Изучение многогранников в курсе стереометрии
Изучение многогранников в курсе стереометрии
1.Значение и место многогранников в стереометрии. Тема «Многогранники» одна из основных в традиционном курсе школьной геометрии. Они составляют, можно сказать, центральный предмет стереометрии. Изучение параллельных и перпендикулярных прямых и плоскостей, двугранных углов и другое, так же как введение векторов и координат,- все это только начала стереометрии, подготовка средств для исследования ее более содержательных объектов – главным образом тел и поверхностей. Центральная роль многогранников определяется прежде всего тем, что многие результаты, относящиеся к другим телам, получаются исходя из соответствующих результатов для многогранников. Кроме того, многогранники сами по себе представляют чрезвычайно содержательный предмет исследования, выделяясь среди всех тел многими интересными свойствами, специально к ним относящимися теоремами и задачами. Многогранникам должно быть уделено в школьном курсе больше внимания еще и потому, что они дают особенно богатый материал для развития пространственных представлений, для развития того соединения живого пространственного воображения со строгой логикой, которое составляет сущность геометрии. Уже самые простые факты, касающиеся многогранников, требуют такого соединения, которое оказывается при этом не совсем легким делом. Даже такой простой факт, как пересечение диагоналей параллелепипеда в одной точке, требует усилия воображения, чтобы его увидеть наглядно, и нуждается в строгом доказательстве. Более того, использование многогранников с самого начала изучения стереометрии служит различным дидактическим целям. На многогранниках удобно демонстрировать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, показывать применение признаков параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве. Иллюстрация первых теорем стереометрии на конкретных моделях повышает интерес учащихся к предмету. Также одной из основных задач обучения математики является развитие у учащихся абстрактного мышления. Этой цели в значительной мере способствует применение наглядных пособий, причем не только в младших классах, но и в старших. Широкие возможности для реализации этой цели предоставляет тема «Многогранники», в частности, самостоятельное изготовление учениками наглядных пособий. В процессе изготовления моделей многогранников, кроме теоретических знаний и навыков, ученики закрепляют сформировавшиеся новые понятия при помощи чертежа и фактического решения задач на построение. При самостоятельном изготовлении моделей образ создается по частям, в силу этого с ними можно производить различные манипуляции. При этом все их свойства и особенности легко познаются и прочно закрепляются в памяти учащихся.
2. Подходы к определению многогранников. Изучение темы начинается с введения понятия многогранника. Существуют различные трактовки многогранника: «каркас», поверхность, тело. Выбор зависит и от того, какое определение давалось многоугольнику в планиметрии — как «части плоскости», как «плоской замкнутой ломаной линии». У Погорелова А.В.: «Многогранник – это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников»; У Атанасяна Л.С.: «Многогранник – это поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело». Перед определением понятия многогранника следует продемонстрировать учащимся модели различных многогранников — призм, пирамид, правильных многогранников, провести анализ определения и продемонстрировать на моделях отдельные его части; только после этого дать определение многогранника. Затем привести примеры многогранников из окружающей жизни — из классной обстановки, строительной техники и т. д.
