Функции, пределы и непрерывность

Функции, пределы и непрерывность

§1. Функция. Основные понятия.
1. Определение функции. Понятие функции, известное нам из курсов математики и физики средней школы, представляют собой одно из основных математических понятий, при помощи которых моделируются многие естественные процессы и явления. Например, с процессом расширения при нагревании металлического стержня связаны две величины: температура среды - переменная величина, которая независимо меняется в некоторых пределах, и длина стержня, которая зависит от температуры. Для характеризации данного процесса необходимо указать, какие значения длины стержня соответствуют различным значениям температуры. В таком случае говорят, что длина стержня является функцией от температуры. Рассмотрим еще один пример. Если при постоянной температуре изменить объем, занимаемый газом, то давление газа на стенки сосуда тоже будет меняться. Следовательно, при постоянной температуре давление газа является функцией от объема. Если же менять и температуру то давление будет зависеть, или, как говорят, будет функцией, от двух переменных - объема и температуры. В настоящей и последующей главах мы будем изучать функции одной переменной, функции многих переменных будут встречаться только эпизодически.
Пусть даны два непустых множества X и Y.
Определение №1. Соответствие, которое каждому элементу x из X сопоставляет один и только один элемент y из Y, называется функцией, определенной на множестве X со значениями вY.
Например, соответствие, изображенное на рис. а, является функцией (соответствие однозначное); соответствие, изображенное на рис. б, также является функцией (соответствие взаимно однозначное); соответствие, изображенное на рис. в, не является функцией, так как не каждому элементу множества X соответствует элемент из Y (это соответствие можно рассмотреть как функцию, но определенную не на X, а на некоторой его части); соответствие, определенное на рис. г, не является функцией (не соблюдается условие однозначности, элементу 13 EMBED Equation.3 1415соответствует два элемента из Y).














Для обозначения функций используются буквы f, g, h и др. Так, если функция f сопоставляет элементу x из X элемент y из Y, то будем писать y=f(x).
Определение №2. Множество X называется областью определения (или существования) функции f и обозначается D(f). Множество всех y из Y, для которых существует хоть один x из X такой, что y=f(x), называется множеством значений функции f и обозначается E(f).
Если y=f(x), то элемент y, вообще говоря, зависит от элемента x, который может быть любым из области определения D(f).
Определение №3. Элемент x называется независимой переменной или аргументом, а y - функцией или зависимой переменной (от x).
Определение №4. Функция f(x) называется числовой функцией, если ее область определения D(f) и множество значений E(f) содержатся в множестве действительных чисел R.

2. График функции.
Определение №5. Графиком числовой функции y=f(x) называется множество всех точек (x; y) плоскости Oxy, координаты которых приводятся в соответствие данной функцией y=f(x), т.е. это множество точек (x; f(x)).






f(x)



рис. 1 рис. 2

Как правило, графиком функции служит некоторая линия. Так, линия, изображенная на рис.1, может быть графиком некоторой функции. Линия же, изображенная на рис.2 не может быть графиком функции, потому что не соблюдается условие однозначности: значению аргумента 13 EMBED Equation.3 1415 соответствует несколько значений y.

3. Способы задания функций. Функции могут быть заданы различными способами:
а) Аналитический способ. В этом случае функция задается при помощи некоторой одной или несколькими формулами.
Например:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
Отметим, что под функцией, заданной некоторой формулой, понимается функция, определенная на множестве всех значений аргумента x, для которых указанная формула имеет смысл.
б) Графический способ. В этом случае соответствие между значениями аргумента x и функции y устанавливается с помощью заданного графика, по которому для каждого значения аргумента x определяется значение функции y.
в) Алгоритмический или машинный способ. В этом случае дается алгоритм или программа, по которым для каждого значения x вычисляется значение функции y=f(x).
г) Табличный способ. В этом случае функция задается таблицей некоторых значений аргумента и соответствующих значений функции. Так, хорошо известны таблицы значений функций: 13 EMBED Equation.3 1415 (квадратов), 13 EMBED Equation.3 1415 (обратных чисел), 13 EMBED Equation.3 1415 (логарифмов), тригонометрических функций и др.

Упражнения:
Дана функция 13 EMBED Equation.3 1415. Вычислить значения:
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415.
Дана функция 13 EMBED Equation.3 1415. Вычислить значения:
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415.
1.3. Найти область определения функции:
1) 13 EMBED Equation.3 1415;
2) 13 EMBED Equation.3 1415;
3) 13 EMBED Equation.3 1415;
4) 13 EMBED Equation.3 1415.



