Сильно регулярные графы с собственным значением 3, их расширения и автоморфизмы

 
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. В связи с завершением классификации конечных простых групп возникла задача единого представления конечных простых групп автоморфизмами конечных геометрий. Позднее в этом направлении возникли задачи, не связанные с групповым действием, в частности, такой является задача исследования дистанционно регулярных графов [1].
Система инцидентности, состоящая из точек и прямых, называется -частичной геометрией порядка (s,t), если каждая прямая содержит ровно s + 1 точку, каждая точка лежит ровно на t + 1 прямой (прямые пересекаются не более, чем по одной точке) и для любой точки а, не лежащей на прямой L, найдется точно α прямых, проходящих через а и пересекающих L (обозначение pGa(s, t)). Если α = 1, то геометрия называется обобщенным четырехугольником и обозначается GQ(s, t). Точечным графом частичной геометрии называется граф, вершинами которого являются точки геометрии, и две различные вершины смежны, если они лежат на общей прямой (коллинеарны). Легко понять, что точечный граф частичной геометрии pGa(s,t) сильно регулярен с параметрами: v = (s + 1)(1 + st/α), k = s(t +1), λ = (s — 1) + (α — 1)t, μ = α(t + 1). Сильно регулярный граф с такими параметрами для некоторых натуральных чисел α, s,t называется псевдогеометрическим графом для pGa(s,t).
Дж. Кулен предложил задачу изучения дистанционно регулярных графов, в которых окрестности вершин — сильно регулярные графы со вторым собственным значением, не большим t для данного натурального числа t. Заметим, что сильно регулярный граф с нецелым собственным значением является графом в половинном случае, а вполне регулярный граф, в котором окрестности вершин — сильно регулярные графы в половинном случае, либо имеет диаметр 2, либо является графом Тэйлора. Таким образом, задача Кулена может быть решена пошагово для t = 1, 2,....
Задача Кулена решена для t =1 Кардановой М.Л. и Махневым А.А. в [2] и независимо Куленом. Случай t = 2 изучался более 10 лет и завершен в статье И.Н. Белоусова, А.А. Махнева и М.С. Нировой [3]. Рассмотрение случая t = 3 начато в статье А.А. Махнева [4] (теорема редукции) и А.А. Махнева и Д.В. Падучих [5] (список параметров исключительных графов).
В данной работе рассмотрены некоторые сильно регулярные графы со вторым собственным значением 3 и найдены их автоморфизмы. Кроме того, найдены массивы пересечений дистанционно регулярных графов, в которых окрестности вершин — подходящие сильно регулярные графы со вторым собственным значением 3. Определены возможные порядки и подграфы неподвижных точек автоморфизмов, полученных дистанционно регулярных графов.
Граф Г диаметра d называется дистанционно транзитивным, если для любого
i ϵ{0,..., d} и для любых вершин u, v, x, y, таких что d(u, v) = d(x, y) = i, существует автоморфизм g графа Г такой, что (u,v)(u.v)g = (x,y). Дистанционно транзитивные графы диаметра 2 (графы ранга 3) сыграли важную роль в классификации конечных простых групп. Более половины спорадических групп могут быть представлены как группы автоморфизмов графов ранга 3 [6].
Если вершины u,w находятся на расстоянии i в Г, то через bi (u,w) (через Ci(u,w)) обозначим число вершин в пересечении Гi+1(u) (в пересечении Гi-1(u)) с [w]. Дистанционно регулярным графом с массивом пересечений {b0, b1,…., bd-1; c1,...,cd } называется граф диаметра d, в котором параметры bi= bi(u,w) и ci = ci(u,w) не зависят от вершин u, w, а зависят только от расстояния, на котором эти вершины находятся в графе Г для i∈{0,1,…d}.
Цель работы. Изучить локально GQ(4,11)-графы, найти автоморфизмы сильно регулярного графов с параметрами (96,45,24,18) и (320,99,18,36), перечислить массивы пересечений дистанционно регулярных графов, в которых окрестности вершин сильно регулярные графы со вторым собственным значением 3 и параметрами (v',k', 5,μ') и найти автоморфизмы возникших графов.
