Учебное пособие Уравнения и неравенства с параметрами

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение
Самарской области средняя общеобразовательная
школа № 2 им. В. Маскина ж.-д. ст. Клявлино
муниципального района Клявлинский
Самарской области







« Уравнения
и
неравенства
с параметрами»

учебное пособие















Клявлино





Учебное пособие

« Уравнения и неравенства с параметрами» для учащихся 10 –11 классов
данное пособие является приложением к программе элективного курса «Уравнения и неравенства с параметрами», которая прошла внешнюю экспертизу (научно-методическим экспертным советом министерства образования и науки Самарской области от 19 декабря 2008 года бала рекомендована к использованию в образовательных учреждениях Самарской области)







Авторы

учитель математики МОУ Клявлинской средней общеобразовательной
школы № 2 им. В.Маскина Клявлинского района Самарской области
Ромаданова Ирина Владимировна
учитель математики МОУ Клявлинской средней общеобразовательной
школы № 2 им. В.Маскина Клявлинского района Самарской области
Сербаева Ирина Алексеевна










Содержание


Введение3-4

Линейные уравнения и неравенства с параметрами..4-7

Квадратные уравнения и неравенства с параметрами7-9

Дробно- рациональные уравнения с параметрами..10-11

Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами11-13

Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами.14-15

Показательные уравнения и неравенства с параметрами16-17

Логарифмические уравнения и неравенства с параметрами...16-18

Задачи ЕГЭ...18-20

Задания для самостоятельной работы...21-28








Введение.
Уравнения и неравенства с параметрами.

Если в уравнении или неравенстве некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а само уравнение или неравенство параметрическим.
Для того, чтобы решить уравнение или неравенство с параметрами необходимо:
Выделить особое значение - это то значение параметра, в котором или при переходе через которое меняется решение уравнения или неравенства.
Определить допустимые значения – это значения параметра, при которых уравнение или неравенство имеет смысл.
Решить уравнение или неравенство с параметрами означает:
1) определить, при каких значениях параметров существуют решения;
2) для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующее множество решений.
Решить уравнение с параметром можно следующими методами: аналитическим или графическим.
Аналитический метод предполагает задачу исследования уравнения рассмотрением нескольких случаев, ни один из которых нельзя упустить.
Решение уравнения и неравенства с параметрами каждого вида аналитическим методом предполагает подробный анализ ситуации и последовательное исследование, в ходе которого возникает необходимость «аккуратного обращения» с параметром.
Графический метод предполагает построение графика уравнения, по которому можно определить, как влияет соответственно, на решение уравнения изменение параметра. График подчас позволяет аналитически сформулировать необходимые и достаточные условия для решения поставленной задач. Графический метод решения особенно эффективен тогда, когда нужно установить, сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра и обладает несомненным преимуществом увидеть это наглядно.

§ 1. Линейные уравнения и неравенства.

Линейное уравнение аx=b, записанное в общем виде, можно рассматривать как уравнение с параметрами, где x – неизвестное, a, b – параметры. Для этого уравнения особым или контрольным значением параметра является то, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.
При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.
Особым значением параметра a является значение а = 0.
Если а( 0, то при любой паре параметров а и b оно имеет единственное решение х=13 EMBED Equation.3 1415.
Если а = 0, то уравнение принимает вид : 0х= b. В этом случае значение
b = 0 является особым значением параметра b.
При b ( 0 уравнение решений не имеет.
При b = 0 уравнение примет вид: 0х = 0. Решением данного уравнения является любое действительное число.

Неравенства вида ах > b и ax< b ( а
· 0) называются линейными неравенствами. Множество решений неравенства ах > b – промежуток
(13 EMBED Equation.3 1415; +13 EMBED Equation.3 1415), если a> 0, и (-13 EMBED Equation.3 1415;13 EMBED Equation.3 1415), если а < 0. Аналогично для неравенства
ах < b множество решений – промежуток (-13 EMBED Equation.3 1415;13 EMBED Equation.3 1415), если a> 0, и (13 EMBED Equation.3 1415; +13 EMBED Equation.3 1415), если а < 0.

Пример 1. Решить уравнение ах = 5

Решение: Это линейное уравнение .

Если а = 0, то уравнение 0(х = 5 решения не имеет.
Если а ( 0, х = 13 EMBED Equation.3 1415 - решение уравнения.
Ответ: при а ( 0, х= 13 EMBED Equation.3 1415
при а = 0 решения нет.

Пример 2. Решить уравнение ах – 6 = 2а – 3х.

Решение: Это линейное уравнение, ах – 6 = 2а – 3х (1)
ах + 3х = 2а +6
Переписав уравнение в виде (а+3)х = 2(а+3), рассмотрим два случая:
а= -3 и а( -3.
Если а= -3, то любое действительное число х является корнем уравнения (1). Если же а( -3, уравнение (1) имеет единственный корень х = 2.
Ответ: При а = -3, х 13 EMBED Equation.3 1415R; при а( -3, х = 2.