§2. Предел функции
Пусть дана функция 13 EMBED Equation.3 1415 (1).
О пределе функции можно говорить только при условии задания предела, к которому стремится ее аргумент 13 EMBED Equation.3 1415, без этого условия вопрос о пределе функции не имеет смысла.
Положим, что 13 EMBED Equation.3 1415 посмотрим, существует ли при этом условии предел данной функции и если существует, то какой.
Пусть в нашем примере 13 EMBED Equation.3 1415 принимает такую последовательность значений:
3,1; 3,01; 3,001; 3,0001; 13 EMBED Equation.3 1415;
тогда функция (1) получит соответственно значения:
5,6; 5,06; 5,006; 5,0006; 13 EMBED Equation.3 1415.
Мы видим, что данная последовательность значений функции имеет предел, равный 5.
Если в равенстве (1) аргументу дать значения:
2,9; 2,99; 2,999; 2,9999; 13 EMBED Equation.3 1415,
то и в этом случае предел последовательности значений функции будет тот же, в чем легко убедиться соответствующими вычислениями.
Итак, функция (1) имеет предел при 13 EMBED Equation.3 1415,равный 5.
Это записывается так:
13 EMBED Equation.3 1415.
Показанный выше способ нахождения предела функции громоздок, поэтому на практике он не применяется.

Определение предела функции.
Пределом функции 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415 стремящемся к 13 EMBED Equation.3 1415 называется число 13 EMBED Equation.3 1415, к которому стремится значение самой функции при 13 EMBED Equation.3 1415 и обозначается 13 EMBED Equation.3 1415.
Теорема о единственности предела.
Если функция 13 EMBED Equation.3 1415 имеет при 13 EMBED Equation.3 1415, стремящемся к 13 EMBED Equation.3 1415, то этот предел единственный.

Основные теоремы о пределах функций.
Приводим без доказательства следующие теоремы о пределах функций:
Теорема №1.
Если существуют пределы функции 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415, то существует так же и предел их суммы, равный сумме пределов функций 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415.

Теорема №2.
Если существуют пределы функции 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415, то существует так же и предел их произведения, равный произведению пределов функций 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415.

Теорема №3.
Если существуют пределы функции 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415 и предел функции13 EMBED Equation.3 1415отличен от нуля, то существует так же и предел отношения (дроби), равный отношению пределов функций 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415.

Следствия:
Постоянный множитель можно вынести за знак предела: 13 EMBED Equation.3 1415.
2. 13 EMBED Equation.3 1415.
3. 13 EMBED Equation.3 1415.
4. Если n- натуральное число, то 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример:
Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415. Используя теорему №1 и следствия, получим:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Таким образом, для вычисления предела функции 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415, достаточно вместо переменной 13 EMBED Equation.3 1415 подставить значение 13 EMBED Equation.3 1415, к которому она стремится, и выполнить соответствующие действия.

Вычислить пределы:
1. 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
2. 13 EMBED Equation.3 1415.
3. 13 EMBED Equation.3 1415.
4. 13 EMBED Equation.3 1415.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Определение№1.
Функция 13 EMBED Equation.3 1415 называется бесконечно малой при 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415.
Определение№2.
Функция 13 EMBED Equation.3 1415 называется бесконечно большой при 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
Отметим свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.
Если функции 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 - бесконечно малые при 13 EMBED Equation.3 1415, то их сумма 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415 также является бесконечно малой.
Если функция 13 EMBED Equation.3 1415 - бесконечно малая при 13 EMBED Equation.3 1415, а 13 EMBED Equation.3 1415 - ограниченная функция, то их произведение 13 EMBED Equation.3 1415, есть бесконечно малая величина.
Следствие. Произведение конечного числа бесконечно малых функций есть величина бесконечно малая.
Если функция 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415 имеет конечный предел 13 EMBED Equation.3 1415, функция 13 EMBED Equation.3 1415- бесконечно большая, то 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Если функция 13 EMBED Equation.3 1415 - бесконечно малая при 13 EMBED Equation.3 1415, то функция 13 EMBED Equation.3 1415 - бесконечно большая, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.
Если функция 13 EMBED Equation.3 1415 - бесконечно большая при 13 EMBED Equation.3 1415, то функция 13 EMBED Equation.3 1415 - бесконечно малая, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.
Вычислить пределы:
1. 13 EMBED Equation.3 1415.
2. 13 EMBED Equation.3 1415.
Здесь пределы числителя и знаменателя при 13 EMBED Equation.3 1415 равны 13 EMBED Equation.3 1415. Непосредственной подстановкой вместо аргумента его предельного значения вычислить предел нельзя, так как при 13 EMBED Equation.3 1415 получается отношение двух бесконечно малых величин.
Разложим числитель и знаменатель на множители, чтобы сократить дробь на общий множитель, стремящийся к нулю, и, следовательно, сделать возможным применение теоремы №3. Нужно иметь в виду, что здесь не производится сокращения на нуль, что недопустимо. По определению предела функции аргумент 13 EMBED Equation.3 1415 стремиться к своему предельному значению, никогда не принимая этого значения. Поэтому до перехода к пределу можно произвести сокращение на множитель, стремящийся к нулю. Имеем:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Далеко не всякая подстановка предельного значения в функцию вместо независимой переменной может сразу привести к нахождению предела. Случаи, в которых подстановка предельного значения в функцию не дает значения предела, называют неопределенностями; к ним относятся неопределенности видов: 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415. Устранить неопределенность удается часто с помощью алгебраических преобразований.
Вычислить пределы:
1. 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415;
Разложим в числителе квадратный трехчлен на линейные множители по формуле 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415- корни трехчлена, а в знаменателе вынесем общий множитель за скобки, а затем сократим дробь на 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

