Дипломный проект на тему: Решение задач на проценты

Комитет образования и науки Волгоградской области Государственное автономное учреждение дополнительного профессионального образования «Волгоградская государственная академия последипломного образования»
КАФЕДРА ТЕОРИИ И МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
Дипломный проект
МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НА ПРОЦЕНТЫ
Волгоград 2017
Содержание
Введение___________________________________________________3
Глава I. Теоретические аспекты методики обучения учащихся основной школы решению задач на проценты_________________________________7
1.1. Для чего нужны проценты? _______________________________7
1.2. Из истории возникновения процентов и их проникновения в школьный курс математики________________________________________9
1.3 . Анализ изложения темы «Проценты» в учебниках математики 5-6 классов_________________________________________________________10
1.4 Анализ изложения различных тем, связанных с процентами в учебниках алгебры 7-9 классов____________________________________13
Выводы по первой главе_____________________________________16
Глава II. Методические аспекты обучения учащихся основной школы решению задач на проценты_______________________________________17
2.1 Методика формирования приёмов решения задач на проценты__17
2.2 Методические рекомендации по решению задач на проценты___19
Выводы по второй главе_____________________________________24
Заключение________________________________________________25
Приложение 1______________________________________________27
Литература_________________________________________________33
Введение
В настоящее время появляется все больше специальностей, требующих высокого уровня образования, связанного с непосредственным применением математики (экономика, бизнес, финансы, физика, химия и многие другие). Другими словами, расширяется круг школьников, для которых математика становиться профессионально значимым предметом. Поэтому одна из важнейших задач школьного образования – обеспечить учащимся глубокие и прочные знания, а также умение рационально применять их в учебной и практической деятельности. Большое практическое значение имеет умение решать задачи на проценты, поскольку понятие процента широко используется как в реальной жизни, так и в различных областях науки.
Тема «Проценты» является универсальной в том смысле, что она связывает между собой многие точные и естественные науки, бытовые и производственные сферы жизни. Учащиеся встречаются с процентами на уроках экономики, химии, экологии, при чтении газет, просмотре телепередач. Умением грамотно и экономно проводить элементарные процентные вычисления обладают далеко не все учащиеся, хотя многие из них ориентированы на поступление в высшие учебные заведения. Практика показывает, что очень многие выпускники не только не имеют прочных навыков обращения с процентами в повседневной жизни, но даже не понимают смысла процентов. Тому есть несколько причин.
Во-первых, проценты изучаются на первом этапе основной школы, в 5–6 классах. К этому времени учащиеся умеют в задачах практического характера находить дробь числа (величины), число (величину) по его (ее) дроби и определять, какую часть одна величина составляет от другой. Указанные умения если и обобщаются учителем в виде правил, то сами правила никак не помогают перенести уже освоенное умение в новую ситуацию, так как при решении конкретных задач на проценты речь идет не о числителе и знаменателе дроби, а о количестве процентов, содержащихся в целом и его части.
Во-вторых, в решении задач на проценты довольно скоро начинают применять пропорции. Это требует предварительного определения характера пропорциональности величин (прямая или обратная). Тем самым процесс решения задач «механизируется», что мешает учащимся понять смысл своих действий.
В-третьих, учащиеся 5-6 классов еще не имеют опыта практического применения процентов. Следовательно, не имеют потребности в решении предлагаемых им задач на проценты.
Основные понятия, изучаемые в теме «Проценты», являются важными понятиями для всего курса математики: «раствор», «сплав», «смесь», «концентрация», «простой и сложный процентный рост» и т.д., поэтому необходимо уже на начальном этапе обучения добиться высокого уровня знаний, умений и навыков учащихся. В школьном курсе тема «Проценты» изучается в V – VI классе, но в силу возрастных особенностей школьников, их оторванности от практического применения процентов не может быть усвоена осознанно. Именно начальный этап изучения этого материала определяет дальнейшее успешное обучение учащихся, формирует умение переносить полученные знания в новую ситуацию на протяжении изучения всего курса математики.
В курсе алгебры основной школы этому вопросу не уделяется значительного внимания. Задачи на проценты становятся прерогативой химии, которая внедряет свой взгляд на проценты, а в математике их место остается только в рамках задач на повторение и задач повышенной трудности. Таким образом, ученик постепенно забывают проблемы универсальности процентов и разнообразие сфер их применения.
Важно отметить, что в материалы Единого Государственного Экзамена входит задача на проценты. В связи с этим вопрос о том, чтобы задачи на проценты заняли достойное место в VII – IX классах является актуальным. В этот период школьники изучают различные виды уравнений и их систем, широко применяемых при решении текстовых задач. Использование процентов в содержании текстовых задач дает возможность связать абстрактные математические понятия с реальной жизнью.
Проблема исследования состоит в том, как построить процесс изучения данной темы, чтобы наиболее эффективно реализовать основную образовательную задачу всего курса математики: научить учащихся оперировать понятиями «процент», «процентное отношение двух чисел», переносить полученные знания, умения и навыки в новую ситуацию, выработать умения выполнять действия и преобразования, используя данные понятия? Этот вопрос определил цель данного исследования:
Разработка методических рекомендаций по изучению процентов в 5-9 классах.
Объектом исследования является процесс обучения математике в 5-9 классах.
Предмет исследования – обучение решению задач на проценты в основной школе.
Задачи данного исследования:
1. Проанализировать учебную, методическую литературу, связанную с проблемой изучения темы «Проценты» в основной школе;
2. Выявить особенности содержания темы «Проценты» в учебниках Математика для основной школы;
3. Разработать методические рекомендации по изучению данной темы и систему задач на проценты (приложение 1). Практическая ценность результатов исследования: Результаты исследования можно применять как на основных уроках, так и на элективных курсах, на индивидуально-групповых занятиях, а так же при подготовке учащихся к экзаменам ОГЭ, ГВЭ и ЕГЭ.
Структура работы: данная работа состоит из введения, двух глав, заключения, приложения и списка используемых источников.
Во введении обоснована актуальность исследования, даны его основные характеристики.
Глава 1 посвящена истории возникновения понятия «процент», а так же проводится анализ содержания темы «Проценты» в учебниках для 5-6 класса Н.Я.Виленкина и 7-9 классы учебник Ю.Н.Макарычева.
