Методический материал для подготовки к экзаменам ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ-Аэростатика_Гидростатика_Молекулярка_Термодинамика
Примеры решения задач
Дано:
0 = 0
m = 0,200 кг
V = 22010-6 м3h = 3 м
в = 103 кг/м3 Решение:
Движение мяча в воде равноускоренное. Ускорение а можно найти из уравнения динамики.
.
В скалярном виде:
ma = FA – mg,
ma = gV – mg
Н =? 1. Резиновый мяч массой 200 г и объемом 220 см3 погружают под воду на глубину 3 м и отпускают. На какую высоту (в метрах), считая от поверхности воды, подпрыгнет мяч? Сопротивление воды и воздуха при движении мяча не учитывать. Плотность воды 103 кг/м3.
(1)
Тогда
.(2)Подставим в уравнение (2) выражение для ускорения (1):
Екин = h (gV - mg) = hg (V - m).(3)
При вылете из воды мяч обладает кинетической энергией, которая в точке 2 переходит в потенциальную.
Екин = mgH.(4)
В уравнениях (3) и (4) приравниваем правые части:
hg (V - m) = mgH
h (V - m) = mH
Отсюда определим высоту, на которую подпрыгнет мяч, считая от поверхности воды.
= = 0,3 (м).
Ответ: H = 0,3 м
2. Определите натяжение нити, связывающей два шарика объёмом 10 см3 каждый, если верхний шарик плавает, наполовину погрузившись в воду. Масса нижнего шарика в три раза больше массы верхнего шарика. Плотность воды 103 кг/м3, g = 10 м/с2. Ответ представьте в мН.
Дано:
V = 10 см3 = 10-5м3
m2 = 3m1
g = 10 м/с2
= 1000 кг/м3 Решение:
Выполним рисунок, расставим силы, действующие на каждое тело, и для каждого тела запишем свое условие равновесия.
1 шар: FA1 – m1g – T = 0,(1)
где
.
Т =? 2 шар: FA2 – m2g + T = 0,(2)
где
FA2 = gV.
В уравнения (1) и (2) подставим силы Архимеда, действующие на каждое тело, и выразим массы этих тел:
– m1g – T = 0,
gV – m2g + T = 0.
, .
Так как по условию задачи
m2 = 3m1,
то
= 3,
gV + T = 3,
gV + T = - 3Т.
4Т = .
Из полученного уравнения определим натяжение нити, связывающей оба шарика:
(Н) = 12,5 (мН).
Ответ: Т = 12,5 мН
3. При подъеме с помощью гидравлического пресса груза массой 2 т была совершена работа 4,9 кДж. Найдите число ходов малого поршня, перемещающегося за один ход на 10 см, если КПД пресса 90%, а площадь большого поршня больше малого в 100 раз. Принять g = 9,8 мс2. Ответ представьте в единицах СИ.
Дано:
m = 2 т = 2103 кг
Аз = 4,9 кДж = 4,9103 Дж
l = 10 см = 0,1 м
= 90 = 0,9
s1 = 100 s2
g = 9,8 мс2 Решение:
КПД пресса рассчитывается как отношение:
100.(1)
Полезная работа, которую совершает сила F:
Aп = Fl = FlN.(2)
Для гидравлического пресса выполняется соотношение:
N =? .(3)
Выражение, полученное для силы F, подставим в уравнение (2).
Aп = lN.(4)
Решая совместно уравнения (1) и (4) найдем число ходов малого поршня.
lN = Аз.
N = = = 225.
Ответ: N = 225
Дано:
d2 = 4 d1
h = 0,7 м
рт = 13,6103 кгм3
в = 103 кгм3 Решение:
В сообщающихся сосудах однородная жидкость устанавливается на одном уровне (штриховая линия). Когда в левый сосуд поверх ртути налили воду, уровень ртути в нем опустился на h1, а в правом сосуде поднялся на h2.
h1 =? h2 =? 4. В сообщающиеся сосуды, диаметр одного из которых больше диаметра другого в 4 раза, налита ртуть, а в сосуд меньшего диаметра сверху налита вода высотой 0,7 м. Определите, на сколько изменятся уровни ртути в сообщающихся сосудах. Плотность ртути 13,6103 кгм3, плотность воды 103 кгм3. Ответы представьте в сантиметрах и округлите до десятых.
Давление в сообщающихся сосудах на одном уровне одинаковое, т.е.
р1 = р2.(1)
р = , F = mg.
