Методическая разработка восьми часового элективного курса по теме Уравнения с параметрами

МОУ ООШ№1











Элективный курс

















Учитель: Тряпочкина Е.Н.






Спирово
2007г.
Содержание.

Пояснительная записка ____________________________ стр. 3
Цель курса _______________________________________ стр. 3
Задачи ___________________________________________ стр. 3
Формы и методы работы ____________________________стр. 4
Планируемые результаты ___________________________ стр. 4
Содержание курса _________________________________ стр. 5
Тематическое планирование ________________________ стр. 5
Краткое содержание каждого урока __________________ стр. 6
Анализ ситуации __________________________________ стр. 11
Литература _______________________________________ стр. 14
Экспертное заключение_____________________________ стр. 15




















Пояснительная записка.

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами наиболее трудной и важной частью решения таких задач является исследование процесса в зависимости от параметров. Решение таких задач требует не только знаний свойств функций и уравнений, умения выполнять алгебраические преобразования, но и высокой логической культуры и хорошей техники исследования.
В учебниках математики, по которым учатся наши дети, нет теоретических сведений и систематизированного набора заданий с параметрами, а вот в контрольно-измерительных материалах для сдачи ЕГЭ, такие задания имеются. Поэтому для хорошей подготовки и успешной сдачи экзамена данный курс необходим.
Кроме того, этот курс поможет довести решение простейших уравнений до автоматизма, а умение решать уравнения играет в математике огромную роль т. к. они являются неотъемлемой частью многих неравенств, текстовых задач, систем, применяются при исследовании функций и т.д., это поможет сэкономить время на экзамене, для более сложных заданий.
Цель курса:
Доведение до автоматизма применение алгоритмов решения уравнений, изучаемых в основной школе.
Расширение спектра решаемых уравнений, посильных для обучающихся.
Задачи:
Обобщение, систематизация и углубление знаний по теме «Уравнения с параметрами».
Развитие познавательных интересов и творческих способностей обучающихся.
Предоставление обучающимся возможности проанализировать и оценить свои способности к математической деятельности.
Облегчение выбора профиля в средней школе.
Формы и методы работы.

Формы работы необходимые для успешной работы как общеклассные (при повторении необходимого теоретического материала или при систематизации тех или иных знаний), так и индивидуальные (при выполнении упражнений, сдаче зачёта), кроме того, можно использовать и групповые формы работы (при отыскании решения нестандартных, трудных уравнений).
Методы работы могут быть также разнообразными. От фронтального опроса (при повторении), до эвристической беседы (при объяснении необходимых новых теоретических сведений), а также создания ситуации успеха при выполнении самостоятельных работ.
Главное, чтобы формы и методы работы располагали к самостоятельному поиску решений, повышать интерес к изучению предмета, развивать интуицию и скорость мышления.

Планируемые результаты.

Решение уравнений не содержащих параметры будет доведено до автоматизма.
Учащиеся приобретут уверенность в решении простых уравнений за курс основной школы.
Произойдёт расширение знаний, облегчение решения некоторых задач, требующих создания и исследования математической модели.
Данный курс даст возможность сделать обучающемуся правильный выбор дальнейшего обучения.
Содержание курса.
Предлагаемый курс рассчитан на восемь часов, т.к. девятиклассники, для того, чтобы сделать правильный выбор, должны попробовать себя в разных аспектах деятельности. Чем больше курсов они посетят, тем более полное представление будут иметь о том или ином предмете. Курс является развитием ранее приобретённых программных знаний. Он позволяет сформировать у обучающихся представление о математическом направлении профиля. В нём рассматриваются теоретические сведения, необходимые для решения уравнений с параметрами, вводятся и классифицируются уравнения с параметрами. Подробно рассматриваются линейные и квадратные уравнения с параметрами, предусмотрены уроки, направленные на привитие навыка решения этих уравнений. Также рассматриваются более сложные уравнения, такие, как иррациональные, тригонометрические, показательные, логарифмические. С этими видами уравнений обучающиеся только знакомятся, поскольку их они будут изучать только в средней школе.
Тематическое планирование.

