Проектная работа по теме Теорема Пифагора

Теорема Пифагора и различные способы её доказательства . Пребудет вечной истина, как скоро её познает слабый человек ! И ныне теорема Пифагора верна, как и в его далёкий век.Теорема Пифагора интересна не только своей историей, но и тем , что она занимает важное место в жизни и науке. Теорема Пифагора попала в книгу рекордов Гиннеса, так как имеет несколько сотен способов её доказательств. Трудно найти человека, у которого бы имя Пифагора не ассоциировалось с теоремой Пифагора. Пожалуй даже те, кто в своей жизни навсегда распрощался с математикой, сохраняют воспоминания о «пифагоровых штанах» - квадрате на гипотенузе, равновеликом сумме двум квадратам на катетах. Теорема Пифагора имеет огромное значение в геометрии, она применяется буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около ста различных доказательств этой теоремы (геометрических, механических, алгебраических и др.) свидетельствует о гигантском числе её конкретной реализации.
style.rotation ИсторияОткрытие теоремы Пифагором окружено ореолом красивых легенд. Прокл, комментируя последнее предложение 1 книги «Начал» Евклида, пишет: «Если послушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придётся сказать, что эта теорема восходит к Пифагору; рассказывают, что он в честь этого события принёс в жертву быка. Впрочем, более щедрые сказители превратили одного быка в целую сотню. И хотя ещё Цицерон заметил, что всякое пролитие крови было чуждо уставу Пифагорейского ордена, легенда эта прочно связалась с теоремой Пифагора и через две тысячи лет продолжала вызывать горяче отклики Известно, что Пифагор на самом деле не открыл, а лишь сформулировал и доказал эту теорему. Сегодня теорема обнаружена в различных частных задачах и чертежах; и в египетском треугольнике, и в вавилонских клинописных табличках, и в древнейшем китайском трактате «Чжоу-би суань цзинь» , время создания которого точно не известно. Формулировки теоремы У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод): "В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол".Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900 г. до н. э. ), сделанный Герхардом Клемонским (начало XII в.), в переводе на русский гласит: "Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол".В Geometria Culmonensis (около 1400 г.) в переводе теорема читается так : "Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу".В первом русском переводе евклидовых "Начал", сделанном Ф. И. Петрушевским, теорема Пифагора изложена так: "В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол".Более строгой надо считать такую формулировку: «Если гипотенуза и катеты прямоугольного треугольника измерены одной и той же единицей длины, то квадрат числового значения длины гипотенузы равен сумме квадратов числовых значений длин катетов». Доказательство Эйнштейна  Простейшее доказательство теоремы .В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника ABC : квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах -по два.Точки E, C и F лежат на одной прямой; это следует из несложных расчётов градусной меры угла ECF (он развёрнутый).CD проводим перпендикулярно EF.Продолжены вверх левая и правая стороны квадрата, построенного на гипотенузе, до пересечения с EF; продолжена сторона ЕА до пересечения с CD.Соответственно равные треугольники одинаково пронумерованы.
style.rotation
ppt_xxshearppt_x
Доказательство ЕвклидаВ самом деле, треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними: FB = AB, BC = BD, а углы между ними равны как тупые углы со взаимно перпендикулярными сторонами. SABD = 0,5S BJLD, так как у треугольника ABD и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. Аналогично SFBC=0,5S ABFH(BF-общее основание, АВ-общая высота). Отсюда, учитывая, что SABD=SFBC, имеем SBJLD=SABFH.Аналогично, если вы проведёте отрезок АЕ используете равенство треугольников ВСК и АСЕ, то докажете, что SJCEL=SACKG.Итак, SABFH+SACKG= SBJLD+SJCEL= SBCED, что и требовалось доказать. Это доказательство было приведено Евклидом в его "Началах". По свидетельству Прокла (Византия), оно придумано самим Евклидом. Доказательство Евклида приведено в предложении 47 первой книги "Начал".На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника АВС строятся соответствующие квадраты и доказывается, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, а прямоугольник JCEL - квадрату АGКС. Тогда сумма площадей квадратов на катетах будет равна площади квадрата на гипотенузе. Доказательство Нильсена Нильсен предложил такое разбиение.Многоугольники равных площадей (равновеликие фигуры) одинаково пронумированы.Этот индийский математик в пояснении к рисунку написал только одну строчку: "Смотри!". Учёные считают, что он выражал площадь квадрата, построенного на гипотенузе, как сумму площадей треугольников (4ab/2) и площадь внутреннего квадрата (a - b)²: c²=4ab/2+(a -b)²; c²=2ab+a²-2ab+b²; c²=a²+b². Теорема доказана.Доказательство Бхаскари - Ачарна (XII век) Доказательство IX века н.э. Математики 9 столетия новой эры разместили квадраты, построенные на катетах, ступенями, один рядом с другим. Индусы называли эту композицию "стулом невесты". Построен и квадрат со стороной, равной гипотенузе. Общая часть двух квадратов, построенных на катетах, и квадрата, построенного на гипотенузе, - неправильный заштрихованный шестиугольник 5. Присоединив к нему треугольники 1 ; 2 и ещё один маленький треугольничек, получим оба квадрата, построенные на катетах; если же к заштрихованной фигуре присоединить треугольники 3 и 4 (соответственно равные 1 и 2) и такой же маленький треугольник, то получим квадрат, построенный на гипотенузе Доказательство методом дополнения Поворотом плоскости с центром в т.А на «-90 градусов» четырёхугольник ACKJ совместим с четырёхугольником ADGВ. Площадь каждого из них соответственно половина площади шестиугольников ACBHKJ и ADEFGB. От двух равных площадей нужно отнять равновеликие части (пары равных прямоугольных треугольников 1;2 и 1;3) так, чтобы в одном случае остались два квадрата, построенные на катетах, а в другом- квадрат, построенный на гипотенузе. А если от равных чисел отнять равные числа, то и разности будут равны.« 1. Теорема Пифагора.2. Точная, логичная.3. Доказываем, учим, вычисляем.4. Квадрат гипотенузы можно найти , сложив сумму квадратов катетов.5. Треугольник. ЛитератураБерезин В. Я. Теорема Пифагора. Квант, №8, 1971 г. Глейзер Г.И. История математики в школе. М., Просвещение,1982 г.Еленьский Щ. По следам Пифагора. М., Учпедгиз, 1961 г.Литцман В. Теорема Пифагора. М., Просвещение, 1960 г.Феоктистов И. Геометрия до Евклида в очерках и задачах. М., Чистые пруды, 2005 г.