Урок-путешествие по стране дифференциального исчисления Применение производной
Урок з алгебри та початків аналізу в 11 класі
Тема: Урок-подорож країною Диференціального Числення «Застосування похідної»
Мета: закріплення та поглиблення знань учнів про похідну; розкрити область застосування похідної. Показати, що похідна – засіб дослідження процесів дійсності й сучасного виробництва. Формувати єдину наукову картину світу. Розвивати логічне мислення, вміння аналізувати, порівнювати, бачити аналогію задач. Розвивати вміння досліджувати, систематизувати вивчені факти.
Виховувати волю та наполегливість у досягненні кінцевого результату; толерантність під час групової діяльності; любов до людини, краси, гармонії всесвіту, рідної мови.
Тип уроку: систематизація й узагальнення знань.
Обладнання: портрети математиків, виставка робіт учнів.
Вступне слово учителя
Діти, уявіть:Англія,1666 рік. І. Ньютон, якому лише 23 роки, робить прорив у математиці – відкриває похідну. І все. Життя Європи полетіло так швидко, що вчені навіть не могли уявіть такого. Розвиток науково-технічного прогресу, війни, виготовлення зброї, епідемії й відкриття цілющого пеніциліну, запуск космічних ракет і створення ядерних ректорів – основою всього послужило диференціальне числення. Від високих досягнень до стрімких падінь крокувала похідна, кидаючи свої максимуми і мінімуми, похідна, яка миттєво змінила весь світ.
Тема, мета уроку.
Епіграф
Найкращий спосіб вивчити що-небудь – відкрити його самостійно.
Д. Пойа
«Подібно тому, як Архімед відкривши закон важеля, сказав: «Дайте мені точку опори, і я зрушу Землю», так і сучасники Ньютона казали: «Складіть нам диференціальні рівняння усіх рухів у природі й навчіть їх інтегрувати, тоді ми будемо подібні Богу, оскільки за допомогою обчислень точно будемо знати майбутні події».
Д.О. Граве
Сьогодні ми вирушаємо у подорож країною Диференціального Числення. Якщо у когось виникають труднощі під час виконання завдань, піднімайте руки, щоб ми могли повторити ще раз.
Кожна подорож починається з підготовки. В нашому випадку з теоретичної підготовки.
Теоретичний бліц.
Означення похідної.
Геометричний зміст похідної.
Фізичний зміст похідної.
Критичні точки першого і другого роду.
Точка мінімума, точка максімума. Екстремум функції
Необхідна умова існування екстремума функції.
Достатні умови існування екстремума функції.
Умови зростання і спадання функції.
Найбільше й найменше значення функції.
Точки перегину.
Умови опуклості вниз і опуклості верх для функції.
Усна робота
1.Які з поданих функцій зростають, а які спадають на всій числовій прямій?
У=2х+ cosх; у= cos0,5х-3х+5 у=3 sin(х+13 EMBED Equation.3 1415)+4х-7.
2.На рисунку зображено графік диференційної функції у=f(х).
Визначте знак похідної на проміжках (-5;-2), (-2;3), (3;6).
Назвати точки екстремума і екстремуми функції.
3. Пояснити, чому наведені функції не мають точок екстремуму:
У=13 EMBED Equation.3 1415; у=хі+х+5; у= tgх.
Робота в парах
1.Заповнити таблицю.
Функція
похідна
У=0,5х13 EMBED Equation.3 1415
У=
У=13 EMBED Equation.3 1415
У=
У=
У=6х+5
У=13 EMBED Equation.3 1415
У=1+13 EMBED Equation.3 1415
У=
У=
2.Знайти пару.
1
У=3 sinх
А
3 cosх
2
У= х sin3
Б
3 sinІх
3
У= sinіх
В
3 sinІх cosх
4
У= sinхі
Г
Sin3
Д
3хІ cosхі
Дослідження функції
Знайти критичні точки функції у=2 е13 EMBED Equation.3 1415(хі+2хІ)
Знайти проміжки зростання та спадання функції у= х13 EMBED Equation.3 1415.
