Рабочая тетрадь для выполнения самостоятельной работы по математике (для групп ППО)
Павлова Н.Г.
Математика
Рабочая тетрадь
Рабочая тетрадь предназначена для выполнения внеаудиторной самостоятельной работы по дисциплине «Математика».
Для студентов второго курса, обучающихся по специальности 40.02.01 Право и организация социального обеспечения.
Содержание
1. Матрицы и определители 4
1.1. Матрицы и действия над ними 4
1.2. Определители 9
1.3. Обратная матрица 14
1.4. Ранг матрицы 20
2. Системы линейных уравнений 23
2.1. СЛУ. Методы решения СЛУ 23
2.2. Совместность СЛУ 30
2.3. Однородные СЛУ 32
2.4. Неоднородные СЛУ 34
3. Векторы. Линейные пространства 37
3.1. Линейные пространства. Линейные операции над векторами 37
3.2. Линейная зависимость и независимость векторов 38
3.3. Базис и размерность линейного пространства 41
3.4. Евклидовы пространства 44
1. Матрицы и определители
1.1. Матрицы и действия над ними
1. Укажите, какие из представленных матриц являются диагональными.
1000 1011 0110 0010 1101 1001 0001 0011 01002. Укажите, какие из представленных матриц являются единичными.
1000 1011 0110 0010 1101 1001 0001 0011 0100 100010 001001 100010001 001010100 111011001 100110111
3. Определите элементы симметрических матриц.
2112211232231123134. Определите следы матриц.
A=123-4, trA=
B=-1231-2-3123, trB=
C=1032754243051324, trC=
5. Определите размерности матриц.
A2× + B×3 = C×A2× × B3× = C×1A ×2 + B 3× × C× = D×16. Определите элементы матриц.
212-2-10=02-462-11-230+5-221-11=315204430527-220-13-11T=22-512-4011-1573451=
213321-1-22-13=07. Укажите, какие из представленных пар матриц являются коммутирующими.
1000, 0001 1201, 1021 2002, 3003 2002, 0330 1001, 100010 00, 1001 110011, 211221 122312131, 1110110018. Данные о доходах и расходах филиалов компании в 2013 и 2014 годах представлены в таблице:
Доходы, млн. руб. Расходы, млн. руб.
2013 г. 2014 г. 2013 г. 2014 г.
1-ый филиал 22 25 18 23
2-ой филиал 30 34 28 30
3-ий филиал 16 12 14 10
Определите финансовый результат деятельности каждого филиала и сумму налога на прибыль (ставка 20%) в 2013 и 2014 годах.
Финансовый результат,
млн. руб. Сумма
налога на прибыль,
млн. руб.
2013 г. 2014 г. 2013 г. 2014 г.
1-ый филиал 2-ой филиал 3-ий филиал 9. Данные о суммах начисленной заработной платы работников предприятия за второй квартал представлены в таблице:
Оклад, тыс.руб. Премия, тыс.руб.
апр. май июнь апр. май июнь
Администрация 650 650 680 0 150 320
Производство 1250 1340 1400 0 280 450
Определите суммы начисленной заработной платы, суммы налога на доходы физических лиц (ставка налога 13%, налоговые вычеты не применяются) и суммы заработной платы к выдаче работников администрации и основного производства за каждый месяц второго квартала.
Сумма начисленной заработной платы, тыс.руб.
апрель май июнь
Администрация Производство Сумма НДФЛ, тыс.руб.
апрель май июнь
Администрация Производство Сумма заработной платы к выдаче, тыс.руб.
апрель май июнь
Администрация Производство
1.2. Определители
10. Сформулируйте определение определителя матрицы.
Определителем матрицы n-го порядка называется _________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
11. Укажите, какие из представленных перестановок являются четными.
1,2,3,4 4,2,3,1 2,4,3,1 1,2,3,4,5 5,4,3,2,1 4,5,7,6,2,1,3,812. Определите элементы нечетных перестановок.
