Дидактический материал по геометрии. Зачет — Теория по геометрии 7 класс , + ответы

Билет №1.
Точка, прямая, отрезок.
Простейшими фигурами в геометрии являются точка и прямая, они не имеют определения, но их можно описать. Точка - след от прикосновения острозаточенного карандаша на бумаге, а прямая - ровная линия без начала и конца.(показать на рисунке) Следующие за ними фигуры определяются уже через них. Отрезок – это часть прямой, ограниченная двумя точками, включает в себя граничные точки. (показать на рисунке) Точки могут принадлежать прямой, а могут и не принадлежать ей (показать на рисунке). Из трех точек на прямой, одна всегда лежит между двумя другими.
Существует утверждение: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Две прямые на плоскости: 1) могут пересекаться, то есть иметь одну общую точку; 2) могут не пересекаться, то есть не иметь общих точек (показать на рисунке)
Первый признак равенства треугольников.
Если две стороны и угол между ними одного треугольника, соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
20205703028950Дано:
АВС и А1В1С1
АВ= А1В1
ВС= В1С1
В=В1
Доказать:
АВС = А1В1С1
Доказательство
Мысленно наложим А1В1С1 на АВС, так чтобы вершина В1 совместилась с вершиной В.
Так как В=В1 ⇒ они при наложении совпадут.(так как равные фигуры при наложении совпадают)
Так как АВ= А1В1 ⇒ т.В совпадет с т.В1.
Так как ВС= В1С1 ⇒ т.С совпадет с т.С1.
Отрезок ВС совместится с отрезком В1С1 (так как через две точки проходит только одна прямая)
Таким образом, АВС совместится с А1В1С1 и значит АВС = А1В1С1 (ч.т.д.)
Билет №2.
Луч, дополнительные лучи, плоскость и полуплоскость.
Луч, это часть прямой ограниченная одной точкой. (показать на рисунке). Дополнительные лучи, это лучи, исходящие из одной точки и составляющие вместе прямую. (показать на рисунке). Плоскость одно из неопределяемых понятий геометрии, описательно: ровная поверхность, не имеющая края.
Полуплоскость – это часть плоскости, ограниченная прямой. Относительно прямой, разбивающей плоскость на две полуплоскости, точки могут лежать в одной полуплоскости, а могут лежать в разных полуплоскостях(показать на рисунке).
Второй признак равенства треугольников.
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника, соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
22593302838450Дано:
АВС и А1В1С1
АВ= А1В1
А=А1В=В1
Доказать:
АВС = А1В1С1
Доказательство
Мысленно наложим А1В1С1 на АВС, так чтобы вершина В1 совместилась с вершиной В, сторона А1В1 с равной ей стороной АВ, а вершины С1 и С лежали по одну сторону от прямой АВ.
Так как В=В1 ⇒ сторона В1С1 наложится на луч ВС.
Так как ∠А=А1 ⇒ сторона А1С1 наложится на луч АС.
Так как две прямые могут иметь только одну общую точку пересечения ⇒
т.С1 совпадет с точкой С и ⇒ В1С1 совместится с ВС, а А1С1 совместится с АС.
Таким образом, АВС совместится с А1В1С1 и значит АВС = А1В1С1 (ч.т.д.)
Билет №3.
Угол, виды углов, биссектриса угла.
Угол – это геометрическая фигура, состоящая из двух лучей, исходящих из одной точки. Точка называется вершиной угла, а лучи – сторонами угла. (показать на рисунке)
Виды углов: (каждый угол показать на рисунке)
Острый – градусная мера, которого больше нуля, но меньше 900.
Прямой – градусная мера, которого равна 900.
Тупой – градусная мера, которого больше 900, но меньше 1800.
Развернутый – градусная мера, которого равна 1800.
Биссектриса угла – это луч, исходящий из вершины угла, и делящий его на два равных угла. (показать на рисунке)
Третий признак равенства треугольников.
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
21062953200400
Дано:
АВС и А1В1С1
АВ= А1В1
АС=А1С1
ВС=В1С1
Доказать:
49637955067300АВС = А1В1С1
Доказательство
Мысленно приложим А1В1С1 к АВС, так чтобы сторона А1В1 совместилась с равной ей стороной АВ, а вершины С и С1 – оказались по разные стороны от прямой АВ.
