнообразием научных открытий в том числе – особой записи десятичных дробей.
Проценты применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Ныне процент - это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу).
В популярной литературе возникновение этого термина связывается с внедрением в Европе десятичной системы счисления в XVв. Однако уже в «Дигестах Юстиниана» (так называется первая дошедшая до нас кодификация римского права, Vв), мы находим вполне современное употребление процентов.
2. Решение задач на проценты разными способами
При решении задач на проценты в 5 - 6 классах применяют следующие правила: 1.Нахождение процентов от числа: Чтобы найти проценты от числа нужно, проценты превратить в десятичную дробь и умножить на это число.
2.Нахождение числа по его процентам: Чтобы найти число по его процентам нужно, проценты превратить в десятичную дробь и число разделить на эту дробь.
3.Нахождение процентного отношения чисел: Чтобы найти процентное отношение чисел, надо отношение этих чисел умножить на 100.
Задачи с процентами можно решить разными способами: уравнением, составлением таблицы, применяя пропорцию, по действиям, используя правила.
Хотя мы учимся в 9 классе, задачи на проценты приходится решать постоянно. Вот некоторые из них:
Известно, что 10 % числа равны 30.Что это за число?
Решение. Задачу легко можно решить, используя пропорцию.
30- 10% х = 30*100/10 = 300
х — 100% Ответ: 300.
Число х больше числа у на 20 %, а число z меньше числа х на 60 %. На сколько процентов число с меньше числа у?
Сумма двух чисел равна 84, а сумма 15% первого числа и 30% второго числа равна 18. Что это за числа?..»
Рассмотрим простые задачи на проценты. 1) Определение процента от числа. Найти: 40% от 150. Решение: 1) 40%= 0.4 2)150*0.4=60. Ответ:60
2) Определение числа по известной его части, выраженной в процентах
Найти число, если 5% его равны 30. Решение: 1) 5% = 0,05; 2) 30 : 0,05 =600 Ответ: 600.
После рассмотрения этих простейших задач можно рассмотреть задачи типа:
1. На сколько процентов 10 больше 6? ((10 - 6).100%)/6 = 66 2/3 (%) 2. На сколько процентов 6 меньше 10? ((10 - 6).100%)/10 = 40(%)3.Что произойдет с ценой товара, если сначала ее повысить на 25%, а потом понизить на 25%? Решение: Пусть цена товара х руб. 1) х + 0,25х = 1,25х;
2) 1,25х - 0,25.1,25х = 0,9375х; 3) х - 0,9375х = 0,0625х; 4) 0,0625х/х . 100% = 6,25%. Ответ: первоначальная цена товара снизилась на 6,25%.
4. Свежие грибы содержали по массе 90% воды, а сухие 12%. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих? Решение: 1) 22 . 0,1 = 2,2 (кг) - грибов по массе в свежих грибах; 2) 2,2 : 0,88 = 2,5 (кг) - сухих грибов, получаемых из свежих. Ответ: 2,5 кг.
При решении задач на проценты приходится сталкиваться с понятием "процентное содержание", "концентрация", "%-й раствор". Поэтому предлагаю задачи на эти понятия. Более сложные задачи на проценты будут встречаться на уроках химии.
1. Сколько кг соли в 10 кг соленой воды, если процентное содержание соли 15%. Решение: 10 . 0,15 = 1,5 (кг) соли. Ответ: 1,5 кг.
2. Сплав содержит 10 кг олова и 15 кг цинка. Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве? Решение: Процентное содержание вещества в сплаве - это часть, которую составляет вес данного вещества от веса всего сплава. 1) 10 + 15 = 25 (кг) - сплав; 2) 10/25 . 100% = 40% - % содержание олова в сплаве;
3) 15/25 . 100% = 60% - % содержание цинка в сплаве.
3. Концентрация серебра в сплаве 300 г составляет 87%. Сколько чистого серебра в сплаве? Решение. 300 . 0,87 = 261 (г). Ответ: 261 г.
В этом примере концентрация вещества выражена в процентах.
3.Банки и кредиты
Креди́т (лат. creditum — заём от лат. credere — доверять) или кредитные отношения — общественные отношения, возникающие между субъектами экономических отношений по поводу движения стоимости.
Функции кредита: перераспределительная; создания кредитных орудий обращения, воспроизводственная и стимулирующая.
Благодаря перераспределительной функции происходит перераспределение временно высвободившейся стоимости. Она может осуществляться на уровне предприятий, отрасли, государства (национальной экономики), мирового хозяйства (мировой экономики). Перераспределение идёт на условиях возврата стоимости.
Функция создания кредитных орудий обращения связана с возникновением банковской системы. Благодаря возможности хранения денежных средств на счетах в банках, развитию безналичных расчётов, зачёту взаимных обязательств, появились кредитные средства обращения и платежа.