Методы исследований. Основными методами исследования являются теоретико-графовые методы и методы теории конечных групп, в частности метод Г. Хигмена (см. [7]) приложения теории характеров к выяснению порядков автоморфизмов дистанционно регулярных графов.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми:
доказано что сильно регулярный граф с параметрами (96,45,24,18) не является ре- берно симметричным,
найдены автоморфизмы сильно регулярного графа с параметрами (320,99,18,36),
получено описание вполне регулярных локально GQ(4,11)-графов,
найдены массивы пересечений дистанционно регулярных графов, в которых окрестности вершин сильно регулярные графы со вторым собственным значением 3 и параметрами (v', к', 5 ,μ'),
найдены автоморфизмы дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {169,126,1;1,42,169}.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в геометрии и теории графов.
Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на алгебраическом семинаре отдела алгебры и топологии ИММ УрО РАН, а также были представлены на следующих конференциях: Теория групп и ее приложения, IX Международная школа-конференция по теории групп, Владикавказ 2012 г., Международная конференция по теории групп, посвященная 70-летию В.Д. Мазурова, Новосибирск 2013 г., ., Международная конференция «Группы и графы, алгоритмы и автоматы», посвященная 80-летию В.А.Белоногова и 70-летию В.А.Баранского, Екатеринбург, 2015г.
Публикации. По теме диссертации имеется 8 публикаций [18-25] (четыре статьи опубликованы в журналах из списка ВАК). Из пяти статей две написаны без соавторов, одна - тремя авторами (Кагазежева А.М., Журтов А.Х., Махнев А.А.), две в соавторстве с Махневым А.А. Все совместные работы написаны в нераздельном соавторстве.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав и списка литературы, содержащего 36 наименований. Общий объем диссертации составляет 87 страниц.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении даны основные определения и обозначения, используемые в диссертации, обсуждается общая мотивировка решаемых задач, сформулированы основные результаты. В главе 1 получено описание вполне регулярных локально GQ(4,11)-графов. В главе 2 найдены автоморфизмы сильно регулярного графов с параметрами (96,45,24,18) и (320,99,18,36). В главе 3 перечислены массивы пересечений дистанционно регулярных графов, в которых окрестности вершин сильно регулярные графы со вторым собственным значением 3 и параметрами (v',k', 5, μ'). В главе 4 найдены автоморфизмы дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {169,126,1; 1,42,169}.
Мы рассматриваем неориентированные графы без петель и кратных ребер. Если а, b — вершины графа Г, то через d(a,b) обозначается расстояние между а и b, а через Гi (a) — подграф графа Г, индуцированный множеством вершин, которые находятся в Г на расстоянии i от вершины а. Подграф Г1(a) называется окрестностью вершины а и обозначается через [a]. Через a⊥ обозначается подграф, являющийся шаром радиуса 1 с центром а.
Регулярным графом степени к называется граф Г, такой что для любой вершины u∈ Г выполняется равенство |Г(u) | = к. Реберно регулярным графом с параметрами (v, к, λ) называется регулярный граф степени k на v вершинах, любое ребро которого лежит точно в λ треугольниках. Вполне регулярным графом с параметрами (v,k,λ, μ) называется реберно регулярный граф с параметрами (v, k, λ), в котором любые две вершины u, w ∈ Г на расстоянии 2 имеют ровно μ общих соседей. Сильно регулярным графом с параметрами
(v, k, λ, μ) называется вполне регулярный граф диаметра 2.
Заметим, что сильно регулярный граф с μ > 0 является дистанционно регулярным графом диаметра 2, а дистанционно регулярный граф с d ≥ 2 — вполне регулярным графом с k = b0, λ = k — b1 — 1 и μ = c2.
