Математический бой по теме: Логарифмические уравнения

Математический бой
по теме: "Логарифмические уравнения"
Эпиграф урока. "С точки зрения вычислительной практики, изобретение логарифмов по важности можно смело поставить рядом с другим, более древним великим изобретением индусов - нашей десятичной системы нумерации".
Я.В. Успенский
Цели урока: 1) Проверить теоретические и практические навыки в решении логарифмических уравнений.
2) Познакомить учащихся с историческим материалом темы.
3) Развивать логическое мышление, прививать вкус к самостоятельной творческой работе.
План урока.
1. Знакомство с условиями игры.
2. Конкурс теории.
3. Конкурс капитанов.
4. Математический бой.
5. Историческая справка.
6. Итог боя.
Ход урока.
1. Знакомство с условиями игры.
Класс разбивается на 2 команды, выбираются капитаны (наиболее знающие ребята), выбирается жюри.
В жюри входят 3-4 человека. Члены жюри могут быть заранее подготовлены по решениям данных заданий и с ними проговорены все вопросы по заданиям. Но интереснее игра идет, когда учащиеся, члены, жюри, выбираются в равных условиях с командами.
Командам и жюри выдаются одинаковые задания. Дается время на их решение (групповым способом, здесь важна особенно роль капитана, его организаторские способности в распределении функций в команде). Затем идет обсуждение заданий.
Задания математического боя.
1) lg (10) – 26 = lg x – 25;
2) = 3;
3) log5 (4x = 144) – 4 log5 2 = 1 + log5 (2x-2 + 1);
4) x2 logx 27 · log9x = x + 4;
5) x = 23;
6) · = ;
7) = 27x30;
8) log2 (x + 1)2 + log2 |x + 1| = 6;
9) log5 ((2 + )x – ( - 2)x) = - 3 log2;
10) (3,(3) – 1,(1)) = 2,(2).
2. Конкурс теории.
Пока команды и жюри решают, проводится конкурс теории: вызываются по 4 человека из команды, которые отвечают теоретические вопросы, (тянут жребием) связанные со свойствами логарифмов.
Вопросы теории
1. Определение логарифма. Натуральный и десятичный логарифмы, примеры.
2. Вывод основного логарифмического тождества. Привести примеры его использования.
3. Вывод формулы логарифма произведения. Примеры ее использования.
4. Вывод формулы логарифма частного. Примеры ее использования.
5. Вывод формулы логарифма степени. Примеры ее использования.
6. Вывод формулы перехода от одного основания логарифма к другому. Примеры ее использования.
8. Доказать свойство монотонности логарифмической функции.
3. Конкурс капитанов.
После истечения времени, которое было дано на решение заданий, право первой начинать игру получает та команда, чей капитан быстрее и правильнее решит уравнение. Капитаны оба решают одно и то же уравнение (за отдельными столами или переносными досками).
Уравнение.
x = 105+lgx;
Решение:
lg x = lg 105 + lg x ; · lg x = (5 + ) lg 10, т.к. lg 10 = 1
lg2 x + 5 lg x = 15 + 3 lg x; lg2 x + 2 lg x – 15 = 0
lg x = - 5; x = 0,00001; lg x = 3; x = 1000, x > 0.
Ответ: x1 = 1000; x2 = 0,00001.
4. Математический бой
Пусть капитан команды №1 лучше справился с заданием, его команда начинает игру. Каждый из членов команды может выступать только один раз в роли оппонента, который задает вопросы по решению задачи.
Также каждый из членов команды может решать любое из уравнений только один раз. Команда может называть задание только то, которое решила или думает, что решила сама.
Например, команда № 1 просит команду № 2 показать решение уравнения под №2, т.е.
2) = 3.
Если команда №2 решила это задание, то ее представитель приступает к решению этого уравнения. Лучше, если все решения готовятся на пленке. Если же команда №2 не имеет решения уравнения №2, то команда №1 предоставляет свое решение. На табло игры, команда №2 получает ноль очков.