Пример 3. При каких значениях параметра а среди корней уравнения
2ах – 4х – а2 + 4а – 4 = 0 есть корни больше 1 ?

Решение: Решим уравнение 2ах – 4х – а2 + 4а – 4 = 0 – линейное уравнение
2(а - 2) х = а2 – 4а +4
2(а - 2) х = (а – 2) 2
При а = 2 решением уравнения 0х = 0 будет любое число, в том числе и большее 1.
При а( 2 х =13 EMBED Equation.3 1415. По условию х > 1, то есть 13 EMBED Equation.3 1415 >1, а > 4.
Ответ: При а 13 EMBED Equation.3 1415{2} U (4;
·).

Пример 4. Для каждого значения параметра а найти количество корней уравнения ах=8.

Решение. ах = 8 – линейное уравнение.
а =13 EMBED Equation.3 1415,
y = a – семейство горизонтальных прямых;
y = 13 EMBED Equation.3 1415- графиком является гипербола. Построим графики этих функций.

Ответ: Если а =0, то уравнение решений не имеет. Если а
· 0, то уравнение имеет одно решение.

Пример 5. С помощью графиков выяснить, сколько корней имеет уравнение:
|х| = ах – 1.
y =| х | ,
y = ах – 1 – графиком является прямая, проходящая через точку (0;-1).
Построим графики этих функций.

Ответ:При|а|>1- один корень
при | а|
·1 – уравнение корней не имеет.

Пример 6. Решить неравенство ах + 4 > 2х + а2
Решение : ах + 4 > 2х + а2 13 EMBED Equation.3 1415 (а – 2) х > а2 – 4. Рассмотрим три случая.
а=2 . Неравенство 0 х > 0 решений не имеет.
а > 2. (а – 2) х > ( а – 2)(а + 2) 13 EMBED Equation.3 1415х > а + 2
а < 2. (а – 2) х > ( а – 2)(а + 2) 13 EMBED Equation.3 1415х <а + 2
Ответ. х > а + 2 при а > 2; х <а + 2, при а < 2;13 EMBED Equation.3 1415при а=2 решений нет.

§ 2. Квадратные уравнения и неравенства
Квадратное уравнение – это уравнение вида ах І + bх + с = 0, где а
· 0,
а, b, с – параметры.
Для решения квадратных уравнений с параметром можно использовать стандартные способы решения на применение следующих формул:
1) дискриминанта квадратного уравнения: D = bІ - 4ac, (13 EMBED Equation.3 1415І-ас)
2) формул корней квадратного уравнения: х1 =13 EMBED Equation.3 1415, х2 =13 EMBED Equation.3 1415,
(х1,2 = 13 EMBED Equation.3 1415)
Квадратными называются неравенства вида
aх2 + bх + с > 0, aх2 + bх + с< 0, (1), (2)
aх2 + bх + с
· 0, aх2 + bх + с
· 0, (3), (4)
Множество решений неравенства (3) получается объединением множеств решений неравенства (1) и уравнения , aх2 + bх + с=0. Аналогично находится множество решений неравенства (4).
Если дискриминант квадратного трехчлена aх2 + bх + с меньше нуля, то при а >0 трехчлен положителен при всех х 13 EMBED Equation.3 1415R.
Если квадратный трехчлен имеет корни (х1< х2), то при а > 0 он положителен на множестве (-13 EMBED Equation.3 1415;х2)13 EMBED Equation.3 1415( х2; +13 EMBED Equation.3 1415) и отрицателен на интервале
(х1; х2). Если а < 0, то трехчлен положителен на интервале (х1; х2) и отрицателен при всех х 13 EMBED Equation.3 1415(-13 EMBED Equation.3 1415;х1)13 EMBED Equation.3 1415( х2; +13 EMBED Equation.3 1415).

Пример 1. Решить уравнение ахІ - 2 (а – 1)х – 4 = 0.
Это квадратное уравнение
Решение: Особое значение а = 0.
При а = 0 получим линейное уравнение 2х – 4 = 0. Оно имеет единственный корень х = 2.
При а
· 0. Найдем дискриминант.
D = (а-1)І + 4а = (а+1)І
Если а = -1, то D = 0 – один корень.
Найдем корень, подставив вместо а = -1.
-хІ + 4х – 4= 0, то есть хІ -4х + 4 = 0, находим, что х=2.
Если а
· - 1, то D>0. По формуле корней получим: х=13 EMBED Equation.3 1415;
х 1=2, х2= -13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: При а=0 и а= -1 уравнение имеет один корень х = 2; при а
· 0 и
а
· - 1 уравнение имеет два корня х 1=2, х2=-13 EMBED Equation.3 1415.

Пример 2. Найдите количество корней данного уравнения хІ-2х-8-а=0 в зависимости от значений параметра а.
Решение. Перепишем данное уравнение в виде хІ-2х-8=а
y= хІ-2х-8- графиком является парабола;
y=а- семейство горизонтальных прямых.
Построим графики функций.


Ответ: При а <-9, уравнение решений не имеет; при а=-9, уравнение имеет одно решение; при а>-9, уравнение имеет два решения.