2, , 4, , 5 , 1, 2, , 55, 7, , , 2, 3, 11,3, 5, , 6, 4, , 213. Определите знаки слагаемых.
a11a12a21a22=a11a22 a12a21
a11a12a13a21a22a23a31a32a33= a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a13a22a31a12a21a33a11a23a32a11a12a21a22a13a14a23a24a31a32a41a42a33a34a43a44= a11a22a33a44 a11a22a34a43a11a23a32a44a11a23a34a42a11a24a32a43a11a24a33a42a12a21a33a44a12a21a34a43a12a23a31a44a12a23a34a41a12a24a31a43a12a24a33a41a13a21a32a44a13a21a34a42a13a22a31a44a13a22a34a41a13a24a31a42a13a24a32a41a14a21a32a43a14a21a33a42a14a22a31a43a14a22a33a41a14a23a31a42a14a23a32a4114. Вычислите определители матриц.
1002=1302=1225=100420653=36-324-212-1=123456789=210-1211-1-2=1111100110011111=1112111111113114=15. Определите элементы матриц.
A=234, detA=5A=570, detA=5A=200104-13, detA=12A=20203020, detA=6
16. Вычислите миноры и алгебраические дополнения элементов матрицы.
A=1234M11=M12=M21=M22=A11=A12=A21=A22=17. Определите элементы матрицы.
A=M11=2A12=-1M21=-3M22=418. Вычислите миноры и алгебраические дополнения элементов матрицы.
A=10-10111-10M11=M12=M13=M21=M22=M23=M31=M32=M33=A11=A12=A13=A21=A22=A23=A31=A32=A33=19. Вычислите миноры и алгебраические дополнения элементов матрицы.
A=43-112-11111-121-134M23=M44=A12=A33=20. Вычислите определитель, используя его разложение по элементам первой строки.
310-122105=∙(-1)++∙(-1)+∙(-1)=
=++=21. Вычислите определитель, используя его разложение по элементам третьего столбца.
13-11100102-121102=∙(-1)++∙(-1)++∙(-1)++∙(-1)==+++=1.3. Обратная матрица
22. Укажите, какие из представленных матриц являются невырожденными.
2121 2-1-21 2112 101323101 234567891 204-131-101 1122002002002211 -113-32-2-44-22-441-13-323. Сформулируйте необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы.
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
24. Укажите, какие из представленных матриц являются обратимыми.
5793 -24-12 12-1213332 1-1202-1121 111210102323201225. Найдите обратную матрицу с помощью присоединенной матрицы.
A=1223detA=1223= ≠0 ⇒ матрица A обратима.
A11=A12=A21=A22=A=A11A21A12A22=
A-1=1detAA=1detAA11A21A12A22==1=26. Найдите обратную матрицу с помощью присоединенной матрицы.
A=1-1202-1121detA=1-1202-1121= ≠0 ⇒ матрица A обратима.
A11=A12=A13=A21=A22=A23=A31=A32=A33=A=A11A21A31A12A22A32A13A23A33=
A-1=1detAA=1detAA11A21A31A12A22A32A13A23A33==1=27. Найдите обратную матрицу методом элементарных преобразований.
A=122312231001⟶12010⟶⟶120110⟶1001A-1=28. Найдите обратную матрицу методом элементарных преобразований.
A=1-1202-11211-1202-1121100010001⟶⟶1-1202-10100010⟶⟶1-12010100⟶⟶1-120100100⟶⟶1-1201001100⟶⟶1-10010001⟶⟶100010001A-1=29. Найдите обратные матрицы.
2132-1=3513-1=100110111-1=435311447-1=1001011001100000-1=30. Укажите, какие из представленных пар матриц являются взаимно обратными.
2002, 0,5000,5 2112, 1221 2231-10-121, 1-4-31-5-3-164
1.4. Ранг матрицы
31. Сформулируйте определение ранга матрицы.
Рангом матрицы называется ___________________________
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
32. Приведите пример матрицы размера 2×3, ранг которой
равен 0: равен 1: равен 2: 33. Найдите ранг матрицы методом окаймляющих миноров.
A=122436 M1= ≠0 ⟹ rang A≥1;
M21==0 ; M22==0;
⟹ rang A=34. Найдите ранг матрицы методом элементарных преобразований.
A=122436122436⟶ 12l2-2l1l3-3l1⟶12
⟹ rang A=35. Найдите ранги матриц.
A=1224, rang A=A=1124, rang A=A=232222, rang A=A=2-13421614, rang A=A=-2-101-1-2412101, rang A=A=102309-2132011-121, rang A=36. Определите элементы матриц.
