Разработка урока по теме Разложение многочлена на множители
Тема: Разложение многочлена на множители.
«Мало иметь хороший ум,
главное – хорошо его применять».
Цель урока: уметь применять на практике различные способы разложения многочлена на множители;
развивать творческие способности учащихся при комбинации приемов, сочетании их друг с другом, выборе рационального зерна – оптимального в том или ином случае.
Задачи урока:
Образовательная: повторить и закрепить изученный материал; отработать навыки разложения многочлена на множители.
Развивающая: развивать у учащихся выделять главное в изучаемом предмете; развивать навык самостоятельной работы; способствовать формированию умений применять приёмы переноса знаний в новую ситуацию; развитию мышления и речи; внимания и памяти;
Воспитательная: содействовать воспитанию интереса к предмету; воспитание чувства ответственности; активности.
Тип урока: урок закрепления и обобщения знаний.
Методы обучения: Частично-поисковый, словесный,наглядный.
Оборудование: интерактивная доска, разноуровневые задания.
Ход урока:
I.Организационный момент.Сообщение темы, цели урока.
II. Актуализация опорных знаний учащихся
Устная работа.
1)x2 + x; 2) –2aba; 3) 10x – 8xz – 3xz; 4) –aвс; 5) 25ab + ab2 + a2b; 6) 0, 125; 7) zzx 6; 8) 25a8x4b;
9) (–f2)2;10) x6 – 10; 11) a2c – 9aca + 6; 12) а1. Определение одночлена: Одночлен – выражение, являющееся произведением чисел, переменных и их степеней, а также числа, переменные и их степени.
2.Назвать пункты, в которых записаны одночлены. Ответ: 2), 4), 6), 7), 8), 9), 12)3.Определение стандартного вида одночлена:Вид одночлена,где на первом месте стоит числовой множитель,а за ним-переменные и их степени,называют стандартным видом одночлена.
4.Назвать пункты, в которых одночлены записаны в стандартном виде. Ответ: 4), 6), 12)5.Назвать коэффициент одночлена. Ответ: 2) –2; 4) –1; 6) 0, 125; 7) 6; 8) 100; 9) 1; 12)16.Определение многочлена.Сумма одночленов называется многочленом.
7.назвать пункты , в которых записан многочлен.1),3)5)10)11)
8. Определение подобных слагаемых: Подобные слагаемые (члены) – слагаемые, у которых одинаковая буквенная часть.
9.Назвать подобные слагаемые в тех многочленах, в которых они есть. Ответ: 3) –8xz и –3 xz; 11) a2c и – 9aca; III.Графический тест теоретического материала.Верно ли утверждение, определение, свойство?
1)Одночленом называют сумму числовых и буквенных множителей. ––2)Буквенный множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена. ––3)Сумма показателей степеней всех букв входящих в одночлен называется степенью одночлена.
4)Одинаковые или отличающиеся друг от друга только коэффициентами члены многочлена называются подобными членами.
5)Многочлен, в котором отсутствуют подобные члены и каждый из них одночлен стандартного вида называется многочленом стандартного вида.
6)В результате умножения многочлена на одночлен получается одночлен. ––7)Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак “+”, скобки надо опустить, сохранив знак каждого члена, который был заключен в скобки.
8)Когда раскрываем скобки, перед которыми стоит знак “-”, скобки опускаем, и знаки членов, которые были заключены в скобки, меняют на противоположные.
Ответ:- -^ ^ ^ - ^ ^ IV. Работа в группах. Разложите на множители (ответы к заданиям закодированы).
ax + 2a + 3x + 6
5z (x + y) – x – yx (a + y) + ay + y2
10ay – 5cy + 2ax – cxx2 – 2x – xy + 2y
6cy + 15cx + 4 ay + 10ax
Ответы:
У
С
Е
М
Б
И
(x – 2)(x – y)
(3c + 2a)(2y +5x)
(x + y)(5z – 1)
(x + 2)(a + 3)
(a + y)(x + y)
(2a – c)(5y + x)
Лист Мебиуса – один из объектов области математики под названием топология (по-другому “геометрия положения”). Удивительные свойства листа Мебиуса – он имеет один край, одну сторону, – не связаны с его положением в пространстве, с понятиями расстояния, угла и тем не менее имеют вполне геометрический характер. Изучением таких свойств занимается топология. Оказывается, свойства такого типа, несмотря на кажущуюся их непривычность, связаны как раз с наиболее абстрактными математическими дисциплинами, именно с алгеброй и теорией функций.