Пусть задан класс графов F. Мы скажем, что граф Г является локально F-графом, если для любой вершины а ∈ Г имеем Г(a) ∈ F . Можно поставить задачу описания локально
F-графов. Если граф Г вершинно симметричен, то окрестности всех его вершин изоморфны, и граф Г является локально F-графом, где F состоит из графов, изоморфных некоторому графу ∆. В этом случае назовем Г локально ∆-графом. В более общем случае Fможет быть классом графов, удовлетворяющих некоторым условиям. Например, класс связных, реберно регулярных графов — это в точности класс связных, локально регулярных графов.
Определим несколько сильно регулярных графов, которые будут фигурировать в диссертации, а также являются примерами локально ∆-графов.
Через Km1,...,mn обозначим полный n-дольный граф, с долями порядков m1, ...,mn. Если m1 = ... = mn = m, то соответствующий граф обозначается через Кпхт (и является локально К(п-1)хm-графом). Граф К1т называется m-лапой. Графом Тэйлора называется дистанционно регулярный граф с массивом пересечений {k,μ, 1; 1,μ, k}.
Пусть M и N—конечные множества порядков m и n, соответственно. Два элемента из M × N будем считать смежными, если они различаются точно в одной координате. Полученный граф называется m× n-решеткой, при m = n он сильно регулярен с параметрами (n2, 2(n — 1), n — 2, 2).
Треугольным графом T(n) называется граф 2-подмножеств множества порядка n, в котором две вершины смежны тогда и только тогда, когда они пересекаются в точности по одной точке. Граф T(n) сильно регулярен и имеет параметры (n(n — 1)/2, 2(n — 2),n — 2, 4). Окрестность каждой вершины в T(n) изоморфна 2 × (n — 2)-решетке, т.е. T(n) — локально 2 × (n — 2)-решетка. Верно и обратное: связный локально 2 × (n — 2)-граф изоморфен T(n).
Изучение автоморфизмов дистанционно регулярных графов опирается на метод Хиг- мена приложения теории характеров конечных групп, представленный в третьей главе монографии Камерона [7]. При этом граф Г рассматривается как симметричная схема отношений (X, R) с d классами, где X — множество вершин графа, R0 — отношение равенства на X и для i ≥ 1 класс Ri состоит из пар (u, w) таких, что d(u, w) = i. Для u ∈ Г положим ki = |Гi(u)|, v = |Г|. Классу Ri отвечает граф Гi на множестве вершин X, в котором вершины u,w смежны, если (u,w) ∈ Ri. Пусть Ai — матрица смежности графа Гi для i > 0 и A0 = I — единичная матрица. Тогда AiAj = Σ pijlAl для подходящих неотрицательных целых pijl, называемых числами пересечений графа Г.
Пусть Pi — матрица, в которой на месте (j, l) стоит pijl. Тогда собственные значения p1(0), ...,p1(d) матрицы P1 являются собственными значениями графа Г кратностей m0 = 1, ...,md. Матрицы P и Q, у которых на месте (i,j) стоят pj(i) и gj(i) = mjpi(j)/ki соответственно, называются первой и второй матрицей собственных значений схемы и связаны равенством PQ = QP = |X|I.
Пусть ui и wj— левый и правый собственные векторы матрицы P1 , отвечающие собственному значению p1(j) и имеющие первую координату 1. Тогда кратность mj собственного значения p1(j) равна v/(uj,wj) (.,. — скалярное произведение в евклидовом пространстве Cd+1). Фактически, wj являются столбцами матрицы P и mjuj являются строками матрицы Q.
Подстановочное представление группы G = AUT (Г) на вершинах графа Г обычным образом дает матричное представление ψ группы G в GL(n, C). Пространство Cv является ортогональной прямой суммой собственных G-инвариантных подпространств W0,..., Wd матрицы смежности A = A1 графа Г. Для любого g∈ G матрица ψ (g) перестановочна с A, поэтому подпространство Wi является ψ(G)-инвариантным. Пусть xi — характер представления ψwi Тогда для g∈ G получим
χig= v-1j=0dQijαj(g) .
где αj(g) — число точек x из X таких, что (x,хg) ∈ Rj. Заметим, что значения характеров являются целыми алгебраическими числами, и если правая часть выражения для χi(g)— число рациональное, то χi(g) — целое число.