В главе 2 рассматриваются методические аспекты обучения учащихся основной школы решению задач на проценты, методические рекомендации по решению задач на проценты, разработана система задач на проценты.
В заключении приведены основные выводы исследования.
В приложении – задачи на проценты .

Глава I. Теоретические аспекты методики обучения учащихся основной школы решению задач на проценты1.1. Для чего нужны проценты?
Роль и место задач в обучении математике.
В процессе обучения математике задачи выполняют разнообразные функции. Учебные математические задачи являются очень эффективным и часто незаменимым средством усвоения учащимися понятий и методов школьного курса математики, вообще математических теорий. Велика роль задач в развитии мышления и в математическом воспитании учащихся, в формировании у них умений и навыков в практических применениях математики. Решение задач служит достижению всех тех целей, которые ставятся перед обучением математике. Правильная методика обучения решению математических задач играет существенную роль в формировании высокого уровня математических знаний, умений и навыков учащихся. При обучении математике задачи имеют большое и многостороннее значение.
Образовательное значение математических задач.
Решая математическую задачу, человек познает много нового: знакомится с новой ситуацией, описанной в задаче, с применением математической теории к ее решению, познает новый метод решения или новые теоретические разделы математики, необходимые для решения задачи, и т. д. Иными словами, при решении математических задач человек приобретает математические знания, повышает свое математическое образование. При овладении методом решения некоторого класса задач у человека формируется умение решать такие задачи, а при достаточной тренировке – и навык.
Практическое значение математических задач.
В процессе решения математических задач школьник обучается, в частности, применять математические знания для решения прикладных задач, готовится к практической деятельности в будущем, к решению задач, выдвигаемых практикой, повседневной жизнью. Почти во всех конструкторских расчетах приходится решать математические задачи, исходя из запросов практики. Математические задачи решаются в физике, химии, биологии, электро- и радиотехнике, особенно в их теоретических основах, и др. Это означает, что при обучении математике в 5–6 классах учащимся следует предлагать задачи, связанные с такими предметами, как физика, химия, география и др. Например, задачи на «смеси и сплавы» (подобные задачи потом будут широко применяться в курсе химии в старших классах), а также задачи с практическим, жизненным содержанием.
Проценты в повседневной жизни.
Современная жизнь делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется. Вопросы инфляции, повышение цен, рост стоимости акций, снижение покупательской способности касаются каждого человека в нашем обществе. Планирование семейного бюджета, выгодного вложения денег в банки невозможны без умения производить несложные процентные вычисления. Сами проценты не дают экономического развития, но их знание помогает в развитии практических способностей, а также в развитии умения решать экономические задачи. Осознанное изучение процентов может способствовать развитию таких навыков как экономичность, расчетливость.
«Брать ссуду в банке или купить в кредит? Может быть выгоднее накопить денег для покупки дорогостоящей вещи?» Современный человек должен свободно решать задачи, предлагаемые самой жизнью, уметь просчитать различные предложения магазинов, кредитных отделов и различных банков и выбрать наиболее выгодные. Практические задачи повседневной жизни человека в современном обществе, требуют для своего решения не только первичных знаний о процентах, но и более глубоких знаний (простые и сложные проценты, арифметическая и геометрическая прогрессия).
Математика, давно став языком науки и техники, в настоящее время все шире проникает в повседневную жизнь и обиходный язык, все более внедряется в традиционно далекие от нее области. Интенсивная математизация различных областей человеческой деятельности особенно усилилась с внедрением современных информационных технологий, требующих математической грамотности человека буквально на каждом рабочем месте. Понимание процентов и умение производить процентные расчеты в настоящее время необходимо каждому человеку, это способствует «вхождению» в современную информационно-экономическую среду и, в конечном счете, облегчает социализацию.
1.2. Из истории возникновения процентов и их проникновения в школьный курс математики
Слово «процент» от латинского слова «pro centum», что буквально означает «за сотню» или «со ста». Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян. Ряд задач клинописных табличек посвящен исчислению процентов. Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. В древнем Риме были широко распространены денежные расчеты с процентами. Даже римский сенат вынужден был устанавливать максимально допустимый процент, взимаемый с должника, т.к. некоторые заимодавцы чрезмерно усердствовали в получении процентных денег.
От римлян проценты перешли к другим народам Европы.
Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту (/), возник современный символ для обозначения процента. Запись отношений стала удобнее, исчезли ноль и запятая, а символ % сразу указывает, что перед нами не граммы, рубли или метры. Введение процентов оказалось удобным не только для оценки содержания одного вещества в другом. В процентах стали измерять изменение производства товаров, денежный доход и т.д.
Вообще, изобретение математических знаков и символов значительно облегчило изучение математики и способствовало дальнейшему ее развитию.
Современная жизнь делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется. Везде — в газетах, по радио и телевидению, в транспорте и на работе обсуждаются повышение цен, зарплат, рост стоимости акций, снижение покупательной способности населения и т. п. Добавим сюда объявления коммерческих банков, привлекающих деньги населения на различных условиях, сведения о доходах по акциям различных предприятий и фондов, об изменении процента банковского кредита и пр. Все это требует умения производить хотя бы несложные процентные расчеты для сравнения и выбора более выгодных условий. Формирование соответствующих умений в настоящее время оставляет желать лучшего. Довольно часто даже взрослые люди считают, что повышение цены в 3 раза соответствует повышению ее на 300%, а повышение зарплаты на 50% не могут сравнить с увеличением ее в 1,5 раза.
1.3. Анализ изложения темы «Проценты» в учебниках математики 5-6 классов
Подходы к рассмотрению решений типовых задач «на проценты», предлагаемых в современных учебниках.
Первый подход. Первое знакомство с задачами «на проценты» ведется без опоры на дроби. Способы решения типовых задач опираются на содержательный смысл понятия «процент».
Нахождение нескольких процентов от числа осуществляется в два действия: находится, чему равен 1% от числа (величины), а затем умножается это число (величина) на заданное число процентов. Нахождение числа, если известны несколько его процентов, также осуществляется в два действия: находится, чему равен 1% искомого числа (величины), а затем результат умножается на 100%. Если требуется найти, сколько процентов составляет число (величина) а от числа (величины) b, если нам известны два числа(обе величины), мы находим чему равен 1% числа (величины) a, затем делим b на 1% числа (величины) a.