Дадим строгое определение многогранника, предложенное А.Д. Александровым. Начнем с кратких предварительных определений; все они относятся как к пространству, так и к плоскости. Фигура – это то же, что множество точек. Точка называется граничной точкой данной фигуры, если сколь угодно близко от нее есть точки, как принадлежащие фигуре, так и не принадлежащие ей. Точка фигуры, не являющаяся ее граничной точкой, называется внутренней.Множество всех граничных точек фигуры называется ее границей, а множество всех ее внутренних точек – внутренностью. Замкнутой областью называется множество точек, обладающее следующими свойствами: (1)Оно содержит внутренние точки, а внутренность его связна. (2)Оно содержит свою границу, и она совпадает с границей его внутренности. Данное определение относится либо к множеству точек на плоскости, либо – в пространстве. Замкнутая область в пространстве называется телом, а на плоскости – плоской замкнутой областью или просто замкнутой областью, если ясно, что речь идет о фигуре на плоскости. Из определения замкнутой области – как на плоскости, так и в пространстве – следует, что она состоит из внутренности и ее границы, которая оказывается так же границей самой замкнутой области. Поэтому замкнутую область можно определить несколько иначе. Замкнутая область – это множество точек, имеющее (не пустую) связную внутренность и состоящее из нее и ее границы. Оба данные выше определения равносильны. Граница замкнутой области всюду прилегает к ее внутренности. Граница тела называется его поверхностью. В определении замкнутой области не требуется, чтобы она была ограниченной – имела конечные размеры; допускаются и бесконечные области. Примерами в пространстве могут служить полупространство, двугранный угол, как множество, ограниченное двумя полуплоскостями, и др. Все пространство тоже является телом – это единственное тело, не имеющее границы. Часто в само понятие тела включают требование его ограниченности – конечности его размеров, но этого делать не будем, потому что в геометрии имеют дело и с бесконечными телами. Точно так же и в планиметрии встречаются и бесконечные области, например угол – часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом. Дадим теперь определение многоугольника и многогранника. Многоугольником называется замкнутая область конечных размеров, граница которой состоит из конечного числа отрезков. Многоугольник называется простым, если его граница представляет собой одну простую замкнутую ломаную. Многогранником называется тело конечных размеров, граница (поверхность) которого состоит из конечного числа многоугольников. Данное определение повторяет определение на основе наглядных представлений, однако теперь входящие в него понятия тела и его поверхности понимаются не только наглядно, но и с точки зрения данных им выше определений.
Выпуклый многогранник. Весьма важным этапом изучения этого раздела является формирование понятия выпуклого многогранника. Наряду с выпуклыми многогранниками учащиеся должны наблюдать и модели невыпуклых многогранников, только в результате такого сравнения можно выработать правильное представление о выпуклых многогранниках. Удачным считается подход, когда сразу дается определение выпуклого многогранника и для него определяются элементы, что сделать легче. Изучение свойств как выпуклых многоугольников, так и выпуклых многогранников занимает очень большое место в школьном курсе геометрии. Однако точный смысл понятия «выпуклый» в средней школе не раскрывается и причины, заставляющие требовать выпуклости рассматриваемых многоугольников и многогранников, нигде не объясняются.
Выпуклый многоугольник
а) Если он лежит в полуплоскости относительно прямой, содержащей любую его сторону.
б) Если каждые две его точки могут быть соединены в нем отрезком.
Выпуклый многогранник
а) Если он лежит по одну сторону от каждой из ограничивающих его плоскостей.
б) Если каждые две его точки могут быть соединены в нем отрезком.
3.Виды многогранников.
И у ученика, и у учителя при изучении данной темы может возникнуть вполне естественный вопрос: почему столько внимания (и столько задач) посвящается всего лишь трем частным типам многогранников - параллелепипедам, правильным призмам и правильным пирамидам? Причин по крайней мере три:
1) эти многогранники нужны для дальнейшего построения теории (главным образом теории объемов);
2) они обладают симметрией, как многие формы природы и творения рук человеческих (скажем, архитектурные формы);
3) они обладают «хорошими свойствами», т. е. для них можно сформулировать и доказать достаточно простые теоремы. Последнее преимущество обусловлено свойствами симметричности; с другой стороны, как раз «хорошие свойства» и используются в теоретических целях. Все теоремы этой темы относятся к «избранным» многогранникам, причем совсем просто доказываются и наполовину имеют вычислительный характер (т. е. вид формул). Поэтому вторая задача учителя - добиться знания учащимися всех теорем (с доказательствами). Третья по счету, но первоочередная для учителя задача - научить школьников решать задачи. Практически все задачи (упражнения) темы вычислительные, большую часть из них составляют простые или совсем простые задачи, и здесь перед учителем раскрываются большие возможности в продолжение линии обучения школьников эвристическим приемам решения задач. В задачах находят отражение и главные методологические идеи решения задач - аналогия стереометрии с планиметрией, сведение стереометрических задач к планиметрическим.
