Решение нестандартных задач с использованием свойств функции

Решение нестандартных задач с использованием
общих свойств функций
Бирагова Л.Л.МБОУ лицей г.Владикавказ
Решение некоторых нестандартных задач может быть основано на свойствах монотонности, периодичности, четности или нечетности, входящих в них функций. Частично такой подход бы уже рассмотрен при разборе уравнений и неравенств, содержащих показательную и логарифмическую функцию. Приведем несколько примеров.
Пример 1.
Решить уравнение.
13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
Похожесть формы записи каждого из двух слагаемых в левой чисти уравнения, наталкивает на мысль рассмотреть функцию:
13 EMBED Equation.3 1415.
Данное уравнение запишется в виде:
13 EMBED Equation.3 1415,
поскольку 13 EMBED Equation.3 1415нечетная функция.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то уравнение выполняется.
Покажем, что других решений нет. Функция 13 EMBED Equation.3 1415монотонно возрастает на всей числовой оси R.
Действительно, если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415 и
13 EMBED Equation.3 1415
Если же 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415, и уже по доказанному:
13 EMBED Equation.3 1415.
В оставшемся случае 13 EMBED Equation.3 1415 имеем, 13 EMBED Equation.3 1415. Монотонность доказана. Тогда равенство 13 EMBED Equation.3 1415 верно, только если 13 EMBED Equation.3 1415. Поэтому других решений уравнение не имеет.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Бывает удобно использовать следующие утверждения:

Утверждение 1.
Пусть функция 13 EMBED Equation.3 1415 монотонно возрастает на промежутке Е, причем все ее значения на этом промежутке принадлежат Е, тогда уравнение
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
Равносильно на промежутке Е уравнению
13 EMBED Equation.3 1415 (2)

Утверждение 2.
Пусть функция 13 EMBED Equation.3 1415 монотонно возрастает на промежутке Е, причем все ее значения на этом промежутке принадлежат Е, тогда неравенство
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415




Пример 2.
Для каждого неотрицательного значения, а решить неравенство
13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
Перепишем неравенства в виде:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Положим 13 EMBED Equation.3 1415, тогда неравенство примет вид 13 EMBED Equation.3 1415.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415 при всех 13 EMBED Equation.3 1415, поэтому все числа 13 EMBED Equation.3 1415 удовлетворяют неравенству.
Остается рассмотреть луч 13 EMBED Equation.3 1415, где функция 13 EMBED Equation.3 1415 монотонно возрастает и отображает этот луч в себя. Согласно утверждению 2 имеем:
13 EMBED Equation.3 1415
· (()
если 13 EMBED Equation.3 1415, то все решения системы (() будет 13 EMBED Equation.3 1415;
если 13 EMBED Equation.3 1415, то все решения системы (() является множество 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: при 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
при 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
при 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

Пример 3.
Найдите все пары чисел pи q , при которых неравенство
13 EMBED Equation.3 1415
не имеет решений на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
Сформулируем задачу в другом виде:
Найти все пары чисел pи q, при которых на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415 справедливо неравенство 13 EMBED Equation.3 1415. Иначе говоря, необходимо так разместить параболу 13 EMBED Equation.3 1415 на координатной плоскости, чтобы ее ветви пересекали только боковые стороны квадрата 13 EMBED Equation.3 1415, то есть отрезки 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 Рис.1
.
.
.
.
.
Такой геометрический подход позволяет встать на другую точку зрения. Вспомним, что график функции 13 EMBED Equation.3 1415 получается из графика функции
13 EMBED Equation.3 1415 параллельным переносом (ведь 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415). Значит, вместо параболы 13 EMBED Equation.3 1415 можно переносить квадрат К.
Теперь становится ясным, что единственное возможное положение квадрата относительно параболы 13 EMBED Equation.3 1415, удовлетворяющие условию задачи, изображено на рис. 2.
.
.
.
.
.
Итак 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

Разобранный метод удобно применять, когда
алгебраическое выражение в условиях задачи разбивается на группы одинаковых по виду членов, которые можно выпазить с помощью одной и той же функции 13 EMBED Equation.3 1415, обладающей простыми свойствами.
Уравнение или неравенство удается представить в виде композиции одной функции: 13 EMBED Equation.3 1415, и т.п., причем 13 EMBED Equation.3 1415монотонно возрастает. Иногда для такого представления необходимо проделать тождественные преобразования.
Если в уравнении или неравенстве участвуют функции с хорошими известными свойствами)монотонность, периодичность, ограниченность и т.п.).
Дома
1. Для каждого неотрицательного значения параметра а решить неравенство:
13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: при 13 EMBED Equation.3 1415;
при 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415Ж
при 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Найти все пары чисел а и b, при которых неравенство 13 EMBED Equation.3 1415 не имеет
решений на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415


Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native