Презентация по геометрии на тему Пропорциональные отрезки

Учитель математикиМБОУ лицея №2г. Южно – СахалинскаБокова Т.Н. Фон лучше изменить? Определение. Отрезки АВ и СD называются пропорциональными отрезкам А1В1 и С1D1, если А K B C D E F G M Отрезки BC и AB пропорциональны отрезкам EF и FG, так как коэффициент пропорциональности Отрезки BC и AB не пропорциональны отрезкам EF и FM, так как , следовательно, Теорема о пропорциональных отрезках, отсекаемых параллельными прямыми на сторонах угла. Ели стороны угла с вершиной в точке О пересечены параллельными прямыми AB и MN, О М N A B то отрезки OM и ON пропорциональны отрезкам OA и OB, то есть если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки. Напомним теорему Фалеса: Теорема (обобщение теоремы Фалеса) Параллельные прямые, пересекающие две данные прямые, отсекают на этих прямых, пропорциональные отрезки. а b A1 A2 A3 B1 B2 B3 Следствия. Если стороны угла пересечены прямыми так, что полученные отрезки на одной стороне пропорциональны соответственным отрезкам на другой стороне, то секущие прямые параллельны. О А В С D 2. Если стороны угла пересечены параллельными прямыми, то отрезки параллельных прямых относятся между собой как отрезки, отсекаемые от сторон угла, считая от вершины. О А В С D Задачи на нахождение отношений отрезков. Теорема. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. Дано: ABC, AD- биссектриса.Док-ть: Доказательство. Проведем CE||AD и BF||AD (Е-точка на АВ). А В С D Е F Согласно обобщению теоремы Фалеса Докажем, что АЕ=АС. 1 2 3 4 1= 2, 3= 1, 4= 2 (почему?), откуда следует, что 3= 4. Таким образом, треугольник AEC равнобедренный, поэтому AE=AC, следовательно, Теорема. Если биссектриса внешнего угла при вершине А треугольника АВС пересекает прямую ВС в точке D, то В А С D Задача. На биссектрисе BD треугольника АВС отмечена точка М так, что ВМ:МD=m : n. Прямая АМ пересекает сторону ВС в точке К. Найти отношение ВК:КС, если АВ:ВС=p : q. A B K M C D Проведем DP||AK. P По обобщению теоремы Фалеса отрезки BM и MD пропорциональны BK и KP, то есть Точно так же отрезки AD и DC пропорциональны отрезкам KP и PC: Но Пусть КР=px тогда PC=qx, KC=(p+q)x, а из равенства (1) получаем Откуда Задача. На сторонах АС и ВС треугольника АВС отмечены точки К и М так, что АК:КС=m:n, ВМ:МС=p:q. Отрезки АМ и ВК пересекаются в точке О. Докажите, что Это утверждение называется теоремой о пропорциональных отрезках в треугольнике. Задача решается аналогично предыдущей. А В С М К О Замечание. Существует простой способ, позволяющий запомнить полученные формулы. А В С М К О m n p q Например, чтобы написать формулу отношения AO:OM, нужно, «двигаясь» от точки А к точке В по отрезкам АК, КС, СМ, МВ, взять отношение первого отрезка ко второму, то есть , и умножить его на отношение третьего отрезка к четвертому, сложенному с 1, то есть на В результате получаем: Формула для отношения ВО:ОК получается по тому же правилу, но нужно «двигаться» от то точки В к точке А: Задачи. Точка С делит отрезок АВ в отношении АС:СВ=3:4. Найти отношения:Точка С делит отрезок АВ в отношении АС:СВ=m:n. Найти отношения: Отрезок АВ=24см разделен в отношении 3:5. Найти длины полученных частей. В трапеции ABCD боковые стороны AB и CD продолжены до пересечения в точке F. Найти длину CD, если FB:BA= =8:5 и FC-CD=2,25м.На медиане BD треугольника ABC отмечена точка М так, что BM:MD=m:n. Прямая АМ пересекает сторону ВС в точке К. Найдите отношение BK:KC. 6. Прямая, проходящая через вершину А треугольника АВС и делящая медиану BM в отношении 1:2, считая от вершины, пересекает сторону ВС в точке К. Найдите отношение площадей треугольников ABК и ABC.7. В треугольнике ABC медиана BM и биссектриса АК пересекаются в точке О, АС:АВ=k. Найдите отношение площадей треугольника AOB и четырехугольника MOKC.Учебник: № 536, 537, 538, 539, 540 1. Точка С делит отрезок АВ в отношении АС:СВ=3:4. Найти отношения: А С В 2. Точка С делит отрезок АВ в отношении АС:СВ=m:n. Найти отношения: Решения задач 3. Отрезок АВ=24см разделен в отношении 3:5. Найти длины полученных частей. А С В Дано: АВ- отрезок, С АВ, АВ=24см, АС:СВ=3:5.Найти: АС, СВ. Для решения на интерактивной доске. 4. В трапеции ABCD боковые стороны AB и CD продолжены до пересечения в точке F. Найти длину CD, если FB:BA=8:5 и FC-CD=2,25м. А В С D F Дано: АВСD-трапеция, АВ СD=F, FB:BA=8:5, FC-CD=2,25мНайти:CD Решение на интерактивной доске. По теореме о пропорциональных отрезках: 5. На медиане BD треугольника ABC отмечена точка М так, что BM:MD=m:n. Прямая АМ пересекает сторону ВС в точке К. Найдите отношение BK:KC. А В С К D M По теореме о пропорциональных отрезках в треугольнике: 6. Прямая, проходящая через вершину А треугольника АВС и делящая медиану BM в отношении 1:2, считая от вершины, пересекает сторону ВС в точке К. Найдите отношение площадей треугольников ABК и ABC. А В С К М О Решение на интерактивной доске Задача № 536 Отрезок BD является биссектрисой треугольника АВС. Найдите:а) АВ, если ВС=9см, АD=7,5см, DC=4,5см.б) DC, если АВ=30, АD=20, BD=16, BDC= C. Решение на доске а) б) BDC- равнобедренный, DB=BC=16 A B C D