Обобщенные четырехугольники GQ(4, t) имеют допустимые параметры при t ∈ {1, 2, 4, 6, 8,11,12,16}. Существование GQ(4,t) известно при t ∈ {1, 2, 4, 6, 8,16}. Единственность GQ(4,16) доказана в [8]. При t ∈ {11,12} неизвестно существование даже псевдогеометрических графов для GQ(4,t). Хорошо известно следующее предположение:
Гипотеза. Если GQ(s,t) существуют, то число s +t четно.
В случае GQ(3, t) единственное допустимое четное значение t равно 6. Однако GQ(3, 6) (и даже псевдогеометрический граф для GQ(3,6)) не существует [9] (см. [10]).
Таким образом, GQ(4,11) — наименьший обобщенный четырехугольник, который может стать контрпримером к этой гипотезе.
Подмножество Λ обобщенного четырехугольника называется гиперовалом, если любая прямая пересекает Λ по 0 или 2 точкам. То есть, гиперовал в GQ(s,t) — это регулярный подграф без треугольников степени t + 1, имеющий четное число вершин. Известно (см. [11]), что -подграфы в локально GQ(s,t) -графах являются гиперовалами. Для гиперовала Δ обобщенного четырехугольника прямую L назовем секущей, касательной и внешней прямой, если L ∩Δ содержит две, одну и ноль вершин соответственно; точку, смежную с ребром Δ, назовем реберной.
Теорема 1 [18]. Пусть Г является связным вполне регулярным локально GQ(4,11)- графом с параметрами (v, k, λ,μ) . Тогда диаметр Г равен 3 и μ ∈ {48, 50, 60, 66, 72}, причем в случае μ = 72 для любой вершины u подграф Г3(u) является кокликой, содержащей не более 20 вершин.
Ключевую роль в доказательстве теоремы 1 имеет следующий результат, полученный с помощью компьютерных вычислений.
Предложение 1 [18]. Пусть ∆ является гиперовалом в GQ(4,11) на μ вершинах, Xi — множество вершин вне ∆, смежных точно с i вершинами из ∆, xi = |Xi|. Тогда выполняются следующие утверждения:если μ > 66, то X0 является кокликой;
если r = μ — 66, z ∈ Xr и L — прямая, проходящая через z, то X0 ∁ [z] и либо
L является секущей для Λ и содержит две точки из X24, либо
L — внешняя прямая для Λ, и если L пересекает X0, то L содержит 3 точки из Х22.
Следствие 1 [18]. Локально GQ(4,11)-граф не является дистанционно регулярным.
В главе 2 изучены автоморфизмы сильно регулярных графов с параметрами (96,45,24,18) и (320,99,18,36) (имеющих второе собственное значение 3).
Бехбахани и Лам [11] нашли параметры неизвестных сильно регулярных графов с числом вершин, не большим 100.