Призмы. Параллелепипеды. Основное внимание при изучении призм уделяется рассмотрению их частного вида — параллелепипеда.
В этой теме повторяются многие разделы курса планиметрии: треугольники, параллелограммы. Также надо повторить вопросы из курса стереометрии: параллельные и скрещивающиеся прямые, параллельность прямых и плоскостей в пространстве, перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве. Особое внимание при повторении надо обратить на двугранные углы, построение линейных углов для двугранных углов призм. Повторение следует тесно увязать с изучением нового материала:
а) знания о треугольнике целесообразно повторить в процессе рассмотрения треугольной призмы;
б)параллелограммы удобнее всего повторить в процессе изучения параллелепипеда;
в) повторение параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве следует рассредоточить по всей теме.
Наибольшие трудности, как показывает опыт, вызывают вопросы, связанные с построением и вычислением линейных углов для двугранных углов призмы, углов между ребрами и гранями призмы. Этим вопросам надо уделить особое внимание, составить специальные упражнения для выработки соответствующих навыков у учащихся.
Тему «Призмы» также следует разделить на части:
1. Понятие призмы. Элементы призмы.
2. Призма прямая; правильная призма.
3. Наклонная призма.
4. Параллелепипед. Свойства параллелепипеда.
При изучении параллелепипедов целесообразно провести аналогию их с параллелограммами, а учащимся самостоятельно формулировать аналогичные свойства параллелепипеда и глубже их усвоить.
Призма определяется как многогранник, обладающий определенными свойствами. В процессе работы над этим понятием необходимо показать модели различных призм, прямых и наклонных. При наблюдении подмечается то, что является общим для всех призм, и на основе этого дается определение призмы. После этого показывается способ построения призмы, что, по сути дела, является конструктивным доказательством существования такого многогранника.
Возможен и другой путь введения понятия призмы: сначала, после рассмотрения моделей различных призм, дается способ построения призмы (конструктивное доказательство существования), а затем формулируется определение этого многогранника. Оба указанных пути имеют место в существующих учебных пособиях по стереометрии для средней школы.
Построение призмы также можно осуществлять различными способами:
а) изображают произвольный многоугольник — одно из оснований призмы;
б) из его вершин проводят параллельные между собой лучи по одну сторону от плоскости многоугольника, на которых будут отложены боковые ребра призмы;
в) на лучах от их начала откладывают равные между собой отрезки и полученные точки (концы отрезков) соединяют отрезками. Полученный многогранник — призма;
в) на одном из лучей от его начала откладывают произвольный отрезок и из его конца проводят отрезок, параллельный соответствующей стороне основания до пересечения с соседним лучом, затем поступают так же с полученной точкой на соседнем луче и т. д. Образовавшийся многогранник — призма.
Вместе с учащимися в классе можно получить изображение пятиугольной наклонной призмы. Важно подчеркнуть, что на изображении призмы боковые ребра — равные параллельные отрезки. Учитель следит и вовремя подсказывает учащимся, что вершины многоугольника основания призмы надо располагать таким образом, чтобы никакие два боковых ребра не изображались отрезками одной прямой. В случае прямой призмы принято боковые ребра изображать вертикальными отрезками.
По рисунку, полученному в результате построения, вводятся элементы призмы.
В ходе объяснения необходимо сделать выводы об элементах n-угольной призмы:
1. n-угольная призма имеет n+ 2 граней, n боковых граней.
2. n-угольная призма имеет Зn ребер, n боковых ребер.
3. n-угольная призма имеет 2n вершин.
4. n-угольная призма имеет п(п — 3) диагоналей. Сколько диагоналей имеет треугольная призма?