В топологии изучаются свойства фигур и тел, которые не меняются при их непрерывных деформациях (как если бы они были сделаны из резины).
Давайте вспомним, какие существуют способы разложения многочлена на множители?
Способы разложения многочлена на множители:
Вынесение общего множителя за скобки
Способ группировки
С помощью формул сокращённого умножения
Способ вынесения общего множителя за скобки:
найти общий множитель;
вынести его за скобки
V.Разложите на множители:
14ав-63в²
18а4х²-30а³х³+54а²х4
х(у-4)+7(у-4)
с(5-d)+2(d-5)
Ответы:
14ав-63в²= 7в(2а-9в)
18а4х²-30а³х³+54а²х4=
6а²х²(3а²-5ах+9х²)
х(у-4)+7(у-4)=(у-4)(х+7)
с(5-d)+2(d-5)=(5-d)(с-2)
Способ группировки:
объединить члены многочлена в такие группы, которые имеют общий множитель в виде одночлена или многочлена;
вынести этот множитель за скобки.
VI.Разложите на множители:
6ху+ав-2вх-3ау
х²-3ху+xz+2x-6y+2z
3(х-2у)²-3х+6у
16ав²-10с³+32ас²-5в²с
5х20-х15-5х10+х5
Ответы:
6ху+ав-2вх-3ау=(3у-в)(2х-а)
х²-3ху+xz+2x-6y+2z=(х+2)(х-3у+z)
3(х-2у)²-3х+6у=3(х-2у)(х-2у-1)
16ав²-10с³+32ас²-5в²с=(в²+2с²)(16а-5с)
5х20-х15-5х10+х5=х5(5х5-1)(х10-1)
VII.Разложите на множители:
n³ +3n² +2n
а²-13а+40
х²+10х+24
(а²+в²)²-а²(а²+в²)
Ответы:
n³ +3n² +2n=n(n+1)(n+2)
а²-13а+40 =(а-8)(а-5)
х²+10х+24 =(х+4)(х+6)
(а²+в²)²-а²(а²+в²)=(а²+в²)(а²+в²-а²)=в²(а²+в²)
VIII.Решите уравнения: х²-7х=0 Ответ:0;7
5х²+15х=0 Ответ:0;-3
(4х-1)(3х+6)=0 Ответ:1/4;-2
у2 + 8у -4у -32 =0 Ответ:-8;4 х2 – 2х +10 -5х =0 Ответ:2;5
(х³-8х²)+(3х-24)=0 Ответ:8
IX.Найди ошибку
3х(х-3)=3х-9х
2х+3ху=х(2+у)
(8+3х)(2х-у)=16х-8у+6х²+3ху
х(а+с)-2(а+с)=(а+с)(х+2)
2у(х-9)+7(9-х)=(х-9)(2у+7)
Ответы:
3х(х-3)=3х²-9х
2х+3ху=х(2+3у)
(8+3х)(2х-у)=16х-8у+6х²-3ху
х(а+с)-2(а+с)=(а+с)(х-2)
2у(х-9)+7(9-х)=(х-9)(2у-7)
X.Докажите, что при любом натуральном р значение выраженияр(р+5) – (р-3)(р+2) кратно6(р-1)(р+1) – (р-7)(р-5) кратно 12
р(р+5) – (р-3)(р+2)=р²+5р-р²+3р-2р+6=6р+6=6(р+1) кратно 6
(р-1)(р+1) – (р-7)(р-5)=р²-р+р-1-р²+7р+5р-35=12р-36=12(р-3) кратно 12
XI.Рефлексия.
XII. Домашнее задание:
№138(1,3),139,144(2,4),147(1,3)
Сб.Ершовой стр.50 № 1,2
Разложите многочлен на множители
ax2 + cx2 – cx – ax + a + c
3 (x – 2y)2 – 3x + 6y
1. 1.
2. 2.
3. 3.
4. 4.
5. 5.
6. 6.
7. 7.
8. 8.
9. 9.
10. 10.
Ответы к срезу знаний.
1 вариант 2 вариант
1. 1.
2. 2.
3. 3.
4. 4.
5. 5.
6. 6.
7. 7.
8. 8.
9. 9.
10. 10.
Математический диктант.
Вынести за скобки общий множитель:
1) 6m+9n
2) –ax +ay
3) a2 –a b
4) 8m2n – 4mn3
5) (a +b) –x (a +b)
2. Когда мы выносим общий множитель за скобки, мы представляем многочлен в виде произведения множителей. Для чего это может быть нужно? (Чтобы решить уравнение или сократить дробь).
