Решение задач с параметрами графическим способом (часть 2)

Для того чтобы наиболее полно раскрыть возможности этого метода, будем рассматривать основные типы задач.
Образцы заданий при отработке знаний и умений при решении задач с параметрами графическим методом (координатная плоскость )
Задание 1.
При каких значениях a уравнение = имеет два корня?
Решение.
Переходим к равносильной системе:

Эта система на координатной плоскости (;) задаёт кривую. Ясно, что все точки этой дуги параболы (и только они) имеют координаты, удовлетворяющие исходному уравнению. Поэтому число решений уравнения при каждом фиксированном значении параметра , равно количеству точек пересечения кривой с горизонтальной прямой, соответствующей этому значению параметра.
Очевидно при указанные прямые пересекают график в двух точках, что равносильно исходному уравнению иметь два корня.
Ответ: при .
Задание 2.
Найти все значения а, при которых система имеет единственное решение.
Решение.
Перепишем исходную систему в таком виде:
Все решения этой системы (пары вида ) образуют область, показанную на рисунке штриховкой. Требование единственности решения данной системы на графический язык переводится так: горизонтальные прямые должны иметь с полученной областью только одну общую точку. Легко заметить, что лишь прямые и удовлетворяют выдвинутому требованию.

Ответ: или .
Только что разобранные две задачи позволяют дать более конкретные рекомендации по сравнению с приведёнными раннее:
попытаться выразить параметр через переменную, т. е получить равенства вида , затем
на плоскости строить график функции .
Задание 3.
При каких значениях а уравнение имеет ровно три корня?
Решение.
Имеем
График этой совокупности – объединение «уголка» и параболы. Очевидно, лишь прямая пересекает полученное объединение в трёх точках.

Ответ: .
Замечание: Параметр обычно рассматривается как фиксированное, но неизвестное число. Между тем с формальной точки зрения параметр – это переменная, причём «равноправная» с другими, присутствующими в задаче. При таком взгляде на параметр формы задают функции не с одной, а с двумя переменными.
Задание 4.
Найти все значения параметра , при которых уравнение имеет одно решение.
Решение.
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель дроби равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
Находим корни квадратного трёхчлена :

Данное уравнение равносильно системе:


С помощью полученной системы легко построить график исходного уравнения. Именно наличие «проколов» в этом графике позволяет при и = иметь уравнению единственное решение. Это определяющий фактор в решении.
Ответ: и .
Задание 5.
При каких значениях параметра, а уравнение имеет единственное решение.
Решение.
Запишем систему, равносильную исходному уравнению

Отсюда получаем

Строим график и будем проводить прямые перпендикулярные оси а.
Первые два неравенства системы задают множество точек, показанное штриховкой, причём в это множество не входят гиперболы и .

Тогда отрезок и луч , отрезок и луч , лежащие соответственно на прямых и , являются графиком исходного уравнения. Одно решение будет, если 2 < < или < или = .
Ответ: 2 < < или < или = .
Задание 6.
Найти все значения параметра а, при которых уравнение
имеет ровно два различных решения
Решение.
Рассмотрим совокупность двух систем
Если , то .

Если < , то .

Отсюда
или
Параболы и прямая имеют две общие точки: А (-2; - 2), В (-1; -1), причём, В – вершина первой параболы, D – вершина второй. Итак, график исходного уравнения показан на рисунке.

Должно быть ровно два различных решения. Это выполняется при или .
Ответ: или .
Задание 7.
Найдите множество всех чисел , для каждого из которых уравнение
имеет только два различных корня.
Решение.
Перепишем данное уравнение в виде
.
Корни уравнения, , при условии, что .
Строим график данного уравнения. В данном случае график удобно строить, отнеся переменной ось ординат. Здесь ответ «считываем» вертикальными прямыми, получим, что данное уравнение имеет только два различных корня при = -1 или или .