При отсутствии технических средств, чтобы не задерживать игру, команды №2 задает номер уравнения команде №1, придерживаясь тех же правил.
Например, пусть команду №1 задано решить уравнение №3, т.е.
3) log5 (4x + 144) – 4 log5 2 = 1 + log5 (2x – 2 + 1).
Пока представители команд решают, можно послушать доклады.
Если идет работа с использование кодоскопа, игра проходит быстро.
Пусть команда №2 предоставила следующее решение уравнения:
= 3; lg (5 – x) ≠ 0 5 – x ≠ 1 x ≠ 4,
lg (35 – x3) = 3 lg (5 – x)3, если x ≠ 4.
lg (35 – x3) = lg (5 – x)3,
35 – x3 = (5 – x)3,
35 – x3 = 125 – 75 x + 15 x2 – x3,
15 x2 – 75 x + 90 = 0 | : 15,
x2 – 5 x + 6 = 0,
x1 = 2; x2 = 3.
Проверка.
1) x1 = 2 2) x2 = 3
= 3; = 3;
= 3; = 3; = 3; = 3;
3 = 3 (верно).3 = 3 (верно).
Ответ: x1 = 2; x2 = 3.
Оппонент команды №1 задает вопросы по решению данного уравнения.
Например, 1) сформулировать свойства логарифмов, которые применялись при решении данного уравнения.
2) Зачем нужна проверка при решении данного уравнения?
3) Какие уравнения называются равносильными?
В случае, когда команда №2 представила неверное решение, тогда свое решение предлагает команда №1. Бывает, что и ее решение не верно, тогда слово предоставляется членам жюри. Если и они не справились с заданием (в том случае, когда их не готовили заранее). тогда решение этого уравнения показывает учитель (для этого надо иметь готовые решения на кодопозитивах).
В случае правильного решения, жюри выставляет команде №2 в табло игры 5 баллов. Если оппонент задал достаточно много вопросов по решению уравнения, его работа также оценивается 5 баллов и заносится в табло игры команды №1.
Жюри задает вопросы, если оппонент не достаточно опрашивал своего соперника.
Далее случаем решение команды №1, по той же схеме.
Игра проходит до тех пор, пока не будут рассмотрены все уравнения.
5) Историческая справка.
Представители команд готовят доклады по следующим темам.
1) Из истории логарифмов.
2) История создания таблиц логарифмов.
6) Итог урока.
Жюри проводит итоги, оценивает ответы всех участников игры.
Табло игры.
Количество баллов
Команда №1 Команда №2
   
Свойства логарифмической функции.
1) Область определения - множество всех положительных чисел
D (log a x) = R+.
2) Область значения - множество всех действительных чисел
E (log a x) = R.
3) log a a = 1.
4) Если x > 1, то log a x > 0;
если x < 1, то log a x < 0.
5) log a 1 = 0.
6) log a 0 - ,
7) log a x возрастает при возрастании х при а > 1 и убывает при 0 < a < 1.
Из истории логарифмов.
Изобретение логарифмов, название их и первые таблицы логарифмов принадлежат шотландскому любителю математики Джону Неперу (1550 -1617), хотя раньше его составил первые таблицы логарифмов также любитель математики - часовщик и мастер астрономических приборов швейцарец И. Бюрги (1552-1632), работавший вычислителем с астрономом И. Кеплером. Однако таблицы Бюрги были опубликованы в 1620 г., а таблицы Непера появились в 1614 г. Вычислителем логарифмических таблиц эти талантливые люди занимались параллельно, но независимо один от другого. При составлении таблиц оба они руководствовались идеей, высказанной еще Архимедом, а затем более подробно исследованной М. Штифелем в работе "Общая арифметика". (1544 г.)
Разработка идеи Архимеда и Штифеля приводит к понятию логарифма. Из различных систем логарифмов замечательны две: логарифмы с иррациональным основание е = 2,7182818284…, которые носят название натуральных, и системы логарифмов с основанием 10, называемые десятичными логарифмами.