в нашей задаче это сила тяжести жидкости, находящейся над точкой, в которой определяется давление. Над первой точкой находится только вода, над второй – ртуть. Тогда уравнение (1) перепишется в виде:
,(2)
где
mв = вVв = вs1h, mрт = ртVрт = ртs2(h1 + h2).(3)
Подставим полученные выражения (3) в уравнение (2):
,
вh = рт(h1 + h2). (4)
Чтобы найти h1 и h2, нужно найти соотношение между ними. Объем жидкости, вытесненной из левого сосуда равен объему жидкости, перешедшей во второй сосуд, т.е.
V1 = V2. s1h1 = s2h2.(5)
Но
s = .(6)
Т.к. по условию задачи d2 = 4 d1, тогда и с учетом (6)
= ,
s2 = 16s1.(7)
Выражение (6) подставим в (4), получим:
s1h1 = 16s1h2 или h1 = 16h2.(8)
Полученное соотношение подставим в выражение (4):
вh = рт(h1 + h2) = рт(16h2+ h2) = рт17h2.
Теперь можно определить, на сколько изменятся уровни ртути в сообщающихся сосудах
h2 = 0,003 (м) = 0,3 (см).
Из уравнения (8):
h1 = 160,03 = 4,8 (см).
Ответ: h1= 4,8 см, h2= 0,3 см.
5. Определите минимальный объем наполненного водородом шара, который может поднять человека массой 70 кг на высоту 100 м за время 30 с. Общая масса оболочки шара и корзины 20 кг. Принять g = 10 мс2, плотность воздуха и водорода соответственно равными 1,3 кгм3 и 0,1 кгм3. Сопротивлением воздуха пренебречь. Ответ представьте в единицах СИ и округлите до целого числа.
Дано:
0 = 0
m1 = 70 кг
h = 100 м
t = 30 с
m2 = 20 кг
g = 10 мс2
возд = 1,3 кгм3
вод = 0,1 кгм3 Решение:
Необходимо выполнить рисунок, затем расставить силы, действующие на шар и записать уравнение динамики.
.
Полученное выражение запишем в проекции на ось y:
mчa + mшa + mНa = FA – mчg – mшg - mНg.
Преобразуем:
Vmin =? (mч + mш) a + mНa = вgV – (mч + mш) g - mНg.
(mч + mш) a + НVa = вgV – (mч + mш) g - НVg.
НVa - вgV + НVg = - (mч + mш) a - (mч + mш) g.
V (вg - Нa - Нg) = (mч + mш) a + (mч + mш) g.
V (вg - Нa - Нg) = (mч + mш) (a + g).
Отсюда
V = .(1)
В полученном выражении остается неизвестным ускорение, с которым шар поднимается вверх. Найти ускорение можно из уравнения движения шара.
h = 0t + = .
Тогда ускорение шара.
а = .(2)
решая совместно уравнения (1) и (2) найдем минимальный объем наполненного водородом шара.
V = = = 77 (м3).
Ответ: V = 77 м3
6. Два сосуда наполнены одним и тем же газом под давлением 4105 Па и 9105 Па массой 0,2 кг и 0,3 кг соответственно. Сосуды соединяют трубкой, объемом которой можно пренебречь по сравнению с объемами сосудов. Найдите установившееся давление в сосудах, если температура газа в них была одинакова и после установления равновесия увеличилась на 20%. Ответ представьте в атмосферах (1 атм = 105 Па) и округлите до десятых.
Дано:
p1 = 4105 Па
p2 = 9105 Па
m1 = 0,2 кг
m2 = 0,3 кг
T = 1,2 T
1 атм = 105 Па Решение:
установившееся давление в сосудах можно определить из закона Дальтона:
р = р1 + р2,(1)
где р1, р2 – парциальные давления газа. Эти давления определяем из уравнения Клапейрона – Менделеева:
p(V1 + V2) = RT p = RT,(2)
p = ? где Т - температура газа после соединения сосудов трубкой,
p - парциальное давление, т.е. давление, которое создается газом, если бы он один занимал весь объем.
Подставим выражение (2) в закон дальтона(1):
р = RT+ RT.(3)
Учитывая условие задачи, согласно которому
T = 1,2 T,
уравнение (3) примет вид:
р = 1,2R T + 1,2R T = 1,2(m1 + m2).(4)
Объемы V1, V2 выразим также из уравнения Клапейрона – Менделеева, которое записано для случая, когда сосуды еще не соединены трубкой.