Новым для учащихся является понятие высоты призмы, поэтому на построение высоты призмы и на определение этого понятия нужно обратить особое внимание. При первоначальном знакомстве с этим понятием необходимо продемонстрировать учащимся модель, где предусматривался бы общий случай расположения высоты. После этого целесообразно отметить и показать на моделях, что в отдельных случаях основание высоты призмы может лежать на одном из ребер основания или совпадать с боковым ребром.
128905114935
Далее можно перейти к рассмотрению формул для вычисления площади поверхности призмы и площади боковой поверхности призмы.
S=2SOCH + Ph, где Р — периметр основания призмы и
h — высота призмы.
Перед тем как перейти к решению задач на вычисление площади поверхности призмы и других геометрических величин, на построение линейных углов для двугранных углов призмы и их вычисление, на построение углов между боковыми ребрами призмы и плоскостью основания, между диагональю призмы и плоскостью основания и других задач, целесообразно ввести понятие прямой призмы и правильной призмы. Особо подчеркиваются характеристические свойства призмы.
Выводы делаются в процессе сравнительного рассмотрения моделей прямой и наклонной призм.
309880153035
Призма
(треугольная, четырехугольная,.....,n-угольная)
Прямая Наклонная
Правильная
Этот раздел богат разнообразными задачами. Все опорные задачи целесообразно разделить на группы:
1. Задачи на построение и вычисление высоты призмы.
2. Задачи на построение и вычисление линейного угла двугранных углов призмы.
3. Задачи на построение и вычисление угла между диагональю, боковым ребром и основанием призмы.
4. Задачи на построение и вычисление угла между диагоналями призмы, между диагоналями граней призмы и др.
5. Задачи на вычисление площади поверхности призмы, площади диагональных сечений призмы.
При выводе формул для вычисления площади поверхности и площади боковой поверхности призмы учитель, демонстрируя развертку поверхности данной призмы, убеждает учащихся, что задача сводится к вычислению площади полученного многоугольника. Повторив предварительно с учащимися соответствующее основное свойство площадей (если многоугольник составлен из непересекающихся многоугольников, то его площадь равна сумме площадей составляющих его многоугольников), учитель подводит их к искомой формуле.
Формулы для вычисления площади поверхности и площади боковой поверхности прямой призмы учащиеся получают самостоятельно, анализируя развертки поверхностей прямых треугольной, четырехугольной и пятиугольной призм. Как частный случай получают формулу для вычисления площади поверхности правильной призмы.
Параллелепипед рассматривается как частный вид призмы. Способ построения параллелепипеда является конструктивным, доказательством его существования.
Прежде всего надо выяснить, что учащиеся знают о параллелепипедах, ведь они знакомились в восьмилетней школе с прямоугольным параллелепипедом и его частным видом — кубом.
Параллелепипед имеет те же элементы, что и призма; площадь полной и боковой поверхности его вычисляется по аналогичным формулам, что и для призмы.
Свойства параллелепипедов аналогичны свойствам параллелограммов из курса планиметрии, а поэтому повторение целесообразно построить таким образом:
при изучении параллелепипеда общего вида повторить общие свойства параллелограмма; при изучении прямоугольного параллелепипеда повторить свойства прямоугольника; при изучении куба повторить свойства квадрата и ромба.
Свойства граней и диагоналей параллелепипеда сформулировать по аналогии со свойствами сторон и диагоналей параллелограмма.
Параллелограмм
1. Противоположные стороны параллелограмма равны.
2. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
3. Точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии.
Параллелепипед
1. Противоположные грани параллелепипеда равны.
2.Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.
3. Точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии.
Свойства прямоугольного параллелепипеда формулируются по аналогии со свойствами прямоугольника.
Прямоугольник
1. Диагонали прямоугольника равны.
2. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его неравных сторон.
Прямоугольный параллелепипед
1. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
2. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его трех линейных размеров.