№ п/п
Наименований разделов и тем
Количество часов
Форма контроля

1
Актуализация знаний.
1
Составление опорного конспекта.

2
Уравнения с параметрами. Линейные уравнения.
1
Обучающая самостоятельная работа.

3
Линейные уравнения с параметрами.
1
Исследовательская самостоятельная работа

4
Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к квадратным с параметрами
1
Групповое занятие. Отчёт по группам.

5
Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к квадратным с параметрами
1
Исследовательская самостоятельная работа

6
Иррациональные уравнения с параметрами.
1
Обучающая самостоятельная работа.

7
Решение различных уравнений.
1


8
Зачёт.
1
Зачётная работа.


Итого:
8



Краткое содержание каждого урока.
Урок №1. Актуализация знаний.
Тождественное равенство функций;
Определение уравнений как равенство двух функций (примеры);
Область определения уравнения (примеры);
Равносильность уравнений (примеры);
Основные теоремы равносильности (без доказательства, но с примерами).
Решение упражнений на нахождение области определения уравнений.
Примерные упражнения:
№1.
При каких х тождественно равны функции f(x) = 13 EMBED Equation.3 1415 и g(x) = х – 2?
№2. Найти область определения уравнения: 13 EMBED Equation.3 1415
№3. Равносильны ли уравнения: х2 – 3 – 4 = 0 и 3х – 2 = х + 6?
№4. Верно ли утверждение: если 13 EMBED Equation.3 1415, то и 13 EMBED Equation.3 1415?
№5. Верно ли утверждение: если 13 EMBED Equation.3 1415, то и 13 EMBED Equation.3 1415
№6. Найти коэффициенты, если (х2-вх+1)(ах2 – х + 3) = кх4 + рх + 3
Урок №2. Уравнения с параметрами. Линейные уравнения.
Определение уравнения с параметрами.
Примеры уравнений с параметрами;
Упражнения на определение неизвестных и параметров;
Нахождение области определения уравнения с параметрами.
Определение линейного уравнения и алгоритм его решения (повторение).
Решение линейных уравнений с параметрами и и уравнений, сводящихся к квадратным.
Примерные упражнения:
№1. Определить область определения уравнения: 13 EMBED Equation.3 1415.
№2. Решить уравнения: а) (а - 1)х – (2а + а - 3) = 0;
б)13 EMBED Equation.3 1415, в)13 EMBED Equation.3 1415,
г) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, д) 13 EMBED Equation.3 1415, е)13 EMBED Equation.3 1415.
(если все уравнения не будут решены на уроке, то одно – два можно задать домой).
Урок №3. Линейные уравнения с параметрами.
Исследовательская самостоятельная работа.
№1. Решить уравнение с параметрами.
а) (а - 4)х = 12; б) (в - 1)х = в – 1; в) 13 EMBED Equation.3 1415,
г) 13 EMBED Equation.3 1415 д)13 EMBED Equation.3 1415, е)13 EMBED Equation.3 1415.
Урок №4. Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к квадратным с параметрами.
Определение квадратного уравнения и способы его решения (повторение).
Решение упражнений, в которых необходимо определить количество корней в зависимости от его коэффициентов.
Решение квадратных уравнений, в которых удобно сделать замену, введя дополнительную переменную.