Пример 3. При каких а неравенство (а – 3) х2 – 2ах + 3а – 6 >0 выполняется для всех значений х ?
Решение. Квадратный трехчлен положителен при всех значениях х, если
а-3 > 0 и D<0, т.е. при а, удовлетворяющих системе неравенств
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, откуда следует, что a > 6.
Ответ. a > 6

§ 3. Дробно- рациональные уравнения с параметром,
сводящиеся к линейным
Процесс решения дробных уравнений выполняется по обычной схеме: дробное заменяется целым путем умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель левой и правой его частей. После чего решается целое уравнение, исключая посторонние корни, то есть числа, которые обращают знаменатель в нуль.
В случае уравнений с параметром эта задача более сложная. Здесь, чтобы «исключить» посторонние корни, требуется найти значение параметра, обращающее общий знаменатель в нуль, то есть решить соответствующие уравнения относительно параметра.

Пример 1. Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415= 0
Это дробно- рациональное уравнение
Решение: Д.З: х +2
· 0 , х
· -2
х – а = 0, х = а.
Ответ: При а
· - 2, х=а
При а = -2 корней нет.

Пример 2. Решить уравнение13 EMBED Equation.3 1415- 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415(1)
Это дробно- рациональное уравнение
Решение: Значение а = 0 является особым. При а = 0 уравнение теряет смысл и, следовательно, не имеет корней. Если а
· 0, то после преобразований уравнение примет вид: хІ + 2 (1-а) х + аІ - 2а – 3 = 0 (2) – квадратное уравнение.
Найдем дискриминант 13 EMBED Equation.3 1415 = (1 – а)І - (аІ - 2а – 3)= 4, находим корни уравнения х1= а + 1, х2= а - 3.
При переходе от уравнения (1) к уравнению (2) расширилась область определения уравнения (1), что могло привести к появлению посторонних корней. Поэтому, необходима проверка.
П р о в е р к а. Исключим из найденных значений х такие, при которых
х 1+1=0, х 1+2=0, х2+1=0, х2+2=0.
Если х 1+1=0, то есть (а+1) + 1= 0, то а= -2. Таким образом,
при а= -2 , х1 - посторонний корень уравнения. (1).
Если х 1+2=0, то есть (а+1)+2=0, то а = - 3. Таким образом, при а = - 3, х1 - посторонний корень уравнения. (1).
Если х2+1=0, то есть (а – 3) + 1= 0, то а = 2. Таким образом, при а = 2 х2 - посторонний корень уравнения (1).
Если х2+2=0, то есть (а – 3) + 2 = 0, то а=1. Таким образом, при а = 1,
х2 - посторонний корень уравнения (1).
В соответствии с этим при а = - 3 получаем х = - 3 – 3 = -6;
при а = - 2 х = -2 – 3= - 5;
при а = 1 х =1 + 1= 2;
при а = 2 х=2+1 = 3.
Можно записать ответ.


Ответ: 1) если а= -3, то х= -6; 2) если а= -2, то х= -5; 3) если а= 0, то корней нет; 4) если а= 1, то х= 2; 5) если а=2, то х=3; 6) если а
· -3, а
· -2, а
· 0, а
· 1, а
· 2, то х1 = а + 1, х2 = а-3.

§4. Иррациональные уравнения и неравенства
Уравнения и неравенства, в которых переменная содержится под знаком корня, называется иррациональным.
Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от иррационального к рациональному уравнению путем возведения в степень обеих частей уравнения или замены переменной. При возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней. Поэтому при использовании указанного метода следует проверить все найденные корни подстановкой в исходное уравнение, учитывая при этом изменения значений параметра.
Уравнение вида 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415=g(x) равносильно системе 13 EMBED Equation.3 1415
Неравенство f(x)
· 0 следует из уравнения f(x) = g2(x).
При решении иррациональных неравенств будем использовать следующие равносильные преобразования:

13 EMBED Equation.3 1415
· g(x) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
·g(x) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Пример 1. Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415= х + 1 (3)
Это иррациональное уравнение
Решение: По определению арифметического корня уравнение (3) равносильно системе 13 EMBED Equation.3 1415 .
При а = 2 первое уравнение системы имеет вид 0 х = 5, то есть не имеет решений.

При а
· 2 х=13 EMBED Equation.3 1415. Выясним, при каких значениях а найденное значение х удовлетворяет неравенству х
· -1: 13 EMBED Equation.3 1415
· - 1, 13 EMBED Equation.3 1415
· 0,
откуда а
· 13 EMBED Equation.3 1415 или а > 2.
Ответ: При а
·13 EMBED Equation.3 1415, а > 2 х= 13 EMBED Equation.3 1415, при 13 EMBED Equation.3 1415< а
· 2 уравнение решений не имеет.

Пример 2. Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415= а (приложение 4)
Решение. y= 13 EMBED Equation.3 1415
y= а – семейство горизонтальных прямых.


Построим графики функций.


Ответ: при а<0 –решений нет;
при а
·0 – одно решение.