Теперь мы можем приступить к решению проблем, которые стоят перед нашей Академией. 4 слайд В адрес Академии пришло письмо от астрономов, исследующих поверхность Марса.
Не так давно на этой самой поверхности был обнаружен участок с таинственными
символами, которые астрономы никак не могут разгадать. Давайте поможем им.
Решите уравнение: 5х2 + 5х = 0 у доски
5 x (x+1) =0 , x=0 или x=-1.
3. Мотивирование необходимости разложения многочлена на множители.
Решите уравнение: x2 +3x +6 +2x =0
Создается проблемная ситуация: задача знакома на первый взгляд, но не решается. Мы знаем, что удобно решать уравнение, в правой части которого 0, раскладывая его левую часть на множители.
- Есть ли общий множитель у всех слагаемых? (Нет)
- Значит, этот способ разложения на множители не подходит.
Постановка учебной задачи: научиться раскладывать многочлен на множители другим способом.
Операционно-исполнительная часть
1) Эвристическая беседа.
Рассмотрим многочлен 5x +5y +m x +my. (запись на доске)
- Есть ли общий множитель у всех слагаемых?
Применим “метод пристального взгляда”. Что вы увидели?
(Есть общий множитель 5 у первого и второго слагаемых и общий множитель m у третьего и четвертого слагаемых.)
- Давайте объединим их в группы. - Каким законом сложения воспользуемся? (Сочетательным)
( 5x +5y ) +(m x +my)
- Что можно сделать с общим множителем в каждой группе? (Вынести его за скобки) .- Каким законом умножения воспользуемся? (Распределительным)
5 (x +y) +m (x +y)
- Сколько сейчас получилось слагаемых? (Два)
- Что интересного заметили в получившемся выражении? (Есть один общий множитель (х+у) )- Вынесем его за скобки.
(x +y) (5 +m)
- Что мы получили? (Произведение)
- Значит, многочлен представили в виде произведения. Каким способом? (Объединяя слагаемые в группы)
- Поэтому этот способ называется способом группировки.
- Нельзя ли этот же многочлен разложить на множители, группируя слагаемые иначе? Какие законы сложения и умножения будем использовать?
Фронтальная работа
(5x +mx ) + (5y +my) = x(5 +m) + y (5 +m) =(x +y) (5 +m)
- Какой получился результат? (Такой же, как и в первом случае)
5 cлайд алгоритм разложения выглядит так::
а) выполнить группировку слагаемых, имеющих общий множитель;
в) отдельно в каждой группе найти общий множитель и вынести его за скобки;
с) в получившемся выражении найти общий множитель и вынести его за скобки.
Этот алгоритм поможет учащимся в дальнейшей работе на этом и последующих уроках.
Замечательно! Я думаю, астрономы будут очень довольны. Возможно, мы скоро получим
ответ на вопрос: «Есть ли жизнь на Марсе».
2) Отработка правила.
Работая с алгоритмом, учащиеся действуют поэтапно, отдавая себе отчет, что надо сделать и почему. Происходит осознание нового правила, его осмысление и запоминание.
6 слайд А вот и другое письмо.
Археологи, исследуя гробницы Египта, обнаружили в одной из пирамид дверь, дляоткрытия которой нужно разгадать код. Помогите археологам. Вот этот код:
а) Фронтальная работа с пооперационным контролем. (1 ученик у доски)
ах + ау - х – у = (ах + ау) + (- х – у) = а(х + у) – (х + у) = (х + у)(а – 1)
ав - 8а – вх + 8х = (ав – вх) + (- 8а + 8х) = в(а – х) + 8(- а + х) = (а – х)(в – 8) ( -1 выносим за скобку)
x 2 m - x2n + y2 m - y2n = (x2m – x2n) + (y2m – y2 n) = x2(m – n) + y2(m – n) = (m – n)(x2 + y2)
Потрясающе! Теперь наши археологи наконец-то откроют эту загадочную дверь и
возможно, найдут множество сокровищ.
7 слайд А мы переходим к следующему письму. Оно к нам пришло из Германии.
Просматривая старые архивы, работники Берлинского музея обнаружили обрывки
рукописи, которые вам предстоит восстановить.
б) Дифференцированные задания по уровням. (работа в парах)
Ситуация выбора в процессе выполнения самостоятельной работы. Учащиеся могут выбрать один из предложенных вариантов, который кажется им соответствующим их уровню знаний, то есть вырабатывается навык самооценки.
А. Задания нормативного уровня.
