Презентация Решение систем линейных уравнений

К решению систем линейных алгебраических уравнений сводятся многочисленные практические задачи (по некоторым оценкам более 75% всех задач). Можно с полным основанием утверждать, что решение линейных систем является одной из самых распространенных и важных задач вычислительной математики. Конечно, существует много методов и современных пакетов прикладных программ для решения СЛАУ, но для того, чтобы их успешно использовать, необходимо разбираться в основах построения методов и алгоритмов, иметь представления о недостатках и преимуществах используемых методов. Математика – наука молодых. Иначе и не может быть. Занятия математикой – это такая гимнастика ума, для которой нужны вся гибкость и вся выносливость молодости. Н. Винер Сопоставьте строки таблицы Прямоугольная таблица чисел называется образуют элементы с равными индексами Матрица называется квадратной, если матрица Единичной называется число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы В квадратной матрице главную диагональ матрица, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка.  Суммой двух матриц нужно умножить на это число все элементы матрицы.  Вектор-столбец, это если у них одинаковое число строк и столбцов и все соответствующие элементы совпадают Две матрицы можно перемножить, если число строк в ней равно числу столбцов Транспонированная матрица матрица, состоящая из одного столбца Матрицы называются равными квадратная матрица, элементы главной диагонали которой единицы, а остальные нули Чтобы умножить матрицу на число называется матрица той же размерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов слагаемых. Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида где aij и bi (i=1,…,m; b=1,…,n) – некоторые известные числа, а x1,…,xn – неизвестные. Немного теории Что является решением системы?В каком случае СЛАУ имеет одно единственное решение?Что такое главный определитель системы?Каким образом находят определители второго и третьего порядков? Прямые методы: метод Крамера;метод обратной матрицы;метод Гаусса. Итерационные методы: метод простой итерации (метод Якоби);метод Гаусса-Зейделя;метод релаксации. Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть - и далее подтвердить то, - что, следуя этому методу, мы достигнем цели. Г. Лейбниц При решении систем линейных уравнений по методу Крамера выполняется следующий алгоритм:- систему записывают в матричном виде;- вычисляют главный определитель системы:- вычисляют дополнительные определители системы:- если главный определитель системы не равен нулю, то находят значения всех неизвестных по формулам: Габриэль Крамер родился 31 июля 1704 года в Женеве (Швейцария), в семье врача. Уже в детстве он опережал своих сверстников в интеллектуальном развитии и демонстрировал завидные способности в области математики. В 18 лет он успешно защитил диссертацию. Через 2 года Крамер выставил свою кандидатуру на должность преподавателя в Женевском университете. Юноша так понравился магистрату, что специально для него и ещё одного кандидата на место преподавателя была учреждена отдельная кафедра математики, где Крамер и работал в последующие годы. Талантливый учёный написал множество статей на самые разные темы: геометрия, история, математика, философия. В 1730 году он опубликовал труд по небесной механике. швейцарский математик, ученик и друг Иоганна Бернулли, один из создателей линейной алгебры Из-за высокой вычислительной сложности метода (требуется вычисление n + 1 определителя размерности n x n), он не применяется для машинного решения больших СЛАУ. Время, необходимое на вычисление одного определителя примерно такое же, как и время на решение одной системы уравнений при использовании метода Гаусса. Однако он иногда используется при ручном счёте и в теоретических выкладках. Трудность решения в какой-то мере входит в само понятие задачи: там, где нет трудности, нет и задачи. Д. Пойа Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.Алгоритм состоит из двух этапов.На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме. На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений. Алгебраические дополнения А11= 3 А21= 5 А31= 1 А12= -11 А22= 3 А32= 7 А13= -7 А23= -1 А33= 19 Дата рождения: 30 апреля 1777 годаМесто рождения: БрауншвейгДата смерти: 23 февраля 1855 годаМесто смерти: ГёттингенСтрана: Брауншвейг-ЛюнебургНаучная сфера: математика, физика, астрономияАльма-матер: Гёттингенский университет Карл Фридрих Гаусс немецкий математик, астроном и физик менее трудоёмкий по сравнению с другими методами; применим к любой системе линейных уравнений;в силу простоты и однотипности выполняемых операций пригоден для счета на электронно-вычислительных машинах. Применение: нахождение матрицы, обратной к данной; численное решение СЛАУ в вычислительной технике Хотя описанный выше метод повсеместно называется методом Гаусса, он был известен и до него. Первое известное описание данного метода - в китайском трактате «Математика в девяти книгах», составленном между I в. до н. э. и II в. н. э.В ней собраны 246 задач, изложенных в традиционном восточном духе: формулируется задача, сообщается готовый ответ и указывается способ решения. Паскаль - высокоуровневый язык программирования, один из наиболее известных. Широко применяется в обучении программированию учащихся и студентов. Система Pascal ABC основана на языке Delphi Pascal и призвана осуществить постепенный переход от простейших программ к модульному, объектно-ориентированному, событийному и компонентному программированию. Первое условие, которое надлежит выполнять в математике, - это быть точным, второе - быть ясным и, насколько можно, простым. Л. Карно Пример №1Из некоторого листового материала необходимо выкроить 360 заготовок типа А, 300 заготовок типа Б и 675 заготовок типа В. При этом можно применять три способа раскроя. Количество заготовок, получаемых из каждого листа при каждом способе раскроя, указано в таблице: Тип заготовки Способ раскроя заготовки 1 2 3 А 3 2 1 Б 1 6 2 В 4 1 5 Правильному применению методов можно научиться только применяя их на разнообразных примерах. Г. Цейтен Пример №2Три судна доставили в порт 6000 т чугуна, 4000 т железной руды и 3000 т апатитов. Разгрузку можно производить как непосредственно в железнодорожные вагоны для последующей доставки потребителям, так и на портовые склады. В вагоны можно разгрузить 8000 т, а остаток груза придется направить на склады. Необходимо учесть, что поданные в порт вагоны не приспособлены для перевозки апатитов. Стоимость выгрузки 1 т в вагоны составляет соответственно 4,30, 5,25 и 2,20 денежных единиц.Записать в математической форме условия полной разгрузки судов, если затраты на нее должны составить 58850 ден. ед. Главная сила математики состоит в том, что вместе с решением одной конкретной задачи она создаёт общие приёмы и способы, применимые во многих ситуациях, которые даже не всегда можно предвидеть. М. Башмаков