Практическая работа по теме: Показательные и логарифмические уравнения и системы уравнений
Практическое занятие по теме : Решение уравнений и систем уравнений, содержащих натуральные и десятичные логарифмы и показательные выражения
Цель. Научиться решать уравнения и системы уравнений, содержащих натуральные , десятичные логарифмы и показательные выражения
Ход занятия.
Прочитать по учебнику темы «Логарифмы десятичные. Натуральный логарифм»Решение уравнений и систем уравнений
Выполнить самостоятельно практическую работу
Дополнительные сведения
1. Решение уравнений
1) Если показательное уравнение сводится к виду
ax = ab (1)
где a> 0 и a
·1, то оно имеет единственный корень х = b.
2)Иногда, чтобы привести показательное уравнение к виду (1), необходимо в левой части уравнения вынести за скобки общий множитель а х, например:
13 EMBED Equation.3 1415 и т. д. Или разделить обе части уравнения на выражение, не равное нулю, к примеру:
13 EMBED Equation.3 1415 и т. д..
3) некоторые показательные уравнения заменой а х = t сводятся к квадратным. Надо помнить, что t > 0, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.
Чаще всего при решении логарифмического уравнения его приводят к виду
loga (f(x)) = log a (g(x)), тогда f(x) = g(x).
Решив полученное уравнение, следует сделать проверку корней, чтобы исходное уравнение не потеряло смысл.
Рассмотрим решение примера № 377
Найти область определения функции (домашнее задание)
Y= log 7 (5 – 2x); b) y = log 2 (x2 - 2x); c) у=ln(4 - x);
d) у = ln( 9 - x2)
Ответы: a) 13 EMBED Equation.3 1415 b) 13 EMBED Equation.3 1415;
c) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
а)13 EMBED Equation.3 14
15На отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный, т.е. x < 2,5
b) x2 - 2x > 0 13 EMBED Equation.3 1415 x (x - 2) > 013 EMBED Equation.3 1415 x=0 u x=2 Применим метод интервалов: 13 EMBED PBrush 1415
b) 13 EMBED Equation.3 1415;
c) 4 – x>013 EMBED Equation.3 1415 -x > - 4 (*-1) При умножении (делении) на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415 x < 4 , или 13 EMBED Equation.3 1415
d) 9 - x2 > 013 EMBED Equation.3 1415x = - 3; x= +3
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
№ 337 (1) Решить уравнение.
log2 (x – 5) + log2 (x +2) = 3
Решение Используем свойство логарифмов. Представим число (3) как логарифм по основанию 2:
log2( x-5)(x + 2 ) = log2 8 ( (x-5)(x+2) = 8 (x2 – 3x – 10 = 8 (.
(x2 – 3x - 18 = 0; x1 =- 3; x2 = 6.
Выполнив проверку, убеждаемся, что при x = - 3 log2 (x – 5) и
log2 (x+2) не имеют смысла
Ответ. х = 6.
2 способ. log2( x-5)(x + 2 ) =313 EMBED Equation.3 1415(x-5)(x+2)= 23;(по определению логарифма) 13 EMBED Equation.3 1415 (x-5)(x+2) = 8 13 EMBED Equation.3 1415x2 – 3x – 10 = 813 EMBED Equation.3 1415 x2 – 3x - 18 = 0; x1 = - 3; x2 = 6.
Ответ. х = 6. x1 = - 313 EMBED Equation.3 1415: х > 5 u x > -2 13 EMBED Equation.3 1415 х > 5
№ 337 (3) решить самостоятельно
Проверить решение по ранее записанного решения на обратной стороне доски или на слайде.
Решить уравнение: lg (x - 13 EMBED Equation.3 1415 ) + lg (x + 13 EMBED Equation.3 1415 ) = 0
Решение. lg( x2 – 3) = lg 1 ( (x2 – 3) = 1 (x2 = 4 (x1 =2; x2 = -2
Проверка при x = -2 lg (x - 13 EMBED Equation.3 1415) u lg (x + 13 EMBED Equation.3 1415 ) - не существуют или не имеют смысла
Ответ х = 2.
Практическая работа
1 вариант
Решить следующие уравнения
1) 4 х+3 + 4 х =260; 2) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 14154) 36 х – 2*18 х = 8* 9х;
5) log3 (x2 + 6) = log3 5x; 6) log12 (x2 – x)=1;
7) log20,3 (x+1) – 4 log 0,3 (x+1) + 3 =0; 8) 9x*3x = 81
Дополнительно.