2.13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.



3.13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

4. 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
умножим числитель и знаменатель на сопряженный знаменателю множитель 13 EMBED Equation.3 1415, а затем выполнив алгебраические преобразования, сократим дробь на 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

5.13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

6. 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

Рассмотрим примеры предела функции при 13 EMBED Equation.3 1415.

7. 13 EMBED Equation.3 1415
При 13 EMBED Equation.3 1415 числитель и знаменатель - величины бесконечно большие. Поэтому при непосредственном применении теоремы №3 получим 13 EMBED Equation.3 1415, которое представляет собой неопределенность. Для вычисления предела этой функции нужно числитель и знаменатель разделить на 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 вынести за скобки.
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

8. 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Разделим числитель и знаменатель на наивысшую степень аргумента, т.е. на 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

Рассмотрим примеры с неопределенностью вида 13 EMBED Equation.3 1415.

9. 13 EMBED Equation.3 1415
При 13 EMBED Equation.3 1415 функция представляет собой разность двух бесконечно больших величин 13 EMBED Equation.3 1415. Умножим и разделим функцию на одно и тоже (сопряженное) выражение 13 EMBED Equation.3 1415 и выполним преобразования, приводящие к формулам сокращенного умножения (разности квадратов).
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.





Упражнения.
Вычислить пределы:
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответы: 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2)13 EMBED Equation.3 1415.

2.2. 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответы: 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2)13 EMBED Equation.3 1415.

2.3. 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответы: 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2)13 EMBED Equation.3 1415.

2.4. 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответы: 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2)13 EMBED Equation.3 1415.

2.5. 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответы: 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.

2.6. 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответы: 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.

2.7. 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответы: 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.

2.8. 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответы: 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.

2.9. 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответы: 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.

2.10. 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответы: 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.

2.11. 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответы: 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.

2.12. 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответы: 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.

2.13. 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответы: 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.

2.14. 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответы: 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415.

2.15. 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3
·) 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответы: 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415.

2.16. 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответы: 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.

2.17. 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответы: 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.

2.18. 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответы: 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.

2.19. 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответы: 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.

2.20. 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответы: 1)13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.


§3. «Замечательные пределы»

3.1. Вычисление пределов тригонометрических функций.
При вычислении пределов тригонометрических функций часто используется предел отношения синуса дуги к самой дуге:
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 - «первый замечательный предел». (1)
Вычислить пределы:
1) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Чтобы применить формулу (1), надо числитель и знаменатель умножить на 13 EMBED Equation.3 1415, а затем постоянный множитель вынести за знак предела и применить первый замечательный предел.
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

2) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

3) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

4)13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

Упражнения.
Вычислить пределы:
3.1. 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответы: 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415.

3.2. 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответы: 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415.

3.3. 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответы: 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415.

3.4. 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответы: 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415.


3.2. «Второй замечательный предел».
К пределам следующего типа относятся примеры с неопределенностью вида 13 EMBED Equation.3 1415. В этом случае выражение, стоящее под знаком предела представляет собой степенно-показательную функцию, в основании которой необходимо выделить целую часть дроби (которая должна быть равна 13 EMBED Equation.3 1415). Неопределенность 13 EMBED Equation.3 1415 устранятся при помощи выделения «второго замечательного предела»:
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415- иррациональное число (13 EMBED Equation.3 1415).
Вычислить пределы:
1. 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

2. 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

3.13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

4. 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.