Воспроизводственная функция кредита проявляется двояко: 1) получение заёмщиком кредита обеспечивает его необходимым объёмом капитала для ведения предпринимательской деятельности (производства). Посредством кредита происходит воспроизводство хозяйствующего субъекта (товаропроизводителя) как такового; 2) в результате предоставления кредита разным предприятиям воспроизводятся как лучшие, так и худшие для общества условия производства товаров (качество, себестоимость, цена).
Стимулирующая функция кредита проявляется в возможности развития производства без наличия собственных денежных средств. Благодаря кредиту предприятия получают мощный стимул для дальнейшего развития.
В зависимости от вещественной формы ссуженной стоимости выделяют товарную, денежную и смешанную формы кредита.
Товарная форма кредита предполагает передачу во временное пользование конкретной вещи, определённой родовыми признаками. Данная форма исторически существовала до появления денежных отношений. Эквивалентом для обмена являлись отдельные товары (меха, скот, зерно и пр.), а кредиторами были субъекты, обладавшие излишками предметов. Возвращать надлежало аналогичное имущество с оговоренным или естественным (для скота, зерна, птицы) приращением. В современных условиях товарной формой кредита является поставка товаров с отсрочкой оплаты (обычно от производителя в адрес торговой организации), продажа в рассрочку, аренда (прокат) имущества, лизинг оборудования, товарная ссуда, некоторые варианты ответственного хранения. В ряде случаев возвращать надлежит то же самое или аналогичное имущество с дополнительной оплатой или без таковой. Если возвращать надлежит денежный эквивалент товара, полученного в кредит, то получается смешанная форма кредита.
Денежная форма кредита предполагает передачу во временное пользование оговоренного количества денег. Денежная форма является преобладающей в современных условиях экономики. Данная форма кредита активно используется всеми субъектами экономических отношений (государством, предприятиями, отдельными гражданами) как внутри страны, так и во внешнем экономическом обороте. В денежной форме кредита нет эквивалентного товарно-денежного обмена, а есть передача стоимости во временное пользование с условием возврата через определённое время и, как правило, с уплатой процентов за пользование ей.
Смешанная форма кредита возникает в том случае, когда кредит был предоставлен в форме товара, а возвращён деньгами или наоборот — предоставлен деньгами, а возвращён в виде товара. Последний вариант часто используется в международных расчётах, когда за полученные денежные ссуды расчёт производится поставками товаров. Во внутренней экономике продажа товаров в рассрочку сопровождается постепенным возвращением кредита в денежной форме.
Кредит играет важную роль в саморегулировании величины средств, необходимых для совершения хозяйственной деятельности. Благодаря кредиту предприятия располагают в любой момент такой суммой денежных средств, которая необходима для нормальной работы.
Роль кредита важна для пополнения оборотных средств, потребность в которых у каждого предприятия не стабильна, меняется в зависимости от условий работы: рыночных, природных, климатических, политических и др.
Роль кредита велика для воспроизводства основных фондов. Используя кредит, предприятие может совершенствовать, увеличивать производство значительно быстрее, чем при его отсутствии.
Важна роль кредита в регулировании ликвидности банковской системы, а также в создании эффективного механизма финансирования государственных расходов.
Также в банки можно делать вклады. Вкладом называются деньги, которые человек отдает в банк на определенных условиях, подразумевающих начисление дохода. Банковский вклад является одним из самых надежных инструментов защиты, сбережения и накопления денежных средств.
Одними из главных показателей вклада являются срок и процентная ставка. Банки мотивируют вкладчиков размещать свои средства на длительный срок: чем он больше, тем выше процентную ставку предлагает банк.
Банки предлагают своим клиентам различные виды вкладов: рублевые, валютные, зарплатные, пополняемые, с ежемесячным начислением процентов и так далее. Стоит учитывать, что чем больше опций предусмотрено вкладом, тем меньше по нему процентная ставка.
Доходность по рублевым вкладам всегда выше, чем по сбережениям в долларах или евро. Однако если вам периодически нужны иностранные деньги или вы хотите стратегически защитить свои сбережения на годы вперед, то рекомендуется открывать мультивалютные вклады – так риски будут распределены, а снижение одного вида валюты будет компенсировано ростом другой.
Выводы.
Задачи на проценты имеют большое практическое значение и приобретенные знания, мы надеемся, помогут мне в дальнейшей жизни. Мы планируем развивать начатую тему, рассмотреть простые и сложные проценты, решать различные виды задач на проценты. Чтобы быть современным человеком, необходимо иметь возможность самому вычислять возможные выплаты по кредиту или хотя бы примерно знать, стоит ли брать кредит или ссуду.
Источники
Википедия http://ru.wikipedia.org
http://www.sravni.ru/vklady/info/chto-takoe-vklad/