A=, rangA=0A=, rangA=0A=121, rangA=1A=224, rangA=1A=2104, rangA=1A=12349, rangA=1A=12302303, rangA=2A=140123370000210, rangA=32. Системы линейных уравнений
2.1. СЛУ. Методы решения СЛУ
37. Укажите, для решения каких из представленных систем линейных уравнений применим метод Крамера.
x1-x2=1x1+x2=1 x1 - x2=12x1-2x2=2 x1-x2+x3=1x1+x2+x3=3 x1 -x2=12x1+x2=2 x1- x2=-1x1+ x2=3x1+2x2=5 x1-x2+x3=2x1-x2-x3=12x1-2x2 =338. Укажите, для решения каких из представленных систем линейных уравнений применим метод обратной матрицы.
2x1- x2=14x1-2x2=2 x1- x2=1x1+2x2=4 x1+x2+x3=3 x1+x2-x3=1x1-x2+x3=3 x1- x2 + x3=2x1-2x2- x3=1 x2+2x3=1 x1-x2+x3=2x1-x2-x3=1x1+x2-x3=339. Решите систему линейных уравнений методом Крамера.
x1 + 2x2=12x1+3x2=1Δ==Δ1==Δ2==x1=, x2=40. Решите систему линейных уравнений методом Крамера.
x1+x2+x3=6-x1+x2+x3=0 x1-x2+x3=2Δ==Δ1==Δ2==Δ3==x1=, x2=, x3=41. Решите систему линейных уравнений методом обратной матрицы.
x1 + x2=3x1+2x2=4A=, b=A-1=x1=, x2=42. Решите систему линейных уравнений методом обратной матрицы.
2x1+3x2+5x3=103x1+7x2+4x3=3 x1+2x2+2x3=3A=, b=A-1=x1=, x2=, x3=43. Решите систему линейных уравнений методом Гаусса.
x1 + x2=3x1+2x2=4113⟶113l2-l1x1 + x2= x2=x1=, x2=44. Решите систему линейных уравнений методом Гаусса.
x1 +2x2=12x1+4x2=2121⟶1212l2-l1⟶x1 + 2x2=x1= , x2=C, C∈R45. Решите систему линейных уравнений.
x1 + x2 =32x1+2x2=6Ответ: ______________________________________________
46. Решите систему линейных уравнений.
x1 + x2 =32x1+2x2=5Ответ: ______________________________________________
47. Решите систему линейных уравнений.
x1+ x2 =12x1+x2 =-13x1+2x2=1Ответ: ______________________________________________
48. Решите систему линейных уравнений.
x1+ x2 =12x1+x2 =-13x1+2x2=0Ответ: ______________________________________________
49. Решите систему линейных уравнений.
x1- x2+2x3=12x1-2x2+4x3=2Ответ: ______________________________________________
50. Решите систему линейных уравнений.
x1+ 3x2+ x3 =10 x1- x2 +4x3 =115x1+2x2 - x3 =6Ответ: ______________________________________________
51. Решите систему линейных уравнений.
x1+ 2x2-3x3 =1 x1+3x2 +4x3 =22x1+5x2 + x3 =3Ответ: ______________________________________________
52. Решите матричное уравнение.
12-21X=-10510X=53. Решите матричное уравнение.
4152X3-113=20304050X=54. Решите матричное уравнение.
100010301X=200020502X=55. Фабрика специализируется на выпуске изделий трех типов: A, B и C. При этом используется сырье трех видов. Нормы расхода сырья на единицу продукции каждого вида и общий объем сырья на складе представлены в таблице:
Вид сырья Нормы расхода сырья
на единицу продукции, у.е. Запас сырья, у.е.
A B C I 5 3 4 2700
II 2 1 1 900
III 3 2 2 1600
Найдите объем выпуска продукции каждого типа, учитывая, что сырье должно быть использовано полностью.
Пусть x1, x2, x3 ― объем выпуска продукции типа A, B и C соответственно.
x1+ x2+ x3 = x1+ x2+ x3 = x1+ x2+ x3 = x1=, x2=, x3=
2.2. Совместность СЛУ
56. Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
57. Укажите, какие из представленных расширенных матриц СЛУ соответствуют совместным СЛУ.