Упражнения.
Вычислить пределы:
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415;
3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415;
5) 13 EMBED Equation.3 1415; 6) 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответы: 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415; 5) 13 EMBED Equation.3 1415; 6) 13 EMBED Equation.3 1415.



§4. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.

Пусть функции 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 дифференцируемы в окрестности точки 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Если 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, т.е. частное в точке 13 EMBED Equation.3 1415 представляет собой неопределенность вида 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, при условии, что существует предел отношения производных.
Если частное 13 EMBED Equation.3 1415 в точке 13 EMBED Equation.3 1415 также есть неопределенность вида 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 и производные 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 удовлетворяют соответствующим условиям, то следует перейти к отношению вторых производных и т.д.
Правило Лопиталя можно применять также и для раскрытия неопределенностей вида: 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 .
В случае неопределенности вида 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 следует алгебраически преобразовать данную функцию так, чтобы привести ее к неопределенности вида 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 и далее использовать правило Лопиталя.
В случае неопределенности вида 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415, или 13 EMBED Equation.3 1415 следует прологарифмировать данную функцию и найти предел её логарифма.
1. Найти: 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение: Числитель и знаменатель стремится к нулю при 13 EMBED Equation.3 1415, поэтому имеем неопределенность вида 13 EMBED Equation.3 1415. Воспользуемся правилом Лопиталя, т.е. рассмотрим предел отношения производных заданных функций:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Найти: 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 (т.к. 13 EMBED Equation.3 1415- первый замечательный предел)
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

3. Найти: 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

4. Найти: 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

5. Найти: 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение: Это неопределенность вида 13 EMBED Equation.3 1415. Для того чтобы найти предел функции, приведем дроби к общему знаменателю, а затем, получив неопределенность вида 13 EMBED Equation.3 1415, применим правило Лопиталя.
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
6. Найти: 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение: Здесь мы имеем неопределенность вида 13 EMBED Equation.3 1415. Представим произведение в виде частного, а затем, получив неопределенность вида 13 EMBED Equation.3 1415, применим правило Лопиталя.
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

7. Найти: 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение: Это неопределенность вида 13 EMBED Equation.3 1415. Обозначим данную функцию через 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415, и прологарифмируем её:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Вычисли предел логарифма данной функции, применяя правило Лопиталя (здесь имеем неопределенность вида 13 EMBED Equation.3 1415).
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, следовательно 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.


Упражнения.
Вычислить пределы:
Неопределенность вида 13 EMBED Equation.3 1415.
1) 13 EMBED Equation.3 1415;
2) 13 EMBED Equation.3 1415;
3) 13 EMBED Equation.3 1415;
4) 13 EMBED Equation.3 1415.

Ответы: 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415.

Неопределенность вида 13 EMBED Equation.3 1415.
1) 13 EMBED Equation.3 1415;
2) 13 EMBED Equation.3 1415;
3) 13 EMBED Equation.3 1415;
4) 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответы: 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415.

Неопределенность вида 13 EMBED Equation.3 1415.
1) 13 EMBED Equation.3 1415;
2) 13 EMBED Equation.3 1415;
3) 13 EMBED Equation.3 1415;
4) 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответы: 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415.

Неопределенность вида 13 EMBED Equation.3 1415.
1) 13 EMBED Equation.3 1415;
2) 13 EMBED Equation.3 1415;
3) 13 EMBED Equation.3 1415;
4) 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответы: 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415.

Неопределенность вида 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
1) 13 EMBED Equation.3 1415;
2) 13 EMBED Equation.3 1415;
3) 13 EMBED Equation.3 1415;
4) 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответы: 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415.







Зачетная работа №1
Вычислить пределы:
1. 13 EMBED Equation.3 1415;
2. 13 EMBED Equation.3 1415;
3. 13 EMBED Equation.3 1415;
4. 13 EMBED Equation.3 1415;
5. 13 EMBED Equation.3 1415;
6. 13 EMBED Equation.3 1415;
7. 13 EMBED Equation.3 1415.







Зачетная работа №2
Вычислить пределы:
1. 13 EMBED Equation.3 1415;
2. 13 EMBED Equation.3 1415;
3. 13 EMBED Equation.3 1415;
4. 13 EMBED Equation.3 1415;
5. 13 EMBED Equation.3 1415;
6. 13 EMBED Equation.3 1415;
7. 13 EMBED Equation.3 1415.





Зачетная работа №3
Вычислить пределы:
1. 13 EMBED Equation.3 1415;
2. 13 EMBED Equation.3 1415;
3. 13 EMBED Equation.3 1415;
4. 13 EMBED Equation.3 1415;
5. 13 EMBED Equation.3 1415;
6. 13 EMBED Equation.3 1415.


















