Презентация по математике на тему Комбинаторика.Бином Ньютона

Виды соединений в комбинаторике Самый простой метод решения комбинаторных задач – перебор всех возможных вариантовПодсчитать число однобуквенных слов русского языка. Ответ:10 (а, б, в, ж, и, к, о, с, у, я)Перечислить виды: 1)треугольников, 2)четырехугольников.Ответ:1)равносторонний, равнобедренный, разносторонний; остроугольный, прямоугольный, тупоугольный.2) параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция.В магазине продают бейсболки трех цветов: синие, красные и черные. Ваня и Андрей покупают себе по одной. Сколько существует различных вариантов покупки? Ответ:9 вариантов.



Полный перебор может осуществляться с помощью деревьевС помощью цифр 3 и 5 записать все возможные трёхзначные числа (цифры могут повторяться).Ответ: 8 чисел.
Полный перебор может осуществляться с помощью таблиц и графовВстретились пятеро, каждый пожал другому руку. Сколько было рукопожатий?Ответ:10.С помощью таблицы вариантов перечислить все возможные двухбуквенные коды, в которых используются буквы: x,y,z.Ответ: 9.{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}xyzxxxxyxzyyxyyyzzzxzyzz

Задача. В футбольном турнире участвуют несколько команд. Оказалось, что все они для трусов и футболок использовали белый, красный, синий, зеленый или жёлтый цвет, причем были использованы все возможные варианты. Сколько команд участвовали в турнире? При большом количестве имеющихся элементов полный перебор затруднителен. Правило произведения позволяет упростить подсчет числа определенных соединений. Сформулируем это правило. Правило произведенияЕсли существует n вариантов выбора первого элемента и для каждого из них имеется m вариантов выбора второго элемента, то существует nm различных пар с выбранными первым и вторым элементами. Задача 1. Сколько различных двузначных чисел можно записать с помощью цифр 0,2,4,6,8 (цифры могут повторятся)? Ответ: 4∙5 = 20.Задача 2. В кафе имеются 3 первых блюда, 5 вторых и 2 третьих. Сколькими способами посетитель кафе может выбрать обед, состоящий из первого, второго и третьего блюд? Ответ: 3∙5∙2 = 30.Задача 3. Пётр решил пойти на новогодний карнавал в костюме мушкетёра. В ателье проката ему предложили на выбор различные по цвету и фасону предметы: 5 пар брюк, 6 камзолов, 3 шляпы, 2 пары сапог. Сколько различных карнавальных костюмов он может составить из этих предметов? Ответ: 5∙6∙3∙2 = 180.

Основные задачи комбинаторикиОсновными задачами комбинаторики считаются следующие: составление упорядоченных множеств (перестановки); составление подмножеств данного множества (сочетания) составление упорядоченных подмножеств данного множества (размещения).Чтобы отличать задачи на подсчёт числа размещений от задач на подсчёт числа сочетаний, определим, важен или нет порядок в следующих выборках: а) судья хоккейного матча и его помощник; б) три ноты в аккорде; в) «Шесть человек останутся убирать класс!» г) две серии для просмотра из многосерийного фильма. Ответ: а)да; б)нет; в)нет; г)да.
ПерестановкиПерестановками из n элементов называются соединения, которые состоят из n элементов и отличаются одно от другого только порядком их расположения.Permutation (фр.) – перестановка.Задача. Сколькими способами можно расположить в столбик три детали конструктора, различающиеся по цвету? 
style.rotation
Вычислить: 7! 2) 8! 3) 6!-5! 4)Определение: Произведение подряд идущих первых n натуральных чисел обозначают n! и называют «эн факториал». Принято считать, что 0! = 1Задача.В семье – 6 человек, и за столом в кухне стоят 6 стульев. Семья решила каждый вечер, ужиная рассаживаться на эти стулья по – новому. Сколько дней члены семьи смогут осуществлять задуманное?
Задача.Сколькими способами можно расставить на полке семь различных книг? Решение:Число таких способов равно числу перестановок из семи элементов, т.е. P7 = 7! = 1 · 2 · 3 · … · 7 = Ответ: 5040.
Задача.Имеются 10 различных книг, три из которых – справочники. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы все справочники стояли рядом?Решение:Т.к. в справочники должны стоять рядом, то будем рассматривать их как одну книгу. Тогда на полке надо расставить 10 – 3+1=8 книг. Это можно сделать P8 способами. Для каждой из полученных комбинаций можно сделать P3 перестановок справочников. Поэтому число способов расположения книг на полке равно произведению: P8 · P3 = 8! · 3! = 40320 · 6 = Ответ: 241920.
Размещения Число всех выборов n элементов из m данных с учётом их порядка называют числом размещений из m элементов по n. (n ≤ m)Обозначают: = 𝑚!𝑚−𝑛! 



Вычислить
Задача. Решить уравнение:Решение: n 2 . По формуле- посторонний корень

Найти значение выражения : 1) 2) Решите уравнение: РазмещенияЗадача 2. Сколькими способами могут занятьI, II, III места 8 участницфинального забега на дистанции 100 м? Ответ: 336.Задача 1. Сколькими способами можно изготовить трёхцветный флаг с горизонтальными полосами, если имеется материал 7 различных цветов? Ответ: 210.
Задача 4 . Сколькими способами можно обозначить вершины данного треугольника, используя буквы А,В,С,D,E,F?Задача 3. Из 30 участников собрания надо выбрать председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать? Ответ: 870.

Задача.Сколько существует трехзначных чисел, в которых цифры различные и нечетные.Решение:Нечётных цифр пять: 1,3,5,7,9. Их надо разместить на три позиции. Поэтому количество искомых чисел равно числу размещения. Ответ: 60. 