123013000-134 12-1012007-134 12-1012007-130 14-1012001-10158. Вычислите ранг матрицы СЛУ и ранг расширенной матрицы СЛУ.
x1+ x2=2x1+2x2=4rang=rang =x1+ x2=22x1+2x2=4rang=rang =x1-2 x2+x3=2x1+ x2- x3=12x1- x2+x3=0rang=
rang =59. Укажите, какие из представленных систем линейных уравнений являются совместными.
x1+x2=1x1-x2=2 x1+x2=1x1+x2=2 x1+x2 =1x1-2x2=22x1-x2=2 x1+x2 =1x1-2x2=22x1-x2=3 x1+ x2- x3=12x1+2x2-2x3=1 x1+ x2- x3=12x1+2x2-2x3=2 x1- x2 + x3=0x1-2x2- x3=0x1+ x2+2x3=0 x1- x2+x3=2x1- x2-x3=12x1-2x2 =3
2.3. Однородные СЛУ
60. Укажите, какие из представленных однородных систем линейных уравнений являются неопределенными.
x1+x2=0x1+x2=0 x1+x2=0x1-x2=0 x1+x2+x3=0x1+x2-x3=0 x1+ x2- x3=02x1+2x2-2x3=0 x1-x2+x3=0x1-x2-x3=0x1+x2+x3=0 x1- x2+x3=0x1- x2-x3=02x1-2x2 =061. Определите, из какого числа решений состоят фундаментальные системы решений представленных ОСЛУ.
x1- x2=02x1-2x2=0 , n-r=
x1+x2+x3=0 , n-r=x1+ x2- x3=02x1+2x2-2x3=0 , n-r=x1+ x2- x3=02x1+2x2+2x3=0 , n-r=x1-x2+x3=0x1-x2+x3=0x1+x2+x3=0, n-r= x1- x2+x3=0 x1+2x2-x3=02x1+ x2 =0, n-r=62. Укажите, какие из представленных систем решений являются фундаментальными системами решений для данной ОСЛУ.
x1-x2-x3=0-x1+x2+x3=0 E1=2, 1, 1 E1=1, 0, 1
E1=1, 1, 0 E1=2, 1, 1E2=1, 0, 1 E1=1, 1, 0E2=1, 0, 1 E1=1, 1, 0E2=2, 2, 0 E1=1, 1, 0E2=3, 2, 1 E1=1, 1, 0E2=1, 0, 1E3=2, 1, 163. Найдите общее решение ОСЛУ.
x1 + x2 =02x1+2x2=0Ответ: ______________________________________________
64. Найдите общее решение ОСЛУ.
x1 + x2 =0x1+2x2=0Ответ: ______________________________________________
65. Найдите общее решение ОСЛУ.
x1+ x2 =03x1+4x2=02x1+3x2=0Ответ: ______________________________________________
66. Найдите общее решение ОСЛУ.
x1+ x2-2x3=03x1+3x2-6x3=0Ответ: ______________________________________________
67. Найдите общее решение ОСЛУ.
x1+2x2+ x3 =0x1-2x2+x3 =0x1-6x2+ x3 =0Ответ: ______________________________________________
2.4. Неоднородные СЛУ
68. Найдите частные решения представленных НСЛУ.
x1- x2 =12x1-2x2=2 , xчн= , 0
x1- x2=12x1-x2=3 , xчн= ,
x1+x2+x3=3 , xчн= , 0, 0
x1+ x2- x3=22x1+2x2-2x3=4 , xчн= , , 0
x1-x2+x3=2x1-x2-x3=0x1+x2+x3=6, xчн= , , x1- x2+x3=2 x1+2x2-x3=82x1+ x2 =10, xчн= , , 069. Найдите общие решения представленных НСЛУ.
x1+ x2 =42x1+2x2=8xон= , 0+C , -1, C∈R x1-2x2+ x3=12x1+4x2+ x3=93x1+2x2+2x3=10xон= , , 1+C , , -8, C∈Rx1-x2+x3-x4=2x1+x2-x3-x4=0xон=, , 0, 0+C1, , 1, 0++C2, , 0 , 1, C1, C2∈R70. Найдите общее решение НСЛУ.
x1 + x2 =53x1+3x2=15Ответ: ______________________________________________
71. Найдите общее решение НСЛУ.
x1+2x2=5x1+3x2=6Ответ: ______________________________________________
72. Найдите общее решение НСЛУ.
x1+ x2- x3=12x1+2x2-2x3=2Ответ: ______________________________________________
73. Найдите общее решение НСЛУ.
