Элективный курс «Уравнения и неравенства с модулем в курсе 9 класса»
Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №58 »
Программа курса:
«Уравнения и неравенства с модулем
в курсе 9 класса»
Подготовила: учитель математики
Елфимова Н.И.
г. Магнитогорск, 2010
«Уравнения и неравенства с модулем в курсе 9 класса»
Елфимова Н.И.
г. Магнитогорск, МОУ СОШ №58
Высшее назначение математики состоит в том, чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает
Винер Н.
Пояснительная записка
Разработанный курс составлен для учащихся 9 класса и рассчитан на 10 часов.
Понятие модуля, решение простейших уравнений и неравенств изучается в курсе математики 6-9 классов фрагментарно, вводятся основные понятия по данной теме.
Предлагаемый курс является развитием системы ранее приобретенных программных знаний, его цель – создать целостное представление о теме и значительно расширить спектр задач, посильных для учащихся.
Анализ результатов экзаменов показывает, что при решении уравнений и неравенств с модулем учащиеся испытывают определенные трудности. Это обусловлено тем, что общеобразовательные стандарты по математике предусматривают решение заданий базового уровня, поэтому учащиеся слабо владеют одним из основных способов решения задач: анализ через синтез; редко могут ответить для себя на вопрос какого рода должны быть взаимосвязи между рассматриваемыми компонентами. Не всегда могут разбить задачу на подзадачи, чтобы прийти к цели, теряются при виде уравнения и неравенства с модулем.
Предлагаемый курс предполагает научить решать уравнений и неравенства с модулем, в том числе использовать логические приемы решения уравнений и неравенств.
Задачи, предлагаемые в данном курсе, интересны и часто не просты в решении, что позволяет повысить учебную мотивацию учащихся и проверить свои способности к математике. Вместе с тем, содержание курса позволяет ученику любого уровня активно включиться в учебно-познавательный процесс и максимально проявить себя: занятия могут проводиться на высоком уровне сложности, но включать в себя вопросы, доступные и интересные всем учащимся.
.
Основой проведения занятий может служить технология деятельностного метода, которая обеспечивает системное включение ребенка в процесс
самостоятельного построения им нового знания и позволяет проводить разноуровневое обучение. Желательно использовать такие формы, как выступления с докладами, дополняющими лекционные выступления учителя. Возможны и разные формы индивидуальной или групповой работы.
Цель курса: Создание целостного представления о теме “Модуль», подготовить учащихся к успешному решению уравнений и неравенств с модулем, содержащих в заданиях ЕГЭ
Задачи курса:
Систематизировать ранее полученные знания о модуле.
Расширить спектр задач, посильных для учащихся.
Научить оценивать свои возможности по математике, и более осознано выбирать профиль дальнейшего обучения.
Совершенствовать и развивать математические знания и умения, повышать интерес к математике.
Общие требования к уровню усвоения содержания курса.
В результате изучения данного курса учащиеся должны
Знать: методы решения уравнений и неравенств с модулем;
Уметь: решать уравнения, содержащие один или несколько модулей; неравенства, содержащие модуль; выполнять построение графиков, содержащих модуль, а также расширить свои знания по теме “Модуль и его применение”.
Содержание курса состоит из теоретического материала, а также набора заданий различных уровней сложности, поэтому предполагает работу с различными источниками математической литературы.
Содержание каждой темы элективного курса включает в себя самостоятельную работу учащихся.
Формой итогового контроля может стать самостоятельная работа, тестовая работа, собеседование, доклад, защита проекта и т.д.
На изучение элективного курса выделено 10 часов.
Тематическое планирование
№
Тема
Количество часов
1
Модуль числа (понятие, определение, применение в других областях науки и техники). Простейшие уравнения с модулем (решение уравнений по определению)
1 ч
2
Решение уравнений с модулем (продолжение). Уравнения, содержащие два модуля
1 ч
3
Уравнения, содержащие два модуля и более модуля
2 ч
4
Неравенства с модулем
1 ч
5
Графики функций, содержащие модуль
1 ч
6
Простейшие системы уравнений и неравенств с модулем
2 ч
7
Решение простейших уравнений и неравенств с модулем
2 ч
Содержание.