Задача : Из пяти шахматистов для участия в турнире нужно выбрать двоих. Сколькими способами это можно сделать? Решение: Из пяти шахматистов можно составить парНо из этих пар надо выбрать только те, которые различаются лишь составом участников, таких пар в 2 раза меньше, т.е.При решении этой задачи из 5 человек были образованы пары – соединения по 2 человека, которые отличались друг от друга только составом. Такие соединения называют сочетаниями.

СочетанияЧисло всех выборов n элементов из m данных без учёта порядка называют числом сочетаний из m элементов по n.Обозначают:





СочетанияЗадача 2. Сколькими способами можно составить букет из трёх цветков, выбирая цветы из девяти имеющихся? Ответ: 84. Задача 3. В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Сколькими способами можно выделить 4 мальчиков и 3 девочек для уборки территории? Ответ:Задача 1. В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде? Ответ: 21.





Задача 4. Сколько существует способов выбора трёх карт из колоды в 36 карт?Решение: Изъятые из колоды 3 карты без учета порядка их расположения в наборе являются сочетаниями из 36 по 3.
Учимся различать виды соединенийПерестановки из элементовСколькими способами можно с помощью букв A,B,C,D обозначить вершины четырехугольника?Меняется только порядок расположения выбранных элементов.Порядок важенСочетания из элементов по элементовУ лесника три собаки: Астра, Вега и Граф. На охоту лесник решил пойти с двумя собаками. Перечислите все варианты выбора лесником пары собак. Меняется только состав входящих в комбинацию элементов, порядок их расположения не важенРазмещения из элементов по элементовСколькими способами могут быть распределены I, II и III премии между 15-ю участниками конкурса?Меняется состав входящих в комбинацию элементов и важен порядок их расположения Треугольник Паскаля. Числа имеют очень красивую и знаменитую запись, которая имеет большое значение. Такая запись называется треугольником Паскаля: Треугольник Паскаля. Правило записи треугольника легко запомнить: Каждое число в треугольнике Паскаля равно сумме двух чисел, стоящих над ними в предыдущей строке. Треугольник Паскаля Бином Ньютона. Как оказалось, треугольник Паскаля находит свое применение и в другой математической задаче. Вспомним несколько правил возведения в квадрат и куб суммы. Проделаем эту же операцию и для четвертой степени: Бином Ньютона. Выпишем для наглядности все наши формулы: Проведем небольшой анализ полученных формул. Первое, на что стоит обратить внимание, показатель степени в левой части равен сумме показателей степеней в правой части, для любого слагаемого. Посмотрите внимательно на коэффициенты в правой части, ни чего не напоминает? Коэффициенты образуют треугольник Паскаля. Бином Ньютона Бином Ньютона – это выражение видаПри возведении бинома а + b в натуральные степени пользуются треугольником Паскаля.

Примеры.
Примеры.
Бином Ньютона. Пример. Раскрыть скобки: а) б) Решение. Применим нашу формулу:а) Вычислим все коэффициенты: В итоге получаем:б) Задачи для самостоятельного решения. Избавиться от скобок: а) б) в) г) Проверь себя1. Сколькими способами 4 вора могут разбежаться на 4 разные стороны? 2. Из колоды в 36 карт выбирают 5 карт и одновременно открывают их. Найдите число всех возможных вариантов выбранных карт. 3. Сколькими способами из класса, где учатся 24 ученика, можно выбрать: а)двух дежурных; б)старосту и помощника старосты? Ответ: а)276; б)552.4. «Проказница Мартышка, Осёл, Козёл да косолапый Мишка задумали сыграть квартет». Сколькими способами они могут выбрать каждый для себя по одному инструменту из 10 данных различных инструментов? Ответ:




ЗАДАНИЕ 1. В группе 9 человек. Сколько можно образовать разных подгрупп при условии, что в подгруппу входит не менее 2 человек? ЗАДАНИЕ 2. Группу из 20 студентов нужно разделить на 3 бригады, причем в первую бригаду должны входить 3 человека, во вторую — 5 и в третью — 12. Сколькими способами это можно сделать? ЗАДАНИЕ 3. Предприятие может предоставить работу по одной специальности 4 женщинами, по другой - 6 мужчинам, по третьей - 3 работникам независимо от пола. Сколькими способами можно заполнить вакантные места, если имеются 14 претендентов: 6 женщин и 8 мужчин?

Решить уравнение𝑛1 = 1−552 = -27 ˂ 0 – не подходит 𝑛2 = 1+552 = 28 ˂ 0 Ответ: 28 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ№ 1.Вычислите: № 2. В классе изучают 9 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник, если в этот день должно быть 6 разных предметов?№ 3. Сколько существует способов для обозначения вершин данного четырехугольника с помощью букв А,В,С,D,E,F?№ 4. В классе 30 человек. Сколькими способами могут быть выбраны из их состава староста и казначей?№ 5. В чемпионате по футболу участвуют 10 команд. Сколько существует различных возможностей занять командам первые три места? Задача 1. Сколько различных двухзначных чисел можно записать с помощью цифр 1,2,3,4 при условии, что в каждой записи нет одинаковых цифр?РАЗМЕЩЕНИЯ БЕЗ ПОВТОРЕНИЙ12,13,14,21,23,2431,32,34,41,42,43По правилу произведения 43 = 12Все соединения отличаются друг от друга либо составом(12 и 24), либо порядком(12 и 12) ЛитератураАлгебра и начала математического анализа 11 класс, Колягин Ю.М., Ткачев М.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И., М. : «Просвещение», 2011
style.rotation