Статья Старинные занимательные задачи.

Фокусы и математика
«Искусство отгадывания чисел»
Задачи из сборников занимательных задач конца XVIII века.
Арифметические фокусы – это эксперименты, основанные на свойствах чисел и действий, математических законах. И понять суть того или иного фокуса – это значит понять пусть небольшую, но математическую закономерность. Угадывание загаданного числа - отличный фокус для того, чтобы расположить к себе людей. Данный материал можно использовать для занятия математического кружка и внеклассной работы.
Задача 1.Как найти задуманное четное число?
Предложите кому-нибудь задумать четное число, затем это число утроить, полученное произведение разделить на 2 и частное опять утроить. После объявления результата предложенных арифметических действий вы называете задуманное число.
Как это сделать?
Решение.
Для нахождения задуманного числа надо разделить объявленный результат на 9 и затем умножить частное на 2.
Обоснование.
Пусть кто- то задумал четное число, которое обозначим через 2k. Тогда в результате предложенных арифметических действий получится число
(((2k)∙3):2)∙3= 9k.
Разделив его после объявления на 9 и удвоив результат, найдем задуманное число 2k.
Задача 2. Как найти задуманное нечетное число?
Предложите кому-нибудь задумать нечетное число. Затем попросите это число утроить и к полученному произведению прибавить число 3; этот результат предложите разделить на 2 и частное опять утроить. После объявления результата предложенных арифметических действий вы называете задуманное число.
Как это сделать?
Решение.
Для нахождения задуманного числа надо разделить объявленный результат на 9, затем то, что получится, удвоить и, наконец, отнять 1.
Обоснование.
Пусть кто-то задумал нечетное число, которое обозначим через 2k+1. После утроения и прибавления числа 3 получим число 6 k+6. Разделив это число на 2, получим число 3k+3. Далее
(3k+3) ∙ 3 = 9k +9.
Частное от деления числа 9k+9 на число 9 равно k+1; удваивая это число и отнимая 1, находим задуманное число 2k +1.
Задача 3. Как отгадать два числа?
Предложите кому-нибудь задумать два числа, из которых одно превышает другое на единицу и каждое из которых не более девяти. Затем попросите перемножить два этих числа, из произведения вычесть меньшее из чисел, и результат опять умножить на меньшее из задуманных чисел.
По объявленной последней цифре полученного результата вы можете назвать задуманные числа.
Как их найти?
Решение.
Для нахождения задуманных чисел надо запомнить таблицу (табл. 1), которая по объявленной последней цифре определяет задуманные числа.
Таблица 1.
Последняя цифра результата 1 2 3 4 5 6 7 8
Задуманные числа 1;1 8;9 7;8 4;5 5;6 6;7 3;4 2;3
Обоснование.
Пусть задуманы числа k и k+1, где 1 ≪ k ≪ 8. Тогда произведение этих чисел равно
k (k+1) = k 2 + k.если из последнего числа вычесть меньшее из чисел k, то получится k 2. После умножения этого числа на k получим k 2.
Возводя последовательно числа от 1 до 8 в куб, получаем:
13 = 1 3 3 = 27 5 3 = 125 7 3 = 343
2 3 = 8 4 3 = 64 6 3 = 216 8 3 = 512
Каждое из полученных чисел оканчивается на одну из цифр от 1 до 8 и никакие два числа не оканчиваются на одну и ту же цифру. Поэтому, если помнить таблицу кубов чисел от 1 до 8, то по последней цифре куба некоторого числа можно сказать, какое число возводилось в куб. Так, например, если вам объявляют, что после проведенных операций получилось число, последняя цифра которого есть 3, то вы говорите, что были загаданы числа 7 и 8, поскольку только одно число 7 после возведения в куб имеет последнюю цифру 3.
Замечание.
Можно запомнить только меньшие из чисел второй строки таблицы. Если объявленная цифра равняется 1, 4, 5или 6(на эти числа оканчиваются квадраты целых чисел), то она совпадает с меньшим из задуманных чисел. В остальных случаях меньшее из задуманных чисел равно дополнению объявленной цифры до 10.
Задача 4. Сколько лет человеку?
Предложите кому – нибудь умножить число его лет на 2 и к произведению прибавить 4, затем полученную сумму умножить на 5, к этому произведению прибавить 12 и полученную сумму умножить на 10. После объявления результата предложенных арифметических действий вы можете объявить число лет.
Как это сделать?
Решение.
Надо из объявленного числа отнять 320, затем полученный результат разделить на 100.
Обоснование.
Пусть число лет некоторого человека равно m. После выполнения всех предложенных арифметических действий получается число
((2m+4) ∙ 5 + 12) ∙ 10.
Это число можно записать в виде 100 m + 320. Если от него отнять 320, то получится число 100m. Разделив последнее число на 100, будем знать искомое число лет m.
Задача 5. Как узнать день рождения?
Предложите кому-нибудь утроить число, являющееся его днем рождения. Затем предложите разделить полученное произведение на 9, частное умножить на 3, а остаток разделить на 3. Попросив, чтобы было объявлено это произведение и это частное, вы можете сказать, какого числа был день рождения этого человека.
Как найти день рождения?
Решение.
Для отгадывания дня рождения надо сложить два объявленных результата. Это число и дает ответ.
Обоснование.
Пусть днем рождения будет m-е число некоторого месяца. После умножения числа m на 3 получим число 3m, после деления числа 3m на 9 получим частное k и остаток p такие, что
3m = 9k + p, (*)
где или p = 0, или p = 3, или p = 6. Из равенства (*) следует, что m = 3k + l, где или l = 0, l = 1, l = 2.
После умножения частного k на 3 будет объявлено число 3k, а после деления остатка p на 3 будет объявлено число l, то есть, действительно, для угадывания дня рождения необходимо сложить объявленные числа : m = 3k + l.
Литература.
Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., Потапов М.К.. Старинные занимательные задачи . -2-е изд., испр.-М: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1988.-160 с.