Решение квадратных уравнений с параметрами.
Примерные упражнения:
№1. При каком а уравнение ах2 – (а + 1)х + 2а – 1 = 0 имеет один корень?
№2. При каком а оба корня трёхчлена х + 2(а + 1)х + а + 2 отрицательны?
3. При каких а уравнение (а2 – 6а + 8)х2 + (10 – 3а – а2) = 0?
№4 . Решить уравнение: а) 13 EMBED Equation.3 1415; б)13 EMBED Equation.3 1415.
№5. Решить уравнение относительно х: а) тх + 3тх – (т + 2)= 0,
б) 13 EMBED Equation.3 1415, в) (k - 5)x + 3kx – (k - 5)=0.
Урок№5. Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к квадратным с параметрами.
Исследовательская самостоятельная работа.
№1. Решить уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415При каком значении с уравнение имеет один корень х = 4? Не имеет корней?
№2. Решить уравнение: а) 13 EMBED Equation.3 1415,
б) 13 EMBED Equation.3 1415, в) 13 EMBED Equation.3 1415.
№3. При каких значениях в уравнения х2 + 2(в - 3)х + (в2 – 7в + 12) = 0 и
х2 + (в2 – 5в + 6)х = 0
Урок №6. Иррациональные уравнения с параметрами.
Определение иррационального уравнения, примеры.
Область определения иррациональных уравнений.
Решение иррациональных уравнений, не содержащих параметр.
Решение иррациональных уравнений с параметрами.
Примерные упражнения:
№1. Решить уравнение: а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415, в)13 EMBED Equation.3 1415,
г) 13 EMBED Equation.3 1415.
№2 Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415. (двумя способами).
Урок №7. Решение различных уравнений. (Для повышения мотивации)
Показать решение изучаемых в 9 классе уравнений, которые сводятся к линейным или к квадратным, путём введения новой переменной.
Показать решение неизучаемых в 9 классе уравнений, которые сводятся к линейным или к квадратным.
Дать ответы на все интересующие обучающихся вопросы в рамках изучаемой темы.
Подготовить обучающихся к зачёту.
Примерные упражнения:
№1. Решить уравнение: а) 3х4 – 13х2 + 4 = 0; б) (х2 + х)2 – 11(х2 + х) = 12; в) 13 EMBED Equation.3 1415.
№2. Решить уравнение и определить, какому промежутку принадлежит его корень: 13 EMBED Equation.3 1415. 1) (-1;2); 2) (-5;-1); 3) (-2;0); 4) (2;4); 5) (-6;-2).
№3. Если 13 EMBED Equation.3 1415- корень уравнения 13 EMBED Equation.3 1415, то значение выражения 13 EMBED Equation.3 1415 равно: 1) 2; 2) 4; 3) -4; 4) -2; 5) 5.
№4. Число различных корней уравнения 13 EMBED Equation.3 1415 равно: 1) 5;
2) 1; 3) 4; 4) 2; 5) 3.
Урок №8. Зачёт.
(Для того, чтобы создать для обучающихся ситуацию успеха, считаю необходимым дать одно уравнение обычное, другое – содержащее параметры). Задание для всех вариантов – решить уравнения. Первый номер можно взять из сборника заданий для проведения письменного экзамена из второй части, второй номер взят мной из книги Г.А. Ястребинетского «Уравнения и неравенства, содержащие параметры» издательство «Просвещение» Москва 1972г. Вариантов можно иметь по количеству человек, посещающих курс.


