Конспект урока Двугранный угол
ДВУГРАННЫЙ УГОЛ.
Урок 1. Двугранный угол
Цели урока: ученик, владеющий теоретическими и практическими знаниями.
Задачи урока:
ввести понятие двугранного угла и его линейного угла;
рассмотреть задачи на применение этих понятий;
сформировать конструктивный навык нахождения угла между плоскостями.
Ход урока
Организационный момент
Сообщить тему урока, сформировать цели урока.
Актуализация знаний учащихся
Сообщить итоги самостоятельной работы.
Анализ распространенных ошибок.
Проверка домашнего задания.
Подготовка к изучению нового материала.
- Что называется углом на плоскость?
- Что называется углом между прямыми в пространстве?
- Что называется углом между прямой и плоскостью?
Изучение нового материала
Понятие двугранного угла (рис. 1 а,б).
а) прямая a разделяет плоскость на две полуплоскости;
б) двугранный угол.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
а) б)
Рис. 1
Вывод:
Двугранным углом называется фигура, образованная прямой a и двумя полуплоскостями с общей границей a, не принадлежащими одной плоскости.
Полуплоскости – грани, прямая a – ребро двугранного угла.
- Какие предметы в обыденной жизни имеют форму двугранного угла?
(Полураскрытая папка, стена комнаты совместно с полом, двускатные крыши зданий и т.д.)
Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – линейный угол двугранного угла (рис. 2,3).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис. 2 Рис. 3
Все линейные углы двугранного угла равны.
Докажем это.
Рассмотрим два линейных угла АОВ и PQK. Лучи ОА и QP лежат в одной грани и перпендикулярны OQ, значит, они сонаправлены. Аналогично лучи ОВ и QR сонаправлены. Значит, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (как углы с сонаправленными сторонами).
Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
а) б) в)
Рис. 4
а) острый (13 EMBED Equation.DSMT4 1415); б) прямой (13 EMBED Equation.DSMT4 1415); в) тупой (13 EMBED Equation.DSMT4 1415).
Обозначение двугранного угла.
Двугранный угол с ребром АВ, на разных гранях которого отмечены точки C и D, называется углом CABD.
Закрепление изученного материала
Сделайте чертежи к задачам
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис. 5 Рис. 6 Рис.7
№1
Дано: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 лежит в плоскости 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
(рис. 5).
Построить линейный угол двугранного угла 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - искомый.
№2
Дано: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 лежит в плоскости 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
(рис. 6).
Построить 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 значит, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - искомый.
№3
Дано: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 лежит в плоскости 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
(рис. 7).
Построить 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 значит,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - искомый.
1.Дано: ABCD – квадрат, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (рис. 8).
Построить:
а) (MDC; ABC); б) MADB; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - искомый; в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - искомый.
2.Дано: DABC – тетраэдр, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (рис. 9).
Построить: ABCD
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, значит, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - искомый.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415рис. 9.
Рис. 8
Решение задач
Дано: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 лежит в плоскости 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, угол между 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415(рис. 9).
Найти: угол между плоскостью 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и плоскостью треугольника 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение:
Проведем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда 13 E
·MBED Equation.DSMT4 1415. Пусть в 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Проведем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - искомый угол.
Из 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Из 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
(Ответ: 45°.)
Подведение итогов
Домашнее задание
Дано: DABC – тетраэдр; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (рис. 11).
Доказать: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - линейный угол двугранного угла BACD.
Решение: Так как 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - равнобедренные, то медианы BM и DM являются высотами. Значит, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - линейный угол двугранного угла BACD.
Дано: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - лежит в плоскости 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 двугранный угол 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 равен 45о (рис. 12).
Найти: расстояние от точки B до прямой AC и до 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение:
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - тупоугольный (13 EMBED Equation.DSMT4 1415), поэтому 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 Проведем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2) Так как 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 по теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах. Значит, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - линейный угол двугранного угла 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - линейный угол двугранного угла 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3) Из 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Из 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
(Ответ: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415)
Дополнительные задачи
I уровень
Треугольник ABC – прямоугольный (13 EMBED Equation.DSMT4 1415), 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 Чему равен угол между плоскостями ADC и ACB?
Дано: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Найти: угол между плоскостями ADB и ACB.
Решение:
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415значит, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - искомый.
2) Из 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (катет противолежащий 30°).
3) Рассмотрим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
(Ответ: 60°.)
II уровень
Через сторону ромба ABCD проведена плоскость 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Сторона AB составляет с этой плоскостью угол 30°. Найдите угол между плоскостью ромба и плоскостью 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, если острый угол ромба равен 45°.
Дано: ABCD – ромб,13 EMBED Equation.DSMT4 1415, AD лежит в плоскости 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 угол между плоскостью 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и стороной AB составляет 30° (рис. 13).
Найти: угол между плоскостью ромба и плоскостью 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение:
1. Проведем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 Тогда углом между стороной AB и плоскостью 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 будет угол 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 значит, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - угол между плоскостью ромба и плоскостью 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
2. Обозначим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (противолежащий 30°).
3. Из 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
По теореме Пифагора: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 а 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 следовательно, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
4. Из 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
(Ответ: 45°.)
а
а
О
С
А
В
D
А
О
·
В
·
Q
P
R
С
·
D
A
M
B
O
С
C
M
B
D
С
A
K
B
B
C
D
M
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native