Конспект урока по алгебре и началам анализа на тему Площадь криволинейной трапеции (11 класс)

Тема: «Площадь криволинейной трапеции».

Цели и задачи:

Обучающие:
Обобщение знаний обучающихся о первообразной.
Познакомить с понятием криволинейной трапеции; научить вычислять площадь криволинейной трапеции как приращение первообразной.
Сформировать навыки планирования ответа, умение считать и писать в быстром темпе, навыки самоконтроля

Развивающие:
Развивать умение систематизировать и применять полученные знания
Развивать логическое мышление и внимание.

Воспитательные:
Воспитывать сознательную дисциплину и нормы поведения.
Воспитывать математическую культуру
Формировать потребности в приобретении знаний.

Тип урока: изучение нового материала

Наглядность и оборудование: учебник «Алгебра и начала анализа. 10-11 класс» , телевизор, компьютер, презентация, демонстрационная таблица, запись на доске, тетрадь, карандаш, ручка, линейка.

План урока:
№
Этап урока
Цель этапа
Время

1
Организационный момент
Сообщение темы урока; постановка цели урока; сообщение этапов урока.
2 мин.

2
Устная работа и работа по карточкам
Повторить определение, основное свойство, правила первообразной, таблицу первообразных, промежутки знакопостоянства функции.
7 мин.

3
Изучение нового материала
Познакомить с понятием криволинейной трапеции; научить вычислять площадь фигуры как приращение первообразной.
15 мин.

4
Закрепление изученного материала
Формировать умение вычислять площадь криволинейной трапеции с помощью формулы: S= F(b)-F(a)
17 мин.

5
Итог урока
Систематизировать полученные знания.
2 мин.

6
Домашнее задание
Инструктаж к домашнему заданию.
2 мин.




Ход урока:

I.Организационный момент:
(Сообщение темы и целей урока.)
II. Устная работа.
Один обучающийся на компьютере показывается геометрический смысл свойства первообразной для заданной функции у=х3
Одновременно у доски работают индивидуально двое обучающихся по карточкам, содержащим задания разной степени трудности (его решение после выполнения проверяет группа).

Задание №1

Оценка «5»
Найдите для функции f одну из первообразных:
а) f(x) = 13 EMBED Equation.3 1415;

б) f(x) = - cos (5x-3);

в) f(x) = sin13 EMBED Equation.3 1415 2x;

г) f(x) = 13 EMBED Equation.3 1415.

Задание №2

Оценка «4»
Найдите общий вид первообразных для функции f:
а) f(x) = 2 cos x – 3 sin x;

б) f(x) = 8x13 EMBED Equation.3 1415 - 3x13 EMBED Equation.3 1415 - 4;
в) f(x) = 13 EMBED Equation.3 1415;
г) f(x) = 13 EMBED Equation.3 1415.

Вопросы обучающимся группы:
1)Что называется первообразной?
2) Основное свойство первообразной?
3) Устные задания с помощью компьютерной презентации.
III. Изучение нового материала.
Практическая работа (один обучающийся выполняет на доске цветным мелом, остальные - в тетрадях)
Построить прямоугольную систему координат;
На оси абсцисс отложить отрезок [a ; b];
На заданном отрезке построить график неотрицательной, непрерывной функции;
Построить прямые x=a и x=b;
Заштриховать фигуру, ограниченную линиями разного цвета.
Сообщить, что заштрихованная фигура называется криволинейной трапецией
Предложить обучающимся сформулировать самим определение криволинейной трапеции
Записать определение криволинейной трапеции в тетрадь

Определение: Фигуру, ограниченную снизу отрезком [a:b] оси Ох, сверху – графиком непрерывной неотрицательной функции y=f(x), с боков – отрезками прямых х=а и х=b (Отрезок [a:b] называется основанием криволинейной трапеции)

Обратить внимание на экран телевизора и предложить на изображенных рисунках найти фигуры, которые не являются криволинейными трапециями, объяснить свой ответ.


