Пример 3. Решим неравенство (а+1)13 EMBED Equation.3 1415<1.
Решение. О.Д.З. х
· 2. Если а+1
·0, то неравенство выполняется при всех допустимых значениях х. Если же а+1>0, то

(а+1)13 EMBED Equation.3 1415<1.13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415< 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
откуда х 13 EMBED Equation.3 1415(2- 13 EMBED Equation.3 1415 213 EMBED Equation.3 1415
Ответ. х 13 EMBED Equation.3 1415(- 13 EMBED Equation.3 1415;213 EMBED Equation.3 1415 при а 13 EMBED Equation.3 1415 ( -13 EMBED Equation.3 1415;-113 EMBED Equation.3 1415, х 13 EMBED Equation.3 1415(2- 13 EMBED Equation.3 1415 213 EMBED Equation.3 1415
при а13 EMBED Equation.3 1415( -1;+13 EMBED Equation.3 1415).

§ 5. Тригонометрические уравнения и неравенства.

Приведем формулы решений простейших тригонометрических уравнений:
Sinx = a 13 EMBED Equation.3 1415 x= (-1)n arcsin a+
·n, n 13 EMBED Equation.3 1415Z, 13 EMBED Equation.3 1415
·1, (1)
Cos x = a 13 EMBED Equation.3 1415 x = ±arccos a + 2
·n, , n 13 EMBED Equation.3 1415Z, 13 EMBED Equation.3 1415
·1. (2)
Если 13 EMBED Equation.3 1415>1, то уравнения (1) и (2) решений не имеют .
tg x = a 13 EMBED Equation.3 1415x= arctg a +
·n, n 13 EMBED Equation.3 1415Z, a13 EMBED Equation.3 1415R
ctg x = a 13 EMBED Equation.3 1415x = arcctg a +
·n, n 13 EMBED Equation.3 1415Z, a13 EMBED Equation.3 1415R
Для каждого стандартного неравенства укажем множество решений:
1. sin x > a 13 EMBED Equation.3 1415 arcsin a + 2
·n · - arcsin a + 2
·n, n 13 EMBED Equation.3 1415Z,
при a<-1, x13 EMBED Equation.3 1415R; при a
· 1, решений нет.
2. . sin x < a 13 EMBED Equation.3 1415
· - arcsin a + 2
·n·+ arcsin a + 2
·n, n 13 EMBED Equation.3 1415Z,
при а
·-1, решений нет; при а >1, x13 EMBED Equation.3 1415R
3. cos x > a 13 EMBED Equation.3 1415- arccos a+ 2
·n·n, n 13 EMBED Equation.3 1415Z,
при а<-1, x13 EMBED Equation.3 1415R ; при a
· 1, решений нет.
4. cos x ·n· - arccos a+ 2
·n, n 13 EMBED Equation.3 1415Z,
при а
·-1, решений нет ; при a > 1, x13 EMBED Equation.3 1415R
5.tg x > a, arctg a +
·n·/2 +
·n, n 13 EMBED Equation.3 1415Z
6. tg x < a, -
·/2 +
·n ·n, n 13 EMBED Equation.3 1415Z

Пример1. Найти а, при которых данное уравнение имеет решение:
Cos2x + 2(a-2)cosx + a2 – 4a – 5 =0.
Решение. Запишем уравнение в виде
сos2x + (2a-4)cosx +( a – 5)(а+1) =0, решая его как квадратное, получаем cosx = 5-а и cosx = -а-1.
Уравнение cosx = 5-а имеет решения при условии -1
· 5-а
·1 13 EMBED Equation.3 1415 4
· а
· 6, а уравнение cosx = -а-1 при условии -1
· -1-а
· 113 EMBED Equation.3 1415 -2
· а
·0.
Ответ. а 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415-2; 0 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 14154; 613 EMBED Equation.3 1415
Пример 2. При каких b найдется а такое, что неравенство 13 EMBED Equation.3 1415+ b > 0 выполняется при всех х
·
·n, n 13 EMBED Equation.3 1415Z.
Решение. Положим а = 0. Неравенство выполняется при b>0. Покажем теперь, что ни одно b
·0 не удовлетворяет условиям задачи. Действительно, достаточно положить х =
·/2, если а <0, и х = -
·/2 при а
·0.
Ответ. b>0


§ 6. Показательные уравнения и неравенства

1. Уравнение h(x)f(x) = h(x)g(x) при h(x) > 0 равносильно совокупности двух систем 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
2. В частном случае (h(x)= a) уравнение а f(x)= а g(x) при а > 0, равносильно совокупности двух систем
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
3. Уравнение а f(x)= b, где а > 0, a
·1, b>0, равносильно уравнению
f(x)= logab. Случай а =1 рассматриваем отдельно.
Решение простейших показательных неравенств основано на свойстве степени. Неравенство вида f(ax) > 0 при помощи замены переменной t= ax сводится к решению системы неравенств 13 EMBED Equation.3 1415 а затем к решению соответствующих простейших показательных неравенств.
При решении нестрого неравенства необходимо к множеству решений строгого неравенства присоединить корни соответствующего уравнения. Как и при решении уравнений во всех примерах, содержащих выражение а f(x), предполагаем а > 0. Случай а = 1 рассматриваем отдельно.

