Статья Обучение учащихся средней школы графическому методу решения уравнений

Обучение учащихся средней школы графическому методу решения уравнений
 Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. Школьники начинают знакомиться с уравнениями еще в начальной школе. Содержание темы «Уравнения» постепенно углубляется и расширяется. Задача учителя
· научить школьников эффективно решать как стандартные уравнения, так и уравнения, не являющиеся таковыми. За сотни лет развития «царицы всех наук» люди придумали большое количество методов решения уравнений. Большая часть этих методов основана на тождественных и равносильных преобразованиях. А как решать уравнения, не проводя сложных вычислений? Существует графический метод.
Учащиеся общеобразовательных учреждений традиционно знакомятся при изучении математики с графическим методом решения уравнений. Тем не менее, содержащиеся в контрольно-измерительных материалах ОГЭ задания, решения которых требуют применения графического метода, вызывают у них затруднения. Более того, учащиеся порой не замечают возможности применения графиков к решению уравнений. Вместе с тем, графическое решение уравнений играет немаловажную роль в развитии пространственного воображения, мышления, исследовательских способностей, находчивости и сообразительности. Все это обуславливает актуальность рассматриваемой темы.
Таким образом, необходима целенаправленная и последовательная работа по обучению учащихся графическому методу решения уравнений. Данная статья затрагивает только уравнения с одной переменной.
Суть графического метода решения уравнений в следующем: при решении уравнения вида f1 (x) = f2 (x), где y = f1 (x) и y = f2 (x) – графики известных функций, строят графики этих функций. Затем находят точки их пересечения. Абсциссы таких точек являются корнями данного уравнения. Этот метод позволяет определить число корней, их приближенные, а иногда и точные значения.
Для овладения графическим методом решения уравнений необходимо сформировать у учащихся следующие умения:
построение графиков функций;
определение точек пересечения графика функции с осями координат;
определение точек пересечения графиков функций, построенных в одной системе координат.
Обучение непосредственно графическому методу решения уравнений целесообразно изучать по схеме:
решение уравнений вида f (x) = 0;
решение уравнений вида f (x) = а;
решение уравнений вида f1 (x) = f2 (x), где y = f1 (x) и y = f2 (x) – графики известных учащимся функций;
решение уравнений, сводящихся к виду f1 (x) = f2 (x), где y = f1 (x) и y = f2 (x) – графики известных учащимся функций.
Ниже предложены задачи, направленные на обучение графическому методу решения уравнений, в 7 классе в процессе изучения темы «Функции y = x2 и y = x3 и их графики» (учебник Ю.Н. Макарычева «Алгебра, 7 класс»).
Используя график функции, изображенный на рисунке, найдите значения х, при которых у = 1; у = – 3; у = 0.
Пользуясь рисунком, выясните, сколько решений имеют уравнения: x2 = 3; x2 = 0; x2 = –1.
Пользуясь графиком функции y= x2, решите уравнение: x2 = 4; x2 = –2.
Постройте графики функций y = x2, y = 9 и найдите точки их пересечения.
Решите графически уравнения: x2 = 9; x2 = –3.
Постройте в одной системе координат графики функций y= x2 и y =7x – 6 и найдите точки их пересечения.
Решите уравнение x2 = x + 6, используя графики функций y = x2 , y = x + 6.
Решите графически уравнение: a) x2 = 6 – 5x; б) x2 – x = 6;в) x2 +2x – 3 = 0; г) x3 + 5x = 6; г) x3 + x = 4.
Далее следуют задания без указания метода их решения.
9. Сколько корней имеет уравнение x3 – 2x +8 = 0.
Затем появляются более сложные задания, например, с параметрами.
При каком значении а уравнение x2 = a, имеет более одного решения.
При каком значении a уравнение x2 – a + 8 = 0 имеет одно решение.
После изучения «новых» функций необходимо расширять и углублять систему задач, направленную на формирование умений учащихся решать уравнения графическим методом.
Графический метод имеет ряд недостатков. Во-первых, построение графиков функций
· трудоемкий процесс, требующий много времени. Во-вторых, решение уравнений графическим методом позволяет найти лишь приближенные значения корней. Однако, его преимущества бесспорны: графический метод является эффективным при решении нестандартных уравнений, решение которых аналитически приводит к громоздким и трудным вычислениям. При применении графического метода график функции строится не ради графика, а для решения другой задачи, становясь, таким образом, не целью, а средством, помогающим решить уравнение. Можно отметить, что он создает большие возможности для активизации учебной работы по наблюдению, сравнению, обобщению. Вместе с тем, графическое решение уравнений играет немаловажную роль в развитии пространственного воображения, мышления, исследовательских способностей, находчивости и сообразительности.