Предложение 2. Пусть Г — неизвестный сильно регулярный граф с числом вершин, не большим 100, имеющий неединичный автоморфизм, и G = АUT(Г). Тогда выполняется одно из следующих утверждений:
Г имеет параметры (85, 30,11,10) и π(G) = {2, 3, 5,17};
Г имеет параметры (85, 54, 33, 36) и {3, 5,17} ⊆ π(G) ⊆ {2, 3, 5,17};
Г имеет параметры (88, 27, 6, 9) и {2, 3,11} ⊆π(G) ⊆ {2, 3, 5,11};Г имеет параметры (88, 60, 41,40) и π(G) = {2, 3, 5,11};Г имеет параметры (96, 45, 24,18) и π(G) = {2, 3, 5};Место для формулы.Г имеет параметры (96, 50, 22, 30) и π(G) = {2, 3, 5};Г имеет параметры (96, 60, 38, 36) и π(G) = {2, 3, 5};Г имеет параметры (99, 42, 21,15) и {2, 3, 7,11} ⊆π(G) ⊆ {2, 3, 5, 7,11};Г имеет параметры (99, 56, 28, 36) и {2, 3, 7, 11} ⊆π(G) ⊆ {2, 3, 5, 7,11};Г имеет параметры (100, 33, 8,12) и π(G) = {2, 3, 5,11};Г имеет параметры (100, 66, 44, 42) и π(G) = {2, 3, 5,11}.А.А. Махнев и М.С. Нирова предложили программу изучения реберно симметричных графов с параметрами из заключения предложения 2. Следующий результат является вкладом в эту программу
Теорема 2 ([19]). Пусть Г — сильно регулярный граф с параметрами (96, 45, 24,18), g — элемент простого порядка p из AUT(Г) и ∆ = Fix(g). Тогда выполняется одно из следующих утверждений:
(1) ∆— пустой граф, либо p = 3 и α1 (g) ∈ {0, 36, 72}, либо p = 2 и α1(g) ∈ {0, 24, 48, 72, 96};
(2) ∆ является -кликой, либо
(i) p =2, β четно, 4 ≤β≤ 16 и 3β + α1(g) делится на 24, либо
(ii) p = 5, β =1 и α1(g) = 45 или β = 6 и на Г — ∆ имеем восемьнадцать кликовых (g)-орбит, или β =11 и на Г — ∆ имеем тринадцать кликовых и четыре пятиугольных (g)-орбит, или β =16 и на Г —∆ имеем по восемь кликовых и пятиугольных (g)-орбит;
∆ является -кокликой, p = 3 и либо γ = 3, α1(g) ∈ {27, 63}, либо γ = 6, α1(g) ∈ {18,54,90};
p = 3, либо |∆| ∈ {6, 9,12} и 3|∆| + α1(g) делится на 36, либо |∆| = 24 и α1(g) = 72;
p = 2, либо 4 ≤ | ∆| ≤ 40 и 3|∆| + α1(g) делится на 24, либо | ∆| = 48, любая вершина из ∆ смежна с вершиной из Г — ∆ и α1(g) = 48.
Следствие 2. Сильно регулярные графы с параметрами (96,45, 24,18) и (96,50, 22, 30) не являются реберно симметричными.
Несуществование псевдогеометрического графа для pG2(5, 32) доказано в [12]. Псевдогеометрический граф для pG2(5, 32) имеет сильно регулярные подграфы — окрестность вершины (псевдогеометрический граф для GQ(4,8)) и вторую окрестность вершины (граф с параметрами (320,99,18, 36)). В следующей теореме найдены возможные порядки и подграфы неподвижных точек автоморфизмов сильно регулярного графа с параметрами (320,99,18,36). Этот результат завершает описание автоморфизмов локальных подграфов в изорегулярном графе Izo(3) (псевдогеометрическом графе для pG3(6, 80)), см. [13].
Теорема 3 ([20]). Пусть Г является сильно регулярным графом с параметрами (320, 99,18, 36), G = Aut(G), g — элемент простого порядка p из G, Ω = Fix(g). Тогда π(G) ⊆ {2, 3, 5, 7,11} и выполняется одно из следующих утверждений:
Ω — пустой граф, p = 5 и α1(g) ∈ {0,120} или p = 2 и α1(g) ∈ {0, 48,96,144,192, 240, 288};