Проведем СС1 (см. рисунок)
Рассмотрим СВС1 – р/б (ВС=В1С1 – по условию) СС1В=С1СВ (по свойству)
Рассмотрим САС1 – р/б (АС=А1С1 – по условию) СС1А=С1СА (по свойству)
Из 3 и 4 пункта получаем: : АСВ = АС1В , так как АСВ = С1СА + С1СВ, а АС1В = АС1С + СС1В
Рассмотрим АВС1 и АВС: АС=А1С1 и ВС=В1С1 (по условию), АСВ = АС1В (из п.5)
АВС = АВС1 (по первому признаку)
Таким образом, АВС = А1В1С1 (ч.т.д.)
Билет №4.
Треугольник. Виды треугольников.
Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех отрезков, попарно соединенных между собой. (показать на рисунке с обозначением)
Треугольники по видам углов делятся на: (показать каждый вид на рисунке)
Остроугольные – треугольники, у которых все углы острые.
Прямоугольные – треугольники, у которых один угол прямой, два другие – острые.
Тупоугольные – треугольники, у которых один угол тупой, два другие – острые.
Треугольники по сторонам делятся на: равносторонние (все стороны равны), равнобедренные (только две стороны равны) и разносторонние (стороны не равны). (показать каждый вид на рисунке)
Теорема о высоте равнобедренного треугольника, проведенной к основанию.
18630902695575Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
Дано:
АВС – р/б
АС – основание
ВН – высота
Доказать:
ВН – медиана и
Биссектриса

Доказательство:
Рассмотрим АВН и ВНС – прямоугольные (ВН – высота)
АВ=ВС (по условию)
А=С (по свойству р/б )
АВН = ВНС (по гипотенузе и острому углу)
Следовательно, по утверждению о равных треугольниках:
АН=НС и АВН=СВН ВН – медиана и биссектриса. (ч.т.д.)
Билет №5.
Треугольник. Элементы треугольника.
Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех отрезков, попарно соединенных между собой. (показать на рисунке с обозначением)
Элементами треугольника являются – медиана, высота и биссектриса. (все показать на рисунке)
Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной высоты.
Все три медианы любого треугольника пересекаются в одной точке.
Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с противоположной стороной.
Все три биссектрисы любого треугольника пересекаются в одной точке.
Высота треугольника – это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону, или ее продолжение.
Все три высоты, или их продолжения любого треугольника пересекаются в одной точке.
Теорема об угле в 300 в прямоугольном треугольнике.
23774403697605В прямоугольном треугольнике, катет, лежащий напротив угла в 300 равен половине гипотенузы.
Дано:
АВС – пр/уг51168304831080А=900.
В=300
Доказать:
АС= 12 ВС

Доказательство:
Приложим к АВС, равный ему АВD, так чтобы вершины С и D оказались по разные стороны от прямой АВ.
Рассмотрим DCB: ВDС = 900 - DВА = 900 – 300 = 600 (из АВD по теореме о сумме острых углов пр/уг ) СВD = 300 + 300 = 600 DCB – р/б и DС = ВС.
Но АС= 12 DС и так как DC = ВС (из п.2) АС= 12 ВС (ч.т.д.)
Билет №6.
Измерение отрезков и углов.
Отрезок – это часть прямой ограниченная двумя точками, включает в себя граничные точки.- Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. (привести пример с рисунком)
- Равные отрезки имеют равные длины. (привести пример с рисунком)
- Меньший отрезок имеет меньшую длину. (привести пример с рисунком)
- Длина отрезка, на котором отмечена точка, равна сумме длин отрезков, на которые делит его эта точка.
(привести пример с рисунком)
Угол – это геометрическая фигура, состоящая из двух лучей, исходящих из одной точки.
- Углы измеряются в градусах.
- Равные углы имеют равные градусные меры. (привести пример с рисунком)
- Градусная мера меньшего угла меньше градусной меры большего угла. (привести пример с рисунком)
- Если луч делит угол на два угла, то градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов. (привести пример с рисунком)
2. Теорема о двух прямых перпендикулярных к третьей.
22294853686175Две прямые перпендикулярные к одной и той прямой не пересекаются.
Дано:
ac
bc
Доказать:
a∩b

Доказательство:
Доказательство будем проводить методом от противного
Предположим, что прямые а и b пересекаются, тогда они будут иметь одну общую точку О.