V = RT(5)
Полученное выражение для объема подставим в уравнение(5).
р = 1,2(m1 + m2) = 1,2(m1 + m2) =
= 1,2 (m1 + m2) =1,2.
Подставим численные значения и рассчитаем установившееся давление.
р =1,2 = 7,2105 (Па) = 7,2 (атм).
Ответ: р = 7,2 атм
7. Идеальный одноатомный газ массой 1 кг с молярной массой 4 г/моль нагревают так, что его температура, пропорциональная квадрату давления, возрастает от 300 К до 600 К. Определите работу, совершенную газом. Универсальная газовая постоянная 8,31 Дж/(мольК). Ответ представьте в килоджоулях и округлите до целого числа.
Дано:
m = 1 кг
m = 4 г/моль = 410-3 кг/моль
Т = k p2
T1 = 300 К
T2 = 600 К
R = 8,31 Дж/(мольК)
i = 3 Решение:
работу, совершенную газом удобнее найти графически. Известно геометрический смысл работы. Она представляет собой площадь фигуры под графиком в pV – координатах. Для этого нужно построить этот график, то есть определить зависимость p = f(V).
Для этого запишем уравнение Клапейрона – Менделеева: pV = RT.
A = ? По условию задачи Т = k p2,
следовательно, pV = Rkp2 V = Rkp,
где , R и k – постоянные величины, т.е. V p. Тогда график зависимости p = f(V) будет выглядеть следующим образом:
Фигура между графиком и осью х представляет собой трапецию. Значит, работа численно равна площади трапеции.
sтр = ,
то есть
А = ,
где
p = , V = Rkp = Rk .
Тогда
А = = = .
Подставим численные значения и определим работу, совершенную газом.
А = = = 312103 (Дж) = 312 кДж.
Ответ: А = 312 кДж
8. Цилиндр с поршнем содержит газ. Сверху поршень прижат идеальной пружиной. Цилиндр начинают нагревать (см. рисунок). Объем газа изменяется от V1 до V2, а давление от р1 до р2. Определите совершаемую при этом работу газа. Вычисления провести при следующих параметрах: р1 = 1105 Па; р2 = 2105 Па; V1 = 1 л; V2 = 3 л. Ответ представьте в единицах СИ.
Дано:
р1 = 1105 Па
р2 = 2105 Па
V1 = 1 л = 10-3 м3V2 = 3 л = 210-3 м3Решение:
Так как в системе меняются все параметры: p, V и Т, то работу газа удобнее рассчитать графически (см. предыдущую задачу). По определению давление определяется формулой:
Fупр = ps,(1)
А = ? Но по закону Гука сила упругости определяется следующим выражением:
Fупр = kx.(2)
В уравнениях (1) и (2) приравниваем правые части.
ps = kx ,(3)
где x – перемещение поршня, которое можно определить через объем.
V = sx .(4)
Подставив в уравнение (3) выражение (4), имеем
,
то есть давление газа в цилиндре изменяется пропорционально объему: p V.
Тогда в pV – координатах график будет выглядеть аналогично графику, представленному в предыдущей задаче. Тогда работу определим через площадь трапеции.
635038100p
V
V1
V 2
p
1
p
2
1
2
sтр
00p
V
V1
V 2
p
1
p
2
1
2
sтр
А = sтр = , А = .
А = = 300 (Дж).
Ответ: А = 300 Дж
9. Смесь, состоящую из 5 кг льда и 15 кг воды при общей температуре 0С, нужно нагреть до температуры 80С, пропуская через нее водяной пар, нагретый до 100С. Определите необходимое количество пара. Удельная теплота плавления льда 3,36105 Дж/кг, удельная теплоемкость воды 4190 Дж/(кгК), удельная теплота парообразования 2,26106 Дж/кг. Ответ представьте в единицах СИ и округлите до сотых.
Дано:
mл = 5 кг
mв = 15 кг
tл = 0С
tв = 80С
tп = 100С
= 3,36105 Дж/кг
cв = 4190 Дж/(кгК)
r = 2,26106 Дж/кг Решение:
Если через смесь льда и воды пропускать горячий пар, последний конденсируется и остывает до 80С. При этом лед плавится, а затем вода, полученная из льда, нагревается от 0С до 80С. То есть в данной системе происходит теплообмен. Для решения задачи записываем уравнение теплового баланса:
,
Q1 + Q2 + Q3 + Q4 = 0.
mл + cв(mл + mв)Т1 - rmп - cвmпТ2 = 0.
mп = ? Найдем из этого уравнения количество пара, необходимое для данного процесса.
mл + cв(mл + mв)Т1 = mп(r- cвТ2)
.