Пример 1. При каких а уравнение 8х= 13 EMBED Equation.3 1415 имеет только положительные корни?
Решение. По свойству показательной функции с основанием, большим единицы, имеем х>0 13 EMBED Equation.3 14158х >113 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 >113 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 >0, откуда a 13 EMBED Equation.3 1415(1,5;4).
Ответ. a 13 EMBED Equation.3 1415(1,5;4).

Пример 2. Решить неравенство a2
·2x > a
Решение. Рассмотрим три случая:
1. а< 0. Так как левая часть неравенства положительна, а правая отрицательна, то неравенство выполняется для любых х13 EMBED Equation.3 1415R.
2. a =0. Решений нет.
3. а> 0. a2
·2x > a 13 EMBED Equation.3 1415 2x >13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415x > - log2a
Ответ. х13 EMBED Equation.3 1415R при а > 0; решений нет при a =0; х13 EMBED Equation.3 1415 (- log2a; +13 EMBED Equation.3 1415) при а> 0.

§ 7. Логарифмические уравнения и неравенства

Приведем некоторые эквивалентности, используемые при решении 13 EMBED Equation.3 1415логарифмических уравнений и неравенств.
1. Уравнение log f (x) g (x) = log f (x) h(x) равносильно системе
13 EMBED Equation.3 1415
В частности, если а >0, а
·1, то
log a g (x)= log a h(x) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
2. Уравнение log a g (x)=b 13 EMBED Equation.3 1415 g (x)= ab (а >0, a
·1, g(x) >0).
3. Неравенство log f (x) g (x)
· log f (x) h(x) равносильно совокупности двух систем: 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 Если а, b – числа, а >0, а
·1, то
log a f (x)
· b 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415

log a f (x) > b 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Пример 1. Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Найдем ОДЗ: х > 0, х
· а4 , a > 0, а
· 1. Преобразуем уравнение
log13 EMBED Equation.3 1415х – 2 = 4 – logax 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 log13 EMBED Equation.3 1415х + logax – 6 = 0, откуда logax = - 3 13 EMBED Equation.3 1415
х = а -3 и logax = 2 13 EMBED Equation.3 1415 х = а2. Условие х = а4 13 EMBED Equation.3 1415 а – 3 = а4 или а2 = а4 не выполняется на ОДЗ.
Ответ: х = а -3, х = а2 при а 13 EMBED Equation.3 1415 ( 0; 1) 13 EMBED Equation.3 1415 (1; 13 EMBED Equation.3 1415).

Пример 2. Найдите наибольшее значение а, при котором уравнение
2log13 EMBED Equation.3 1415 - 13 EMBED Equation.3 1415 + a = 0 имеет решения.
Решение. Выполним замену 13 EMBED Equation.3 1415 = t и получим квадратное уравнение 2t2 – t + a = 0. Решая, найдем D = 1-8a . Рассмотрим D
·0, 1-8а
·0 13 EMBED Equation.3 1415а
·13 EMBED Equation.3 1415.
При а = 13 EMBED Equation.3 1415 квадратное уравнение имеет корень t= 13 EMBED Equation.3 1415>0.
Ответ. а = 13 EMBED Equation.3 1415

Пример 3. Решить неравенство log13 EMBED Equation.3 1415(x2 – 2x + a) > - 3
Решение. Решим систему неравенств 13 EMBED Equation.3 1415
Корни квадратных трехчленов х1,2 = 1 ± 13 EMBED Equation.3 1415 и х3,4 = 1 ±13 EMBED Equation.3 1415.
Критические значения параметра : а = 1 и а = 9.
Пусть Х1 и Х2 – множества решений первого и второго неравенств, тогда
Х1 13 EMBED Equation.3 1415Х2 = Х – решение исходного неравенства.
При 0< a <1 Х1 = (-13 EMBED Equation.3 1415;1 - 13 EMBED Equation.3 1415)13 EMBED Equation.3 1415( 1 + 13 EMBED Equation.3 1415; +13 EMBED Equation.3 1415), при а > 1 Х1 = (-13 EMBED Equation.3 1415;+13 EMBED Equation.3 1415).
При 0 < a < 9 Х2 = (1 -13 EMBED Equation.3 1415; 1 +13 EMBED Equation.3 1415), при а
·9 Х2 – решений нет.13 EMBED Equation.3 1415
Рассмотрим три случая:
1. 0< a
·1 Х = (1 -13 EMBED Equation.3 1415;1 - 13 EMBED Equation.3 1415)13 EMBED Equation.3 1415(1 + 13 EMBED Equation.3 1415;1 +13 EMBED Equation.3 1415).
2. 1 < a < 9 Х = (1 -13 EMBED Equation.3 1415;1 +13 EMBED Equation.3 1415).
3. a
· 9 Х – решений нет.
13 EMBED Equation.3 1415
Задачи ЕГЭ
Высокий уровень С1, С2
Пример 1. Найдите все значения р, при которых уравнение
р
· ctg2x + 2sinx + p = 3 имеет хотя бы один корень.
Решение. Преобразуем уравнение
р
· ( 13 EMBED Equation.3 1415- 1) + 2sinx + p = 3, sinx=t, t13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, t 13 EMBED Equation.3 14150.
13 EMBED Equation.3 1415- p + 2 t + p = 3, 13 EMBED Equation.3 1415 + 2 t = 3, 3 -2t = 13 EMBED Equation.3 1415, 3t2 – 2t3 = p.
Пусть f(y) = 3t2 – 2t3. Найдем множество значений функции f(x) на 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415. у/ = 6t – 6t2, 6t - 6t2 = 0, t1=0, t2 = 1. f(-1) = 5, f(1) = 1.
При t 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, E(f) = 13 EMBED Equation.3 1415,
При t 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, E(f) = 13 EMBED Equation.3 1415, то есть при t 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, E(f) = 13 EMBED Equation.3 1415.
Чтобы уравнение 3t2 – 2t3 = p ( следовательно, и данное) имело хотя бы один корень необходимо и достаточно p13 EMBED Equation.3 1415 E(f), то есть p13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415.