Тогда получим, что из точки О на прямую с опущены два перпендикуляра ac и bc.
Но по теореме о существовании и единственности перпендикуляра к прямой этого быть не может.
Мы получили противоречие, значит наше предположение неверно и прямые а и b не будут пересекаться. (ч.т.д.)
Билет №7.
Смежные и вертикальные углы.
Смежными углами – это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными лучами. (показать на рисунке)
Свойство смежных углов: сумма смежных углов равна 1800.
Вертикальные углы – это два угла, у которых стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. (показать на рисунке)
Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны.
Свойство углов равнобедренного треугольника.
В равнобедренном треугольнике, углы при основании равны.
20516852316480
Дано:
АВС – р/б
АС – основание
Доказать:
А=С
Доказательство:
Мысленно скопируем АВС и перевернем копию – получим СВА.
Наложим СВА на АВС, так чтобы вершина В копии совместилась с вершиной В АВС.
Так как В копии равен В треугольника они при наложении совпадут.
Отрезок ВС копии наложится на луч ВА треугольника и так как АВ = ВС (по условию) ВС и ВА – совпадут.
Отрезок ВА копии наложится на луч ВС треугольника и так как АВ = ВС (по условию) ВА и ВС – совпадут.
Таким образом отрезок СА копии совместится с отрезком АС треугольника и треугольники при наложении совпадут А совпадет с С и значит: А=С (ч.т.д.)
Билет №8.
Теорема. Обратная теорема. Доказательство методом от противного.
Теорема – это утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждения. Само рассуждение называется доказательством теоремы.
Теорема обратная данной – это теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением – ее условие. Например: Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обратная теорема: Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным.
Следствие – это утверждение, которое выводится непосредственно из теоремы. Например: следствием из теоремы о высоте равнобедренного треугольника является: Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.
Доказательство методом от противного заключается в следующем:
Делается предположение противоположное тому, что надо доказать.
Затем, исходя из предположения, путем рассуждений приходят к противоречию либо с условием, либо с известным фактом.
На основании полученного противоречия делается вывод о том, что предположение неверно, а значит верно то, что требовалось доказать.
Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету.
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
19532604290060Дано:
АВС – пр/угА = 900
А1 = 900
АВ= А1В1
ВС=В1С1
Доказать:
АВС = А1В1С1
47802805332095
Доказательство:
Приложим к АВС к А1В1С1, так чтобы вершина А совместилась с вершиной А1, вершина В с вершиной В1, а вершины С и С1 оказались по разные стороны от прямой АВ.
Так как АВ= А1В1 они совпадут.
СА1С1= 900 + 900 = 1800 СА1С1 – развернутый и точки С, А1 и С1 – лежат на одной прямой.
Рассмотрим СВС1 – р/б (ВС= В1С1 по условию) С = С1 (по свойству)
Таким образом, АВС = А1В1С1 – по гипотенузе и острому углу. (ч.т.д.)
Билет №9.
Перпендикулярные прямые. Перпендикуляр к прямой.
Перпендикулярные прямые – это две прямые, которые при пересечении образуют четыре прямых угла.(показать на рисунке)
Перпендикуляр к прямой – это отрезок, опущенный из точки на прямую под прямым углом. Точка пересечения отрезка и прямой называется основанием перпендикуляра (показать на рисунке)
Теоремы:
1)Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой и притом только один.
2)Две прямые перпендикулярные к одной и той же прямой не пересекаются.
Признак равнобедренного треугольника.
Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным.
17760952943225
Дано:
АВС
А = ∠С
Доказать:
АВС – р/б
Доказательство:
Мысленно скопируем АВС и перевернем копию – получим СВА.
Наложим СВА на АВС, так чтобы вершина С копии совместилась с вершиной А АВС.
Так как А = С (по условию) А копии и С треугольника при наложении совпадут, так же С копии и А треугольника при наложении совпадут.
Отрезок СВ копии наложится на луч АВ треугольника и отрезок АВ копии наложится на луч СВ треугольника.
Так как две прямые могут иметь только одну общую точку пересечения ⇒
т. В1 совпадет с точкой В и ⇒ АВ совместится с СВ ⇒ АВ=СВ
Из того, что АВ=СВ ⇒ по определению ΔАВС - равнобедренный(ч.т.д.)
Билет №10.
Равнобедренный треугольник.
Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона – основанием. (показать на рисунке)
Свойство равнобедренного треугольника: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.(показать на рисунке)
Признак равнобедренного треугольника: Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. (показать на рисунке)
Теорема о высоте равнобедренного треугольника: Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. (показать на рисунке)
Следствия из теоремы о высоте равнобедренного треугольника:
Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой. (показать на рисунке)
Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и медианой. (показать на рисунке)
Теорема об отрезках касательных к окружности.
Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.25831803956050
Дано:
А ∉ Окр.(О, r)
АВ и АС – касательные
Доказать:
АВ = АС
∠ВАО = ∠САО

Доказательство:
Так как АВ и АС – касательные ⇒ ОС⊥АС и ОВ⊥АВ (по свойству касательной).
Рассмотрим ΔАСО и ΔАВО – прямоугольные (п.1)
АО – общая сторона, ОС=ОВ (как радиусы) ⇒ ΔАСО = ΔАВО (по катету и гипотенузе)
Значит, по утверждению о равных треугольниках: АС=АВ и ∠ВАО = ∠САО (ч.т.д.)
Билет №11.
Равносторонний треугольник и его свойства.
Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним. (показать на рисунке)
Свойства равностороннего треугольника:
В равностороннем треугольнике все углы равны, каждый по 600.
В равностороннем треугольнике высота, медиана и биссектриса, проведенные из одной вершины совпадают. (показать на рисунке)
В равностороннем треугольнике все три высоты, медианы и биссектрисы, пересекаются в одной точке, которая называется центром треугольника. (показать на рисунке)
Обратная теорема об угле в 300 в прямоугольном треугольнике.
4054475281876523075902967355Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий напротив этого катета, равен 30°.
Дано:
АВС – пр/угА=900
АС= 12 ВС
__________
Доказать:
В=300
Доказательство:
1. Приложим к АВС, равный ему АВD, так чтобы вершины С и D оказались по разные стороны от прямой АВ.
Рассмотрим DCB: DB = ВС и АС = DA (так как АВС=АВD) АС= 12 DС и АС= 12 ВС (по условию) DC = BC = DB
Получаем, что DCB – равносторонний D = С = В = 600 (по свойству)
Рассмотрим АВС: СВА = 900 – С = 900 – 600 = 300 (по теореме о сумме острых углов пр/уг ) В=300 (ч.т.д.)
Билет №12.
Прямоугольный треугольник.
Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого один из углов равен 900. Два другие – острые. Стороны образующие прямой угол называются катеты, а сторона, лежащая напротив прямого угла – гипотенуза (показать на рисунке)
Теоремы о прямоугольном треугольнике:
В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°. (показать на рисунке)
В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла 30° равен половине гипотенузы. (показать на рисунке)
Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий напротив этого катета равен 30°. (показать на рисунке)
В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы. (показать на рисунке)
В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше любого из катетов. (показать на рисунке)
Теорема о серединном перпендикуляре к отрезку.
Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.
22586953795395
Дано:
аАВ
а∩АВ=ОАО=ОВ
Mа
Доказать:
АМ=МВ
Доказательство:
Пусть М – любая точка серединного перпендикуляра.
Рассмотрим АМО и ВМО – прямоугольные (аАВ): МО - общая, АО=ОВ (по условию) АМО = ВМО (по двум катетам).
По утверждению о равных треугольниках: АМ = МВ (ч.т.д.)
Билет №13.
Признаки равенства прямоугольных треугольников.
Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. (показать на рисунке)
Если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому угла другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. (показать на рисунке)
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. (показать на рисунке)
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. (показать на рисунке)
Свойство вертикальных углов.
Вертикальные углы – это два угла, у которых стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.
Свойство: Вертикальные углы равны.
24155403665220
Дано:
а∩b=О1 и 3 – вертикальные
2 и 4 – вертикальные
Доказать:
1 =3 и 2 = 4
Доказательство:
1 и 2 – смежные 1 + 2 = 1800 (по свойству) 1 = 1800 – 2.
3 и 2 – смежные 3 + 2 = 1800 (по свойству) 3 = 1800 – 2.
Из пунктов 1 и 3 1 = 3.
Аналогично: 2 = 4. (ч.т.д.)
Билет №14.
Перпендикуляр. Наклонная. Расстояние от точки до прямой.
