Правильные многогранники.Урок геометрии в 10 классе.

Симметрия в пространствеПонятие правильного многогранникаЭлементы симметрии правильных многогранников Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук. Л.Кэролл Осевая симметрия Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а (оси симметрии), если прямая а проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к этому отрезку. Центральная симметрия Две точки А и А1 называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка АА1. Точка О считается симметричной самой себе. Задача Построить фигуры симметричные относительно прямой f Симметрия относительно плоскости Точки А и А1 называются симметричными относительно плоскости α(плоскость симметрии), если плоскость α проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к этому отрезку. Каждая точка плоскости α считается симметричной самой себе Определение правильного многогранника Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер. Не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и вообще n-угольники. Правильный ТЕТРАЭДР Составлен из четырёх равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180є Правильный ОКТАЭДР Составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине 240є Правильный икосаэдр Составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300є Куб (гексаэдр) Составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270є Правильный додекаэдр Составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324є Названия многогранников пришли из Древней Греции в них указывается число граней:эдра  граньтетра 4гекса  6окта  8икоса  20додека  12 Правильные многогранники в философской картине мира ПЛАТОНА тетраэдр икосаэдр  воздух октаэдр земля гексаэдр вселенная  додекаэдр огонь вода «Космический кубок» Кеплера Модель Солнечной системы И. Кеплера Икосаэдро-додекаэдровая структура Земли Таблица № 1 Правильный многогранник Число граней вершин рёбер Тетраэдр Куб Октаэдр Додекаэдр Икосаэдр Таблица № 1 Правильный многогранник Число граней вершин рёбер Тетраэдр 4 4 6 Куб 6 8 12 Октаэдр 8 6 12 Додекаэдр 12 20 30 Икосаэдр 20 12 30 Таблица № 2 Правильный многогранник Число граней и вершин(Г + В) рёбер(Р) Тетраэдр Куб Октаэдр Додекаэдр Икосаэдр Таблица № 2 Правильный многогранник Число граней и вершин(Г + В) рёбер(Р) Тетраэдр 4 + 4 = 8 6 Куб 6 + 8 = 14 12 Октаэдр 8 + 6 = 14 12 Додекаэдр 12 + 20 = 32 30 Икосаэдр 20 + 12 = 32 30 Формула Эйлера Сумма числа граней и вершин любого многогранника равна числу рёбер, увеличенному на 2. Г + В = Р + 2 Число граней плюс число вершин минус число рёбер в любом многограннике равно 2. Г + В  Р = 2 Правильные многогранники и природа Задача: Определите количество граней, вершин и рёбер многогранника, изображённого на рисунке . Проверьте выполнимость формулы Эйлера для данного многогранника. Элементы симметрии правильных многогранников. Правильный октаэдр, правильный икосаэдр, правильный додекаэдр имеют центр симметрии и несколько осей и плоскостей симметрии.