Урок решения задач по теме Площади плоских фигур

Тема: Площади плоских фигур.
Теоремы – труженицы:
Отношения квадратов площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.
Если два треугольника имеют равные основания, то площади этих треугольников относятся как высоты;
Если два треугольника имеют равные высоты, то площади этих треугольников относятся как основания.
Основные формулы:
1); 2) ; 3) ;4) ; 5) ;
6) ; 7) ;
Площади выпуклого четырехугольника.
1)
2) ;
3) (если в четырехугольник можно вписать окружность)

Площадь параллелограмма.
1) ; 2) ; 3) ;
S трапеции = - площадь трапеции
Площадь кругового сектора: (- радианная мера центрального угла)
Площадь кругового сегмента:
Задача: В параллелограмме АВСD, Е – произвольная точка стороны ВС. Доказать, что сумма площадей треугольников АВС и CDE составляет половину площади параллелограмма.
left63500
Решение.
ЕМ॥ АВ
АВЕМ и MECD – параллелограммы. S∆ ABE = S∆AEM ; S∆ECD = S∆ MDE; S∆ABE + S∆ECD = ½ SABCD.
Задача: Полуокружность касается сторон АС и ВС треугольника АВС в точках D и Е соответственно и имеет центр на стороне АВ. Найдите радиус этой полуокружности, если ВС = 13см, АВ = 14 см, АС = 15см.
left-508000
Решение.
1) OD=OE=r? ODAC? OEBC
S∆AOC=
S∆ОВС=
S∆ABC= S∆AOC + S∆BOC = +=14r
2) S∆ABC=; p=21 см
S∆ABC=84 (см)
3) 14r=84
r=6 (см)
Ответ: r=6
Замечание: Вместо опорного элемента выбрана площадь, т.е. задача решена методом площадей.
Задача: площадь ∆АВС равна 30см2. На стороне ВС взята точка D так, что AD : DC = 2:3. Длина перпендикуляра DE, проведенного на сторону ВС, равна 9мс. Найдите ВС.
left952500
Решение.
∆АВD и ∆BDC имеют общую сторону BF; следовательно их площади относятся как длины оснований, т.е. S∆ABD : S∆BDC =AD : DC = 2 : 3
S∆BDC = 3/5 S∆ABC = 18 (см2)
S∆BDC = ½ BC DE, 18 = ½ ВС 9;ВС = 4см.
Ответ: ВС = 4см
Задача: окружность, вписанная в ∆АВС, делит основание АС точкой касания на отрезки а и в. Найти площадь ∆АВС, если известно, что В = 600.
left190500
Решение.
OF = OE = OD = r
AF = AD = a.
CD = CE = в
ВО – биссектриса В => ОВЕ = 300.
ctg300==r ctg300 = r
BF=BE= r
AC=a+bAC=a+ r
BC=b+ r
S∆ABC = Pr; P=
S∆ABC = (a+b+ r) r
S∆ABC =
= (a + b + r)r= (a + b + r)2r2ab= (a + b +)r
S∆ABC = ab
Ответ: S∆ABC = ab
Примечание: Радиус r нас не интересовал, он необходим был как средство для отыскивания площади.
Задача: В четырехугольнике ABCD Е – середина АВ, F – середина CD. Доказать, что EBFD в два раза меньше площади четырехугольника АВСD.
left444500
Решение.
BD – диагональ ABCD,
S∆AED = S∆BED;
S∆BFD = S∆BFC;
SBEDF = 0,5 SABCD
Ключевой момент: Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника.
Задача: В равнобедренной трапеции (равнобокой) высота равна Н, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найти площадь трапеции.
Ключ: площадь четырехугольника, диагонали d1 и d2 которого перпендикулярны, вычисляют по формуле:
left000
Решение.
1 способ:
∆ВКО – прямоугольный и равнобедренный. ВК = КО
∆AFO : AF =OF
ВК + AF = KF
½ ( BC + AD) = H
Sтр.= ½ (BC + AD) H = HH = H2
2 способ:
BD=
Sтр.=
Задача: найти площадь трапеции по двум диагоналям 17 и 113, и высоте 15

Решение.
1) ВР AD;СFAD
2) ∆АСЕ: по теореме Пифагора
3) ∆BPE: по теореме Пифагора
4) AE + PD = BC + AD +120
5)SABCD =
Ответ: SABCD = 900
Задача: В ∆АВС на сторонах АВ и ВС взяты точки К и Р так, что ; .
Прямые АР и СК пересекаются в точке Е. найдите площадь треугольника АВС, если известно, что площадь ∆ВСЕ=4см2
leftoutside00
Решение.
Пусть АК=х, ВК=2х, ВР=у, СР=2у.
РМ॥КС; по теореме Фалеса:
ВМ=МК=ВК=2х=х; КМ=х
3) ∆АКЕ∆АМР, , т.е. ; КЕ=МР
; т.е. МР=КС. В итоге получаем, что КЕ=
ЕС=
4) ∆ВЕС и ∆ВКС. У них высота, проведенная из вершины В, общая, значит, их площади относятся как основания, т.е.
= (см2)
5) ∆ВКС и ∆ АВС, у них высота, проведенная из вершины С – общая, значит, их площади относятся как основания: , получаем:
S∆ABC = 7 (см2)
Ответ: S∆ABC = 7 см2
Задача : Если ABCD – трапеция с основаниями AD и Вс, а Е – точка пересечения ее диагоналей, то треугольники АВЕ и CDE равновелики.
left698500
Разные способы доказательства.
I способ:
S∆ВСЕ = ; S∆СЕD = BE CE S∆ВСЕ = S∆СЕD
II способ:
S∆ABE = S∆ABD - S∆AED
S∆CED = S∆ACD - S∆AED
S∆ABD = S∆ACD
(AD и Н – общие, высота проведена из В и С).
S∆ABD = S∆ACD
left650303500