Допустим, в равенстве х = а у y получает последовательно значения:
0,1,2,3,4,…, у, у +1, (2)
тогда х выражается так:
1, а1, а2, а3, а4, …, а у, а у+1.(3)
Ряд (2) – прогрессия арифметическая, а
Ряд (3) – прогрессия геометрическая.
Члены арифметической прогрессии (2) являются по сути логарифмами при основании а. Но в те времена показатели степени еще не употреблялись.
Непер и Бюрги должны были решить, какое число взять за основание, чтобы ряд (3) был гуще, т.е. чтобы разность между двумя соседними членами (∆х) была бы возможно меньше.
Поэтому Непер воспользовался последовательностью чисел 1-10 -7 = 0,9999999, а Бюрги – 1 + 10 -4. Иными слова, первый использовал равенство
х = (1 – 10 -7) у, а второй -х = (1 + 10 -4) у.
И. Бюрги начал свои вычисления и составление таблиц логарифмов в 1603 г. В 1611 г. Бюрги завершил составление таблиц и по настоянию И. Кеплера решил их опубликовать, но напечатаны они были только в 1620 г. Однако таблицы Бюрги не получили широкого распространения, т.к. прежде появились таблицы Непера.
Таблицы Непера значительно упрощали труд вычислителя, но они все же были далеки от совершенства. Поэтому он вместе со своим другом профессором Генри Бриггсом (1561-1631) занялся составлением десятичных логарифмов. Вычисление этих логарифмов закончил после смерти Непера Бриггс и опубликовал в 1624 г. в "Логарифмической арифметике". Четырехзначные десятичные логарифмы Бриггса содержали целые числа от 1 до 20000.
В 1628 г. голландский математик Андриан Влакк дополнил десятичные таблицы целых чисел от 1 до 100000. На основе этих таблиц в 1703 г. были напечатаны в России "Таблицы логарифмов и синусов, тангенсов и секансов тщанием и за освидетельствованием математических и навигацких шкал учителей Андрея Фархварсона, Стефана Гвина и Леонтия Магницкого".
Многолетний труд талантливых и трудолюбивых математиков, затраченный на составление таблиц, впоследствии сторицей окупился тем, что тысячам вычислителей сохранил многие годы их жизни, сэкономив время при выполнении разнообразных сложных расчетов.
Одно из решений данных уравнений
1) lg (10 ) – 26 = lg x – 25.
Решение
Используя основное логарифмическое тождество (a = b) имеем:
lg (x2 + 21) – 26 = lg x – 25,
lg (x2 + 21) – lg x = 26 – 25,
lg = 1,
= 10, x ≠ 0
x2 + 21 = 10 x,
x2 – 10 x + 21 = 0
Проверка
1) x = 72) x = 3
lg (10lg (49 + 21)) – 26 = lg 7 – 25,lg (10 lg (9 + 21)) – 26 = lg 3 – 25,
lg 70 – lg 7 = 26 -25,lg 30 – lg 3 = 26 – 25,
lg 10 = 1 (верно).lg 10 = 1 (верно).
Ответ: х1 = 7; х2 = 3.
3) log 5 (4x + 144) – 4 log 5 2 = 1 + log 5 (2 x – 2 + 1).
Решение.
log 5 (4x + 144) – log 5 16 = log 5 5 (2 x – 2 + 1),
log 5 = log 5 5 (2 x – 2 + 1),
= 5 (2x – 2 + 1),
22x + 144 = 80 · 2x – 2 + 80,
22x – 20 · 2x + 64 = 0,
откуда
2x = 16 или 2x = 4
x1 = 4; x2 = 2.
4) x2 log x 27 · log 9 x = x + 4.
Решение.
x2 · log x = x + 4,
x2 = x + 4, logx ≠0; x ≠ 1.
x2 = x + 4 3 x2 – 2 x – 8 = 0
Учитывая область допустимых значений x = - 1 - посторонний корень.