Тема 1. Модуль числа (понятие, определение, применение в других областях науки и техники). Простейшие уравнения с модулем (решение уравнений по определению). Решение простейших уравнений с модулем вида:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Определение: абсолютной величиной (или модулем) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]числа, а называется:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Пример 1. Решить уравнение: 13 QUOTE 1415
Решение. По определению имеем: 13 QUOTE 1415
Ответ: -7,2; 7,2.
Пример 2. . Решить уравнение: |13 QUOTE 1415
Решение. 13 QUOTE 1415
Ответ: 1,5.
Пример 3. Решить уравнение: 13 QUOTE 1415
Решение. По свойству модуля выражение 13 QUOTE 1415| неотрицательно, поэтому это выражение, никогда не может быть равно (-20).
Уравнение не имеет решений.
Ответ: нет решений.
Пример 4. Решить уравнение: 13 QUOTE 1415
Решение. 1). Найдем значения переменной, при которых выражение, стоящее под знаком модуля, обращается в нуль13 QUOTE 1415
2). 13 QUOTE 1415 разбивает область допустимых значений переменной на промежутки, на каждом из которых выражение, стоящее под знаком модуля, сохраняет знак.
- +
-1 х
3). На каждом из найденных промежутков решаем уравнение без знака модуля. а).13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
б). 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 система не имеет решений, т.к. 13 QUOTE 1415 не входит в рассматриваемый промежуток 13 QUOTE 1415.
4). Совокупность (объединение) решений и составляет все решения рассматриваемого уравнения.
Ответ: 0,5.
Задачи для самостоятельной работы.
Решите уравнения, используя определение модуля.
13 QUOTE 1415.13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415.
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415.
13 QUOTE 1415.
Решите уравнение.
13 QUOTE 1415
|13 QUOTE 1415.
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415.
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415.
13 QUOTE 1415
Свойства модуля действительного числа.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
.
Тема 2. Решение уравнений с модулем (продолжение).
Уравнения, содержащие два модуля. Решение уравнений вида [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
При решении уравнений вида[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] традиционным способом, в несложных случаях можно возвести обе части уравнения в квадрат, избавившись от модуля и получив равносильное уравнение
Пример 1. Решить уравнение: 13 QUOTE 1415.
Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат13 QUOTE 1415. Получим квадратное уравнение 13 QUOTE 1415, 13 QUOTE 1415
Ответ:13 QUOTE 1415
Задачи для самостоятельной работы.
Решите уравнение.
13 QUOTE 1415.
13 QUOTE 1415.
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
213 QUOTE 1415
Решите уравнение 13 QUOTE 1415
Если уравнение имеет несколько корней, то в ответе запишите их сумму.
Найдите разность между наибольшим и наименьшим корнем уравнения 13 QUOTE 1415.
Тема 3 . Уравнения, содержащие два модуля и более. Решение уравнений вида:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
(уравнения с “вложенными” модулями), [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
При решении уравнений, содержащих два или более модулей можно использовать, кроме обычных способов, метод интервалов.
Пример 1. Решить уравнение 13 QUOTE 1415
Решение. 1. Найдем значения переменной, при которых подмодульные выражения обращаются в нуль: 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
Определим знаки подмодульных выражений на трех образовавшихся промежутках:
- - + - + +
13 QUOTE 1415 3 х
3. Оба модуля раскрываются со знаком «+» 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
Первый модуль раскрываем со знаком «+», а второй – со знаком «-»
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 система не имеет решений.
Оба модуля раскрываются со знаком «-» 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
Ответ: 13 QUOTE 1415
Пример 2. Решить уравнение 13 QUOTE 1415
Решение. 1. Раскрываем внутренний модуль со знаком «+» 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 или 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 . 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
Раскрываем внутренний модуль со знаком «-» 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 или 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 система не имеет решений. 13 QUOTE 1415 система не имеет решений.