= 3,58 (кг).
Ответ: mп = 3,58 кг
10. В колбе находилась вода при 0С. Выкачивая из колбы воздух, заморозили всю воду посредством собственного ее испарения. Какая часть воды испарилась при этом, если притока тепла извне не было? Удельная теплота плавления льда 336 кДж/кг. Удельная теплота испарения воды при 0С равна 2,5 МДж/кг. Ответ представьте в процентах и округлите до целого числа.
Дано:
t1 = 0С
= 336 кДж/кг = 3,36105 Дж/кг
r = 2,5 МДж/кг = 2,5 106 Дж/кг Решение:
Выкачивая из колбы воздух, заморозили всю воду mв. При этом часть воды m испарилась. При заморозке выделяется некоторое количество теплоты Q1, равное:
Q1 = ( mв - m).(1)
() = ? Выделившееся тепло расходуется на испарение воды.
Q2 = r m.(2)
Следовательно, сколько теплоты выделилось при заморозке, столько ее было затрачено на испарение, т.е.
Q1 = Q2.
Тогда
(mв - m) = r m.(3)
Из полученного уравнения (3) путем математических преобразований найдем, какая часть воды испарилась.
mв - m = r m.
mв = m + rm = m ( + r)
= 100 12 .
Ответ: = 12
11. С какой высоты должен падать оловянный шарик, чтобы при ударе о Землю он полностью расплавился? Считать, что 95% энергии шарика ушло на его нагревание и плавление. Начальная температура шарика 20С. Сопротивление воздуха не учитывать. Удельная теплоемкость олова 200 Дж/(кгК), удельная теплота плавления 58 кДж/кг, температура плавления 232С, g = 10 м/с2. Ответ представьте в километрах и округлите до целого числа.
Дано:
0,95Е = Qн + Qпл
tо = 20С
c = 200 Дж/(кгК)
= 58 кДж/кг = 58103 Дж/кг tпл = 232С
g = 10 м/с2 Решение:
находясь на высоте h, шарик обладал потенциальной энергией
Еп = mgh.
По условию задачи 95 этой энергии пошло на нагревание и плавление шарика.
0,95 mgh = Qн + Qпл.(1)
h = ? Количество теплоты, затраченное на нагревание шарика, можно рассчитать по формуле:
Qн = cmt = cm(tпл – tо).(2)
Количество теплоты, которое необходимо для того, чтобы расплавить шарик, рассчитывается по формуле:
Qпл = m.(3)
Подставим выражения (2) и (3) в уравнение (1).
0,95 mgh = cm(tпл – tо) + m.
0,95 gh = c(tпл – tо) + .(4)
Из уравнения (4) выразим и рассчитаем искомую высоту.
h = .
h = = 10568 (м) 11 (км).
Ответ: h = 11 км
12. Состояние одноатомного идеального газа изменяется по циклу, представленному рисунком на рV диаграмме. Чему равен КПД теплового двигателя, основанного на использовании этого цикла? Ответ представьте в процентах и округлите до десятых.
Дано: Решение:
КПД теплового двигателя рассчитываем по формуле:
= .(1)
Т.е. для расчета КПД двигателя необходимо определить полезную работу Aп и тепло, которое подводится к системе Q1.
Полезную работу Aп рассчитаем, используя ее геометрический смысл, как площадь треугольника 1-2-3.
= ? Aп = sтр = аh = (3V0 - V0)(2p0 - p0) = p0V0.(2)
тепло, подведенное к системе Q1, определим, используя первое начало термодинамики. Из рисунка видно, что тепло подводится на участках 1-2 и 2-3, так как на этих участках происходит увеличение давления и объема.
Q1 = Q12 + Q23.
Q1 = A12 + U12 + A23 + U23 ,
где U – изменение внутренней энергии.
U = RТ, U = RТ.
На участке 1-2 процесс изохорный, следовательно, А12 = 0.
Q1 = 0 + RТ12 + 2p02V0 + RТ23
Q1 = R(T2 – T1) + 4p0V0 + R(T3 – T2).
Q1 = R(T2 – T1 + T3 – T2) + 4p0V0 = R(T3 – T1) + 4p0V0 .
pV = RT T = .