Примерные задания:
В1. №1 13 EMBED Equation.3 1415. №2 13 EMBED Equation.3 1415.
В2. №1 13 EMBED Equation.3 1415. №2 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
В3. №1 х4 – 7х2 + 12 = 0; №2 13 EMBED Equation.3 1415.
В4. №1 2х4 – 19х2 + 9 = 0; №2 13 EMBED Equation.3 1415
В5. №1 х4 – 2х2 – 8 = 0; №2 13 EMBED Equation.3 1415.
В6. №1 (х2 – 5х)( х2 – 5х + 10) + 24 = 0; №2 13 EMBED Equation.3 1415.
В7. №1 (х2 – 3х)2 – (х2 – 3х) = 8; №2 13 EMBED Equation.3 1415 .
В8. №1 13 EMBED Equation.3 1415; №2 13 EMBED Equation.3 1415.
В9. №1 х3 + х2 – х – 1 = 0; №2 13 EMBED Equation.3 1415 .
В10. №1 6х4 – 3х3 + 12х2 – 6х = 0; №2 13 EMBED Equation.3 1415.
И т.д.







Анализ ситуации.

Обучение – это приобретение новых знаний, умений и навыков. Те сведения, которые являются для человека новыми, называются информацией. Для того, чтобы умело пользоваться этой информацией, необходимо понимать о чём идёт речь. В последнее время всё усложняется. Всё труднее становиться обходиться без понимания смысла новых слов и понятий. Существуют информационные барьеры, препятствующие приобретению прочных знаний. Их можно классифицировать следующим образом: языковой барьер; знаковый барьер; ситуативный барьер; барьер внутреннего несогласия.
Одним из таких барьеров, который стал препятствием на пути успешного преодоления ЕГЭ, являются задачи с параметрами, о которых в школьных учебниках по алгебре практически не упоминается. В КИМах же для проведения экзамена в форме ЕГЭ включают сложные задания в том числе, задачи, уравнения, неравенства с параметрами. Поскольку обучающиеся обычных общеобразовательных школ даже не представляют, что такое параметр, то подобные упражнения вызывают у них страх. Многие выпускники даже не пытаются выполнять номера, содержащие параметр, хотя возможно и справились бы с ними. Для того, чтобы немного исправить положение мною был разработан элективный курс «Ура! Уравнения». После презентации его выбрали 23 из 32 обучающихся 9-х классов, что составило 72%.


Прежде, чем начать изучение материалов курса, было проведено анкетирование слушателей курса. Они ответили на следующие вопросы:
Какие курсы вы выбрали?
Почему выбрали курс «Ура! Уравнения»?
Кто посоветовал? а) никто, б) родители, в) учитель.
Что вы ожидаете от этого курса?
Результаты анкетирования:
Вопрос 1.
Естественный цикл – 28 человек;
Физико-математический – 28 человек;
Общественно-политический – 23 человека;
Филологический – 25 человек.


В связи с тем, что многие обучающиеся остались довольны этим курсом, я буду предлагать его и другим обучающимся, учтя все пожелания, которые были сделаны школьниками, закончившими его.






Вопрос 2.
Расширить знания по математике – 5 чел.
Научиться решать более сложные уравнения – 4 чел.
Готовиться к экзаменам – 6 чел.
Нравиться предмет и учитель – 8 чел.



Вопрос 3.
Выбрал сам – 11 чел.
Посоветовали родители – 9 чел.
Посоветовал учитель – 3 чел.


Вопрос 4.
Устранить затруднения, возникающие при решении уравнений – 4 чел.
Научиться решать уравнения с параметрами – 12 чел.
Подготовиться к экзаменам – 7 чел.


Все 23 человек посещали курс с желанием, охотно выполняли предложенные мной задания, задавали много различных вопросов, касающихся темы курса, участвовали в исследовательских самостоятельных работах. По окончании курса все сдали зачёт и ответили на вопросы следующей анкеты:
Понравился ли вам курс «Ура! Уравнения»? - Да -23 чел.
Пригодится ли он вам в дальнейшем? - Да – 23 чел.
Оправдались ли ваши ожидания? - Да – 23 чел.
Какие проблемы не удалось решить? - Желательно начинать курс с 8 класса,
чтобы коснуться и других задач с
параметрами. – 5 чел.
Оцените по 10 бальной системе данный курс. – 9 баллов – 2 чел.
10 баллов – 21 чел.


Дальнейшие задачи:

Расширить курс до 16 часов, включив решение уравнений, содержащих модуль.
Отвести больше часов на решение практических задач.










Литература:
Л.В. Долгинцева «Математика» методическое пособие для учителей математики Тверь 2005г.
Г.А. Ястребинетского «Уравнения и неравенства, содержащие параметры» издательство «Просвещение» Москва 1972г.
Л.В. Кузнецова, Е.А. Бунимович и др. «Алгебра» сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы. Издательство «Дрофа» Москва 2001г.









































13PAGE 15


13PAGE 141415



13 EMBED Excel.Chart.8 \s 1415



" Ура! Уравнения! "Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native