Ω является одновершинным графом, p =11 и α1(g) = 66;
Ω является m-кокликой, p = 3, m = 3t + 2, 3 ≤ t ≤ 14 и α1(g) — 9m — 6 делится на72;
Ω — объединение l изолированных ребер, 2 ≤l ≤ 29 p =2 и α1(g) — 6l делится на48;
p = 11 и либо
|Ω| = 67 и α1(g) = 33, либо
|Ω| = 78 и α1(g) = 66, либо
|Ω| =89 и α1(g) = 99;
p = 7 и либо
(i) Ω = K3×4 и α1(g) ∈ {84, 252}, либо(ii) |Ω| = 7s + 5, 2 ≤ s ≤ 10, α1(g) = 21r и s — r + 3 делится на 8, либо
(iii)|Ω| =96 и α1(g) = 0;
p = 5 и либо
(i)|Ω| = 90, α1(g) = 90, на Г — Ω имеются 36 пятиугольных (g)-орбит и 10 кокли- ковых;
(ii)|Ω| = 85, α1(g) = 15, на Г — Ω имеются 6 пятиугольных (g)-орбит и 41 кокликовая;
(iii)|Ω| = 80, α1(g) ∈ {0,120}, на Г — Ω имеются 48 пятиугольных (g)-орбит или 48 кокликовых;
(iv)|Ω| = 5s, 3 ≤ s ≤ 15, α1(g) = 120r + 15s, r ∈ {—2, —1, 0,1, 2};
(8)p = 3, |Ω| = 3t + 2, Ω не содержит вершин степени |Ω| — 2 и либо
(i) Ω является объединением двух изолированных вершин и K3,3-подграфа, α1(g) делится на 72, либо
(ii)|Ω| = 80 или |Ω| = 140 и α1(g) = 0, либо
(iii)|Ω| = 3t + 2, 3 ≤ t ≤ 25, α1(g) = 72s + 9t + 54 и s ∈ { — 3, —2,..., 4};
(9) p = 2 и либо
(i) Ω — куб и α1(g) /24 — нечетное натуральное число, либо
(ii) α1(g) = 0, |Ω| = 16s, s ∈ {1, 2,..., 9}, либо
(iii) α1(g) = 0, |Ω| = 2t, 5 ≤ t ≤ 70 и α1(g) = 48r + 6t.
В [5] найдены параметры исключительных сильно регулярных графов с неглавным собственным значением 3.
Предложение 3. Пусть Г — исключительный сильно регулярный граф с неглавным собственным значением 3. Если А = 5, то Г имеет параметры (21,10, 5, 4), (111, 30, 5, 9) или (169, 42, 5,12).
В третьей главе диссертации изучены вполне регулярные графы, в которых окрестности вершин сильно регулярны с параметрами (111, 30,5, 9) или (169, 42, 5,12). Существование графов с параметрами (111, 30, 5, 9) и (169, 42, 5,12) неизвестно.
Теорема 4 [21]. Пусть Г — вполне регулярный граф, в котором окрестности вершин
сильно регулярные графы с параметрами (111, 30, 5, 9), u — вершина графа Г и ki = |Гi(u)|. Тогда d(Г) = 3, k3 четно и выполняется одно из утверждений:
(1) μ = 30, 2 ≤ k3 ≤ 18;
(2) μ = 40, 2 ≤ k3 ≤ 6 и Г3 является объединением изолированных вершин и ребер.
Теорема 5 [21]. Пусть Г — вполне регулярный граф, в котором окрестности вершин-
сильно регулярные графы с параметрами (169, 42, 5,12), u — вершина графа Г и ki = |Гi(u)|. Тогда d(Г) = 3 и выполняется одно из утверждений:
(1) μ=39, k3 четно, 2≤k3≤42(2) μ=42, k3 нечетно, 3≤k3≤33 (3) μ = 63, k3 четно, 2 ≤ k3 ≤ 12 и Г3 является объединением изолированных вершин и ребер.
Следствие 3. Пусть Г — дистанционно регулярный граф, в котором окрестности вершин — сильно регулярные графы с собственным значением 3 и параметрами (v', k', 5, μ,). Тогда окрестности вершин либо изоморфны треугольному графу T(7) и Г — половинный
граф 7-куба, либо сильно регулярны с параметрами (169, 42, 5,12) и Г имеет массив пересечений {169,126,1; 1,42,169}.
В главе 4 изучаются автоморфизмы дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {169,126,1; 1, 42,169}. В этой главе существенно используются результаты из [14-17].