Q1 = R( – ) + 4p0V0 = 5p0V0 + 4p0V0 = p0V0.(3)
Полученные выражения (2) и (3) подставим в уравнение (1) и рассчитаем КПД теплового двигателя.
= = = 8,7 .
Ответ: = 8,7
13. Смешали 1 м3 воздуха влажностью 20% и 2 м3 воздуха влажностью 30 %. При этом обе порции были взяты при одинаковых температурах. Определите относительную влажность смеси. Ответ выразите в процентах и округлите до целого числа.
Дано:
V1 = 1 м3
1 = 20%
V2 = 2 м3
2 = 30%
Т1 = Т2 Решение:
Относительная влажность воздуха определяется соотношением:
= ,(1)
где , н – абсолютная влажность ненасыщенного и насыщенного водяного пара.
= .
= ? Смешали воздух с разными объемами и разными влажностями. Масса смеси:
m = m1 + m2,
где
m = V.(2)
Тогда
m = 1V1 + 2V2 = + = н.
Или из уравнения (2).
m = V= (V1 + V2) = (V1 + V2).(3)
Приравняем уравнения (2) и (3).
н = (V1 + V2).
1V1 + 2V2 = (V1 + V2).
Отсюда относительную влажность смеси:
= = 100 = 27.
Ответ: = 27
14. Высота плоской льдины над уровнем океана 2 м. Определите толщину всей льдины. Плотность льда 900 кг/м3, плотность воды 1030 кг/м3. Ответ представьте в единицах СИ и округлите до целого числа.
Дано:
h = 2 м
л = 900 кг/м3
в = 1030 кг/м3 Решение:
FA = mлg
вgV2 = лg(V1 + V2)
в(d – h)s = лds
d = ? в(d – h) = лd
вd – вh = лd
d(в – л) = вh
d = = = 15,85 (м) 16 (м).
Ответ: d = 16 м
15. Стальной полый шар объемом 320 см3, плавает в воде так, что половина его погружена в воду. Плотность стали 8000 кг/м3, плотность воды 1000 кг/м3. Каков объем полости в шаре? Ответ представьте в кубических сантиметрах.
Дано:
Vш = 320 см3
c = 8000 кг/м3
в = 1000 кг/м3 Решение:
Выполним рисунок. Расставим силы, действующие на шар. Так как шар плавает, следовательно, он находится в равновесии. Поэтому для решения задачи записываем первое условие равновесия:
.
В проекции на ось у:
FA – mсg = 0 или FA = mсg.
Vп = ? сила Архимеда выражается через объем погруженной части шара
FA = вg,
а масса шара – через объем оболочки стали и ее плотность
mс = сVс.
вg = сgVс.
Vс = Vш – Vп,
где Vп – объем полости шара.
вVш = 2сVш – 2сVп
2сVп = Vш(2с - в).
Выразим объем полости в шаре и, подставив численные значения, произведем расчеты.
Vп = = 300 (см3).
Ответ: Vп = 300 см3
16. По газопроводной трубе идет углекислый газ CO2 под давлением 3,92105 Па при температуре 280 К. Какова средняя скорость движения газа в трубе, если через поперечное сечение трубы, равное 5 см2, за время 10 мин протекает газ массой 20 кг? Универсальная газовая постоянная 8,31 Дж/(мольК), молярная масса углекислого газа 44 г/моль. Ответ представьте в единицах СИ и округлите до целого числа.
Дано:
CO2
p = 3,92105 Па
T = 280 К
s = 5 см2 = 510-4 м2t = 10 мин = 600 c
m = 20 кг
R = 8,31 Дж/(мольК)
M = 44 г/моль = 4410-3кг/ моль Решение:
Средняя скорость определяется, как весь путь разделить на все время.
ср = .(1)
Путь – это то расстояние, которое проходит газ по трубе.
V = sl l = .(2)
Запишем для газа уравнение Клапейрона – Менделеева.
ср = ? рV = RT.
Отсюда
V = RT.(3)
Решая совместно уравнения (1), (2) и (3), найдем среднюю скорость движения газа в трубе:
ср = = = RT.
Подставим численные значения
ср = RT = 8,31280 9 (м/с). .
Ответ: ср = 9 м/с
17. В закрытом сосуде находится воздух и капля воды массой 1 г. Объем сосуда 75 л, давление в нем 12 кПа и температура 290 К. Каким будет давление в сосуде, когда капля испарится? Молярная масса воды 18 г/моль, универсальная газовая постоянная 8,31 Дж/(мольК). Ответ представьте в килопаскалях и округлите до десятых.