Задачи для самостоятельной работы.
Решите уравнение
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
Найдите разность между наибольшим и наименьшим корнем уравнения 13 QUOTE 1415.
Решите уравнение
13 QUOTE 1415
Найдите сумму корней уравнения 13 QUOTE 1415
5.Решите уравнение 13 QUOTE 1415
Тема 4. Неравенства, содержащие модуль.
Решение неравенств вида:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Принцип решения неравенств, содержащих модули, аналогичен решению соответствующих уравнений. Отличие состоит в том, что при решении уравнений широко используется проверка, а при решении неравенств это часто вызывает затруднения. Следовательно, при решении неравенств необходимо использовать равносильные переходы, некоторые неравенства решаются с помощью замены переменной. Но более рационально - перейти к двойному неравенству или к равносильной системе двух неравенств [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
а также переходя к равносильной совокупности двух неравенств [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Пример 1. Решить неравенство: 13 QUOTE 1415
Решение. Так как 13 QUOTE 1415 , то 13 QUOTE 1415 . Обозначим 13 QUOTE 1415 Получим квадратное неравенство относительно 13 QUOTE 1415: 13 QUOTE 1415 решив которое получим 13 QUOTE 1415. 13 QUOTE 1415, а т.к. модуль всегда неотрицателен, то левая часть этого двойного неравенства выполняется при всех значениях 13 QUOTE 1415, поэтому надо решить 13 QUOTE 1415
Ответ: (-2;2).
Пример 2. Решить неравенство: 13 QUOTE 1415< 7.
Решение. 1. 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 .
2. - - 13 QUOTE 1415 - + 13 QUOTE 1415 + +
-1 4 x
В результате раскрытия модулей получаем три системы:
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
которые необходимо решить.
Ответ: (-2;5).
Пример 3. Решить неравенство: 213 QUOTE 1415.
Решение. 213 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
Ответ: 13 QUOTE 1415
Задачи для самостоятельной работы.
Решитe неравенство и для каждого укажите наименьшее положительное число
1). 13 QUOTE 1415
2). 13 QUOTE 1415
3). 13 QUOTE 1415
4). 13 QUOTE 1415
2. Решитe неравенство
1). 13 QUOTE 1415
2). 13 QUOTE
· 1415
Тема 5. Построение графиков функций [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Построение графика функции [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] части графика функции [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] лежащие выше оси ОХ и на оси ОХ, остаются без изменения, а лежащие ниже оси ОХ – симметрично отражаются относительно этой оси (вверх).
Замечание: функция [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] неотрицательна (ее график расположен в верхней полуплоскости).
Построение графика функции [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] часть графика функции [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] лежащая левее оси ОУ, удаляется, а часть, лежащая правее оси ОУ - остается без изменения и, кроме того, симметрично отражается относительно оси ОУ (влево). Точка графика, лежащая на оси ОУ, остается неизменной.
Замечание: функция [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] четная (её график симметричен относительно оси ОУ).
Пример 1. Построить график функции у = 13 QUOTE 1415
Построение. 1. Построим график функции у = 2х.
у
3
2
1
-3
-2
-1
0
1
2
3
х
-1
-2
-3
Построим график функции, у =13 QUOTE 1415: часть графика функции 13 QUOTE 1415лежащая выше оси Ох и на оси Ох, остается без изменения, а лежащая ниже оси Ох – симметрично отражаются относительно этой оси (вверх).
у
3
2
1
-3
-2
-1
0
1
2
3
х
-1
-2
-3
Пример 2. Построить график функции у =13 QUOTE 1415
Построение. 1. Построим график функции у =13 QUOTE 1415. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы: (2;-1). Найдем координаты точек пересечения с осями координат: (1;0), (3;0), (0;3).
у
3
2
1
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
х
-1
-2
-3
2.Построим график функции у =13 QUOTE 1415: части графика функции,13 QUOTE 1415лежащие выше оси Ох и на оси Ох, остаются без изменения, а лежащие ниже оси Ох – симметрично отражаются относительно этой оси (вверх).