Пример 2.
При каких значениях параметра а уравнение log13 EMBED Equation.3 1415(4x2 – 4a + a2 +7) = 2 имеет ровно один корень?
Решение. Преобразуем уравнение в равносильное данному:
4x2 – 4a + a2 +7 = (х2 + 2)2 .
Отметим, что если некоторое число х является корнем полученного уравнения, то число – х также является корнем этого уравнения. По условию это не выполнимо, поэтому единственным корнем является число 0.
Найдем а.
4
· 02 - 4a + a2 +7 = (02 + 2)2,
a2 - 4a +7 = 4, a2 - 4a +3 = 0, a1 = 1, a2 = 3.
Проверка.
1) a1 = 1. Тогда уравнение имеет вид: log13 EMBED Equation.3 1415(4x2 +4) =2. Решаем его
4x2 + 4 = (х2 + 2)2, 4x2 + 4 = х4 + 4x2 + 4, х4= 0, х = 0 – единственный корень.
2) a2 = 3. Уравнение имеет вид: log13 EMBED Equation.3 1415(4x2 +4) =2 13 EMBED Equation.3 1415 х = 0 – единственный корень.
Ответ. 1; 3

Высокий уровень С4, С5
Пример 3. Найдите все значения р, при которых уравнение
х2 – ( р + 3)х + 1= 0 имеет целые корни и эти корни являются решениями неравенства: х3 – 7рх2 + 2х2 – 14 рх - 3х +21 р
· 0.
Решение. Пусть х1, х2 – целые корни уравнения х2 – ( р + 3)х + 1= 0. Тогда по формуле Виета справедливы равенства х1 + х2 = р + 3, х1
· х2 = 1. Произведение двух целых чисел х1, х2 может равняться единице только в двух случаях: х1 = х2 = 1 или х1 = х2 = - 1. Если х1 = х2 = 1, то р + 3 = 1+1 = 213 EMBED Equation.3 1415 р = - 1; если х1 = х2 = - 1, то р + 3 = - 1 – 1 = - 2 13 EMBED Equation.3 1415 р = - 5. Проверим являются ли корни уравнения х2 – ( р + 3)х + 1= 0 в описанных случаях решениями данного неравенства. Для случая р = - 1, х1 = х2 = 1 имеем
13 – 7
· (- 1)
· 12 +2
· 12 – 14
· ( - 1)
· 1 – 3
· 1 + 21
· ( - 1) = 0
· 0 – верно; для случая р = - 5, х1 = х2 = - 1 имеем ( - 1)3 – 7
· ( - 5)
· ( -1)2 + 2
· (-1)2 – 14
· ( -5) Ч ( - 1) – 3
· ( - 1) + 21
· ( -5 ) = - 136
· 0 – верно. Итак, условию задачи удовлетворяют только р = - 1 и р = - 5.
Ответ. р1 = - 1 и р 2= - 5.

Пример 4. Найдите все положительные значения параметра а, при которых число 1 принадлежит области определения функции
у = ( а13 EMBED Equation.3 1415 - а13 EMBED Equation.3 1415)13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. у = ( а13 EMBED Equation.3 1415 - а13 EMBED Equation.3 1415)13 EMBED Equation.3 1415. Область определения данной функции составляют все значения х, для которых а13 EMBED Equation.3 1415 - а13 EMBED Equation.3 1415
· 0.
Если значения х = 1 принадлежит области определения, то должно выполняться неравенство а13 EMBED Equation.3 1415- а13 EMBED Equation.3 1415
· 0, а13 EMBED Equation.3 1415
· а13 EMBED Equation.3 1415 (1)
Таким образом, необходимо найти все а > 0, удовлетворяющие неравенству (1).
1) а = 1 удовлетворяет неравенству (1).
2) При а > 1 неравенство (1) равносильно неравенству 2 + 5а
· а2 +6,
а2 - 5а + 4
· 0. Решение этого неравенства: 1
· а
· 4. Учитывая условие а >1, получим 1< а
· 4.
3) При 0 < а < 1 неравенство (1) равносильно неравенству 2 + 5а
· а2 +6,
а2 - 5а + 4
· 0. Его решение а
· 1; а
· 4 с учетом условия 0 < а < 1 можно записать так: 0 < а < 1. Объединяя результаты, получаем 0 < а
· 4.
Ответ. ( 0; 4 ]