Основное внимание следует обратить на решение задач, в которых рассматриваются параллелепипеды (прямые и наклонные), основанием которых является прямоугольник, ромб, квадрат, параллелепипед, гранями которых являются равные между собой ромбы (ромбоэдр). Включить задачи на построение сечения параллелепипеда плоскостью и вычисление площади полученного сечения.
В хорошо успевающем классе можно рассмотреть свойства параллелепипедов, связанные с осевой и центральной симметрией в пространстве, с симметрией относительно плоскости. Задачи на параллелепипед группируются по той же схеме, что и задачи на призмы.
Вопросы для беседы с учащимися по теме «Призмы»
1. Какой многогранник называют призмой? Назовите основные элементы призмы.
2. Докажите, что число ребер призмы кратно 3.
3. Докажите, что число плоских углов при всех вершинах кратно 6.
4. Что называется высотой призмы?
5. Что такое диагональ призмы? диагональное сечение призмы? Какая призма называется прямой? наклонной?
3. Пирамиды. Прежде всего, сообщается учащимся, что пирамида — это новый вид многогранников, к изучению которого они приступают.
Перед изучением темы ее содержание можно разделить на логически законченные части:
1). Определение пирамиды. Элементы пирамиды. Виды пирамиды.
2). Правильная пирамида, апофема правильной пирамиды.
3). Свойство сечений пирамиды плоскостью, параллельной основанию.
4). Площадь поверхности пирамиды.
5). Усеченная пирамида.
По каждой из указанных частей подбираются задачи, способствующие формированию и развитию умений и навыков, предусмотренных программой по математике для средней школы. Изучение пирамиды можно начать с рассмотрения способа ее построения, а потом дать определение этого многогранника. Построение ведется по следующему плану:
а) на плоскости строят некоторый многоугольник (на рисунке построен пятиугольник ABCDE);
б) вне плоскости построенного многоугольника выбирается произвольная точка М;
в) точка М соединяется отрезками с точками построенного многоугольника;
г) полученный многогранник MABCDE является пирамидой.
Чтобы получить изображение пирамиды, достаточно точку М соединить с вершинами многоугольника ABCDE. По рисунку подмечают, что одна из «граней у пирамиды — произвольный многоугольник, а все остальные грани — треугольники с общей вершиной. После этого можно сформулировать определение пирамиды, взяв понятие многогранника за родовое понятие.
В существующих учебных пособиях по геометрии для средней школы даются как формально-логические определения пирамиды, так и конструктивные определения. Только в одном из учебных пособий, а именно в учебном пособии А. В. Погорелова, при построении пирамиды делается оговорка, что плоский произвольный многоугольник, являющийся основанием пирамиды, выпуклый. Это значит, что знакомство учащихся с невыпуклыми пирамидами совсем исключается, хотя было бы полезным предложить учащимся построить пирамиду, выбрав в качестве произвольного многоугольника невыпуклый четырехугольник, и сравнить ее с выпуклой пирамидой.
В процессе сравнения у учащихся возникает более отчетливое представление о выпуклых пирамидах. После этого можно сообщить им, что в школе изучаются только выпуклые пирамиды.
Приведенный в учебных пособиях способ построения пирамиды следует рассматривать как конструктивное доказательство существования этого многогранника.
Классификация пирамид дается в зависимости от вида многоугольника, который является основанием пирамиды. В зависимости от этого различают треугольные пирамиды, четырехугольные пирамиды и т.д., n - угольные пирамиды. Обращается особое внимание учащихся на то, что треугольная пирамида называется тетраэдром.
Элементы пирамиды надо показать на рисунке и сделать соответствующие записи, аналогичные записям для элементов призмы. При выполнении записей о числе тех или иных элементов у конкретной пирамиды надо сделать обобщение для n-угольной пирамиды. Особо подчеркнуть, что в отличие от призм пирамиды не имеют диагоналей.