Пунктиры говорят о том, что .
Ответ: при = -1 или или .
Задание 8.
Для каких в множестве решений неравенства содержится промежуток .
Решение.
Запишем совокупность двух систем, равносильную исходному уравнению:
или
Поскольку в решение первой системы ни при каких значениях параметра а не может входить отрезок , то необходимые исследования проведём для второй системы.
Имеем
Обозначим . Тогда второе неравенство системы принимает вид < - и на координатной плоскости задаёт множество, показанное на рисунке.

С помощью рисунка устанавливаем, что при в полученном множестве содержатся все точки, абсциссы в которых пробегают все значения промежутка
Тогда , отсюда .
Ответ: .
Задание 9.
Найти все неотрицательные числа , при которых существует единственное число , удовлетворяющее системе

Решение.
Имеем,
Первое уравнение на координатной плоскости задаёт семейство вертикальных прямых. Прямые и разбивают плоскости на четыре области. Некоторые из них являются решениями неравенства системы. Конкретно какие – можно установить, взяв из каждой области по пробной точке. Та область, точка которой удовлетворяет неравенству, является его решением (такой приём ассоциируется с методом интервалов при решении неравенств с одной переменной). Строим прямые
и .
Например, берём точку и подставляем в Координаты точки удовлетворяют неравенству.

Получаем две области (I) и (II), но, учитывая, что по условию , мы берём только область (I). Строим прямые , k.
Итак, исходной системе удовлетворяют все точки (и только они), лежащие на лучах и выделенные на чертеже жирными линиями, (т. е. строим точки в заданной области).
Теперь надо найти единственное при фиксированном . Строим параллельные прямые, пересекающие ось . и находим где будет одна точка пересечения с прямой .
Находим по рисунку, что требование единственности решение достигается, если (при уже 2 точки),
где - ордината точки пересечения прямых и ,
где – ордината точки пресечения прямых и .
Итак, получаем < .
Ответ: < .
Задание 10.
При каких значениях параметра, а система имеет решения?
Решение.
Разложим на множители левую часть неравенства системы, имеем

Строим прямые и . Показываем на рисунке штриховкой множество точек плоскости, удовлетворяющее неравенству системы.

Строим гиперболу = .
Тогда абсциссы выделенных дуг гиперболы – решения исходной системы. M, P, N, Q – узловые точки. Найдём их абсциссы.
.
Для точек P, Q имеем

Остаётся записать ответ: или .
Ответ: или .
Задание 11.
Найти все значения , при которых любое решение неравенства по модулю не превосходит двух ().Решение.
Перепишем данное неравенство в таком виде . Построим графики уравнений и =.
«Методом интервалов» устанавливаем, что решением исходного неравенства будут заштрихованные области.

Теперь строим область и смотрим, какая её часть попадает в заштрихованную область.
Т.е. теперь, если при каком – то фиксированном значении прямая в пересечении с полученной областью даёт лишь точки, абсциссы которых удовлетворяют условию < 2, то – одно из искомых значений параметра.
Итак, мы видим, что .
Ответ: .
Задание 12.
При каких значениях параметра множество решений неравенства содержит не более четырёх целых значений ?
Решение.
Преобразуем данное неравенство к виду . Это неравенство равносильно совокупности двух систем
или

Изображаем с помощью этой совокупности решение исходного неравенства.
Проведём прямые , где . Тогда значение , для которого прямая пересекает прямые не более чем в четырёх точках из отмеченного множества, будет искомым. Итак, мы видим, что или или .
Ответ: или или .
Задание 13.
При каких значениях параметра а имеет решения система

Решение.
Корни квадратного трёхчлена и .
Тогда
Строим прямые и .
Методом «интервалов» находим решение неравенства системы (заштрихованная область).