Дано:
m = 1 г = 10-3 кгV = 75 л = 7510-3 м3
p1 = 12 кПа = 12103 Па
Т = 290 К
M = 18 г/моль = 1810-3 кг/моль
R = 8,31 Дж/(мольК) Решение:
Для паров действительны газовые законы. Следовательно, после испарения капли воды давление в закрытом сосуде будет определяться по закону дальтона:
р = р1 + р2,(1)
р1 – давление воздуха в сосуде,
р2 – давление паров воды, которое можно найти
p2 = ? из уравнения Клапейрона – Менделеева.
р2V = RT.
Отсюда
р2 = RT.(2)
Подставляем уравнение для давления р2 (2) в закон Дальтона (1).
р = р1 + RT.
Подставим численные значения и рассчитаем давление в сосуде, когда капля испарится.
р = 12103 + 8,31290 = 13,8103 (Па) = 13,8 (кПа).
Ответ: р2 = 13,8 кПа
18. В вертикальном открытом сверху цилиндрическом сосуде, имеющем площадь поперечного сечения 103 м2, на высоте 0,1 м от дна находится поршень массы 1 кг, поддерживаемый сжатым газом с молярной массой 32103 кг/моль. Температура газа 300 К, атмосферное давление 105 Па. Определите массу газа в сосуде под поршнем. Принять g = 10 м/с2, универсальная газовая постоянная 8,31 Дж/(мольК). Трением пренебречь. Ответ представьте в миллиграммах и округлите до целого числа.
Дано:
s = 103 м2
h = 0.1 м
m = 1 кгM = 32103 кг/моль
T = 300 К
pатм = 105 Па
g = 10 м/с2
R = 8,31 Дж/(мольК) Решение:
Массу газа можно найти, используя уравнение Клапейрона – Менделеева.
, .(1)
Объем, занимаемый газом, легко определяется из соотношения:
V = sh.
Давление газа под поршнем уравновешивается атмосферным давлением и давлением, создаваемым силой тяжести поршня.
M = ? . (2)
Подставляя выражения для давления (2) в уравнение (1), получим
.
Подставляя численные значения, рассчитаем массу газа в сосуде под поршнем.
(кг) = 141 г.
Ответ: m = 141 мг
19. Спутник влетел в тень Земли. При этом температура внутри спутника, равная вначале 290 К, понизилась на 1%, из-за чего давление воздуха, молярная масса которого равна 29 г/моль, уменьшилось на 1 кПа. Определите массу воздуха в спутнике, если его объем 8,31 м3. Универсальная газовая постоянная 8,31 Дж/(мольК). Ответ представьте в единицах СИ.
Дано: Решение:
T1 = 290 К
T = 0,01T1
р = 103 Па
V = 8,31 м3
М = 29 г/моль = 2910-3 г/моль
R = 8,31 Дж/(мольК) массу воздуха в спутнике можно определить из уравнения Клапейрона – Менделеева:
, отсюда .
р1 - ?
Из условия задачи понятно, что
m = const; V = const,
m = ? следовательно, по закону Шарля:
,
где давление р2 = р1 – р и температура Т2 = Т1 – Т = 0,99Т1. Поэтому
или (Па).
(кг).
Ответ: m = 10 кг
20. Автомобиль расходует 5,67 кг бензина на 50 км пути. Определите среднюю мощность, развиваемую при этом двигателем автомобиля, если средняя скорость движения 80 кмч и КПД двигателя 22%. Удельная теплота сгорания бензина 4,5107 Дж/кг. Ответ представьте в киловаттах и округлите до целого числа.
Дано:
m = 5,67 кг
s = 50103 м
ср = 80 кмч = 22,2 м/с
= 22%
q = 4,5107 Дж/кг Решение:
КПД двигателя определяется по формуле:
.
Тогда совершаемая работа
.(1)
р = ? Работа также связана с мощностью, развиваемую двигателем автомобиля.
A = Pt.
Время выражается через пройденный путь.
.
Тогда работа
. (2)
Приравняем выражения для работы (1) и (2):
.
Количество теплоты Q можно определить через удельную теплоту сгорания бензина
Q = qm.
тогда средняя мощность, развиваемая двигателем автомобиля найдем по формуле:
.
Подставим численные значения:
(Вт) 25 (кВт)
Ответ: P = 25 кВт.