После этого из всех выпуклых пирамид выделяется правильная пирамида с помощью двух признаков:
а) основание ее является правильным многоугольником;
б) основание высоты совпадает с центром основания. Нередко вместо этого признака используют другой, эквивалентный ему, а именно: вершина проектируется в центр основания (имеется в виду ортогональная проекция). Следует особо подчеркнуть, что понятие апофемы вводится только для правильной пирамиды.
Приведенная ниже схема дает полное представление о классификации пирамид.
Пирамида (треугольная, четырехугольная, .... n-угольная)
Правильная пирамида: Неправильная пирамида
а) основание — правильный многоугольник;
б) основание высоты совпадает с центром основания.
Учащиеся должны усвоить алгоритм изображения правильной пирамиды:
а) строят изображение основания пирамиды;
б) строят изображение центра основания;
в) строят изображение высоты правильной пирамиды;
г) строят изображение боковых ребер правильной пирамиды.
Как показывает практика школьного преподавания, большие трудности у учащихся вызывают задачи на построение линейных углов, двугранных углов пирамиды и вычисление величин этих углов. Учитель может сам составить серию таких задач, особо выделив в ней задачи с правильными пирамидами.
В процессе решения задач особо рассматриваются виды пирамид, у которых:
а) основание высоты совпадает с центром окружности, описанной около основания пирамиды;
б) основание высоты совпадает с центром окружности, вписанной в основание пирамиды;
в) боковая грань перпендикулярна основанию;
г) боковое ребро перпендикулярно основанию.
Этот раздел богат задачами вычислительного характера, и цель учителя в процессе его изучения — выработать у учащихся умения и навыки вычисления площади боковой и полной поверхности различных пирамид.
Задачи на вычисление по разделу о пирамиде можно разделить на группы:
а) задачи на построение и вычисление линейных углов для двугранных углов пирамиды;
б) задачи на вычисление линейных элементов пирамиды — ребер пирамиды, высоты пирамиды, апофемы правильной пирамиды;
в) задачи на построение и вычисление угла между боковыми ребрами и основанием пирамиды;
г) задачи на вычисление площади поверхности пирамиды (боковой и полной).
Понятие об усеченной пирамиде целесообразно ввести параллельно с изучением свойств сечений пирамиды плоскостью, параллельной основанию. При рассмотрении соответствующей теоремы удобно проиллюстрировать способ получения усеченной пирамиды из любой пирамиды и отличие усеченной пирамиды от призмы.
Призма
1. Имеет два основания — параллельные друг другу грани.
2. Основания призмы — равные многоугольники.
3. Боковые грани призмы — параллелограммы.
4. Призма (кроме треугольной) имеет (n— 3) диагоналей
Усеченная пирамида
1. Имеет два основания — параллельные друг другу грани
2. Основания усеченной пирамиды — подобные многоугольники.
3. Боковые грани усеченной пирамиды — трапеции.
4. Усеченная пирамида (кроме треугольной) имеет (n — 3) диагоналей.
Для правильной усеченной пирамиды вводится понятие «апофема». В этом разделе также решается много задач на вычисление площади боковой и полной поверхности усеченной пирамиды, особо выделяются задачи на вычисление площади боковой и полной поверхности правильной усеченной пирамиды. Задачи на усеченную пирамиду можно разбить на такие же группы, как и задачи по теме «Призма».
Рассмотрим изучение темы «Многогранники» в школьных учебниках. Для примера возьмем учебники разного уровня изложения материала: предназначенные для общеобразовательной школы, для гуманитарных классов, для классов с математическим уклоном. Учебник Атанасяна Л.С.
Номер урока Содержание учебного материала
1-4 §1. Понятие многогранника. Призма. Понятие многогранника. Призма. Площадь поверхности призмы. ( п.25-27)
5-9 §2. Пирамида. Пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида. Площадь поверхности пирамиды. (п.28-30)
10 §3. Правильные многогранники. Симметрия в пространстве. Понятие правильного многогранника. Элементы симметрии правильных многогранников. (п. 31-33)
11 Контрольная работа.