Та часть окружности с центром в начале координат и радиуса 2, которая попадает в заштрихованную область и будет решением данной системы. .
Значения и находим из системы
Значеня и – из системы .
Ответ:
Задание 14.
В зависимости от значений параметра а решить неравенство > .
Решение.
Перепишем данное неравенство в виде и рассмотрим функцию , которую, раскрывая модули, запишем так:

Строим график. График разбивает координатную плоскость на две области. Взяв т. (0;0) и подставив и в исходное неравенство, получим, что 0 > 1, и поэтому исходное неравенство выполняется в области лежащей выше графика.
Непосредственно из рисунка получаем:
при решений нет;
при ;
при .
Ответ: при решений нет;
при ;
при .
Задание 15.
Найдите все значения параметра , при котором система неравенств
удовлетворяется лишь при одном .
Решение.
Перепишем данную систему в таком виде:
Построим область, задаваемую данной системой.
1) , – вершина параболы.
=,
,
.
2) - прямая, проходящая через точки и .

Требование единственности решения на графический язык переводится так: горизонтальные прямые с полученной областью должны иметь только одну общую точку. Выдвинутому требованию удовлетворяют прямые и , где – ордината точки пересечения параболы и прямой.
Найдём значение :

= (не подходит по смыслу задачи),
= . Находим ординату:
= .
Ответ: ,
Задание 16.
Найти все значения параметра а, при которых система неравенств
удовлетворяет лишь при одном х.
Решение.



Построим параболы и штриховкой покажем решение последней системы.

1) , .
2) , .
Из рисунка видно, что условие задачи выполняется при или .
Ответ: или .
Задание 17.
При каких значениях уравнение имеет ровно три корня.
Решение.
Данное уравнение равносильно совокупности

График совокупности - объединение графиков параболы и уголка.

Прямые пересекают полученное объединение в трёх точках.
Ответ: при .
Задание 18.
При каких значениях уравнение имеет ровно три решения.
Решение.
Преобразуем левую часть данного уравнения. Получим квадратное уравнение относительно .

,
.
Получим уравнение
, которое равносильно совокупности


Объединение графиков парабол есть решение совокупности.
Находим ординату очки пересечения парабол:


Считываем нужную информацию с рисунка: данное уравнение имеет три решения при или
Ответ: при или
Задание 19.
В зависимости от параметра определить число корней уравнения

Решение.
Рассмотрим данное уравнение как квадратное относительно а.
,
.
Получаем совокупность


Строим графики уравнений совокупности и отвечаем на поставленный вопрос задачи.
Ответ: : нет решений;
: одно решение;
: два решения;
или : три решения;
или : четыре решения.
Задание 20.
Сколько решений имеет система
Решение.


Ясно, что количество корней второго уравнения системы равно числу решений самой системы.
Имеем, .
Рассмотрев это уравнение как квадратное относительно , получаем совокупность.

Теперь обращение к координатной плоскости делает задачу простой. Координаты точек пересечения находим, решив уравнение

Отсюда
Вершины парабол и .
Ответ: : четыре решения;
: два решения;
: одно решение;
: нет решений.
Задание 21.
Найти все действительные значения параметра , для которых уравнение имеет только два различных корня. Запишите эти корни.
Решение.
.
Найдём корни квадратного трёхчлена, стоящего в скобках:


Изобразим множество решений данного уравнения в координатной плоскости , построив графики при условии, что
Считываем с рисунка нужную информацию. Итак, данное уравнение имеет два различных корня при ( и ) и при (и )
Ответ: при ( и ) и
при (и ).
Задание 22.
Решить систему неравенств:

Решение.

Строим в плоскости графики параболы и прямой .
Все точки закрашенной области – решение системы. Разобьём построенную область на две части.
Если и , то нет решений.
Если , то абсциссы точек закрашенной области будут больше абсцисс точек прямой , но меньше абсцисс (большего корня уравнения ) параболы.
Выразим через из уравнения прямой :
Найдём корни уравнения :
,
,
.
Тогда .
Если же , то .
Ответ: при и 1 нет решений;
при ;
при .

Задание 23.
Решить систему неравенств
Решение.

– вершина параболы .
- вершина параболы .
Находим абсциссы точек пересечения парабол:


Закрашенная область – решение системы. Разбиваем её на две части.
В уравнениях парабол выражаем через :


Записываем ответ:
если и , то нет решений;
если , то < ;
если , то .
Задание 24.
При каких значениях, а уравнение не имеет решений?
Решение.
Уравнение равносильно системе


Построим множество решений системы.