у
3
2
1
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
х
-1
-2
-3
Пример 3. Построить график функции у =13 QUOTE 1415
Построение. 1. Построим график функции у = 13 QUOTE 1415 Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты вершины параболы: (-1;9).Найдем координаты точек пересечения с осями координат: (-4;0), (2;0), (0;8).
у
8
7
6
5
4
3
2
1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
х
-1
-2
-3
2.Построим график функции у =13 QUOTE 1415: части графика функции,13 QUOTE 1415лежащие выше оси Ох и на оси Ох, остаются без изменения, а лежащие ниже оси Ох – симметрично отражаются относительно этой оси (вверх).
у
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
х
Построение графика функции13 QUOTE 1415: часть графика функции 13 QUOTE 1415, лежащая левее оси Оу, удаляется, а часть, лежащая правее оси Оу - остается без изменения и, кроме того, симметрично отражается относительно оси Оу (влево). Точка графика, лежащая на оси у, остается неизменной.
Замечание: функция13 QUOTE 1415 четная (ее график симметричен относительно оси Оу).
Пример 1. Построить график функции у = 13 QUOTE 1415 -3
Построение. 1. Построим график функции у = х-3 - графиком функции является прямая.
у
3
2
1
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
х
-1
-2
-3
2.Построим график функции у = 13 QUOTE 1415 -3: часть графика, лежащая левее оси у, удаляется, а лежащая на оси у и правее оси у - остается без изменения, и, кроме того, симметрично отражается относительно оси у (влево).
у
3
2
1
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
х
-1
-2
-3
Пример 2. Построить график функции у =13 QUOTE 1415.
Построение. 1. Построим график функции у =13 QUOTE 1415. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы: (2;-1.) Найдем координаты точек пересечения с осями координат: (1;0), (3;0), (0;3).
у
3
2
1
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
х
-1
-2
-3
2.Построим график функции у =13 QUOTE 1415: часть графика функции 13 QUOTE 1415, лежащая левее оси у, удаляется, а часть, лежащая правее оси у - остается без изменения и, кроме того, симметрично отражается относительно оси у (влево). Точка графика, лежащая на оси у, остается неизменной.
у
3
2
1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
х
-1
-2
-3
Задачи для самостоятельной работы.
Построить график функции:
у =13 QUOTE 1415.
у =13 QUOTE 1415
у =13 QUOTE 1415.
у =13 QUOTE 1415
у =13 QUOTE 1415.
у =13 QUOTE 1415
у = 13 QUOTE 1415.
Тема 6. Простейшие системы уравнений и неравенств с модулем.
Система уравнений и неравенств с модулем решаются традиционным способом. Часто решение “одиночных” уравнений сводится к решению равносильных им систем, содержащих как уравнения, так и неравенства при этом может использоваться и графический метод решения систем уравнений и неравенств.
Пример 1. Решить систему двух неравенств с одной переменной 13 QUOTE 1415
Решение. 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415.
Ответ: (-4;4).
Пример 2. Решить систему 13 QUOTE 1415
Решение. 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
Ответ: (1;-2).
Часто решение «одиночных» уравнений сводится к решению равносильных им систем, содержащих как уравнения, так и неравенства при этом может использоваться и графический метод решения систем уравнений и неравенств.
Пример 3. Решите уравнение 13 QUOTE 1415
Решение. Решим уравнение 13 QUOTE 1415 графически; 13 QUOTE 1415 Построим графики функций 13 QUOTE 1415 и 13 QUOTE 1415. 1. 13 QUOTE 1415- четная функция, график функции симметричен относительно прямой 13 QUOTE 1415
X
0
1
Y
1
2
2.13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 - нечетная функция, график функции симметричен относительно начала координат, графиком функции является гипербола.
X
0,5
1
2
4
Y
4
2
1
0,5
у
5
4
3
2
1
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
х
-1
-2
-3
-4
Координаты точки пересечения графиков функций (1;2), корень уравнения 13 QUOTE 1415 Ответ: 1.
