Практическая работа на тему Приближенное интегрирование функций (формула трапеций)
Практическая работа по теме «Приближенное интегрирование функций (формула трапеций)»
Цель работы. Научиться вычислять приближенно интегралы, используя некоторые приближенные формулы
Ход работы. 1. Прочитать теоретические сведения
2. Просмотреть применение формулы трапеций на примере
3 выполнить самостоятельно практическую работу
4. оформить по образцу слать на проверку
Пусть требуется вычислить определенный интеграл 13EMBED Equation.31415 от непрерывной функции 13EMBED Equation.31415. Если будет определена (найдена) первообразная функция 13EMBED Equation.31415 подынтегральной функции, то величина определенного интеграла вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница
13EMBED Equation.31415
Если же первообразная функции не может быть найдена или функция 13EMBED Equation.31415 задана графически или таблично, то для вычисления интеграла используют приближенные формулы, точность которых может быть сколь угодно большой.
Покажем это на примере применения формулы прямоугольников.
Получим формулу прямоугольников. Для этого основание криволинейной трапеции аАВb разделим на n равных частей , т.е. длина основания каждого прямоугольника равна
·Х. Площадь прямоугольника равна произведению основания на высоту (высота = f(xi) ; основание
·Х )
.рис.1
13 EMBED Equation.3 1415 (1) называется формулой прямоугольников с недостатком. На рисунке (1) очевидно, что площадь криволинейной трапеции состоит из суммы площадей прямоугольников (прямоугольники закрашены разными цветами) и неокрашенных криволинейных треугольников, площади которых мы теряем при вычислении. Или формулу (1) можно записать следующим образом 13 EMBED Equation.3 1415 (2)
Рассмотрим 2 случай (ступенчатая фигура – описанная, а значит ее площадь будет больше площади криволинейной трапеции аАВb - рисунок 2). Поступим аналогично, а именно вычислим площадь каждого прямоугольника и найдем их сумму, т.е.
рис. 2
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415(3), где 13 EMBED Equation.3 1415– Формулу (3) называют формулой прямоугольников с избытком
или формулу (3) можно кратко записать так: 13 EMBED Equation.3 1415 (4)
Пример 1. Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. 1) Разобьем промежуток интегрирования на 10 равных частей и используя формулу (2) вычислим данный интеграл по формуле прямоугольников с недостатком: 13 EMBED Equation.3 1415
·1*(0+1+2+3+4+5+6+7+8+9)
·1*45
·45.
2) Вычислим данный интеграл по формуле прямоугольников с избытком: 13 EMBED Equation.3 1415 55. Ответ. 13 EMBED Equation.3 1415 интеграл по формуле прямоугольников с недостатком равен 45; 13 EMBED Equation.3 1415 интеграл по формуле прямоугольников с избытком равен 55:
Самостоятельно вычислить интегралы по формуле прямоугольников с недостатком и с избытком
1) 13 EMBED Equation.3 1415;
2)13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415
Покажем это на примере применения формулы трапеции
Аналогично получим приближенную формулу трапеций 13EMBED Equation.31415 (5)
где 13EMBED Equation.31415 высота трапеции; 13EMBED Equation.31415 значения функций.
рис.3
Из школьного курса математики известно, что площадь трапеции рис.4
вычисляется по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415
Тогда 13 EMBED Equation.3 1415(6)
Покажем это на примере применения формулы трапеции (5 или 6):
Покажем это на примере применения формулы трапеции
13EMBED Equation.31415
где 13EMBED Equation.31415 высота трапеции; 13EMBED Equation.31415 значения функций.
Пример 1. Вычислить по формуле трапеций при n =5 приближенное значение определенного интеграла 13EMBED Equation.31415
Решение. Формула трапеций для этого примера принимает следующий вид:
13EMBED Equation.31415
Значения 13EMBED Equation.31415 определяются подстановкой в функцию 13EMBED Equation.31415 соответственных значений х:
13EMBED Equation.31415
Подставив эти данные в формулу трапеции, получим
13EMBED Equation.31415
Пример 2. Вычислить интеграл 13 EMBED Equation.3 1415 по формуле трапеций.
Решение. Разобьем промежуток интегрирования на 10 частей ( n =10) Следовательно, шаг h равен 0,1 (h = 0,1)
Абсцисса точек деления Хi ( i = 0,1,2,, 10) и соответствующие им ординаты
13 EMBED Equation.3 1415
Промежуточные вычисления удобнее оформить в виде таблицы:
i
Xi
·iyi
0
0,0
0,5000
1
0,1
1,0050
2
0,2
1,0198
3
0,3
1,0440
4
0,4
1,0770
5
0,5
1,1180
6
0,6
1,1662
7
0,7
1,2207
8
0,8
1,2806
9
0.9
1,3454
10
1,0
1,7071
·
11,4838
По формуле 5 или 6): 13 EMBED Equation.3 1415
·0,1*11,4838=1,14838
·1,148
Можно вычислить точное значение интеграла
13 EMBED Equation.3 1415
Вычислить самостоятельно
по формуле трапеций и сравнить результаты
1) 13 EMBED Equation.3 1415;
2)13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415
Домашнее задание. 1) Самостоятельно изучить еще одну приближенную формулу: формула Симпсона или формула парабол. Подготовиться к практической работе на тему «Приближенные вычисления интегралов».
2) Отчет
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native