Задания для самостоятельной работы

§1. Линейные уравнения и неравенства

1.Решить уравнения:
а) а х = -4
б) 2 –5 х = а х – 2
в) 2 х + 3 = а х
г )а х – 2 х = 3 (х – 1)
д) а х = х+3
е) 4 + а х = 3 х + 1
2.Решить неравенства:
а) а х > 5
б) а х – 2 х < 3 (х + 1)
в) аІ х + 3
· а +3 а х
г) (n – 1) х
· 2 (n + х
д) а > 13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415
3.При каких значениях параметра а уравнения
а) |х| = а х – 2
б) (а2- а -2)х
· а5 – 4а4 +4а3
не имеют решений?
4.При каких значениях параметра р все решения неравенства (р -3)х>5 являются решениями неравенства рх>2 ?
5.При каких значениях параметра а корень уравнения
13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 + 3(х +1) не меньше корня уравнения
5 (х – 2) – 4 (3 + х ) = 2 + а х ?
6. Определить количество корней в зависимости от значений
параметра а: а)а х – 6 = 2 а – 3 х
б) 2 а х – 4 х - аІ + 4 а – 4 = 0
§2 Квадратные уравнения и неравенства
Решить уравнения:
а) хІ -5 х + 6 = а
б) хІ - 2 |х| - а = 0
в) хІ + 5 а х +4 аІ = 0
г) хІ - (2 а – 4) х – 8 а = 0
д)хІ -(3 а – 2) х + 2 аІ - а – 3 = 0
е) ахІ - (а + 1) х + 1 = 0
ж) (а + 1) хІ -2 х + 1 – а = 0
з) а b xІ + ( aІ + bІ) x + ab = 0
2. Решить неравенства:
а) хІ + 2 х > а + 3
б) хІ - с х – 2 сІ < 0
в) хІ - 3 а х + 2 аІ
· 0
г) хІ - (3b – 2 ) – 6 b
· 0
д) a xІ - 2 (a – 1) x – 4
· 0
е) xІ - 2x – 8 – a > 0
ж) xІ - 12 x + c < 0
3. При каких а разность корней уравнения 2х2 – (а + 1)х + (а – 1) = 0 равна их произведению?
4. При каком а уравнения х2 + 2х + а = 0 и х2 + ах + 2 = 0 имеют общий корень?
5. При каких а существует хотя бы одно общее решение неравенств
х2 + 4ах + 3а2 – 2а – 1 > 0 и х2 + 2ах – 3а2 + 8а – 4
· 0 ?

§3. Дробно – рациональные уравнения и неравенства

Решить уравнения:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 = 0
б) 13 EMBED Equation.3 1415 = 0
в) 13 EMBED Equation.3 1415 = 0
г) 13 EMBED Equation.3 1415 = 0
д) 13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415 = 2
е) 13 EMBED Equation.3 1415 -13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415
При каких значениях параметра уравнения имеют бесконечно много решений
а) 13 EMBED Equation.3 1415 = 0
б) 13 EMBED Equation.3 1415 = 0
3. Решить неравенства:
а) 13 EMBED Equation.3 1415< 0
б) 13 EMBED Equation.3 1415
· 0
в)13 EMBED Equation.3 1415 > 0
г) 13 EMBED Equation.3 1415
· 13 EMBED Equation.3 1415
4. При каких а неравенство 13 EMBED Equation.3 1415< 0 выполняется для всех х13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 ?
§4. Иррациональные уравнения и неравенства
Решить уравнения:
а) 13 EMBED Equation.3 1415= а
б)а13 EMBED Equation.3 1415= 4
в)13 EMBED Equation.3 1415= а
г)13 EMBED Equation.3 1415= а – 2
д)х - 13 EMBED Equation.3 1415 = 1
е)13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415 = 0
д) 13 EMBED Equation.3 1415 +аІ 13 EMBED Equation.3 1415 = 0
е) аІ 13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415 = 0
ж) аІ13 EMBED Equation.3 1415 + |х| = 0
Решить неравенства:
а) х < 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
· а
в) 13 EMBED Equation.3 1415 > - а
г) а13 EMBED Equation.3 1415
· 0
д) х - 13 EMBED Equation.3 1415 < 0
е) 13 EMBED Equation.3 1415
· 6+а
3. При каких значениях параметра а неравенство
13 EMBED Equation.3 1415
·13 EMBED Equation.3 1415 не имеет решений?
4. При каких а неравенство
13 EMBED Equation.3 1415
·13 EMBED Equation.3 1415 выполняется для всех значений х ?