Изучение задач на дроби осуществляется позже задач на проценты. Таким образом, по логике восприятия информации используется индуктивный метод, т.е. обучение идет от частного к общему. При таком построении материала учащиеся усваивают содержательный смысл понятия и отрабатывают данный способ решения задач «на проценты».
После ознакомления с типовыми задачами на дроби (обыкновенные или десятичные), школьники овладевают другим способом решения задач на проценты - как частного случая задач «на части», перенося все приемы решения задач на дроби на задачи, связанные с процентами, тем самым реализуется метод аналогии. Этот факт значительно упрощает поиск решения «новых» задач.
Важно отметить, что методически целесообразно сначала рассматривать нахождение 1% от данного числа, затем – нахождение произвольного числа процентов; также в первую очередь обсуждать, как найти число, 1% которого известен, далее эта задача рассматривается для любого произвольного числа процентов. Именно при таком подходе формируется понимание понятия «процент».
Действия с обыкновенными и десятичными дробями, проценты рассматриваются в 5-6 классах, поэтому к концу 6 класса школьники овладевают двумя способами решения задач на проценты.
Второй подход. Задачи на проценты изначально осваиваются как частный случай задач на дроби, то есть при изучении материала используется дедуктивный метод - от общего случая, задач на дроби, к частному.
Для нахождения нескольких процентов числа (величины) необходимо найти, какую долю от числа (величины) составляет данный процент (т.е. перевести проценты в обыкновенную или десятичную дробь путем деления на 100%), а затем умножить исходное число (величину) на эту долю. Для нахождения числа, если известны несколько его процентов, выражаем процент дробью (обыкновенной или десятичной), затем делим заданную часть числа (величины) на эту дробь. Если требуется найти, сколько процентов составляет число (величина) а от числа (величины) b, если нам известны два числа (обе величины), мы находим, какую долю числа (величины) b составляет число (величина) a, а затем получившееся число умножить на 100%.
При таком подходе учащимися не осваивается способы решения типовых задач «на проценты», опирающиеся на содержательный смысл понятия «процент», что влечет за собой трудности в освоении понятия «Процент».
В учебнике Н.Я. Виленкина и др. определение «процента» вводится в 5 классе, решаются типовые задачи, опираясь на содержательный смысл понятия «процент». Так же, одной из последующих тем является тема «Диаграммы». В 6 классе каждая из трех типовых задач рассматривается вместе с соответствующей задачей на дроби: «нахождение процентов от числа» одновременно рассматривается с «нахождением дроби от числа», «нахождение числа, если известно его p%» - с «нахождением числа по его дроби», и выражение в процентах отношения двух чисел или величин. Таким образом, типовые задачи сводятся к задачам «на части» и рассматриваются на разных уроках.
Важно также отметить, что рассмотрение трех типовых задач на проценты целесообразнее проводить на одном уроке, а не на разных.
После введения понятия «процент» необходимо показать учащимся сферу его практического применения. Наиболее удачной последующей темой являются диаграммы, используемые для наглядного представления соотношения между частями целого.
Важно отметить, что решение трех типовых задач «на проценты» необходимо рассматривать на одном уроке, повторив предварительно соответствующие задачи на дроби, что позволит в дальнейшем подчеркнуть взаимосвязь способов решения задач на дроби и на проценты.
Знакомство с процентами практически во всех учебниках начинается традиционным образом, а именно рассказом учителя. Авторы, показывая удобство обозначения словом часто используемых дробей (например: «треть», «четверть»), подводит учеников к введению понятия «процент» как одной сотой части числа или величины.
1.4. Анализ изложения различных тем, связанных с процентами в учебниках алгебры 7-9 классов
В учебных комплектах тему «Проценты» изучают в несколько подходов с 5 по 9 класс включительно. При каждом подходе учащиеся возвращаются к процентам на новом уровне, их знания пополняются, добавляются новые типы задач и приемы решения. Такое многократное обращение к понятию приводит к тому, что постепенно оно усваивается прочно и осознано.
Рассмотрим учебник Ю.Н.Макарычева, Н.Г.Миндюк, К..И.Нешкова, С.Б.Суворовой, под ред. С.А.Теляковского.
В начале года при изучении первых параграфов учащимся предлагаются задачи на нахождение 1 и нескольких процентов от числа; задачи, при решении которых требуется найти несколько процентов от величины; на нахождение числа и величины, если известны несколько его (ее) процентов; задач типа «на сколько процентов одна величина больше другой». Например.
18. За несколько книг уплатили 320 р. Стоимость одной из книг составила 30%, а другой 45% израсходованных денег. На сколько рублей первая книга дешевле второй?
45. После того как из бидона отлили 30% молока, в нем осталось 14 л. Сколько литров молока было в бидоне первоначально?
119. Техническое перевооружение цеха позволило выпускать в сутки 180 станков вместо 160. На сколько процентов повысился выпуск станков в сутки?
В дополнительных упражнениях предлагается задача, решая которую, учащиеся установят зависимость между количеством процентов, на которое перевыполнили план, и числом изготовленных бригадой деталей.
359. Бригада по плану должна изготовить 150 деталей за смену. Однако она перевыполнила план на х%. Составьте формулу, выражающую зависимость у (число изготовленных бригадой деталей) от х. Найдите по формуле:
а) значение у, если х = 10; 30;
б) значение х, если у = 150; 180.
Далее рассматривается понятие «относительная погрешность» и способы ее нахождения. Затем представлены задачи для самостоятельного решения. Например.
536. Округлите число 2,525 до десятых. Найдите относительную погрешность приближения, полученного при округлении.
В последнем этапе «Системы линейных уравнений» представлены 2 задачи, при решении которых необходимо составить систему линейных уравнений с двумя переменными.
1186. Две бригады должны были по плану изготовить за месяц 680 деталей. Первая бригада перевыполнила месячное задание на 20%, а вторая на 15%, и поэтому обеими бригадами было изготовлено сверх плана 118 деталей. Сколько деталей должна была изготовить по плану каждая бригада за месяц?
Для решения такого плана задач необходимо хорошо владеть техникой представления процентов в виде десятичных дробей.