Знайти найбільше і найменше значення функції у=х+1/х на [1;3].
Дослідити функцію на опуклість і знайти точки перегину функції у=х13 EMBED Equation.3 1415
Задача з літератури
Еней, герой відомої поеми «Енеїда»І.П. Котляревського, після багатьох пригод пристав до берега і потрапив до міста.
В тім городі жила Дідона,
А город звався Карфаген,
Розумна пані і моторна,
Для неї трохи сих імен:
Трудяща, дуже працьовита,
Весела, гарна, сановита.
Так розповідає легенда. 825 років до н.е. фінікійська царівна Дідона з невеликим військом вибрала зручне місце на північному узбережжі Туніської затоки. Король Намібії Ярб погодився продати їй ділянку землі, обмежену «шкурою бика». Дідона не розгубилася. Вона розрізала шкуру на тоненькі смужки, якими обміряла територію найбільшою площі. Так було засновано місто Карфаген. Якщо територія – прямокутник, то які його розміри?
Математична задача. Які розміри повинен мати прямокутник найбільшої площі, периметр якого 22км.
Розв’язання .
Нехай довжина прямокутника дорівнює х км, тоді ширина – (11-х) км. S(х)=х(11-х), 0<х<11. S(х)=11-2х, х=5,5. Неможливо порівняти значення функції в критичній точці з її значеннями на кінцях проміжка. Тому знайдемо знак похідної ліворуч і праворуч від критичної точки. Похідна змінює знак з «+» на «-», отже, х – точка максимума. Довжина 5,5 км, тоді ширина -5,5 км. Висновок, серед прямокутників найбільшу площу має квадрат.
Перерва. Історичні відомості. Людина.
1-й учень
Відкриттю похідної й основ диференціального числення передували роботи французького математика і юриста П.Ферма (1601-1665), який 1629 року запропонував способи знаходження найбільших і найменших значень функцій, проведення дотичних до довільних кривих; роботи Рене Декарта (1596-1650), який розробив метод координат і основи аналітичної геометрії. Тільки в 1666 році англійський математик і фізик І.Ньютон (1643-1727) і трохи пізніше німецький математик Г. Лейбліц (1646-1716) незалежно один від одного побудували теорію диференціального числення. Перший, розв язуючи задачу про миттєву швидкість, а другий – геометричну задачу про проведення дотичної до кривої в певній точці.Похідну Ньютон називав «флексією», а саму функцію «флюєнтою» (текучою).
Термін «lim» вперше знаходимо у Ньютона в 1686 році. У 1696 році Франсуа Антуан де Лопіталь видає перший друкований підручник із диференціального числення. У 1755 році Л.Ейлер написав підручник «Диференціальне числення» у 1797 році французький математик Жозеф Луї Лагранж (1736-1813) увів термін «похідна» і позначення у.
За допомогою похідної було розв'язано багато задач теоретичної механіки, фізики і астрономії. Так учені передбачили повернення комети Галлея, що стало тріумфом науки 18 століття.
2 учень
Учені – такі ж люди, як і ми з вами. Лопіталь мав поганий зір, мріяв стати офіцером артилерії. З дитинства захоплювався математикою. Малював криві лінії і мріяв записати їх рівняння.
Французький математик Франсуа Луї Лагранж слухав концерт. Сидів дуже зосереджений. Хтось запитав його, чим йому подобається ця музика?
Подобається тим, що я усамітнююся. Слухаю перші три такти, а на четвертому уже нічого не помічаю, думки несуть мене. Таким чином я розв язав не одну складну задачу.
Людина шукає гармонію і порядок, намагається знайти рівновагу між наукою і почуттям. Сподіваюся, що, можливо й серед нас є майбутні вчені, які зможуть зробити світ більш красивим і гармонійним.
Тестова зупинка «Випробуй свою долю».
Варіант № 1
Знайдіть похідну функції f(х)= sinх+ cosх.
