Презентация к уроку алгебры на тему Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии

Тема урока:Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии Математические знания могут применяться умело с пользой лишь в том случае, если они усвоены творчески.А.Н. Колмогоров Дорогой друг! Сегодня у тебя необычный урок математики. Сегодня ты еще раз убедишься в том, что математика не только интересна сама по себе, но она необычайно полезна. В ходе сегодняшнего урока тебя ожидает большая радость творчества и огромное поле приложения математических знаний и умений. Желаю тебе успехов и творческих радостей на уроке! ХОД УРОКА:Организационный момент.Актуализация опорных знаний. Проверка домашнего задания (5 мин. выборочно).Устная работа (5 мин.).Проверочный тест (5 мин.).Историческая справка (5 мин.).Изучение новой темы (10 мин.).Исторические задачи (5 мин.).Задачи на закрепление новой темы (5 мин.).Домашнее задание (2 мин.).Рефлексия (2 мин.).Выставление оценок (5 мин.). УСТНО: 1. Сравните числовые последовательности1). 1, 2, 4; -8 …2). 1; -2; 4; -8 …3). 1; -2; -4; -8 …4). 1, 2, 4, 8 …Найдите закономерности. .Какие из приведенных последовательностей являются геометрической прогрессией? 2. Сравните числовые последовательности1). 2,3; 3,5; 4,7; 5,9 …2). -8; 1; -2; 4 …3). 3; -9; 27; 81 …4). 3; 5; 7; 9 …Есть ли здесь арифметическая прогрессия?Есть ли среди них геометрическая прогрессия?3. Является ли число 1/4геометрической прогрессией 8; 4; 2 ..? Если да, то укажите номер.. ТестВариант 11.Дописать пропущенное: «Числовая последовательность b1, b2, b3, .... bn, .... Называется геометрической прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство:……где b1 ≠ 0, g ≠ 0 2 Написать формулу n - члена геометрической прогрессии.3. Является ли геометрической прогрессией последовательность; 5, 25, 125, ..? Назовите следующий член прогрессии.4.(bn) - геометрическая прогрессия, b1 = 16, g = 1/2. Найдите b2, b3, b4.5.(bn) - геометрическая прогрессия, b6 = 1/27, g = 1/3, Найдите b1.Вариант 21. Дописать пропущенное: «Знаменателем геометрической прогрессии bп называется число g, которое вычисляется по формуле........»2. Написать формулу n-го члена геометрической прогрессии.3. Является ли геометрической прогрессией последовательность: 36, 18, 9,…?Назовите следующий член прогрессии.4.(bn) - геометрическая прогрессия, b1 = 1, g = 2. Найдите b2, b3, b45.(bn) — геометрическая прогрессия. b5=1/64, g = 1/2: Найдите b1. ОТВЕТЫ ТЕСТА I – вариант1. bn+1 = b1qn где b1 ≠ 0, q≠02. b n = b1 *qⁿ-1 3. Да , 6254. b1 = 16, b2= 16*1/2 = 8, b3= 8 *1/2 =4, b4 = 4 *1/2= 25. bn= b1 qn-1, b1 = bn /qn-1, b1= 1/27:(1/3)5= 1/27* 35 = 32 =9II – вариант:1. q =b2 / b1 = bn-1 / bn2. b n = b1 *qⁿ-1 3. Да. 4,54. b2 = 1 * 2= 2 ; b3 = 2 * 2= 4 ; b4 = 4 * 2= 85. b1 = b5 /q4; b1 =1/64:(1/2)4 = 1/ 26 * 24 = 1/4 НАЗАД, В ИСТОРИЮ! На связь между прогрессиями первым обратил внимание великий АРХИМЕД (около 287–212 гг. до н.э)Термин “прогрессия” был введен римским автором Боэцием (в 6 веке) и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Названия “арифметическая” и “геометрическая” были перенесены из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом (в 3 веке). Формула суммы членов геометрической прогрессии дана в книге Евклида “Начала” (3 век до н.э.).Правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в сочинении «Книги абака» в 1202г. (ЛеонардоПизанский) Понятие числовой последовательности возникло и развивалось задолго до создания учения о функциях. АНГЛИЯ XVIII ВЕК В XVIII в. в английских учебниках появились обозначения арифметической и геометрической прогрессий: Арифметическая Геометрическая Сведения, связанные с прогрессиями, впервые встречаются в дошедших до нас документах Древней Греции. Уже в V в. до н. э. греки знали следующие прогрессии и их суммы: Древняя Греция ДРЕВНИЙ ЕГИПЕТ Формула, которой пользовались египтяне: Задача из египетского папируса Ахмеса: Пусть тебе сказано: «Раздели 10 мер хлеба на 10 человек, если разность между количеством хлеба у каждого человека и ему предшествующего составляет меры.» ГЕРМАНИЯ Нашел моментально сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, будучи еще учеником начальной школы. 1 + 2 + 3 + 4 + ….. + 99 + 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + …… + (50 + 51) = 101 ∙ 50 = 5050 Решение КАРЛ ГАУСС(1777 – 1855) Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку. Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников. -Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твое пожелание, - продолжал царь. - Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь ее. Сета молчал. -Не робей, - ободрил его царь. – Выскажи свое желание. Я не пожалею ничего, чтобы исполнить его. -Велика доброта твоя, повелитель. Но дай срок обдумать ответ. Завтра я сообщу тебе мою просьбу. -Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал, -сказал царь. Мудрец поклонился. Когда на другой день Сета снова явился к ступеням трона, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы. -Повелитель, - сказал Сета, - прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно. -Простое пшеничное зерно? – изумился царь. -Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью - 4, за четвертую - 8, за пятую - 16, за шестую -32… -Довольно, - с раздражением прервал его царь. – Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше против предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моей милостью. Ступай. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей. Сета улыбнулся хитро, покинул дворец и стал дожидаться у ворот дворца. Почему так хитро улыбнулся Сета? Прав ли был индусский царь, считая просьбу Сеты ничтожной, полагая, что все зерна пшеницы уместятся в один мешок? Об этом ты узнаешь чуточку позже. Тема урока:Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии Выведем теперь формулу суммы n первых членов произвольной геометрической прогрессии. Воспользуемся тем же приемом, с помощью которого была вычислена сумма в задаче№1. Пусть дана геометрическая прогрессия (bn). Обозначим сумму n первых ее членов через Sn: Sn = b1 + b2 + b3 +………+bn-1 + bn. (1) Умножим обе части этого равенства на q: Sn ·q = b1· q + b2 ·q + d3· q +…..+bn· q Учитывая, что b1· q = b2, b2· q = b3,……bn-1· q = bn, получим: Sn·q = b2 + b3 + b4+ ……+ bn + bn·q (2) Вычтем почленно из (2) равенство (1) и приведем подобные члены : Sn·q – Sn = (b2+b3+b4+….+bn+bn·q) – (b1+b2+b3+…..+bn) = bn·q – b1  Sn(q – 1) = bn·q – b1 Sn = (bn·q – b1) / (q – 1) Sn = За обедом царь вспомнил об изобретателе шахмат и послал узнать, унес ли Сета свою жалкую награду. -Повелитель, - был ответ, - приказание твое исполняется. Придворные математики исчисляют число следуемых зерен. Царь нахмурился. Он не привык, чтобы повеления его исполнялись так медлительно. Вечером, отходя ко сну, царь еще раз осведомился, давно ли Сета со своим мешком пшеницы покинул ограду дворца. -Повелитель, - ответили ему, - математики твои трудятся без устали и надеются еще до рассвета закончить подсчет. Утром царю доложили, что старшина придворных математиков просит выслушать важное донесение. Царь приказал ввести его. -Прежде чем скажешь о твоем деле, - объявил Шерам, - я желаю услышать, выдана ли, наконец, Сете та ничтожная награда, которую он себе назначил. -Ради этого я и осмелился явиться перед тобой в столь ранний час, - ответил старик. – Мы добросовестно исчислили все количество зерен, которое желает получить Сета. Число это так велико….. -Как бы велико оно ни было, - надменно перебил царь, - житницы мои не оскудеют. Награда обещана и должна быть выдана.. - Не в твоей власти, повелитель, исполнять подобные желания. Во всех амбарах твоих нет такого числа зерен, которое потребовал Сета. Нет его и в житницах целого царства. Не найдется такого числа зерен и на всем пространстве Земли. И если желаешь непременно выдать обещанную награду, то прикажи превратить земные царства в пахотные поля, прикажи осушить моря и океаны, прикажи растопить льды и снега, покрывающие далекие северные пустыни. С изумлением внимал царь словам старца. - Назови мне это чудовищное число,- сказал он в раздумье. Пусть все пространство их будет сплошь засеяно пшеницей. И все то, что родится на этих полях, прикажи отдать Сете. Тогда он получит свою награду… -Восемнадцать квинтильонов четыреста сорок шесть квадрильонов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три миллиарда семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать, о повелитель! 18 446 744 073 709 551 615 Такова легенда. Действительно ли было то, что здесь рассказано, неизвестно, - но что награда, о которой говорит предание, должна была выразиться именно таким числом в этом ты сам можешь убедиться. Фактически, число зерен, о которых идет речь, является суммой 64 членов геометрической прогрессии, первый член которой равен 1, а знаменатель равен 2. Обозначим эту сумму через S: S = 1+2+22+23+24+…….