В дополнительных упражнениях предлагаются учащимся 3 задачи на составление систем линейных уравнений и 6 задач повышенной трудности (например, № 1245).
1245. В двух бочках было воды поровну. Количество воды в первой бочке сначала уменьшилось на 10%, а затем увеличилось на 10%. Количество воды во второй бочке сначала увеличилось на 10%, а затем уменьшилось на 10%. В какой бочке стало больше воды?
В задачах для самостоятельного решения по теме «Стандартный вид многочлена» представлены задачи, в которых сперва требуется записать буквенное выражение по условию, а далее воспользоваться аппаратом алгебры. Например.
295. Длина прямоугольника равна а м, а ширина b м. На сколько квадратных метров увеличится его площадь, если длину увеличить на 10%, а ширину увеличить на 15%?
В параграфе «Уравнения» в объяснительном тексте пункта «Решение задач с помощью уравнений» дается общий алгоритм:
1) обозначить неизвестное число буквой и составить уравнение, используя условие задачи;
2) решить уравнение;
3) истолковать результат в соответствии со смыслом задачи.
В задачах, предлагаемых для самостоятельного решения, 8 задач на проценты. В том числе, задача на смеси, задача на раствор, банковские расчеты.
В последней главе «Системы линейных уравнений» представлены 6 задач, при решении которых необходимо составить систему линейных уравнений с двумя переменными. Например.
1145. В двух табунах было 120 лошадей. Когда число лошадей в первом табуне увеличилось на 40%, а во втором уменьшилось на 10%, в первом табуне стало на 30 лошадей больше, чем во втором. Сколько лошадей было в каждом табуне?
Выводы по первой главе
1. Понятие «Процент» появилось более чем 500 лет назад. Первоначально проценты применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область применения процентов расширилась, они встречаются в хозяйственных и финансовых расчётах, статистике, науке и технике, в повседневной жизни.
2. Понятие процента вводится как одна сотая часть числа (величины).
3. В школьных учебниках по математике для 5-6 классов рассматриваются задачи трёх типов:
- нахождение процентов от данного числа;
- нахождение числа по его процентам;
- нахождение процентного отношения двух чисел.
4. В 7-9 классах рассматривают задачи на проценты, решаемые алгебраическим способом: составляя уравнение или систему уравнений. Это связано с тем, что в 7 классах рассматриваются задачи, алгебраическая модель которых является линейным уравнением или системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными, в 8 классах - квадратные уравнения.
5. Первые уроки отводятся повторению, систематизации сведений об обыкновенных дробях. Продолжается решение трех основных типов задач на проценты. При решении учащиеся могут пользоваться двумя приемами – содержательным, на основе смысла дроби, или формальным, на основе соответствующего правила.
Глава II. Методические аспекты обучения учащихся основной школы решению задач на проценты
2.1 Методика формирования приёмов решения задач на проценты.
1.Методика нахождения нескольких процентов от числа.
В данном разделе покажем методику нахождения нескольких процентов от числа, так как эта тема является одной из трех важнейших, которые должны понять студенты в теме «проценты». А главное они должны понять алгоритм нахождения одного или нескольких процентов от числа, и применять эти способности на практике, при решении различных задач на проценты.
Важно, чтобы студенты поняли, для того чтобы находить проценты от числа нужно понять, что один процент является одной сотой от данного числа. Из этого следует необходимость определения одного процента (а это главное, так как чтобы найти несколько процентов от числа нужно найти сначала один процент) можно записать равенством:
1 % = 0,01 · а
Отсюда, любой студент быстро поймет, что 5% = 0,05; 23% = 0,23; 130%=1,3 и т. д.
Как найти 1% от числа? Раз 1% - это одна сотая часть, надо число разделить на 100. Мы уже сделали вывод, что деление на 100 можно заменить умножением на 0,01. Поэтому, чтобы найти 1% от данного числа, нужно умножить его на 0,01.
А если нужно найти 5% от числа, то умножаем данное число на 0,05 и т.д.
Так что отсюда можно вывести алгоритм нахождения одного или нескольких процентов от числа:
Чтобы найти данное число процентов от числа, нужно проценты записать десятичной дробью, а затем число умножить на эту десятичную дробь.
2.Методика нахождения числа по его процентам.
Покажем общую методику нахождения числа от одного или нескольких процентов. Это также является важной частью в изучение процентов, так как встречаются не только задачи на нахождение процентов от числа, но числа по процентам. Это особенно хорошо видно в задачах связанных с экономикой (например, когда в банк кладется сумма под проценты, а через какое-то время забирается с «набежавшими» процентами и нужно найти данную сумму). Так что студентам необходимо раскрыть алгоритм нахождения числа от нескольких процентов.
Студенты знают, что один процент можно записать десятичной дробью:
1 % = 0,01 · а
Так вот возникает вопрос, как найти искомое число, если известно лишь, сколько процентов составляет другое число от искомого? Для этого нужно сначала проценты записать десятичной дробью, после чего надо данное нам число разделить на эту десятичную дробь, в результате мы получим число от нескольких процентов.
Если дано, сколько процентов от искомого числа составляет данное число, то чтобы найти искомое число, нужно заменить проценты десятичной дробью и разделить на эту дробь данное число.
3.Методика нахождения процентного отношения.
Рассмотрим последнее, но не менее важное для нахождения процентов при решении задач – это нахождение процентного отношения. В этом разделе изучим алгоритм нахождения процентного отношения.
Встречаются задачи, в которых даны два числа, и нужно найти их процентное отношение. Для этого нужно взять первое число, назовем его «а», и разделить его на второе число, назовем его число «в», а затем результат умножим на сто процентов. Мы получим процентное отношение первого числа на второе
( а / в) · 100 %
Чтобы найти процентное отношение двух чисел «а» и «в», надо отношение этих чисел умножить на 100 процентов, то есть получить данную формулу.
Надо сразу отметить, что такие задачи очень важны в курсе изучения не только процентов, но и всей математике. В них содержится и проценты числа, и процентное содержание, а это, как правило, вносит растерянность и путаницу у студентов при их решении, так как их приучили работать с чем-то одним при решении задач.
