Презентация по геометрии на тему Формула Герона

Формула ГеронаУчитель математикиМБОУ лицея №2г. Южно – СахалинскаБокова Т.Н. Герон Александрийский -древнегреческий математик и механик, живший, вероятно, в 1 в. н. э. Теорема. Площадь S треугольника, стороны которого равны a, b, c вычисляется по формулегде p – полупериметр треугольника.Дано: ABC, AB=c, AC=b, BC=a p –полупериметр АВС.Док-ть: Доказательство.Проведем высоту АD треугольника ABC.Введем обозначения: AD=h,BD=x, тогда DC=a-x.АВСсbaDxa-xhПо теореме Пифагора AD2=AB2-BD2 и AD2=AC2-CD2. Поэтому AB2-BD2=AC2-CD2, то есть c2-x2=b2-(a-x)2. (1)




Из уравнения (1) получаем, что 2ax=a2+c2-b2,Поскольку AD2=AB2-BD2, то h2=c2-x2 (2) и АВСсbaDhxa-xc2-x2=b2-(a-x)2 (1)(3)Последовательно раскладывая на множители разность квадратов в числителе правой части равенства (3), получаем:(4)Периметр a+b+c треугольника ABC обозначим 2p. Получимa+b-c=2p-2c, a+c-b=2p-2b, b+c-a=2p-2a. Поэтому окончательноТак как площадь S треугольника АВС выражается формулой S=0,5ah, то, подставляя в нее h по формуле (5), получаем, что (5)






Следствие.Площадь равностороннего треугольника со стороной а выражается формулой
Решите задачи устно.АВС151413Найти: SABCABCD1086Найти: SABCDABCDH791211Найти: SABCD
style.rotation
style.rotation
style.rotation Задача №504. Меньшая сторона параллелограмма равна 29см. Перпендикуляр, проведенный из точки пересечения диагоналей к большей стороне, делит ее на отрезки, равные 33см и 12см. Найдите площадь параллелограмма.АВСDOK293312Дано: АВСD – параллелограмм, АВ=29см, АС, ВD – диагонали, АС BD=O, АК AD, AK=33см, KD=12см.Найти: SABCD.Решение.В треугольнике ABD проведем BH AD.HПо теореме Фалеса HK=KD=12cм.Тогда AH=AK-HK=33-12=21(cм).В прямоугольном треугольнике ABH по теореме Пифагора имеем:SABCD=AD·BH=45·20=900(см2)
style.rotation





style.rotation
Задача №517. Найдите площадь четырехугольника ABCD, если AB=5см, BC=13см, CD=9см, DA=15см, АС=12см.АВСD51391512Применим к треугольникам ABC и ACD формулу Герона. SABCD=SABC+SACD=30+54=84(см2)1 способ

style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation 2 способАВСD51391512В треугольнике АВС ВС2=АВ2+АС2, поэтому треугольник АВС прямоугольный с гипотенузой ВС.SABC=0,5AB·AC=0,5·5·12=30(см2)Аналогично доказывается, что треугольник ACD прямоугольныйSACD=0,5AC·CD=0,5·12·9=54(см2)SABCD=84(см2)
style.rotation