§5. Непрерывность функции и точки разрыва.

1. Функция 13 EMBED Equation.3 1415 называется непрерывной в точке 13 EMBED Equation.3 1415, если она удовлетворяет следующим условиям: 1) определена в точке 13 EMBED Equation.3 1415; 2) имеет конечный предел при 13 EMBED Equation.3 1415; 3) этот предел равен значению функции в этой точке:
13 EMBED Equation.3 1415. (1)

2. Функция 13 EMBED Equation.3 1415 называется непрерывной в точке 13 EMBED Equation.3 1415, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:
13 EMBED Equation.3 1415. (2)

3. Если функции 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 непрерывны в точке, то их сумма, произведение и частное (при условии, что знаменатель отличен от нуля) являются функциями, непрерывными в этой точке.

4. Если функция 13 EMBED Equation.3 1415 непрерывна в точке 13 EMBED Equation.3 1415, а функция 13 EMBED Equation.3 1415 непрерывна в точке 13 EMBED Equation.3 1415, то сложная функция 13 EMBED Equation.3 1415 непрерывна в точке 13 EMBED Equation.3 1415.

5. Функция называется непрерывной на некотором промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Все элементарные функции непрерывны во всех точках, где они определены.

6. Если не выполнено определение непрерывности (1) или (2), то функция в точке 13 EMBED Equation.3 1415 терпит разрыв, причем:
а) если хотя бы один из односторонних пределов 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 бесконечен, то 13 EMBED Equation.3 1415 - точка разрыва второго рода;
б) если оба односторонних предела 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 конечны, но не равны между собой, то 13 EMBED Equation.3 1415- точка неустранимого разрыва первого рода;
в) если оба односторонних предела 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 конечны, равны между собой, но не равны 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415- точка устранимого разрыва первого рода.

Пример №1.
Исследовать на непрерывность функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке 13 EMBED Equation.3 1415. В случае разрыва установить его характер в точке 13 EMBED Equation.3 1415:
а)13 EMBED Equation.3 1415; б)13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415; г) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
а) При 13 EMBED Equation.3 1415 функция не определена, следовательно, функция в точке 13 EMBED Equation.3 1415 терпит разрыв:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, т.е. конечный предел существует; следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415- точка устранимого разрыва первого рода. (Доопределив функцию в точке 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. положив 13 EMBED Equation.3 1415), получим, что новая функция
13 EMBED Equation.3 1415
будет уже непрерывна в точке 13 EMBED Equation.3 1415.)

б) При 13 EMBED Equation.3 1415 функция не определена, следовательно, функция в точке 13 EMBED Equation.3 1415 терпит разрыв: 13 EMBED Equation.3 1415, а 13 EMBED Equation.3 1415.
Так как односторонние пределы (достаточно было бы одного) бесконечны, то 13 EMBED Equation.3 1415 - точка разрыва функции второго рода.

в) При 13 EMBED Equation.3 1415 функция определена, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно, функция в точке 13 EMBED Equation.3 1415 непрерывна.

г) При 13 EMBED Equation.3 1415 функция определена, 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, имеем 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, таким образом, в точке 13 EMBED Equation.3 1415 функция терпит неустранимый разрыв первого рода.


Пример №2.
Исследовать на непрерывность и найти точки разрыва функции 13 EMBED Equation.3 1415 и указать характер разрыва.
Решение:
При 13 EMBED Equation.3 1415 функция не определена. Для установления характера разрыва в точке 13 EMBED Equation.3 1415 найдем односторонние пределы при 13 EMBED Equation.3 1415 и при 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 (так как при 13 EMBED Equation.3 1415 показатель степени 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415); 13 EMBED Equation.3 1415 (так как при 13 EMBED Equation.3 1415 показатель степени 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, а дробь 13 EMBED Equation.3 1415).
Таким образом, в точке 13 EMBED Equation.3 1415 функция имеет неустранимый разрыв первого рода.




Упражнения.
Исследовать на непрерывность, найти точки разрыва и указать характер разрыва:
5.1. 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415- разрыв I рода устранимый.

5.2. 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: функция непрерывна.

5.3. 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: функция непрерывна.

5.4. 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415- разрыв II рода.

5.5. 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415- разрыв I рода устранимый.



















13PAGE 15


13PAGE 14315



X

X

X

X

Y

Y

Y

Y

13 EMBED Equation.3 1415

а

б

в

г

y

y

x

x

O

O

x

13 EMBED Equation.3 1415



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native0Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativexEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native