Три кусочка параболы решение данного уравнения.
Найдем при котором и исключим его.
.
Итак, при нет решений;
при нет решений;
(замечание: при остальных а есть одно или два решения).
Ответ: ; .Задание 25.
При каких действительных значениях параметра существует хотя бы одно , удовлетворяющее условиям:

Решение.
Решим графически «методом интервалов» неравенство в и построим график . Посмотрим, какая часть графика попадает в построенную область решения неравенства, и найдём соответствующие значения а.

Строим графики прямых и
Они разбивают координатную плоскость на 4 области.
«Методом интервалов» решим графически последнее неравенство.
Заштрихованная область является его решением. В эту область попадает часть графика параболы . На интервале ; (по условию неравенство системы строгое) существуют , удовлетворяющие условиям данной системы.

Ответ:
Задание 26.
Найдите все значения параметра , при каждом из которых множество решений неравенства не содержит ни одного решения неравенства .
Решение.

Построим множество решений неравенства («методом интервалов»). Затем построим «полосу» Искомые значения параметра q те, при которых ни одна из точек указанных областей не принадлежит «полосе»
Ответ: или .
Задание 27.
При каких значениях параметра , уравнение имеет единственное решение.
Решение.
Разложим на множители числитель дроби.

,
,

Данное уравнение равносильно системе:

Построим график совокупности в координатной плоскости .
или
– точка пересечения прямых и . График совокупности - объединение прямых.
«Выкалываем» точки графика с абсциссами ,.

Проводим прямые и смотрим, где существует одна точка пересечения с графиком.
Очевидно, что только при или данное уравнение имеет единственное решение.
Ответ: или .
Задание 28.
При каких действительных значениях параметра система неравенств не имеет решений.
Решение.


Множество точек плоскости заштрихованной области удовлетворяет данной системе неравенств.
Строим прямые . По рисунку определяем, что при (- абсцисса точки пересечения гиперболы и прямой) прямые не пересекают заштрихованную область.
Ответ: при .
Задание 29.
При каких значениях параметра а система имеет единственное решение.
Решение.
Перейдём к системе, равносильной данной.

В координатной плоскости построим графики парабол и Вершины парабол соответственно точки и .
Вычислим абсциссы точек пересечения парабол, решив уравнение

Заштрихованная область – решения системы неравенств. Прямые и

имеет с закрашенной областью одну общую точку.
Ответ: при и .
Задание 30.
Решите неравенство:

Решение.
В зависимости от параметра найдём значение .
Неравенство будем решать «методом интервалов».
Построим параболы
: .
: .
Вычислим координаты точки пересечения парабол:


Точки закрашенной области удовлетворяют данному неравенству. Проведя прямую , разобьём эту область на три части.
1) Если , то нет решений.
2)Если , то в уравнении выразим через :

Таким образом, в области I имеем .
Если , то смотрим:
а) область II.
Выразим в уравнении через .

,
- меньший корень,
- больший корень.
Итак, в области II имеем .
б) область III: .
Ответ: при нет решений;
при
при , .
Литература:
Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Сборник задач по алгебре для 8 – 9 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1994.
П. И. Горнштейн, В. Б. Полонский, М. С. Якир. Задачи с параметрами. 3-е издание, дополненное и переработанное. – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 2003.
Фаддеев Д. К. Алгебра 6 – 8. – М.: Просвещение, 1983 (б – ка учителя математики).
А. Х. Шахмейстер. Уравнения и неравенства с параметрами. Под редакцией Б. Г. Зива. С – Петербург. Москва. 2004.
В. В. Амелькин, В. Л. Рабцевич. Задачи с параметрами Минск «Асар», 2002.
А. Х. Шахмейстер. Задачи с параметрами в ЕГЭ. Издательство Московского университета, ЧеРо на Неве МЦНМО.