1) 7а - 7в + аn – b n = 7(a – b) + n(a – b) = (a – b)(7 + n)
2) x y + 2y + 2x + 4 = y(x + 2) + 2(x + 2) = (y + 2)(x + 2)
3) y2a - y2b + x2 a - x2b = y2(a – b) + x2(a – b) = (a – b)(y2 + x2)
Б. Задания компетентного уровня
1) x y + 2y - 2x – 4 = y(x + 2) – 2(x + 2) = (x + 2)(y – 2)
2) 2сх – су – 6х + 3у = c(2x – y) + 3(- 2x + y) = ( 2x – y)(c – 3)
3) х2 + x y + xy2 + y3 = x(x + y) + y2(x + y) = (x + y)(x + y2)
С. Задания творческого уровня
1) x4 + x3y - xy3 - y4 = x3(x + y) – y3(x + y) = (x + y)(x3 – y3)
2) ху2 – ву2 – ах + ав + у2 – а =y2(x – b + 1) + a(- x + b – 1) = (y2 – a)(x – b + 1)
3) х2 – 3х + 6 – 2x= x(x - 3) + 2(3 – x) = (x – 2)(x – 3).
Цели урока:
Образовательная – систематизировать, расширить и углубить знания, умения учащихся, применять различные способы разложения многочлена на множители. Сформировать умение применять разложение многочлена на множители путём комбинации различных приёмов. Реализовать знания и умения по теме: «Разложение многочлена на множители» для выполнения заданий и базового уровня и заданий повышенной сложности.
Развивающая – способствовать развитию наблюдательности, умения анализировать, сравнивать, делать выводы, применять исторический материал. Умение работать с бланком ответов при решении тестов.
Воспитательная – побуждать учеников к само-, взаимоконтролю, работе в команде, вызывать у них потребность в обосновании своих высказываний, формировать умение рефлексировать.
Разложите на множители, используя различные способы.
1 вариант 2 вариант
1. 1.
2. 2.
3. 3.
4. 4.
5. 5.
6. 6.
7. 7.
8. 8.
9. 9.
10. 10.
Ответы к срезу знаний.
1 вариант 2 вариант
1. 1.
2. 2.
3. 3.
4. 4.
5. 5.
6. 6.
7. 7.
8. 8.
9. 9.
10. 10.
Разложите на множители, используя различные способы.
1 вариант 2 вариант
1. 1.
2. 2.
3. 3.
4. 4.
5. 5.
6. 6.
7. 7.
8. 8.
9. 9.
10. 10.
Ответы к срезу знаний.
1 вариант 2 вариант
1. 1.
2. 2.
3. 3.
4. 4.
5. 5.
6. 6.
7. 7.
8. 8.
9. 9.
10. 10.
n³ +3n² +2n
x²-6x+5=0
2. х(х-2) + 7(2-х)=03. (3х – 2)(х+4) – 3(х+5)(х-1) =04. у2 + 8у -4у -32 =0 Решите уравнение, разложив на множители его левую частьх2 – 2х +10 -5х =03 вариант1. Докажите, что при любом натуральном р значение выраженияр(р+5) – (р-3)(р+2) кратно6(р-1)(р+1) – (р-7)(р-5) кратно 12 2. Найдите корень уравнениях2 + х(6-2х) = (х-1)(2-х) -2
Разложите на множители:
4х-4у+(х-у)²
4х²-зх=0
2х²+5х=0
(4х-1)(3х+6)=0
х(у-4)-7(4-у)
с(5-d)+2(d-5)
3(х-2у)²-3х+6у
Найди ошибку
3х(х-3)=3х-9х
2х+3ху=х(2+у)
(8+3х)(2х-у)=16х-8у+6х²+3ху
х(а+с)-2(а+с)=(а+с)(х+2)
2у(х-9)+7(9-х)=(х-9)(2у+7)
3х(х-3)=3х²-9х
2х+3ху=х(2+3у)
(8+3х)(2х-у)=16х-8у+6х²-3ху
х(а+с)-2(а+с)=(а+с)(х-2)
2у(х-9)+7(9-х)=(х-9)(2у-7)
Х5-12+6х4-2х
-а5-а4+а³+а²
ах²-2а²х-х³+2а³
16ав²-10с³+32ас²-5в²с
5х20-х15-5х10+х5
х²-3ху+хz+2x-6y+2z
а²-13а+40
х²+10х+2
Задания из ЕНТ:
(а²+в²)²-а²(а²+в²)
Способы разложения многочлена на множители:
Вынесение общего множителя за скобки
Способ группировки
С помощью формул сокращённого умножения