5x1+x2+3x3+5x4=54x1+x2+2x3+3x4=4 x1-x2+ x3+ x4 =3Ответ: ______________________________________________
____________________________________________________
3. Векторы. Линейные пространства
3.1 Линейные пространства. Линейные операции над векторами
74. Определите компоненты векторов.
a=1, 0,-1-a=, ,a=-2, 0, -a=, , 0a=, 0, , 4-a=-2,, 3, 75. Определите компоненты векторов.
a=1, -1, 1, 0, b=5, 2, 0, -1a+2b=, , , 3a-b=, , , 3(a-5b)=, , , 2a-2(3a+2b)=, , , 76. Определите компоненты векторов.
22, 1, 3,, -2, 0=, , , 6, , -1, , 3, 5, +2, 4, , 0, 1==, 5, -6, , 131, , 0, 5, +2, -1, , 0, -2==, 8, 6, , 741, , 1, 0, 1-52, 4, , 1, 0==, 15, -6, , 3.2 Линейная зависимость и независимость векторов
77. Сформулируйте определение линейно зависимой системы векторов.
Система векторов a1, a2,…,am называется линейно зависимой, если ______________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
78. Сформулируйте определение линейно независимой системы векторов.
Система векторов a1, a2,…,am называется линейно независимой, если ___________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
79. Докажите утверждение.
Утверждение. Система векторов a1, a2, …, am (m≥2) линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из этих векторов является линейной комбинацией остальных векторов системы.
Доказательство. ______________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________
80. Докажите утверждение.
Утверждение. Система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.
Доказательство. ______________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
81. Докажите утверждение.
Утверждение. Система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.
Доказательство. ______________________________________
____________________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
82. Укажите, какие из представленных систем векторов являются линейно независимыми.
a1=1, 0, a2=1, 1 a1=1, 0, a2=0, 1 a1=1, 0, a2=0, 0 a1=1, 0, a2=2, 0 a1=1, 1, a2=1, 0, a3=0, 1 a1=1, 0, 2, a2=0, 2, 1 a1=1, 0, 2, a2=2, 0, 4 a1=1, 0, 2, a2=0, 2, 1, a3=1, 2, 3 a1=1, 1, 0, a2=0, 1, 1, a3=1, 0, 1 a1=1, 1, -1, a2=3, 1, 0, a3=2, -2, 0 a1=1, 1, 0, a2=0, 1, 1, a3=1, 0, 1, a4=1, 0, 0 a1=2, 1, 0,-1, a2=1, 0, -2, -1, a3=3, 1, -1, 1 a1=5, 2, 2, 2, a2=2, 5, 2, 2, a3=2, 2, 5, 2, a4=2, 2, 2, 583. Выразите вектор a=4, 3 через векторы a1=1, 2 и a2=2, -1.
a= a1+ a2
84. Выразите вектор a=7, 2, 10 через векторы a1=1, -1, 3, a2=2, 1,-1 и a3=7, 5, 3.
a= a1+ a2+ a3
3.3. Базис и размерность линейного пространства
85. Сформулируйте определение базиса пространства Rn.
Система векторов из Rn называется базисом пространства Rn, если ____________________________________________
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
86. Укажите, какие из представленных систем векторов являются базисами R2.
a1=1, 0, a2=0, 1 a1=1, 0, a2=2, 1 a1=1, 0, a2=0, 0 a1=1, 0, a2=2, 0 a1=1, 0, a2=0, 1, a3=1, 187. Укажите, какие из представленных систем векторов являются базисами R3.
a1=1, 0, 0, a2=0, 1, 0 a1=1, 0, 0, a2=0, 2, 0, a3=0, 0, 3 a1=1, 1, 0, a2=0, 1, 1, a3=1, 0, 1 a1=1, 2, 3, a2=4, 5, 6, a3=7, 8, 9 a1=1, 1, 0, a2=0, 1, 1, a3=1, 0, 1, a4=1, 1, 188. Найдите матрицу перехода от базиса e1, e2 к базису e1*=4e1+e2, e2*=2e1+3e2.
Te→e*=89. Найдите матрицу перехода от базиса к базису .
Te→e*=90. В базисе даны векторы , образующие базис. Найдите координаты вектора в базисе .
Te→a=Te→a-1=a3= a1+ a291. В базисе даны векторы , образующие базис. Найдите координаты вектора в базисе .
Te→a=Te→a-1=a4= a1+ a2+ a3