Перпендикуляр к прямой – это отрезок, опущенный из точки на данную прямую под прямым углом. Точка пересечения отрезка и прямой называется основанием перпендикуляра (показать на рисунке)
Наклонная – это отрезок, проведенный из данной точки на данную прямую, отличный от перпендикуляра. Точка пересечения наклонной и прямой называется основанием наклонной. (показать на рисунке)
Утверждение: Перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к этой прямой. (показать на рисунке)
Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к этой прямой. (показать на рисунке) Обозначается: (А, ВС) – расстояние от точки А до прямой ВС.
Свойство биссектрисы угла.
25063452890520Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон.
Дано:
ВАС - неразвернутыйАS – биссектриса
MАS
Доказать:
(М, АВ)=(М, АС)
Доказательство:
Проведем МК АВ и МН АС, тогда (М, АВ)=МК, а (М, АС)=МНРассмотрим АКМ и АНМ – прямоугольные (п.1): АМ – общая, КАМ=МАН (АS - биссектриса) АКМ = АНМ (по гипотенузе и острому углу)
По утверждению о равных треугольниках из п.2 МК = МН (М, АВ)=(М, АС) (ч.т.д.)
Билет №15.
Четырехугольник. Прямоугольник. Квадрат.
Четырехугольник – это геометрическая фигура, состоящая из четырех отрезков, никакие два из которых не лежат на одной прямой и не имеют общих точек, кроме своих концов. Отрезки называются сторонами, а концы вершинами. (показать на рисунке)
Смежные стороны – это две стороны, имеющие общую вершину. (показать на рисунке)
Противоположные стороны – это две стороны, не имеющие общей вершины. (показать на рисунке)
Диагональ – это отрезок, соединяющий две вершины, отличный от стороны. (показать на рисунке)
Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые. (показать на рисунке)
Свойство прямоугольника: противоположные стороны прямоугольника равны. (показать на рисунке)
Свойство диагоналей прямоугольника: диагонали прямоугольника равны. (показать на рисунке)
Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. (показать на рисунке)
Теорема о сумме углов треугольника.
Сумма углов треугольника равна 180°.
23914103107055
Дано:
АВС
________________
Доказать:
А + В + С = 1800
Доказательство:
Проведем ВНАС, где АС – сторона с прилежащими острыми углами. (в любом треугольнике два угла - острые)
Рассмотрим АВН – прямоугольный (п.1): А + АВН = 900 (по теореме о сумме острых углов пр/уг )
Рассмотрим ВНС – прямоугольный (п.1): НВС + С = 900 (по теореме о сумме острых углов пр/уг )
В АВС: В = АВН + НВС А + В + С = А + АВН + НВС + С = 900 + 900 (из п.2 и п.3)
Получаем: А + В + С = 900 + 900 = 1800 (ч.т.д.)
Билет №16.
Серединный перпендикуляр к отрезку (определение, теорема, обратная теорема, следствие).
Серединный перпендикуляр к отрезку - это прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему. (показать на рисунке)
Теорема о серединном перпендикуляре: Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. (показать на рисунке)
Обратная теорема: Каждая точка равноудаленная от концов отрезка лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. (показать на рисунке)
Следствие: Множество всех точек плоскости равноудаленных от концов отрезка, есть серединный перпендикуляр к этому отрезку. (показать на рисунке)
Теорема о внешнем угле треугольника.
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
19945352813685
Дано:
АВС
ВСD - внешний
Доказать:
ВСD = А + В
Доказательство:
Обозначим углы треугольника числами: А это 1, В это 2, С это 3 и ВСD это 4.
4 и 3 – смежные 4 + 3 = 1800 (по свойству) 4 = 1800 – 3
1 + 2 + 3 = 1800 (по теореме о сумме углов ) 3 = 1800 – 1 – 2
Из п.2 и п.3 получаем: 4 = 1800 – 3 = 1800 – (1800 – 1 – 2)= 1800 – 1800 + 1 + 2 =
=1 + 2 ВСD = А + В (ч.т.д.)
Билет №17.
Равные треугольники. Неравенство треугольника. Соотношения между сторонами и углами треугольника.
Фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.
Утверждения о равных треугольниках: (показать на рисунках)
1) Если два треугольника равны, то стороны и углы одного треугольника, соответственно равны сторонам и углам другого треугольника.
2) В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов – равные стороны.
3) В равных треугольниках соответствующие медианы, высоты и биссектрисы равны.