4.Методика изучения процентов концентрации, смеси и сплавы
Задачи на проценты, концентрации, смеси и сплавы встречаются не только в математике, но и в химии, где рассматриваются различные соединения. Они вызывают затруднения у студентов. Причина такой ситуации, на мой взгляд, заключается в том, что тема “Проценты” изучается в классах, когда собственно математики еще нет, изучается непродолжительно и, наконец, к задачам на проценты не возвращаются в старших классах. Неумение решать текстовые задачи показывает недостаточное знание математики.
Решение этих задач основывается на использовании различных математических моделей: уравнений, неравенств, их систем с привлечением процентов, арифметической и геометрической прогрессий, производной и др.
При решении задач на проценты необходимо уметь находить процент от числа, число по его проценту, процентное отношение. Основная трудность лежит при решении задач на сложные проценты – проценты, начисляемые на процентные деньги.
2.2 Методические рекомендации по решению задач на проценты.
1. Понятие процента. Нахождение процента от числа, числа по его проценту, составление процентного отношения.
Начать нужно с повторения основных соотношений, с нахождения процента от числа, числа по его проценту, составления процентного отношения и т. д.
Задачи на части и проценты часто вызывают затруднения у учащихся. Так как проценты изучаются только в 5-6 классах, а потом мы к ним практически не возвращаемся, многие выпускники испытывают страх перед задачами на проценты. Чтобы этого не произошло, необходимо напомнить учащимся, что им уже известно и показать более сложные задачи на проценты.
Теоретическая часть
Итак, что такое процент? Процент- это сотая часть величины или числа.
1%=1\100=0,01. Значит, сама величина составляет 100%.
Верна запись 35%=35\100=0,35.
Чтобы перевести проценты в дробь, надо число % разделить на 100. И, наоборот, десятичные дроби в проценты переводятся умножением на 100%.
Например: 0,15=0,15*100%=15%
. 0,51 =0,51*100%=51%
0,2 =0,2 *100%=20%
0,123=0,123*100%=12,3%
Чтобы перевести обыкновенные дроби в %, дробь умножаем на 100%:
3\4=3\4*100%=75%; ; 2\3=2\3*100%=200\3%=66 2\3%.
Практическая часть
Решение простейших задач на проценты
Задача 1. Найти 15% от числа 200.
Решение: переводим 15% в десятичную дробь и умножим на данное число 200.
0.15*200=30.
Задача 2.Найти 20% от 3\4.
Решение: переводим 20% в десятичную дробь и умножим на число 3\4.
0,2*3\4=0,15.
Задача 3.Найти число, если 25% его составляют 80.
Решение: переводим 25% в десятичную дробь и данное число делим на полученную
дробь.
80:0,25 =320
Задача 4.После снижения цены на 20% прибор стал стоить 160 рублей. Найти первоначальную стоимость прибора.
Решение: после снижения стоимость прибора в процентах составляет
100%-20%=80%
Надо найти число, 80% которого составляет 160.60:0,8=200.
Задача 5. Сколько процентов числа 50 составляет число 40?
Решение: разделим число 40 на 50 и полученную дробь переводим в проценты.
40:50=0,8=80%
Задача 6.Сколько процентов от числа 40 составляет число 50?
Решение: разделим число 50 на число 40 и полученную дробь переводим в проценты.
50:40=1,25=125%.
Задача 7. На сколько процентов число 50 больше 40?
Решение: число 40 составляет 100%.Чтобы найти, сколько % составляет число 50 от40
разделим 50 на число 40 и умножим на 100:
50:40*100%=125% 125%-100%=25%
Задача 8. На сколько % 40 меньше 50?
Решение: Число 50 составляет 100%.Чтобы найти, сколько % составляет число 40 от 50,
разделим 40 на число 50 и умножим на 100.

40:50*100%=80% 100%-80%=20%
Задача 9. Изделие стоило 500 рублей. Цену уменьшили на 10%. Сколько теперь стоит изделие?
Решение: найдем стоимость изделия в процентах: 100%-10%=90%
найдем 90% от 500: 500*0,9=450(руб.)
Контроль знаний
Тренировочный тест№1 по теме «Проценты».
Запишите 1% в виде десятичной дроби
а) 0,1375 б) 137,5 в)1,375 г)0,01375
2. Сколько процентов сахара содержит сироп, приготовленный из 750 г сахара и 1250г
воды?
а) 40% б) 37,5% в) 60% г) 62,5%
3. Мотоциклист ехал из города А в город В. Проехав 42% пути, он оказался в 20,3 км от города В. Каково расстояние между А и В?
а) 483 км б) другой ответ в) 35 км г)48,3 км4. Из 200 квартир нового дома 65,5% -двухкомнатные, а остальные –трехкомнатные. Сколько трехкомнатных квартир в этом доме?
а) 69б) 131в) 34г) 19
5. Сумма двух чисел составляет 180% первого слагаемого. На сколько % первое слагаемое больше второго?
а) на 25%б) на 20%в) на 33%г) другой ответ
6. Найдите число, 12% которого равны 240
а)28,8б) 2000в) 320г) другой ответ

7. Первое число 40, а второе 30. Какой % составляет первое число от разности этих чисел?а) 40%б) 400%в) 133%г) другой ответ
2.Решение типовых задач на проценты. Алгоритм решения задач методом составления уравнений.
Теоретическая часть
Урок можно начать с постановки проблемы: что произойдет с ценой товара, если сначала ее повысить на 25%, а потом понизить на 25%. Ответить на вопрос, не производя вычислений. Чаще всего ученики дают неверный ответ: «Не изменится.»Необходимо обратить внимание учащихся на момент, когда приходится определять, от какого числа следует искать процент. Подвести учащихся к правильной и естественной схеме решения этой задачи нужно на примерах, а потом сформулировать правило:
за 100% следует принимать то число, с которым происходит сравнение, причем слова «больше на р %» или «меньше на р%» не имеют значения
Практическая часть
Задача10
На сколько процентов a больше b , если b меньше, чем a на 20%?
Решение: по условию b меньше, чем а на 20%. Значит, приняв а за 100%, для b получаем:
b=a-. Пусть теперь а больше на х %, тогда, приняв за 100% число b, найдем
а = b+ . Из этих двух равенств следует такое: а = (а-) + ·( а - ). Решая это уравнение относительно х, получим: х = 25%.Ответ: 25%
Задача 11. Стоимость набора из 25 основных продуктов питания по сравнению с ноябрем увеличилась на 24,7% и составила 3913 руб. Сколько стоила « продовольственная корзина» в ноябре?