21. В сообщающейся трубке с водой площадью сечения S = 1см2 долили: в левую – масла объемом V1 = 30 мл, а в правую – керосин, объемом V2 = 25 мл. Определить разность установившихся уровней воды в трубках, если плотность масла ρ1 = 0,9 г/см3, плотность керосина ρ2 = 0,8 г/см3, плотность воды ρ3 = 1 г/см3.
Дано:
S = 1см2
V1 = 30 мл
V2 = 25 мл
ρ1 = 0,9 г/см3
ρ2 = 0,8 г/см3
ρ3 = 1 г/см3 СИ
10–4 м
30∙10–6 м3
25∙10–6 м3
900 кг/м3
800 кг/м3
1000 кг/м3
х – ? Решение. Рассмотрим давление на уровне А (уровне воды в левом сосуде):
.
Давление в правом сосуде:
.
В сообщающихся сосудах давление в точках на одной горизонтали одинаково. Следовательно:
.
откуда разность установившихся уровней воды:
, ,
.
Ответ: .
22. Два друга решили во время ледохода покататься на льдинах. Удержит ли их обоих льдина площадью S = 1,5 м2 и толщиной h = 50 см? масса одного мальчика т1 = 28 кг, масса другого – т2 = 32 кг. Плотность льда ρ = 0,9 г/см3, а плотность воды ρ0 = 1 г/см3.
Дано:
S = 1,5 м2
h = 50 см
т1 = 28 кг
т2 = 32 кг
ρ = 0,9 г/см3
ρ0 = 1 г/см3 СИ
0,5 м
9∙102 кг/м3
1000 кг/м3
Smin – ? Решение. Максимальная выталкивающая сила (сила Архимеда) действует на льдину, когда она погрузилась полностью. Для наименьшей площади льдины условие плавания определяется из равенства этой силы и силы тяжести, действующей на систему:
Sminhρ0g = Sminhρg(m1 + m2)g/
Из этого уравнения находим:
, ,
.
S > Smin, т.е. льдина, которую выбрали друзья, их, к счастью, удержит.
Ответ: .
23. Определите площадь сечения S2 открытого цилиндра, стоящего на ножках длиной h1 = 1 м, если через отверстие у его основания диаметром d1 = 2,5 см начинает вытекать вода и падает на землю на расстоянии l = 4,5 м от цилиндра. Высота столба воды в цилиндре Н = 5 м.
Дано:
h1 = 1 м
l = 4,5 м
d1 = 2,5 см
Н = 5 м СИ
2,5∙10–2 м
Smin – ? Решение. Пренебрегая силами трения, определим скорость υ1 вытекания воды из бака. Для этого воспользуемся кинетическим уравнением для горизонтально брошенного тела. Время падения:
и .
Запишем уравнение неразрывности для сечений S1 и S2:
S1υ1 = S2υ2,
где S1 – площадь отверстия; υ2 – скорость опускания уровня воды в цилиндре.
Уравнение Бернулли для сечений S1 и S2 имеет вид:
,
где, поскольку бак открыт, давление Р1 и Р2 равны атмосферному давлению; h2 = h1 + H.
Исходя из этого, получим:
, ,
м2.
Ответ: м2.
24. В сосуде теплоемкостью 0,6 кДж/К находится 0,5 л воды и 300 г льда при 0° С. Определите, какая установится температура, если в воду пустить водяной пар массой 100 г при температуре 100° С. Удельная теплота парообразования 2,26 МДж/кг, удельная теплота плавления льда 3,35∙105 Дж/кг, плотность воды 1 г/см3, удельная теплоемкость воды 4,19∙103 Дж/(кг∙К).
Дано:
С1 = 0,6 кДж/К
V2 = 0,5 л
m3 = 300 г
m4 = 100 г
tпл = 0° С
tк = 100° С
r4 = 2,26 МДж/кг
λ3 = 3,35∙105 Дж/кг
ρ2 = 1 г/см3
с2 = 4,19 Дж/(кг∙К) СИ
0,6∙103 Дж/К
0,5∙10–3 м3
0,3 кг
0,1 кг
Тпл = 273 К
Тк = 373 К
2,26∙106 Дж/кг
1000 кг/м3
Θ – ? Решение. Из-за того, что результат процесса теплообмена неизвестен, предположим, что температура всех тел после окончания теплообмена будет Θ, причем она больше температуры плавления льда, но меньше температуры кипения воды.
Сосуд и вода нагрелись, получив соответственное количество теплоты:
,
.