Преподаватель
Каждая криволинейная трапеция имеет свою площадь.
Для вычисления площадей криволинейной трапеции применяется следующая теорема:

Если f – непрерывная и неотрицательная на отрезке [a;b] функция, а F – её первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке [a;b], т.е. S = F(b) F(a)
(Записать формулировку теоремы в тетрадь стр. 186, разбор доказательства дома)

IV. Закрепление изученного материала.
Показ слайда
Пример:
Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
а) y=x13 EMBED Equation.3 1415; y=0; a=1; b=2 (разбор с преподавателем)
б) y=x13 EMBED Equation.3 1415; y=0; a=0; b=2 (один обучающийся выполняет на доске)
в) y=x13 EMBED Equation.3 1415; y=0; a= -2; b= -1 (самостоятельно выполняют все)
Работа с учебным пособием
Работа на доске: №353(б); №354(а).
Самостоятельная работа: №354(б)
V. Итог урока.
Вопросы:
Какую фигуру называют криволинейной трапецией?
Назвать формулу для вычисления площади криволинейной трапеции?

VI. Домашнее задание.
Пункт 29, страница 186-187 (разобрать доказательство теоремы о площади криволинейной трапеции) , решить №353 (в,г), №354 (в,г), повторить графики элементарных функций
Приложения.(Решения)
Задание 1
Оценка «5»
а) f(x) = 13 EMBED Equation.3 1415

F(x) = 13 EMBED Equation.3 1415= 0,25 13 EMBED Equation.3 1415

б) f(x) = - cos (5x-3)13 EMBED Equation.3 1415

F(x) = - 0,2 sin (5x-3)

в) f(x) = sin13 EMBED Equation.3 1415 2x

F(x) = -13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 = -13 EMBED Equation.3 1415 cos 2x

г) f(x) = 13 EMBED Equation.3 1415 = (8x-3)13 EMBED Equation.3 1415

F(x) = 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 = - 13 EMBED Equation.3 1415

Задание 2
Оценка «4»
а) f(x) = 2 cos x – 3 sin x

F(x) = 2 sin x + 3 cos x + C
б) f(x) = 8x13 EMBED Equation.3 1415 - 3x13 EMBED Equation.3 1415 - 4

F(x) = 13 EMBED Equation.3 1415 - 13 EMBED Equation.3 1415 - 4x +C

F(x) = x13 EMBED Equation.3 1415 - x13 EMBED Equation.3 1415- 4x + C
в) f(x) = 13 EMBED Equation.3 1415

F(x) = 3tg x +C
с) f(x) = 13 EMBED Equation.3 1415

F(x) = 1213 EMBED Equation.3 1415 + C

Задание 5

На рис. б), в), г), фигуры не являются криволинейными трапециями, так как фигуры на рис. б), и г) ограничены графиками двух функции а фигура на рисунке в) расположена ниже оси Ох.
Закрепление нового материала
Пример
а) Для функции f(x) = x13 EMBED Equation.3 1415 одной из первообразных является F(x) = 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно,
S = F (2) –F (1) = 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
б) S = F(2) - F(0) = 13 EMBED Equation.3 1415 - 0 = 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415

в) S = F(-1) – F(-2) = - 13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Задание №353
Для функции y= cos x одной из первообразных является F(x) = sin x
Следовательно, S = F(13 EMBED Equation.3 1415) – F(0) = sin 13 EMBED Equation.3 1415 - sin 0 = 1
Ответ: 1

Задание № 354
а) Для функции у = x13 EMBED Equation.3 1415 + 1 одной из первообразных является F(x) = 13 EMBED Equation.3 1415
Следовательно, S = F(2) – F(0) =13 EMBED Equation.3 1415 + 2 -13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 6

б) Для функции y = 1 + 2 sin x одной из первообразных является F(x) = x - 2 cos x
Следовательно, S = F (13 EMBED Equation.3 1415) - F(0) = 13 EMBED Equation.3 1415 - 2 cos 13 EMBED Equation.3 1415 - 0 + 2 cos 0 = 13 EMBED Equation.3 1415 +2
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415 + 2
а

б

в

г



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native