Проверка: x = 2
22 log 2 27 · log 9 2 = 2 = 4,
4 log 2 33 · log 2 = 6,
12 log 2 3 · log 3 2 = 6, т.к. log 2 3 · log 3 2 = 1 (взаимно обратные)
6 = 6 (верно).
Ответ: х = 2.
5) x = 2.
Решение
log 4 x = log 4 2,
(log 4 x – 2) log 4 x = 3 (log 4 x – 1) log 4 2,
log 42 x – 2 log 4 x = log 4 x - ,
log 42 x – 3,5 log 4 x + 1,5 = 0,
log 4 x = 3 или log 4 x = 0,5 ,
x1 = 64;x2 = 2.
Проверка:
1) x1 = 642) x2 = 2
64 = 2 ,2 = 2 ,
64 3-2 = 2 3 (3-1),2 = 2 ,
64 = 26 (верно).2 = 2 (верно).
Ответ: x1 = 64; x2 = 2.
6) · = .
Решение.
· = ,
· = ,
· = ,
= ,
log 3 (x + 1)(x – 1) = 1,
x2 – 1 = 3,
x2 = 4 x = + 2.
Учитывая О.Д.З. x > 1.
Ответ: x = 2.
7) 3 = 27 x30.
Решение.
Преобразуем выражение:
log 3 x + log 3 x2 + log 3 x3 + …+ log 3 x8 = log 3 x + 2log 3 x + 3log 3 x + …+ 8log 3 x = 36 log 3 x.
Уравнение имеет вид 3 = 27 x30,
3 = 27 x30 x36 = 27 x 30, x30 ( x6 – 27) = 0
.
Учитывая область определения логарифмической функции х = 0 не удовлетворяет наше уравнение.
Ответ: x = .
8) log2 (x + 1)2 + log2 |x +1| = 6.
Решение.
log2 (x + 1)2 + log2 |x +1| = 6, x ≠ - 1
1) при x > - 1,2) при x < - 1,
(x + 1)3 = 26, - (x + 1)3 = 26,
x + 1 = 26, - (x + 1) = 26,
x = 3. x = - 5.
Ответ: x = 3, x = - 5.
9) log 5 ((2 + )x – ( - 2)x ) = - 3 log2.
Решение.
Вычислим правую часть уравнения:
- 3 log2 = log 5 + 3 log 5 2 = log 5 8.
Имеем следующее уравнение:
log 5 ((2 + ) x – ( - 2) x ) = log 8 8,
(2 + ) x – ( - 2) x = 8.
Учитывая то, что 2 + и - 2 взаимно обратные числа, действительно
- 2 = = = ,
Имеем
(2 + )х - = 8.
Пусть (2 + ) х = у, тогда имеем:
у - = 8, где у > 0 при х любом.
у2 - 8у – 1 = 0
у1,2 = 4 + = 4 + = 4 + 9,
у1 = 4 + 9; у2 = 4 - 9.
1) (2 + ) х = 4 + 9,2) (2 + ) х = 4 - 9,
(2 + ) х = (2 + )2, нет решения, т.к.
х = 2. 4 - 9 < 0.
Ответ: х = 2.
10) (3,(3) – 1,(1)) = 2,(2)
Решение.
Используя обращение чистой периодической дроби в простую имеем:
3,(3) = 3 = 3; 1,(1) = 1; 2,(2) = 2.
(3 - 1) = (2) ,
= , учитывая что
log 4x x и log x 4x взаимно обратные (log b a = ),
имеем:
= , откуда
log 4x x = ,
log4x2 x = 1, т.е. log4x x = + 1.
1) log4x x = 1.2) log4x x = - 1.
x = 4 x, x = (4 x) -1,
x1 = 0. x = x, 4x2 = 1, x2 = ,
x2 = ; x3 = - .
Учитывая область определения логарифмической функции х1 = 0 и х3 = - не удовлетворяют нашему уравнению.
Проверка.
х = .
[3,(3) – 1,(1)] = [2,(2)] ,
= , = , = (верно).
Ответ: х = .