Теорема 6 [22]. Пусть Г — дистанционно регулярный граф, имеющий массив пересечений {169,126,1; 1, 42,169}, G = Аut(Г), g — элемент из G простого порядка p и Ω = Fix(g) содержит по s вершин в t антиподальных классах. Тогда π(G) ⊆ {2, 3,5, 7,11,13,17, 19} и выполняется одно из следующих утверждений:
(1) Ω— пустой граф и либо
(i) p = 17, α1(g) = 16 ∙ 17, α1(g) = 24 ∙ 17, либо
(ii) p = 5, α1(g) = 5(26m + 8) и α1(g) = 5(128 — 26m), либо
p =2, α3(g) = 4l, α1(g) = 170 + 26m + 12l и α2(g) = 510 — 26m — 16l;
(2) p = 19, либо Ω — дистанционно регулярный граф с массивом пересечений {17,12,1;1,4,17}, либо t = 37;
(3) p =13, либо Ω — антиподальный класс, либо Ω — дистанционно регулярный граф с массивом пересечений {13, 9,1; 1, 3,13}, либо t = 27, 40;
(4) p =11 и Ω — дистанционно регулярный граф с массивом пересечений {37, 27,1; 1, 9, 37};
(5) p = 7 и t = 2, 9,16, 23, 30, 37;
(6) p = 5, либо Ω — дистанционно регулярный граф с массивом пересечений {9, 6,1; 1, 2, 9}, либо t = 15, 20, 25, 30, 35, 40;
(7) p =3, либо s = 4 и t = 2,5,8,..., 41, либо s =1, Ω является t-кликой и
t=2,5,8,11,14;
(8) p=2 , t четно и либо s = 4, t ≤ 42, либо s = 2 и t ≤ 86.
Теорема 7. Пусть Г — дистанционно регулярный граф, имеющий массив пересечений {169,126,1; 1, 42,169}, в котором окрестности вершин сильно регулярны с параметрами (169,42,5,12), G = Аut(Г), g — элемент из G простого порядка p > 2 и Ω = Fix(g) — непустой граф, содержащий по s вершин в t антиподальных классах. Тогда π(G) ⊆ {2, 3, 5, 7,13,17} и выполняется одно из следующих утверждений:
(1) некоторая (g)-орбита на Г — Ω содержит геодезический 2-путь, либоp =7 и t = 2, либо p = 5 и Ω — дистанционно регулярный граф с массивом пересечений {9, 6,1; 1, 2, 9};
(2) некоторая (g)-орбита на Г —Ω является кликой, p =3 и либо s = 4, t = 2, 5 и Ω является объединением четырех изолированных t-клик, либо s = 1 и Ω является 2-кликой;
каждая (g)-орбита на Г —Ω является кокликой и либо p =13, Ω — антиподальный класс, либо p = 5 и t = 40, либо p =3, s = 4 и t =14.
Следствие 4. Пусть Г — дистанционно регулярный граф с массивом пересечений {169,126,1; 1, 42,169}, в котором окрестности вершин сильно регулярны с параметрами (169, 42, 5,12). Если G = Аut(Г) — неразрешимая группа, действующая транзитивно на множестве вершин графа Г, то S = S(G) является элементарной абелевой 2-группой, факторгруппа G = GS изоморфна Sp4(4), для вершины a ∈ Г имеем Ga = 26 : (Z3 xA5), S
содержит нормальную в G подгруппу K порядка 4, регулярную на каждом антиподальном классе, |S : S{F}| = 2 для антиподального класса F, S/K является неприводимым F2Sp4(4)-модулем порядка 28, 216 или 232 и Cs(f) = К для элемента f порядка 17 из G.

ЛИТЕРАТУРА
Brouwer A.E., Cohen A.M., Neumaier A. Distance-regular graphs // Berlin etc: Springer- Verlag - 1989.
Карданова М.Л., Махнев А.А. О графах, в которых окрестности вершин являются графами, дополнительными к графу Зейделя // Доклады академии наук 2010. Т. 434, N 4. С. 447-449.
Белоусов И.Н., Махнев А.А., Нирова М.С. Дистанционно регулярные графы, в которых окрестности вершин сильно регулярны с собственным значением 2 // Доклады академии наук 2012. Т. 447, N 5. С. 475-478.
Махнев А.А. О сильно регулярных графах с собственным значением 3 и их расширениях // Доклады академии наук 2013. Т. 451, N 5. С. 475-478.