Теорема «Неравенство треугольника»: Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. (показать на рисунке)
Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника: В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. (показать на рисунке)
Обратная теорема о соотношениях в треугольнике: В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. (показать на рисунке)
Теорема о свойстве касательной к окружности.
Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
22536154030345
Дано:
Окр.(О, r)
а – касательная
ОА – радиус
а ∩ ОА=А
Доказать:
а ОА
Доказательство:
Доказательство будем проводить методом от противного
Предположим, что отрезок ОА и прямая а не перпендикулярны.
Тогда получим, что ОА – это наклонная к прямой а.
По утверждению о длине перпендикуляра и наклонной получим, что (О, а) < ОА а – является секущей к данной окружности, но по условию а - касательная.
Мы получили противоречие, значит наше предположение неверно и а ОА. (ч.т.д.)
Билет №18.
Окружность. Взаимное расположение прямой и окружности.
Окружность – это множество точек плоскости равноудаленных от одной данной, которая называется центром окружности. (показать на рисунке)
Радиус окружности – это отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо ее точкой. (показать на рисунке)
Окружность задается своим центром и радиусом.
Взаимное расположение прямой и окружности:
Рассмотрим окружность с радиусом r и прямую, которая находится на расстоянии ρ от центра данной окружности, тогда существуют 3 случая их взаимного расположения.
1 случай: ρ<r при этом условии прямая и окружность будут иметь две общие точки, то есть прямая будет секущей для этой окружности. (показать на рисунке)
2 случай: ρ=r при этом условии прямая и окружность будут иметь только одну общую точку, то есть прямая будет касательной для этой окружности. (показать на рисунке)
3 случай: ρ>r при этом условии прямая и окружность не будут иметь общих точек. (показать на рисунке)
Теорема о сумме углов прямоугольного треугольника.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 900.
1573530338328038595303316605Дано:
АВС - пр/угС = 900
Доказать:
А + В = 900
Доказательство:
Рассмотрим прямоугольник АВСD, у которого катеты ΔАВС – являются смежными сторонами, тогда гипотенуза АС – диагональ.
АD = ВС и AB = DC (по свойству сторон прямоугольника).
Рассмотрим ΔАВС и ΔАDС – прямоугольные (∠В = ∠D= 900, т.к. ABCD – прямоугольник):
АD = ВС и AB = DC (по свойству сторон прямоугольника)⇒ ΔАВС = ΔАDС (по двум катетам).
По утверждению о равных Δ из п.2 получаем: ∠САВ = ∠АСD и ∠ВСА = ∠DАС.
∠DAB = 900 (как угол прямоугольника), но ∠DAB = ∠DAC + ∠CAB = ∠ВСА + ∠САВ = 900
∠ВСА – это угол А треугольника АВС, а ∠САВ - это угол В треугольника АВС ⇒А + В = 900 (ч.т.д.)
Билет №19.
Окружность. Хорды, дуги, углы.
Окружность – это множество точек плоскости равноудаленных от одной данной, которая называется центром окружности. (показать на рисунке)
Радиус окружности – это отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо ее точкой. (показать на рисунке)
Окружность задается своим центром и радиусом.
Хорда окружности – это отрезок, соединяющий две точки окружности. (показать на рисунке)
Хорда, проходящая, через центр окружности будет являться ее диаметром. (показать на рисунке)
Диаметр окружности равен двум ее радиусам. (показать на рисунке)
Диаметр делит окружность на две полуокружности. (показать на рисунке)
Дуга окружности – это часть окружности, ограниченная двумя точками. (показать на рисунке)
Дуги измеряются в градусах, также как и углы. Градусная мера полуокружности равна 1800, всей окружности – 3600.
Центральный угол – это угол вершина, которого лежит в центре окружности. (показать на рисунке)
Градусная мера дуги – равна градусной мере центрального угла внутри, внутри которого она заключена.
Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее. (показать на рисунке)
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Свойство диагоналей прямоугольника.
Диагонали прямоугольника равны.
24307804697730
Дано:
ABCD – прямоугольник
Доказать:
AC = BD
Доказательство:
Рассмотрим АВС и BDA – прямоугольные (А=В=900 из условия)АВ – общая, АD = ВС (по свойству сторон прямоугольника)
АВС = BDA (по двум катетам) AC = BD (ч.т.д.)