Исследование колебательных процессов в электронных таблицах

Исследование сложения колебаний с использованием Excel
Исследуя сложение колебаний можно повторить тригонометрические функции, активизировать изучение информатики и понять законы физики.
Пусть тело одновременно участвует в двух гармонических колебаниях одинакового направления и одинаковой частоты:

x1 = a1 Cos(ωt + α1), x2 = a2 Cos(ωt + α2)
Результирующее смещение тела в данный момент определяется суммой независимых смещений, приобретенных телом в каждом из колебаний: х = х1 + х2. Это результирующее смещение можно найти с помощью векторной диаграммы. Построим для этого по правилу сложения векторов вектор амплитуды результирующего колебания а .Проекция его на ось ОХ равна сумме проекций х1 и х2 векторов амплитуды а1 и а2 на эту же ось и изменяется со временем по закону
x = a Cos (ω t + α )где
a2 = a12 + a22 + 2 a1a2 Cos( α2 – α1 ),
а начальная фаза α определяется из соотношения
tg α = (a1 Sin α1 + a2 Sin α2) / (a1 Cos α1 + a2 Cos α2 ).
Амплитуда результирующего колебания зависит от разности начальных фаз α2 – α1 складываемых колебаний. В частности, если α2 – α1 = 0 или α2 – α1 = 2 π n, где n – любое целое число, то амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд складываемых колебаний.
При α2 – α1 = π / 2 амплитуда результирующего колебания . Если α2 – α1 = (2n + 1) π , то амплитуда результирующего колебания равна разности амплитуд складываемых колебаний. В случае а1 = а2 амплитуда результирующего колебания равна нулю, т.е. оба колебания уничтожаются.
Полученные утверждения наблюдаем с помощью Excel:
Ячейки электронных таблиц заполнены следующим образом: в ячейке В2 – значение частоты, в В3 – а1, в В4 - а2, в В5 – формула =КОРЕНЬ(В3^2+B4^2+2*B3*B4*COS(B6)),
в B6 –разность фаз α2 – α1 - =π()/2*B7, в В7 – четные или нечетные числа. В столбце С вычисляются значения времени, возрастающее на 0,02, для чего в С3 введена формула =С2+0,02. В столбце D вычисляются значения Х1 по формуле =$B$3*COS($B$2*C2), в столбце Е – Х2, =$B$4*COS($B$2*C2+$B$6), в столбце F –амплитуда результирующего колебания, для чего введена формула =$b$5*COS($B$2*C2+$B$6). Формулы вычисления времени t, значений Х1 ,Х2 и Х размножены до 80-й строки.
Меняя значения в В7, значения амплитуд в В3 или В4 , наблюдаем изменения графиков исходных и результирующего колебаний.
tx1 x2 xw6,283185 0 4 -4 0 a1 4 0,02 3,968458805 -3,968458805 0 a2 4
0,04
3,874332645 -3,874332645 0 a0 0,06 3,719105944 -3,719105944 0 f3,141593 0,08 3,50522672 -3,50522672 0 n2 0,1 3,236067977 -3,236067977 0 0,12 2,91587451 -2,91587451 0 0,14 2,549695959 -2,549695959 0 0,16 2,14330718 -2,14330718 0 0,18 1,703117166 -1,703117166 0 0,2 1,236067977 -1,236067977 0 0,22 0,749525258 -0,749525258 0 0,24 0,251162078 -0,251162078 0 0,26 -0,251162078 0,251162078 0 При нечетном n, например 3, графики будут выглядеть так :

При сложении колебаний одинакового направления, но с разной частотой, результирующее колебание уже не будет гармоническим. Пусть, например, складываются два гармонических колебания:
x1 = a1 Cos (ω1 t + α), x2 = a2 Cos (ω2 t + α)
Амплитуды обеих колебаний для простоты будем считать равными (а1 = а2). Тогда для результирующего колебания, применяя формулу для суммы косинусов, получим