Махнев А.А., Падучих Д.В. Исключительные сильно регулярные графы с собственным значением 3 // Труды Института математики и механики 2013. Т. 19, N 4. С. 167-174.
Prager C.E., Soicher L.H. Low rank representations and graphs for sporadic groups. Lecture series 8. Cambridge, University press, 1997.
Cameron P.J. Permutation Groups. London Math. Soc. Student Texts №45. Cambridge: Cambridge Univ. Press. 1999.
Махнев А.А. Обобщенный четырехугольник GQ(4,16) и его расширения, Доклады академии наук 2013, т. 451, N 4, 378-380.
ZaraКагазежева А.М. О локально GQ(4,11)-графах // Математический форум (Итоги науки. Юг России), т. 6. Группы и графы, Владикавказ 2012, 28-39.
Махнев А.А. О псевдогеометрических графах некоторых частичных геометрий, Вопросы алгебры, Гомель: Изд-во Гомельского ун-та, 1997, т.11, 8 стр.
Cameron P., Hughes D. R., Pasini A. Extended generalized quadrangles // Geom. Dedic. 1990, v. 35. 193-228.
Махнев А.А. О несуществовании сильно регулярных графов с параметрами (486,165, 36,66), Украинский матем. журнал. 2002. Том. 54, N 7, 941-949.
Махнев А.А., Нирова М.С. Об автоморфизмах сильно регулярного графа с параметрами (640,243,66,108), Доклады академии наук 2011, т. 440, № 6, 743-746.
Godsil C.D., Henzel A.D. Distance-regular covers of the complete graphs, J. Comb. Theory, ser. B 1992. V. 56. P. 205-238.
Кондратьев А.С. Граф Грюнберга-Кегеля конечной группы и его приложения // Алгебра и линейная оптимизация. Труды межд. семинара. Екатеринбург 2002, 141-158.
Zavarnitsine A.V. Finite simple groups with narrow prime spectrum, Sibirean electr. Math. Reports 2009. V. 6. P. 1-12.
Brouwer A.E., Haemers W.H. Spectra of graphs (course notes), HYPERLINK "http://www" http://www. win.tue.nl/ aeb/

Работы автора по теме диссертации
Журтов А.Х., Кагазежева А.М., Махнев А.А. Об автоморфизмах сильно регулярного графа с параметрами (96,45,24,18) // Доклады академии наук 2012, т. 446, № 1, 10-14.
Кагазежева А.М. О локально GQ(4,11)-графах // Математический форум (Итоги науки. Юг России), т. 6. Группы и графы, Владикавказ 2012, 28-39.
Кагазежева А.М., Махнев А.А. Об автоморфизмах сильно регулярного графа с параметрами (320,99,18,36) // Владикавказский математический журнал 2013, т. 15, N 2, 61-71.
Кагазежева А.М., Махнев А.А. О графах, в которых окрестности вершин сильно регулярны с параметрами (111,30,5,9) или (169,42,5,12) // Доклады академии наук 2014, т. 456, № 2, 135-139.
Кагазежева А.М. Автоморфизмы дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {169,126,1; 1,42,169} // Сибир. электрон. матем. известия 2015, т. 12, 318-327.
Журтов А.Х., Кагазежева А.М., Махнев А.А. Об автоморфизмах сильно регулярного графа с параметрами (96,45,24,18) // Теория групп и ее приложения. Тез.докл. Межд. школы-конф. Владикавказ 2012, 58-59.
Kagazezheva A.M., Makhnev A.A. On graphs whose vertex neighborhoods are strongly regular with parameters (111,30,5,9) or (169,42,5,12) // The International Conference on Group Theory in Honor of the 70th Birthday of Professor Victor D. Mazurov. Abstracts, Novosibirsk 2013, 81.
Kagazezheva A.M. Automorphisms of graph with intersection array {169,126,1; 1, 42,169} // "Groups and Graphs, Algorithms and Automata". Abstracts, Ekaterinburg 2015, 43.