§5. Тригонометрические уравнения и неравенства
1 .Решить уравнения:
а) sin(2х + 3) = а +4
б) 2cos(х +
·/3) = а2-3а
в) tg22х – (2а +1)tg2х + а(а + 1) = 0
2. Решить неравенства:
а) cosх
· 2 – а2
б) (а – 2)sinх > 3а + 4
в) (2cosх – а)(3cosх + в) < 0, (0<а<2, 0<в<3)
3. Найдите целые а, при которых имеют решения уравнения:
а) 1 + а cosх = (а +1)2
б) sin2х – 3sinх + а = 0
в) а sinх + 213 EMBED Equation.3 1415cosх = 2а + 1
4. Доказать, что для любых р13 EMBED Equation.3 1415R и t13 EMBED Equation.3 1415R справедливо неравенство
4(р – 3)4 + 2 + (2 – 4(р – 3)4)cost
· 0. Найти все пары чисел (р;t), для которых это неравенство обращается в равенство.

§6. Показательные уравнения и неравенства
1. При каких а уравнение имеет единственное решение?
А) 52х – 10х + 4х-1(а – 2) = 0
б) 25х – 2
·10х + (2а + 3) ·4х = 0
в) 4х – а ·2х+1 – 3а2 + 4а = 0
г) а ·3х + 4 ·3-х = 2
д) 22х – а ·2х – 2а = 0
е)3(а + 1)хІ - 2(а – 2)х + а = 27
2.Решить неравенства:
а) а ·2х
· а2
б)ахІ - 15 > а2х
в)4х+1а2 – 65 ·2ха + 16 > 0
г)13 EMBED Equation.3 1415 > 13 EMBED Equation.3 1415
3. При каких а неравенство 4х + (а – 1)2х + (2а – 5) > 0 выполняется при любом х13 EMBED Equation.3 1415R ?
4. При каких а неравенство 36х + а ·6х + а + 8
· 0 имеет хотя бы одно 13 EMBED Equation.3 1415решение?
§ 7. Логарифмические уравнения и неравенства
1.Решите уравнение
а)log2x(ax+1)=13 EMBED Equation.3 1415
б)loga13 EMBED Equation.3 1415+ 3log13 EMBED Equation.3 1415(1 – x)= log13 EMBED Equation.3 1415(1- x2)2+2
в)log32a + log3x(a – 2)= log3(a-2)
г)log13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415=2
д) 2logxa + logaxa +3log13 EMBED Equation.3 1415a = 0
2.При каких а уравнение log13 EMBED Equation.3 1415(4x+a) =4 имеют решения.
3. При каких а корни уравнения
(а-1)log13 EMBED Equation.3 1415(x-2) – 2(a+1)log13 EMBED Equation.3 1415(x-2)+a-3 = 0 меньше 3?
4. При каких а расстояние между корнями уравнения
2log13 EMBED Equation.3 1415x+3log13 EMBED Equation.3 1415a+5=0 меньше 13 EMBED Equation.3 1415?
5. Решите неравенства
а) logx(a2+1)<0
б) ( log2x-1)( ( log2x+a)>0
в) logax+1>2logxa
г) loga13 EMBED Equation.3 1415
·logxa < 1
6. Решите неравенство loga(x2+x+2)< loga(2x2 – 18),если известно, что оно удовлетворяется при х = - 3,5.
7. При каких значениях а неравенство log2(x2+ax+1)> -1 выполняется для любого х<0?

Задачи ЕГЭ.
Высокий уровень С1, С2;
1) При каких значениях параметра т уравнение тх-2+ 2 = 3т – 2х-2
не имеет корней?
2) Найдите наибольшее целое отрицательное t, при котором уравнение cos2x – 5t = 4 – 2t
·cos2x не имеет корней.
3) При каких значениях параметра а прямая у = 3а – 2а2 не имеет общих точек с графиком функции у = sin2x+ a cos x?

C4, C5
4) Найдите все значения параметра b, при которых множество решений неравенства b log3x + log3x + b
· 0 содержит все степени двойки с целым отрицательным показателем.
5) Найдите все значения параметра р, такие, что уравнение
х2 – (р -5)х – 2= 0 имеет целые корни и эти корни являются решениями неравенства х3- 0,5рх2- 4х2+2рх- 5х+ 2,5р
· 0.
6) Определите, при каких значениях параметра а уравнение х4+(х+1)((3а-1)х2+ (2а2 -2)(х+1)) = 0 имеет четыре различных действительных корня, каждый из которых принадлежит отрезку13 EMBED Equation.3 1415.
7) Найдите все значения параметра а, при которых оба числа13 EMBED Equation.3 1415 и 313 EMBED Equation.3 1415 являются решениями неравенства 13 EMBED Equation.3 1415
· 0.
Ответы: 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2)- 2; 3)(-13 EMBED Equation.3 1415;0)13 EMBED Equation.3 1415(2; +13 EMBED Equation.3 1415); 4) нет решений;5)6;
6) (3; 3,25]; 7)13 EMBED Equation.3 1415.



Для заметок



















13PA
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native0Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native