Презентация к проекту Пифагоровы триады и их свойства к проекту, выставленному на защиту конкурса Шаг в науку МАН Искатель Республики Крым
Министерство образования, науки и молодежи Республики КрымМалая академия наук «Искатель» Конкурс « Шаг в науку»ПИФАГОРОВЫ ТРИАДЫ И ИХ СВОЙСТВАНаучный руководитель: Глухов Виктор ВладимировичМБОУ «Новопокровская школа» Работу выполнил: Джеббаров Ферат, обучающийся 8 класса МБОУ «Новопокровская школа» Красногвардейского районаСимферополь 2016
Проблема:нахождение целочисленных решение пифагорова уравнения (поиск пифагоровых триад) и изучение их свойств и способов практического примененияЦели:- рассмотреть способы и формулы нахождения целочисленных решений для уравнения Пифагора ;-найти закономерности в образовании пифагоровых триад, изучить их свойства;-исследовать закономерности расположения рациональных пар, соответствующих пифагоровой триаде на единичной окружности;-найти возможность вычисления приближённых значений 𝟐 и 𝟑 геометрическим способом;- совершенствование навыков программирования.
Классическая картинка из учебника истории, нас впервые знакомит с пифагоровыми тройками и их практическим применением для построения прямого угла древними землемерами Египта . Она заставляет задуматься , а много ли существует таких троек?Учителя школы утверждают, что в задачниках на свойство теоремы Пифагора применяются от силы десять – двадцать таких троек.А учителя истории рассказывают, что археологи доказали, что Пирамиды фараона Снофру (XXVI век до н. э.) построены с использованием треугольников со сторонами 20, 21 и 29, а также 18, 24 и 30 десятков египетских локтей. А ещё они утверждают, что древние математики задолго до Пифагора умели составлять эти тройки и использовать их в строительстве.
В Интернете нам попалась картинка с большими числами пифагоровой триады да ещё и с информацией , что вычислили её более 4000 тысяч лет назад, и применяли эти тройки для астрономических измерений… границы нашего любопытства не было предела. Постепенно на кружке программирования мы познавали свойства пифагоровых троек и накапливали материал и вычисления для этого проекта.
Простейшей программой с циклами было вычислено множество всех пифагоровых триад в порядке возрастания её большего члена m и не превышающего заданного числа.Оказалось, что для m = 5000, число пифагоровых троек равно 5681. Для m = 1000, число пифагоровых троек равно 881. Большое количество триад. Но таким способом древние математики не могли вычислять. Да и алгоритм вычислений не рациональный.
«Дерево примитивных пифагоровых троек » впервые открыто в 1934 году шведским математиком Берггреном. В 1963 году установлено, что при умножении справа любой из трёх матриц на вектор-столбец, компоненты которого составляют примитивную пифагорову тройку, результатом будет вектор-столбец, компоненты которого составляют другую примитивную пифагорову тройку.
Мы исследовали это дерево и обнаружили такую же хаотичность, как и в предыдущем примере.
Предыдущие исследования позволили нам найти логику построения пифагоровых триад . Написанная нами программа при постоянном числе b и растущем числе a позволила заметить нам чёткую закономерность убывания точки от угла близкого к 90 градусам к углу близкому к нулю с уменьшением шага убывания. Написанная программа позволила каждой триаде и соответствующей ей рациональной точке вычислять градусную меру угла поворота
Вычисление градусной меры , соответствующей рациональной точке триады, позволило нам разработать методику вычисления приближённого значения иррационального числа 𝟐 . Это мы делаем двумя специализированными программами.
Для нахождения приближённого значения 𝟑 в программе использовалось свойство, что больший катет прямоугольного треугольника с углом 60 градусов в 𝟑 раз больше меньшего катета.Очень интересно было наблюдать рост плотности точек при уменьшении угла. Через триаду (4069919635; 7049405748; 8139924277), соответствующую 60 градусам , 𝟑 1,7320749253566 с точностью 2,4 *10-5. А через триаду (26308740415; 15189415032; 30378745057), соответствующую 30 градусам, 𝟑 1,73204434532696 с точностью 6,4 *10-6, на порядок выше, чем через угол 60 градусов.
О не примитивных пифагоровых триадах. Для каждой не примитивной триады найдётся коэффициент k, чтобы триада могла быть представлена в виде (kx;ky;kz), , где (x;y;z) соответствующая основная, примитивная триада. Написанные нами программы вычисления угловых мер, показали , что при маленькой переналадке можно получать множество триад, в котором между каждыми двумя примитивными триадами на единичной окружности будет стоять не примитивная. Анализ результатов Приложения С к проекту даёт нам основание предполагать, что в астрономических наблюдениях древние шумеры использовали и не примитивные триады.
Анализ результатов выполнения программ позволил нам найти два интересных свойства пифагоровых триадПервое свойство. При b = 1 и натуральном a > b множество триад (x;y;z) вычисляемых по формуле ( а2 - 1 ; 2а; а2 + 1 ), является решением системы двух диафантовых уравнений:𝒙𝟐+ 𝒚𝟐=𝒛𝟐𝒚𝟐=𝟐𝒙+𝟐𝒛Например, (24;10; 26 ) или (899; 60; 901) Второе свойство. При натуральном a и b таких что a – b = 1 множество триад (x;y;z) вычисляемых по формуле ( а + b ; 2аb; а2 + b2 ) и является решением системы двух диафантовых уравнений𝒙𝟐+ 𝒚𝟐=𝒛𝟐𝒙𝟐=𝒚+𝒛Например: (17; 144; 145) или ( 55; 1512; 1513 ) .
В заключение скажу, что все исследования пифагоровых триад мы проводили с помощью простейших программ на языке Pascal ABC Net.Это были первые наши шаги в программировании. Этот проект обозначил нам новые задачи, но для их решения нужно овладевать более совершенные языки. Сейчас перед нами стоит задача изучения языков Delphi или СИ++. Спасибо за внимание.