12 Зачет по теме.
Призма А1 А2… Аn В1 В2 …Вn определяется как многогранник, составленный из двух равных многоугольников А1 А2… Аn и В1 В2 …Вn , расположенных в параллельных плоскостях, и n-параллелограммов А1 А2 В2 В1, …, Аn А1 В1 Вn. Пирамида определяется как многогранник, составленный из n-угольника А1 А2 … Аn и n-треугольников. При введении понятия правильной пирамиды следует акцентировать внимание учащихся на двух моментах: основание пирамиды – правильный многоугольник, и отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром ее основания, является высотой пирамиды.
Учебник Смирновой И.М. Данный учебник предназначен для преподавания геометрии 10-11 классах гуманитарного профиля. По сравнению с традиционным изложением в учебнике несколько сокращен теоретический материал, больше внимания уделяется вопросам исторического, мировоззренческого и прикладного характера.
Пункт учебника Содержание Кол-во часов
18 Выпуклые многогранники 2
19 Теорема Эйлера 2
20* Приложения теоремы Эйлера 2
21 Правильные многогранники 2
22* Топологически правильные многогранники 1
23 Полуправильные многогранники 2
23 Звездчатые многогранники 1
Учебник Александрова А.Д. Данный учебник предназначен для классов и школ с математической специализацией, он дает богатую математическую информацию, развивает ученика, но является достаточно трудно усваиваемым. В учебнике рассматриваются такие темы, которые в основной школе не доступны даже для «сильных» учеников, например, сферическая геометрия.
№ урока Содержание учебного материала
1-2 Обобщение понятие многоугольника. Многогранник.
3-5 Призма, параллелепипед. Упражнения.
6-10 Пирамида. Виды пирамид. Упражнения.
11-13 Выпуклые многогранники.
14-16 Теорема Эйлера. Развертка выпуклого многогранника.
17-19 Правильные многогранники.
4. Подходы к определению правильного многогранника. Призмы, пирамиды и их разновидности практически во всех учебниках они определяются одинаково. А при введении определения правильного многогранника авторы учебников расходятся во взглядах. Поэтому интересно рассмотреть различные подходы к определению понятия правильного многогранника и их методические особенности.
Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани - равные правильные многоугольники и, кроме того, в каждой вершине сходится одно и то же число ребер. В другом пособии вместо условия равенства правильных многоугольников требуется, чтобы правильные многоугольники были с одним и тем же числом сторон. Пособие А.Д. Александрова накладывает дополнительное требование равенства всех двугранных углов правильного многогранника. Еще в одно пособие дает такое определение: выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани - конгруэнтные правильные многоугольники, и все его многогранные углы имеют одинаковое число граней. Многогранник называется правильным, если все его грани - равные правильные многоугольники и все многогранные углы равны. И, наконец, в книге [9] сказано: многогранник называется правильным, если все его грани равные правильные многоугольники, и все его двугранные углы равны. Как видим, во всех перечисленных учебниках даются различные определения понятия правильного многогранника, использующие разные свойства правильных многогранников.
1°. Выпуклость многогранника.
2°. Все грани - равные правильные многоугольники.
3°. Все грани - правильные многоугольники с одним и тем же числом сторон.
4°. В каждой вершине сходится одинаковое число ребер.
5°. Все многогранные углы имеют одинаковое число граней.
6°. Равны все многогранные углы.
7°. Равны все двугранные углы.
8°. Равны все ребра многогранника.
9°. Равны все плоские углы многогранника. - Определение понятия правильного многогранника должно быть пространственным аналогом определения понятия правильного многоугольника на плоскости. Определение должно быть педагогически целесообразным, т. е. свойства, включенные в него, должны в той или иной степени использоваться при изучении правильных многогранников, нести определенные педагогические функции.