Решение. Обозначив искомую цену за х, составим уравнение по условию задачи:
Ответ: 3138 руб.
Задача 12. Магазин купил книгу со скидкой 10% от номинала, а продал с наценкой10% от закупочной цены. Продажная цена будет больше или меньше номинала? На сколько? Какой % продажная цена составит от номинала?
Задача 13. Книгу купили со скидкой 10% от номинала. Больше или меньше 10% должна быть наценка на закупочную цену, чтобы книга продавалась по номинальной цене?
Задачи для самостоятельного решения
Задача 14. Себестоимость продукции повысилась сначала на 10%, а затем понизилась на 20%. На сколько % понизилась себестоимость продукции.
Задача 15. на сколько % увеличится произведение двух чисел, если одно из них увеличилось на 20%, а другое – на 40%?
Задача 16. в течение года завод трижды уменьшал выпуск продукции на одно и то же число %. Найдите это число, если известно, что общий % снижения после трех изменений составил 65,7%.

3. Решение более сложных задач на проценты
Задача 17. Зонт стоил 360 р. В ноябре цена зонта была снижена на 15%, а в декабре – еще на 10%. Какой стала стоимость зонта в декабре?
Решение:
стоимость зонта в ноябре составляла 85% от 360 р., то есть 360·0,85=306(р.). второе снижение цены происходило по отношению к новой цене зонта; теперь следует искать 90% от 306 р., то есть 306·0,9 = 275,4 (р.).
Ответ: 275 р. 40 к.
Задача 18. На осенней ярмарке фермер планирует продать не менее одной тонны лука. Ему известно, что при хранении урожая теряется до 15% его массы, а при транспортировке – до 10%.сколько лука должен собрать фермер, чтобы осуществить свой план?
Решение:
просчитаем худший вариант. Пусть нужно собрать х т лука. Тогда после хранения может остаться 0,85х т , и на ярмарку будет доставлено 0,9·0,85х т. Составим уравнение: 0,9·0,85х = 1, откуда х ≈ 1,3 т.
Ответ: не менее 1,3 т.
Задача 19. Букинистический магазин при продаже книги по номиналу запланировал определенный процент прибыли. Продал же со скидкой 10% от номинальной цены и получил при этом 8% прибыли. Сколько % прибыли первоначально предполагал получить магазин?
4. Правило начисления «сложных процентов»
Теоретическая часть
Для выхода на формулу начисления «сложных процентов» полезно решить несколько задач, аналогичных следующим:
Задача 20. В сбербанк положили 1000 рублей. Подсчитайте, какую сумму должны получить через 2 года, если по истечению каждого года банк начисляет 3% дохода?
Решение: 3%=0,03. 1000*0,03=30(руб.)
1000+30=1030(руб.) – за 1 год.
1030*0,03=30.9(руб.)
1030+30.9=1060,9(руб.)-за 2 год.Ответ: 1060, 9 руб.
Задача 21. В банк положен вклад из расчета 3% годовых .Какой доход в % принесет вклад через 4 года?

Решение: обозначим сумму первоначального вклада за х, тогда через 1 год сумма вклада составит х +0,03х=1,03х, через 2 года 1,03х+1,03х*0,03=1,03 х, через 3 года -.(1,03) х и
Через 4 года (1,03) х=1,12550881х
1б12550881х-х=0,12550881х.
Через 4 года вклад принесет доход 12,550881%.Ответ: 12, 550881%
Задача 22. В сберкассу положили 200р., на которые начисляют 3% годовых. Сколько денег будет в конце первого года хранения?
Решение полезно провести на конкретных числах и в общем виде.
Начальный капитал, р. 200 а
Процент прибыли, % 3 рПрибыль, р. 200∙0,03
Конечный капитал 200+200∙0,03=
=200·(1+0,03)│ к = а∙( 1+)
В итоге получилась формула зависимости
к = а∙( 1+), дающая возможность решить три типа задач на денежные расчеты: на нахождение одного из параметров, зная два других.
Вопрос. Сколько денег будет в конце второго года хранения?
Отвечая на него, получим: к = а∙( 1+)(1) . А третьего? А п-го? В итоге получается формула к = а∙( 1+), где а- начальный капитал, р - процент прибыли за один промежуток времени; п - число промежутков. Эта формула называется формулой «сложных процентов».
Полученная формула показывает, что значение величины к растет как геометрическая прогрессия, первый член которой равен а, а знаменатель прогрессии 1+. Формула (1 ) является исходной формулой при решении многих задач на проценты. Кроме формулы сложного процентного роста, учащиеся должны знать и применять простого процентного роста: к = а∙( 1+), (2) где а ,р и п имеют тот же смысл, что и в формуле сложного процентного роста (отличие состоит в том, что в этом случае процент каждый раз берется от одного и того же числа а).
Следует уделять много внимания решению таких задач.
Выводы по второй главе
1. При разработке системы задач на проценты было учтено то, что начать нужно с повторения основных соотношений, с нахождения процента от числа, числа по его проценту, составления процентного отношения и т. д.
Задачи на части и проценты часто вызывают затруднения у учащихся. Так как проценты изучаются только в 5-6 классах, а потом мы к ним практически не возвращаемся, многие выпускники испытывают страх перед задачами на проценты. Чтобы этого не произошло, необходимо напомнить учащимся, что им уже известно и потом показать более сложные задачи на проценты.
2. Мною представлены методические рекомендации по изучению темы «Проценты» в основной школе и разработана система задач на проценты (приложение 1).
Заключение
Целью дипломной работы являлось выявление методических особенностей изучения процентов в 5-9 классах, а также разработка соответствующих методических рекомендаций по изучению темы «Проценты». Для достижения целей работы были решены следующие задачи, заявленные во введении:
в главе I проанализирована психолого-педагогическая, учебная, методическая литература, связанная с проблемой изучения темы «Проценты» в основной школе; определены роль и место темы в школьном курсе математики, а также выявлены возможные причины затруднения учащихся в освоении задач на проценты.