Задачи для самостоятельной работы.
Решите систему уравнений.
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
Решите систему неравенств.
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
Решите уравнение графически.
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
Тема 7. Решение простейших уравнений и неравенств с модулем (итоговое повторение)
Пример 1: Решить уравнение |2х+1|=3
2х+1=-3
Решение:
|2х+1|=3 [ 2х+1=3 [ 2х=2 [ х=1
2х+1=-3 2х=-4 х=-2
Ответ: -2; 1
Пример 2: Решить уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 [ 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 [ 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 [ 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
[ 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 [ 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: -2; -1; 0; Ѕ
Пример 3: Решить уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415{ 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415{ 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415{ 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 { 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 { 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415{ 13 EMBED Equation.3 1415 { 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 { 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 { 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415х=2
Ответ: 2
Пример 4: Решить уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 { 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 { 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415{ 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415{ 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415{ 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 { 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 { 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415{ 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415{ 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 { 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 { 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 х=3 13 EMBED Equation.3 1415 х=3/2.
Ответ: 3/2; 3
Пример 5: Решить неравенство
|х-3|<7
Решение:
|х-3|<713 EMBED Equation.3 1415{ 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 { 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 { 13 EMBED Equation.3 1413 EMBED Equation.3 141515
13 EMBED Equation.3 1415 { 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Задачи для самостоятельной работы.
Решить уравнение:
1. |3х+2|=1 7. |х-4х|=3х-6
2. |4х-1|=1 8. |х-8х+12|=3х-12
3. |5х-2|=2 9. |х-2х-8|=8х-8
4. 3х-5 = 1 10. |х+8х|=6х+24
|х-1|-4
5. |х-2|+1 = -1
2х+1 11. |х-2х-3|=3х-3
6. 7+ 3 х = -1
|х+1|-6 12. |х-3х|=4х-6
Решить неравенство:
|х-1|>3
|2х+1|<5
|3х-2|<4
(х-1)|х|-2х+2
·0
х-3|х-1|-1
·0
(х+4)|х|-3х-6>0
х-2|х|-3
·0
3х|2х-3|+7х-8<0
х-|5х+1|+5>0
Литература
А.Я.Симонов, Д.С. Бакаев и др. “Система тренировочных задач и упражнений по математике”. Москва, “Просвещение”, 1991 г.
М.Л.Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич. “Сборник задач по алгебре для 8-9 классов”. Учебное пособие для учащихся с углубленным изучением курса математики. Москва, “Просвещение”, 1992 г.
М.Л.Галицкий и др. Сборник задач по алгебре 8-9 кл.- М.: Просвещение, 1995г
О.Ю.Черкасов, А.Я.Якушев. “Математика. Справочник для старшеклассников и поступающих в вузы. Полный курс подготовки к выпускным вступительным экзаменам”. Москва, “АСТ-ПРЕСС”, 2001
Л.Э. Генденштейн, А.П.Ершова, А.С. Ершова. “Наглядный справочник по алгебре и началам анализа с примерами”. ИЛЕКСА. Москва, 2001 г.
Е.В.Смекалова. “Математика. Модули, параметры, многочлены. Предпрофильная подготовка”. С-Петербург, СМИО Пресс, 2007 г.
Под редакцией Ф.Ф. Лысенко. “Алгебра 9 класс. Тематические тесты для подготовки к государственной итоговой аттестации 2010”, издательство “Легион-М”, Ростов-на-Дону, 2009 г.
М.Ф. Шарыгин. “Факультативный курс по математике. Решение задач”. Москва, “Просвещение”, 1991 г.
Ю.Н.Макарычев и др. “Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику 9 класса”. Москва, “Просвещение”, 2003 г.
Алгебра. Сборник заданий для подготовки к ГИА в 9-м классе. Москва, “Просвещение”, 2009 г.
А.Г. Мордкович. Алгебра. 8 кл.- М.: Мнемозина, 2000г
13 PAGE \* MERGEFORMAT 14615