+262+263 S = 264 – 1 Значит, подсчет зерен сводится к перемножению 64 двоек. Для облегчения выкладок заменим 264 = (210)6 · 24 = =1024 · 1024 ·1024· 1024 ·1024· 1024· 16 = =1048576 ·1048576 ·1048576 ·16 – 1 и получим искомое число зерен: 18 446 744 073 709 551 615 Масса такого числа зерен больше триллиона тонн. Индусский царь не в состоянии был выдать подобной награды. Но будь он силен в математике, он бы не попал впросак… ВЫВОД Если бы царю удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая моря, и океаны, и горы, и пустыню, и Арктику с Антарктикой, и получить удовлетворительный урожай, то, пожалуй, лет за 5 он смог бы рассчитаться. Такое количество зерен пшеницы можно собрать лишь с площади в 2000 раз большей поверхности Земли. Это превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени. Не в количестве знаний заключается образование, а в полном понимании и искусном применении всего того, что знаешь. Георг Гегель В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты одна из них делится на две.а)Сколько бактерий рождено на 3-й минуте от одной исходной? б)Какова колония, рожденная одной бактерией за 3 минуты? а) на 1-ой минуте 2 на 2-ой минуте 4 на 3-ей минуте 8 б) 2+4+8= 14 Решите устно: Приходит как-то раз к одному богатому купцу мужик и предлагает сделку. «Давай, говорит, в течение месяца я буду приносить тебе каждое утро по 100000 руб, а ты мне взамен в первый день отдашь 1 коп, а в каждый последую- щий в 2 раза больше. Во второй день- 2 коп, в третий- 4 коп и т.д.» Подумал купец и подписал договор. Кому выгодна сделка? План исследования Вычислить сумму, которую получит купецУзнать сумму, которую получит мужикСравнить доходыСделать выводы Сумма, которую получит купец Sкупец= 100000руб х 30дней = =3000000руб Сумма, которую получит мужик 1-ый день- 1коп2-ой день- 2коп3-ий день- 4коп4-ый день- 8коп5-ый день- 16коп6-ой день- 32коп7-ой день- 64коп8-ой день- 128коп9-ый день-256 коп 10-ый день- 512 коп11-ый день- 1024 коп12-ый день- 2048 коп13-ый день- 4096 коп14-ый день- 8192 коп15-ый день- 16384 коп……………………………Путь не рациональный. Замечаем, что каждаяпоследующая выплатав 2 раза больше предыдущей. Последовательность чисел 1; 2; 4; 8; 16;…представляет собой геометрическую прогрессию, у которой b1=1, q=2. Следовательно, необходимо найти сумму первых 30 членов данной геометрической прогрессии. Вывод каким образом??? Дано: геометрическая прогрессия b1=1 q=2Найти:S30Решение: Sn=S30= = 230 -1 = 1073741824 -1 == 1073741823 коп = 10737418 руб 23 коп Сумма, которую получит мужик Сравним доходы купец получил 3 000 000 руб мужик – 10 737 418 руб 23 коп разница составляет 7 737 418 РУБ 23 КОП !!! Так кому выгодна эта сделка? ПРОВЕРЬ СЕБЯ 1 вариантОбязательная часть.Дана геометрическая прогрессияb1= - 4, q=2. Найти S5 b1=4, b2=16. Найти S6Дополнительная часть.3) Упростите выражение, применив формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии:1+х+х2+х3+х4=х≠1 2 вариантОбязательная часть.Дана геометрическая прогрессияb1= - 9, q=2. Найти S6b1=3, b2=9. Найти S5Дополнительная часть.3) Упростите выражение, применив формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии:1+х+х2+х3+х4 +х5=х≠1 SN = S5 = S6 = 1 вариант 2 вариант Sn = 1 вариант 2 вариант S5 = S6 = ВАШЕ НАСТРОЕНИЕ узнал… научился… понял, что… смог … могу научить… Подошёл к концу наш урок. Давайте подведем итоги. У вас у каждого на парте лежат смайлики, поднимите, пожалуйста, тот, который расскажет о вашем настроении после урока, о впечатлении от урока. Кто из вас выскажет мнение о пройденном уроке, вот фразы, с которых вы можете начать… Рефлексия Домашнее задание:П. 18, выучить формулы Задача 1Некто продавал коня и попросил за него 1000 рублей. Купец сказал, что за коня запрошено слишком большая цена, «Хорошо, - ответил продавец, - возьми коня даром, а заплати только за гвозди в его подковах, А гвоздей во всякой подкове по 6 штук. За первый гвоздь - полушку ( 1 полушка – 1/2 копейки), за второй гвоздь - 2 полушки, за третий гвоздь -4 и т.д., за каждый гвоздь в 2 раза больше чем за предыдущий. Купец, думая, что заплатит на много меньше, чем 1000 рублей, согласился. Проторговался ли купец? Задача 2Придумать задачу на применение формулы суммы геометрической прогрессии.