проведен сравнительный анализ изложения темы «Проценты» в учебниках математики 5-6 классов, проанализировано изложение различных тем, связанных с процентами, в учебниках алгебры 7-9 классов; а также изучен педагогический опыт по теме Проценты. В результате были систематизированы методические приемы, методы, средства, формы работы для создания цельного представления о методах обучения решению задач на проценты.
в главе II представлены методические рекомендации по изучению темы «Проценты» в основной школе.
Одной из главных причин затруднения учащихся в освоении решений задач на проценты является отсутствие у школьников опыта практического применения процентов, поэтому ученики не имеют потребности в решении предлагаемых им задач. Мною разработаны методические рекомендации к проведению факультативного курса «Проценты в повседневной жизни», направленного на то, чтобы показать учащимся практическую направленность математических знаний. Содержание задач приближены к современной жизни и жизненному опыту учащихся, что служит сильным мотивом для решения предлагаемых задач.Задачи на проценты рассматриваются преимущественно в 5-6 классах, в то время как в 7-9 классах навыки решения таких задач утрачиваются. Поскольку в заданиях ЕГЭ встречаются задачи на проценты, именно в 7-9 классах необходимо проводить работу, направленную на поддержание этих навыков и умений. Предложенные мною задачи можно использовать как на основных уроках, так и на элективных курсах, на индивидуально-групповых занятиях.
Таким образом, ознакомившись с проблемой изучения темы «Проценты» в основной школе, важно отметить, что задачи на проценты, широко используемые как в различных областях науки, так и в реальной жизни, имеют большое практическое значение. Поэтому необходимо построить процесс изучения данной темы таким образом, чтобы добиться высокого уровня знаний, умений и навыков учащихся, столь необходимых для дальнейшего успешного обучения учащихся не только по математике, но и по другим школьным предметам. Навыки решения задач на проценты необходимо поддерживать и развивать в старших классах средней школы.

Приложение 1
1.Задачи «целое содержит 100 % самого себя»
1) Одновременно проводились соревнования по прыжкам в высоту и в длину. 25% учащихся класса соревновались в прыжках в высоту, 75% – в прыжках в длину. Все ли учащиеся класса участвовали в соревнованиях?
2) Туристы проехали 80 % намеченного маршрута на поезде и 15 % – на автобусе. Весь ли маршрут они уже проехали?
3) Маша потратила 70 % имевшихся у нее денег на книги и 30 % – на тетради. Все ли деньги потратила Маша?
4) Учитель сказал: «С этой контрольной работой справились 100 % учащихся нашего класса». Как это понимать?
5) Потратили 80 % суммы. Сколько процентов этой суммы осталось?
6) Мужчины составляют 75 % всех работников завода. Сколько процентов работников завода составляют женщины?
7) Девочки составляют 40 % класса. Сколько процентов класса составляют мальчики?
2. Нахождение p% от числа или величины. Текстовые задачи.
1) Найдите 5 %; 17 %; 23 % от: а) 1 рубля; 6)1 метра; в) 1 центнера.
2) Увеличьте число: 1) 60 на 10%; 2) 80 на 25%;3) 40 на 50%;4) 425 на 4%.
3)Уменьшите число: 1) 60 на 10%; 2) 80 на 25%; 3) 90 на 50%; 4) 125 на 20%.
4) Что больше:
а) 30% от 40 или 40 % от 30?
б) 80 % от 60 или 60 % от 70?
5) Определите без вычислений, что больше: а) 12% от 34 или 13% от 34; б) 12% от 49 или 12% от 50.
Для заданий 6 – 14 учащимся можно предложить составить только выражение для нахождения ответа, не решая задачи до конца.
6) В магазин привезли 2500 кг помидоров. В первый день продали 30 % всех помидоров. Сколько килограммов помидоров осталось продать?
7) В школе 400 учащихся, 52% этого числа составляют девочки. Сколько мальчиков в школе?
8) В городе 100000 жителей и из них 80% составляют коренное население. Определите количество коренных жителей в этом городе.
9) На субботник вышли 160 человек. В ремонте дороги участвовали 25% всех людей, а остальные сажали деревья. Сколько человек сажали деревья?
10) Надоили 150 л молока. После того как отправили молоко в детский сад, осталось 80% имевшегося молока. Сколько литров молока отправили в детский сад?
11) В ящике 120 кг пшена. После того как из ящика наполнили мешок пшеном, в ящике осталось 65% всего пшена. Сколько килограммов пшена вошло в мешок?
12) Служащий вложил 500 р. в акции своего предприятия и получил 20% дохода. Сколько рублей дохода он получил?
13) В городе 64 тыс. избирателей, 85% всех избирателей приняли участие в выборах. Сколько избирателей приняли участие в выборах?
14) В понедельник рабочий перевыполнил дневное задание на 10%, а во вторник - на 8%. На сколько процентов он перевыполнил задание двух дней?
Для заданий 15 – 31 также учащимся можно предложить составить только выражение для нахождения ответа, не решая задачи до конца. Но ниже представленные задачи сложнее предыдущих в силу того, что они решаются не в одно действие, и, поэтому, труднее воспринимаются на слух. Целесообразнее в слабых классах тексты задач представить на доске, презентации, и т.п.
15) В автобусном парке 50% составляют городские автобусы, 75% остальных – автобусы междугородного класса. Каких автобусов больше: городских или междугородного класса?
16) У Алеши 80 марок, у Бори – на 20 % больше, чем у Алеши. У Вовы на 25% меньше, чем у Алеши. Сколько марок у Бори и Вовы в отдельности?
17) В библиотеке 98000 книг. Книги на русском языке составляют 78% всех книг, из них 5% – учебники. Сколько учебников на русском языке в библиотеке?
18) На столе лежала пачка тетрадей. Сначала взяли 30% этих тетрадей, а потом 75% оставшихся тетрадей. После этого на столе осталось 14 тетрадей. Сколько тетрадей было в пачке первоначально?
19) В пакете лежали сливы. Сначала из него взяли 50% слив, а затем 50% остатка. После этого в пакете осталось 9 слив. Сколько слив было в пакете первоначально?
20) Сложили три числа. Первое составило 25 % суммы, а второе – 40 %. Найдите третье число, если оно на 45 меньше второго.
21) класса пошли в кино, 15 % класса - на выставку, а остальные 8 человек готовились к школьному вечеру. Сколько человек в классе?