Где определяет закон изменения амплитуды результирующего колебания со временем. Так как этот множитель может изменяться от -2а до +2а, берем его абсолютную величину, так как по определению амплитуда, есть величина положительная.
Ячейки электронных таблиц заполняем следующим образом:
В2- частота первого колебания, В3 – частота второго , В4 амплитуда результирующего колебания, определяемая по формуле =2*$B$5*COS(($B$3-$B$2)*C2/2), в ячейке В5- амплитуда складываемых колебаний. В столбце С введено время с интервалом изменения 0,02. Столбец D определяет первое колебание x1 - =$B$4*COS($B$2*C2), столбец Е для второго колебания - =$B$4*COS($B$3*C2), результирующее колебание определяется в столбце F - =2*$B$4*COS(($B$3-$B$2)*C2/2)*SIN(($B$3+$B$4)*C2/2). Введение функции Sin задает разность фаз в π/2.
Чтобы получить наглядную картину биений, значения времени, амплитуд исходных и результирующего колебаний продолжены до 200 строки.
txx1 x2 w1 22 0 0 8 8 w2 24 0,02 5,032058 7,238013 7,095959 a8 0,04 9,547484 5,097209 4,58816 a1 8
0,06
13,08348 1,985404 1,04339 0,08 15,27923 -1,50461 -2,7372 0,1 15,91328 -4,70801 -5,89915 0,12 14,92621 -7,01454 -7,72783 0,14 12,42627 -7,98483 -7,80995 0,16 8,677419 -7,43403 -6,12694 0,18 4,071056 -5,46708 -3,05918 0,2 -0,91537 -2,45866 0,699992 0,22 -5,76858 1,01812 4,300954 0,24 -9,99311 4,300954 6,929857 0,26 -13,1626 6,764471 7,992541 0,28 -14,9635 7,939378 7,248831 0,3 -15,2268 7,601861 4,866811 0,32 -13,9434 5,816214 1,384842 0,34 -11,2643 2,922598 -2,41012 0,36 -7,48181 -0,52776 -5,66036 0,38 -2,99833 -3,87759 -7,63131 0,4 1,717583 -6,48874 -7,8775 Если w1 = 20 , то при w2 = 22 – график

При w2 = 24 При w2 = 30


Результат сложения колебаний можно наблюдать и так:
сложение колебаний x=2*a*Cos(((w1+w2)/2)*t)*Cos(((w1-w2)/2)*t) A W1 W2 tX 10 2 1 0 20
0,8 19,33116 А - амплитуда 1,6 10,16955 W1 - частота первого
2,4 -13,8263 W2 - частота второго
3,2 -10,6723 4 19,59957 4,8 -19,922 5,6 19,8 6,4 -12,5863 7,2 -11,0707 8 13,90873 8,8 19,98763 9,6 18,76391 Меняя значения частот, наблюдаем результирующее колебание.

Фигуры Лиссажууравнения колебаний x = A1 Cos (w1 t) и y = A2 Cos (w2 t + φ)
A1 w1 A2 w2 φградус φрадиан txy40 2 60 3 30 0,523599 0 40 51,96152
0,2 36,84244 49,52014
0,4 27,86827 21,74147
0,6 14,49431 -13,6321
0,8 -1,16798 -44,2436
1 -16,6459 -59,3995
1,2 -29,4957 -53,8055
1,4 -37,6889 -29,4156
1,6 -39,9318 5,249939
1,8 -35,8703 38,08157
2 -26,1457 57,61022
2,2 -12,2933 57,01396
2,4 3,499959 36,50108
2,6 18,74067 3,237325
2,8 31,02264 -31,1573
3 38,40681 -54,6678
3,2 39,7274 -59,0813
нарисовать при W2 = 1,2,3... и т.д. 3,4 34,7759 -42,8559
3,6 24,33405 -11,6598

W2 = 4 W2 = 5

W2 = 6 W2 = 7