Лед расплавился, а получившаяся вода нагрелась, получив количество теплоты:
.
При конденсации пара образовавшаяся вода охладилась, отдав количество теплоты:
.
Уравнение теплового баланса
Q1 + Q2 + Q3 + Q4 = 0.
Исходя из этого, получим
Выразим из этого уравнения установившуюся температуру:
,
К.
Так как 273 К < 357 К < 373 К, то предположения о теплообмене верны.
Ответ: Θ = 357 К.
25. Азот (молярная масса М = 28∙103 кг/моль) находится при температуре Т1 = 280 К. В результате изохорного охлаждения его давление уменьшилось в 2 раза, а затем в результате изобарного расширения температура газа в конечном состоянии стала равной первоначальной. Определите: работу, совершенную газом; изменение внутренней энергии газа.
Дано:
т = 50 г
М = 28∙103 кг/моль
Т1 = 280 К
V1 = V2
P1/P2 = n = 2
P2 = P3
Т3 = Т1 СИ
5∙10-2 кг
A – ? ΔU – ? Решение. Работа, совершенная газом в результате рассматриваемых процессов:
А = А12 + А23,
где А12 = 0 – работа изохорного охлаждения; А23 = Р2(V1 – V2) – работа изобарного расширения. От сюда следует:
А = Р2(V1 – V2).
Согласно закону Шарля (V1 = V2 = = const) Р1/Т1 = Р2/Т2, откуда
.
Запишем уравнение Менделеева – Клапейрона для состояний 2 и 3:
и ,
получим
.
Исходя из этого, получим искомую работу, совершенную газом:
,
.
Ответ: .
26. В идеальной тепловой машине Карно, работающей по обратному циклу (холодильной машине), в качестве холодильника используется вода при 0°С, а в качестве нагревателя – вода при 100°С. Определите, сколько воды можно заморозить в холодильнике, если превратить в пар 200 г воды в нагревателе. Удельная теплота плавления льда 3,35∙105 Дж/кг, удельная теплота парообразования воды 2,26∙105 Дж/кг, удельная теплота парообразования воды 2,26 МДж/кг.
Дано:
t1 = 100°C
t2 = 0°C
m1 = 200 г
λ = 3,35∙105 Дж/кг
r = 2,26 МДж/кг СИ
Т1 = 373 К
Т2 = 273 К
0,2 кг
2,26∙106 Дж/кг
т2 – ? Решение. Для испарения воды массой т1 необходимо затратить количество теплоты:
Q1 = rm1,
где r – удельная теплота парообразования воды
При замерзании воды массой т2 выделяется количество теплоты:
Q2 = –λm2,
где λ – удельная теплота плавления льда.
Коэффициент полезного действия идеальной тепловой машины:
,
где Q1 – количество теплоты, полученной от нагревателя; Q2 – количество теплоты, отданное холодильнику; Т1 – температура нагревателя; Т2 – температура холодильника. От сюда находим:
.
Исходя из этого, получим:
,
выразим из этого выражения массу:
,
Ответ:
27. Азот массой т = 10 г, находящийся при нормальных условиях, сжимается до объема V2 = 1,4 л. Найдем давление Р2, температуру Т2 и работу сжатия А, если азот сжимается: а) изотермически; б) адиабатически.
Дано:
т = 10 г
μ = 28·10–3 кг/моль
Р1 = 105 Па
Т1 = 273 К
V2 = 1,4 л СИ
0,01 кг
1,4·10–3 м3
Р2 – ? Т2 – ? А – ? Решение. а) При изотермическом сжатии газа Т = const, поэтому Т1 = Т2 = 273 К. Из уравнения Менделеева – Клайперона:
,
отсюда найдем давление газа:
, ,
.
Работа при изометрическом сжатии:
.
По закону Бойля – Мариотта Запишем: P1V1 = P2V2, от куда получим отношение (P1/P2 = V2/V1). Тогда получим:
, ,
.
б) Поскольку азот двухатомный газ, то показатель адиабаты γ = 1,4. Из уравнения Пуассона для адиабатического сжатия запишем:
или .
Получим отношение:
,
от куда . Согласно уравнению Менделеева – Клайперона:
, тогда .
Исходя из этого, получим:
,
отсюда найдем давление Р2:
, ,
.
По схожему принципу получим отношение для температуры:
,
отсюда найдем температуру Т2:
, ,
.
Найдем работу адиабатического сжатия:
, ,
.
Ответ: а) Т2 = 273 К;
б) .