22) В магазин привезли овощи. В первый день продали 35 % и еще 240 кг, после чего в магазине осталось 540 кг овощей. Сколько килограммов овощей привезли в магазин?
23) Женя за весну похудел на 20%, потом поправился за лето на 30%, за осень опять похудел на 20% и за зиму прибавил в весе 10%. Остался ли за этот год его вес прежним?
24) Две противоположные стороны прямоугольника увеличили на 20%, две другие уменьшили на 20%. Как изменилась площадь прямоугольника?
25) Мальчики составляют 45% всех учащихся школы. Известно, что 30% мальчиков и 40% девочек учатся без троек. Сколько процентов всех учащихся школы учится без троек?
26) На некотором участке пути машинист уменьшил скорость поезда на 25%. На сколько процентов увеличится время движения на этом участке?
27) В некотором царстве, в некотором государстве правительство вынесло на всенародное голосование проект закона о запрете рекламы спиртных напитков. Этот проект поддержали 69% всего взрослого населения, принявшего участие в голосовании, причем среди женщин 94%, а среди мужчин 41 %. Кого среди голосовавших было больше: мужчин или женщин?
29) Магазин продал на прошлой неделе некоторый товар. На этой неделе запланировано продать того же товара на 10% меньше, но по цене на 10% больше. Большую или меньшую сумму выручит магазин от продажи товара на этой неделе (по сравнению с прошлой) и на сколько процентов?30) Купили конфеты и печенье. За 1 кг конфет заплатили на 50% больше, чем за 1 кг печенья, но их купили на 50% меньше, чем печенья. За что заплатили больше и на сколько процентов?
31) Как изменятся расходы на оплату электроэнергии, если:
а) потребление возрастет на 15%, а стоимость одного кВт·ч увеличится на 20%;
б) потребление снизится на 15%, а стоимость одного кВт·ч увеличится на 20%;
в) потребление возрастет на 15%, а стоимость одного кВт·ч уменьшится на 20%;
г) потребление возрастет на 15%, а стоимость одного кВт·ч уменьшится на 20%.
3. Нахождение величины, если известны ее p%.
1) В соревнованиях было 9 победителей, что составило 18% числа всех участников соревнований. Сколько было участников соревнований?
2) В школе 15 учеников учатся на «5». Это составляет 5% учащихся школы. Сколько всего учащихся в школе?
3) В магазин привезли партию лампочек. Среди них оказалось 16 разбитых лампочек, что составило 2% от общего числа. Сколько лампочек привезли в магазин?
4) Токарь до обеденного перерыва обточил 24 детали, что составляет 60% сменной нормы. Сколько деталей должен обточить токарь за смену?
5) Посадили семена гороха, 270 из них взошли. Это составило 90% всех посаженных семян. Сколько семян посадили?
6) Туристы прошли 75% маршрута, и им осталось пройти еще 5 км. Какова длина маршрута?
4.Нахождение процентного отношения двух чисел и изменения величины в процентах.
1) Сколько процентов числа 50 составляет число 40? Сколько процентов числа 40 составляет число 50?
2) Посадили 50 семян, 47 из них взошли. Определите процент всхожести семян.
3) В школе 400 учащихся, 12 из них учатся на «5». Сколько процентов учащихся школы учится на «5»?
4) Маша прочитала 120 страниц и ей осталось прочитать 130 страниц книги. Сколько процентов всех страниц она прочитала? Сколько процентов всех страниц ей осталось прочитать?
5) В месяце было 12 солнечных и 18 пасмурных дней. Сколько процентов месяца составляют: а) солнечные дни? б) пасмурные дни?
6) В поселке построили 16 одноэтажных и 4 двухэтажных дома. Сколько процентов всех построенных домов составляют одноэтажные дома?
7) В роще 700 берез и 300 сосен. Сколько процентов всех деревьев составляют сосны?
8) Зарплата повысилась с 500 р. до 600 р. На сколько процентов повысилась зарплата?
5.Проценты и банковские расчеты
1) Несколько лет назад сберегательные кассы выплачивали доход из расчета 2 % вложенной суммы в год. Сколько рублей оказывалось на счете через год, если на него положили:
1)100р.; 2)200р.; 3)1000р.; 4)12000р?
2) При продаже товара за 393 р. получено 10% прибыли. Определите себестоимость товара.
3) Товар стоил 500 р. Его цена повысилась на 20 %. На сколько рублей повысилась цена? Какова новая цена товара?
4) Папа вложил 500 р. в акции своего предприятия и получил 20 % дохода. Какой доход в рублях получил папа?
5) Стоимость акций компании росла 5 месяцев на 15% ежемесячно. Верно ли, что за это время стоимость акций удвоилась?
Литература
Алгебра: Учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К..И.Нешков и др.; Под ред. С.А.Теляковского. – 12-е изд. – М.: Просвещение, 2003.-223 с.: ил.
Барабанов О.О. Задачи на проценты как проблема нормы словоупотребления // Математика в школе. – 2003. – № 5.
Демидова Т.Е. Тонких А.П. // Теория и практика решения текстовых задач: Учеб. Пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений. – М.: Издательский центр «Академия», 2002. – 288 с.
Захарова А.Е. Учимся решать задачи на проценты // Математика для школьников.— 2002.— № 37..
Математика: Учеб. для 5 кл. сред. шк./Н.Я. Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. и др.. – М.: Мнемозина, 2009.
Математика: Учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений/ Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков и др. – М.: Мнемозина, 2009.
Программы для общеобразоват. школ, гимназий, лицеев: Математика. 5-11 кл. / Сост. Г.М. Кузнецова Н.Г. Миндюк. – 4-е издание, стереотип. – М.:Дрофа, 2004. – 320 с.
Проценты: Методическая разработка для учащихся заочного отделения ММФ / А.В. Деревянкин. – М.: Изд-во центра прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 2007.-12с.
Самойлик Г. История математики на уроках. Проценты// Математика. – 2002 – № 36.
Саранцев, Г. И./ Методика обучения математике в средней шк: Учеб. пособие для студ. математических спец. пед вузов и ун-тов. – М.: Просвещение, 2002. - 224 с.: ил.
http://www.1september.ru/
http://www.edu.ru/
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%86%D0%B5%D0%BD%D1%82