а
б
в
г
д
cosх +sinх
cosх - sinх
-cosх- sinх
-cosх+sinх
cosх -sinх
Знайдіть похідну функції f(х)=0,5х13 EMBED Equation.3 1415
а
б
в
г
2,5х13 EMBED Equation.3 1415-9хІ
5х13 EMBED Equation.3 1415-9хІ
0,25х13 EMBED Equation.3 1415-3хІ
5х13 EMBED Equation.3 1415-3хІ
Знайти критичні точки функції у=хі-3х.
а
б
в
г
0
0 і 3
-1 і 1
-13 EMBED Equation.3 1415;0; 13 EMBED Equation.3 1415
Скільки точок екстремуму має функція, графік якої зображено на рисунку?
а
б
в
г
три
дві
одну
жодної
Якщо на деякому проміжку похідна тотожно дорівнює нулю, то..
а
б
в
г
Функція зростає на цьому проміжку
Функція спадає на цьому проміжку
Функція є сталою на цьому проміжку
Про поведінку функції нічого певного сказати не можна
Тіло рухається прямолінійно за законом S=0,5tІ-4 t+5. У який момент часу його швидкість дорівнює нулю?
а
б
в
г
t =2
t =0,5
t =4
t =1
Варіант 2
1. Знайдіть похідну функції f(х)= 4cosх.
а
б
в
г
д
4sinх
- sinх
-4sinх
sinх
4cosх
2.Знайдіть похідну функції f(х)=2х13 EMBED Equation.3 1415
а
б
в
г
2х-6
4х-6
4хІ-6х
-2х
3.Знайти критичні точки функції у=12х-хі.
а
б
в
г
2
-213 EMBED Equation.3 1415 і 213 EMBED Equation.3 1415
-2 і 2
-213 EMBED Equation.3 1415;0; 213 EMBED Equation.3 1415
4.Скільки точок екстремуму має функція, графік якої зображено на рисунку?
а
б
в
г
три
дві
одну
жодної
5. Якщо на деякому проміжку похідна набуває додатних значень, то..
а
б
в
г
Функція зростає на цьому проміжку
Функція спадає на цьому проміжку
Функція є сталою на цьому проміжку
Про поведінку функції нічого певного сказати не можна
6. Тіло рухається прямолінійно за законом S=2tІ-2t-4. У який момент часу його швидкість дорівнює нулю?
а
б
в
г
t =2
t =0,5
t =4
t =1
Взаємоперевірка
Відповіді
Варіант 1:1Д,2А,3В,4А,5В,6В. Варіант2: 1В,2Б,3В,4А,5А,6Б.
Підсумок уроку
Вправа «Мікрофон»
Де застосовується похідна?
- для знаходження миттєвої швидкості;
- під час доведення тотожностей;
- під час розв’язання рівнянь, нерівностей;
- для дослідження функції;
- для знаходження рівняння дотичної;
-для обчислення границь, правило Лопіталя;
- для розв’язання задач з фізики, астрономії;
-для побудови графіків функцій.
Заключне слово вчителя
Я беру производную – каково удивление
Мир меняется весь.
Вижу скорость его изменения.
Мир из хаоса вдруг
Превращается в схемы.
У гармонии тоже есть свои теоремы.
Жизнь человека, словно синусоида:
То вверх летишь, то падаешь вниз,
Когда настанет максимум и минимум,
Когда исчертишь ты последний лист?
А мудрецы свой график исправляли,
Чтоб приближался он к стремительной прямой,
Чтобы как птицы от нуля взлетали
Без перегибов мысли над землей.
Ось вона – Людина! Людина, що накреслена математикою, але в неї індивідуальні думки, свій світ, власна доля. Людина – розумна! Вона навчилася запускати ракети і, можливо, колись навчиться керувати собою, своєю похідною.
Домашнє завдання: підготувати повідомлення про золотий переріз і застосування похідної.
Виставлення оцінок
Учитель Курилова И.В., 2012г.
Root Entry