Разработка урока по геометрии в 11 классе по теме: Конус

Урок геометрии в 11 классе.
Тема: объем конуса.
Цель: вывести формулу для объема конуса, показать применение формул объемов при решении задач, формирование навыков и умений применений формул.

Ход урока:
организационный момент. Учащимся сообщаю план урока.
Повторить основные сведения о конусе.
Определение прямого кругового конуса;
Сечение конуса.
Историческая справка (сообщения учащихся). Конус в переводе с греческого означает “konos” – «сосновая шишка». В 1906 году была обнаружена книга Архимеда (287 – 212 гг. до н.э) «О методе», в которой дается решение задач об объеме общей части пересекающихся цилиндров. Архимед приписывает часть открытия этого принципа Демокриту (470-380 гг. до н.э) – древнегреческому философу-материалисту. С помощью этого принципа Демокрит получил формулы для вычисления объема пирамиды и конуса. Много сделала для геометрии школа Платона (428 – 348 гг. до н.э). Платон был учеником Сократа (470-399 гг. до н.э). Он в 387 году до н.э основал в Афинах Академию, в которой работал 20 лет. Каждый входящий в Академию, читал надпись: «Пусть сюда не входит никто, не знающий геометрии». Школе Платона, в частности, принадлежит:
Исследование свойств призмы, пирамиды, цилиндра и конуса;
Изучение конического сечения.
Большой трактат о конических сечениях был написан Аполлоном Пергским (260-170 гг. до н.э) – учеником Евклида ( III в. до н.э), который создал великий труд из 15 книг под названием «Начала». Эти книги изучаются и по сей день, а в школах Англии по ним учатся до сих пор.
Объяснение нового материала. Докажем теорему: объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту. V=1/3 S*H. Доказательство 1.
Дано:
Н-высота конуса;
Sосн- площадь основания;
S(x) – площадь сечения;
Доказать: V=1/3 Sосн*Н
1 доказательство:
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 SHAPE 141513 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415=13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Итак, V=13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.

2 доказательство.
За величину объема конуса Н принимается предел, к которому стремится объем правильной пирамиды, вписанный в конус, при неограниченном увеличении числа сторон ее основания.
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415Н*lim13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Итак, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 141513 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
3 доказательство.
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 SHAPE 1415

Решение задач на объем конуса.
Задача 1. Авиационные бомбы среднего калибра дает при взрыве воронку диаметром 6 м и глубину 2 м. Какое количество земли (по массе) выбрасывает эта бомба,если 1м3 имеет массу 1650кг.Дано:
d=6m;
h=2m;
m=1650 кг;
найти М.
решение: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 M=1650*6*3,14=31086 кг.
Ответ: 31 т.

Задача 2. смолу для промышленных нужд собирают, подвешивая на конические воронки к соснам. Сколько воронок диаметром 10 см с образующей 13 см нужно собрать, чтобы заполнить 10-литровое ведро?
Дано:
Коническая воронка;
D=10 см;
l=13 см;
Vв =10 л.
Найти количество воронок.

Решение:
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Ответ: 32 воронки.

Задача 3. Прослушаем старинную легенду восточных народов, рассказанной А. С. Пушкиным в «Скупом рыцаре».
«Читал я где-то,
Что царь однажды воинам своим
Велел снести земли по горсти в кучу.
И гордый холм возвысился,
И царь мог с высоты с веленьем озирать
И дол, покрытый большими шатрами,
И море, где бежали корабли.»
Эта одна из немногих легенд, в которой при кажущимся правдоподобии нет и зерна правды. Докажем геометрически, что если какой-нибудь древний деспот вздумал осуществить такую затею, он был бы обескуражен мизерностью результата. Перед ним высилась бы настолько малая куча земли, что никакая фантазия не смогла бы раздуть ее в легендарный «гордый холм». 1 горсть13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Войско 100000 воинов считалось очень внушительным.
V=0,2*100000=20000 дм3. Угол откоса 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415450, иначе земля начнет осыпаться. Возьмем угол откоса наибольшим возможным, т.е 450.
Итак, дано: Конус;
V=20м3;

·=450;
найти Н.
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, т.к H=R, то 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415=2,7 м.

Надо обладать очень богатым воображением, чтобы земля-

ную кучу в 2,7 м (1,5 человеческих роста) назвать «гордым холмом». Сделав расчет для меньшего угла, мы получили бы еще более скромный результат.
У Атиллы было самое многочисленное войско, которое знал древний мир. Историки оценивают его 700000 человек. К сведению, Аттила – предводитель гуннов, кочевого народа, сложившегося в Приуралье из многочисленных племен. Массовое передвижение гуннов на запад (с 70-х гг IV вв.) дало толчок к «великому переселению народов: Наибольшего могущества гуннская держава достигла при Аттиле, который возглавил опустошительные походы в Восточно-Римскую империю (413 г, 447 г, 448 г, 451 г.) Но в 451 году на Каталонских полях войска Западно-Римской империи в союзе с франками, вест-готтами, бургундами, аланами и др, разгромили гуннов во главе с Аттилой, что привело к распаду гуннской державы. Если бы все воины Аттилы участвовали в засыпании холма, то образовалась бы куча повыше, но не очень. Советую вам дома вычислить высоту кургана и подумать, удовлетворила бы такая высота честолюбия Аттилы или нет.
Дополнительная информация учащихся о науке.
В геологии существует такое понятие как «конус выноса». Это форма рельефа, образованная скоплением обломочных пород (гальки, гравия, песка), вынесенными горными реками на предгорную равнину, или в более широкую равнину.
В биологии есть понятие «конус нарастания», это верхушка побега и корня растений, состоящих из клеток образовательной ткани.
«Конусами» называются семейство морских моллюсков подкласса переднежаберных. Раковина коническая (2-16 см), ярко окрашенная. Конусов свыше 500 видов. Живут в тропиках и субтропиках, являются хищниками, имеют ядовитую железу. Укус конусов очень болезнен. Известны смертельные случаи. Раковины используют как украшения, сувениры.
По статистике на Земле гибнут от разрядов молний 6 человек на 1000000 жителей (чаще районах). Этого не случилось, если бы везде были громоотводы, т.к образуется конус безопасности. Чем выше громоотвод, тем больше объем этого конуса. Некоторые люди старались спрятаться от разрядов под деревом, но дерево не проводник, на нем заряды накапливаются и дерево может быть источником напряжения.
В физике встречается понятие «телесный угол». Это конусообразный угол, вырезанный в шаре. Единица измерения телесного угла – 1 стерадиан. 1 стерадиан – это телесный угол, квадрат радиуса которого равен площади части сферы, которую он вырезает. Если в этот угол поместить источник света в 1 канделу (1 свеча), то получим световой поток в 1 люмен. Свет от киноаппарата, прожектора распространяется в виде конуса.
Задание на дом.
№№12, 17, 18 пп. 203, 204
Вычислить, на какую высоту мог бы подняться Аттила, если его войско составляло 700 тыс. чел.
Подведение итогов.
Итак, мы с вами расширили понятие и представление о конусе, вывели формулу объема конуса, научились применять эту формулу при решении задач. Вопрос о конусе очень важен, т.к конические детали имеются во многих машинах и механизмах. Носовая часть самолета и ракет имеет коническую форму.
х

Н

Sосн.

S(x)

Y

X

Y=kx

·

H

R

о

2м

С

А

В

С

А

0

5

13 м

·

Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeоEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native