Решить системы уравнений
1. 13 EMBED Equation.3 1415
2 вариант
Решить следующие уравнения 1) 9 х – 7*3 х = - 12; 2) 13 EMBED Equation.3 14153) 13 EMBED Equation.3 14154) 81 х – 2*9 х = 8* 3х;
5) log5 (x2 - 10) = log 5 9x; 6) log 7 (x2 + 6x)=1;
7) log 0,6 (x + 3) + log 0,6 (x - 3) = log 0,6 ( 2x - 1) ; 8 ) 25x*5x = 625
Дополнительно. Решить системы уравнений
1.13 EMBED Equation.3 1415
Работы собрать на проверку
Домашнее задание. Повторить определение логарифма и свойства показательных выражений и свойства логарифмов
Решение 1 варианта
4 х+3 + 4 х =260 13 EMBED Equation.3 1415 4 х (43 + 1) = 260 13 EMBED Equation.3 14154 х *65 = 260 (: 65) 13 EMBED Equation.3 14154 х = 4 13 EMBED Equation.3 1415х=1
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415х2 – 5 = 4х13 EMBED Equation.3 1415 х2 - 4х – 5 = 013 EMBED Equation.3 1415х1= 5,х2 = -1
Ответ. х1= 5, х2 = -1
13 EMBED Equation.3 1415 2x = t > 0 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415t1= 4 u t2 = - 1213 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 14152x = 413 EMBED Equation.3 1415x =2 Ответ. х=2
36 х – 2*18 х = 8* 9х13 EMBED Equation.3 1415 (4*9) х – 2*(2*9) х = 8* 9х 13 EMBED Equation.3 1415 9х *(4х – 2*2x - 8) =0 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 тогда 4х – 2*2x - 8 = 0 2x = t > 013 EMBED Equation.3 1415t2- 2 t- 8=013 EMBED Equation.3 1415t=4 u
t= - 213 EMBED Equation.3 1415 тогда 2x = 413 EMBED Equation.3 1415x = 2 Ответ. х= 2
5)log3 (x2 + 6) = log3 5x; ОДЗ: х > 013 EMBED Equation.3 1415 x2 + 6=5x13 EMBED Equation.3 1415 x2 - 5x+ 6=013 EMBED Equation.3 1415x1=2 u x2=3 Ответ. Х1=2; x2= 3
6) log12 (x2 – x)=113 EMBED Equation.3 1415 x2 - x= 1213 EMBED Equation.3 1415x2 - x - 12=013 EMBED Equation.3 1415x1 = 4 u x2= - 3
ОДЗ: x2 – x > 0; x(x-1) > 013 EMBED Equation.3 1415x=0 u x=1
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ. Х1 = 413 EMBED Equation.3 1415;
x2 = - 313 EMBED Equation.3 1415
7) log20,3 (x+1) – 4 log 0,3 (x+1) + 3 =0; log 0,3 (x+1)=t - любое число, тогда
t2 - 4t + 3=013 EMBED Equation.3 1415t1 = 1 u t2 = 3
log 0,3 (x+1)=113 EMBED Equation.3 1415x+1=0,313 EMBED Equation.3 1415x1= - 0,7; log 0,3 (x+1)=313 EMBED Equation.3 1415x+1=0,3313 EMBED Equation.3 1415
x2= - 1+0,027= - 0,973
Ответ. Х1 = - 0,7 ; x2 = - 0,973
8) 9x*3x = 8113 EMBED Equation.3 141533x = 8113 EMBED Equation.3 141533x =3413 EMBED Equation.3 14153x=413 EMBED Equation.3 1415x=4/3.
Дополнительные задания(определяют можно ли работу оценить на 4 или на 5)
1)13 EMBED Equation.3 1415
Решение 1 системы:13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
ОДЗ: x>0 u y >0
У1=1; у 2 = 3 тогда х1 =3 и х2=1, т.е. х1 =3, У1=1; х2=1, у 2 = 3
Ответ. (3,1) 13 EMBED Equation.3 1415ОДЗ; (1;3) 13 EMBED Equation.3 1415 ОДЗ
Решение 2 системы: 13 EMBED Equation.3 1415
ОДЗ: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 Ответ. х=8; у=213 EMBED Equation.3 1415 ОДЗ (8>2*2)
Решение 2 варианта
1) 9 х – 7*3 х = - 12; 3 х = t13 EMBED Equation.3 1415t2 - 7t + 12=013 EMBED Equation.3 1415t1 = 3,t 2= 413 EMBED Equation.3 14153x = 3;3x = 413 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415x1 = 1; x 2= log 3 4 Ответ. Х1 = 1;. x 2= log 3 4.
2)13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Ответ: x1=5; x2= - 1
3) 13 EMBED Equation.3 1415
4x=t13 EMBED Equation.3 1415
4) 27 х – 2*9 х = 8* 3х; 13 EMBED Equation.3 14153x(9x - 2*3x - 8)=0 13 EMBED Equation.3 14153x = t > 013 EMBED Equation.3 1415t2- 2 t- 8=013 EMBED Equation.3 1415t=4 u t= - 213 EMBED Equation.3 1415 тогда 3x = 413 EMBED Equation.3 1415x = log 34 Ответ. x = log 34.
5) log5 (x2 - 10) = log 5 9x; x2 - 9x - 10=0 13 EMBED Equation.3 1415x1=10 u x2=-113 EMBED Equation.3 1415 x > 0
Ответ. x = 10
6) log 7 (x2 + 6x)=1; 13 EMBED Equation.3 1415 (x2 + 6x)=713 EMBED Equation.3 1415x2 + 6x - 7=013 EMBED Equation.3 1415x1 = - 7 u x2 = 1
Ответ. x1= - 7; x 2= 1.
7) log 0,6 (x + 3) + log 0,6 (x - 3) = log 0,6 ( 2x - 1) 13 EMBED Equation.3 1415
log 0,6 (x + 3)* (x - 3) = log 0,6 ( 2x - 1) 13 EMBED Equation.3 1415х2 – 9 = 2х - 113 EMBED Equation.3 1415 х2 – 9 - 2х + 1=013 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 х 2 – 2х - 8 =013 EMBED Equation.3 1415х1 = 4 и х2 = - 2
ОДЗ: х+3 > 0, x – 3 > 0, 2x -1 > 013 EMBED Equation.3 1415x > - 3, x > 3,x > 1/213 EMBED Equation.3 1415 x > 313 EMBED Equation.3 1415 х1 = 4 и х2 = - 213 EMBED Equation.3 1415 Ответ. Х1 = 4.
8 ) 25x*5x = 625 53x = 62513 EMBED Equation.3 141553x =5413 EMBED Equation.3 14153x=413 EMBED Equation.3 1415x=4/3. Ответ. Х= 4/3.
Дополнительные задания(определяют можно ли работу оценить на 4 или на 5)
1)13 EMBED Equation.3 1415
Решение 1 системы
13 EMBED Equation.3 1415
Решение 2 системы
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: х=3, у=7
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native