Конспект занятия элективного курса 9 класс Иррациональные уравнения
МОУ Саранпаульская средняя школа
Занятие элективного курса
«Иррациональные уравнения»
“Мне приходится делить время
между политикой и уравнениями.
Однако, уравнения, по-моему, гораздо важнее.
Политика существует для данного момента,
а уравнения будут существовать вечно”.
Эйнштейн
Учитель математики: Попова И.Г.
Саранпауль, 2012.
Открытое занятие элективного курса по алгебре в 9 классе
по теме: «ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ"
Цель занятия: ввести понятие иррационального уравнения и показать способы их решения.
Тип занятия: изучение нового материала.
Оборудование: компьютер, экран, тетрадь.
Цель занятия: ввести понятие иррациональных уравнений и показать способы их решения.
Время проведения: 40 – 50 минут.
Задачи:
Образовательные: сформировать у учащихся умение решать иррациональные уравнения различными способами, отработать навыки решения иррациональных уравнений.
Развивающие:
развитие алгоритмического мышления, памяти, внимательности;
развитие операционного мышления, направленного на выбор оптимальных решений;
развитие у учащихся умения излагать мысли, делать выводы, обобщения;
развитие познавательного интереса, логического мышления.
Воспитательные:
воспитывать умение преодолевать трудности при решении задач;
усиление познавательной мотивации осознанием ученика свей значимости в образовательном процессе;
воспитание у учащихся самостоятельности, умение достойно вести спор, находчивость.
Ход занятия:
1 этап: Организационный момент
Вступительное слово учителя. Историческая справка. Термин «рациональное» (число) происходит от латиноамериканского слова ratio – отношение, которое является переводом греческого слова “логос”в отличие от рациональных чисел, числа, выражающие отношение несоизмеримых величин, были названы еще в древности иррациональными, т.е. нерациональными (по-гречески “алогос”) правда, первоначально термины “рациональный” и “иррациональный” относились не к числам, а к соизмеримым и соответственно не соизмеримым величинам, которые пифагорейцы называли выразимыми и невыразимыми, Теодор Киренский же симметричными и ассимметричными. В V-VI вв. римские авторы Капелла и Кассиодор переводили эти термины на латынь словами rationalis и irrationalis. Термин «соизмеримый» (commensurabilis) ввел в первой половине VI в. другой римский автор- Боэций.
Математики Индии, Ближнего и Среднего Востока, развивая алгебру, тригонометрию и астрономию, не могли обойтись без иррациональных величин, которые, однако, длительное время не признавали за числа. Греки называли иррациональную величину, например, корень из квадратного числа, «алогос» – невыразимое словами, а позже европейские переводчики с арабского на латынь перевели это слово латинским словом surdus – глухой. Отдельные ученые, в первую очередь итальянский математик Рафаэль Бомбелли и нидерландский математик Симон Стевин считали понятие иррационального числа равноправным с понятием рационального числа. Стевин писал: «Мы приходим к выводу, что не существует никаких абсурдных, иррациональных, неправильных, необъяснимых или глухих чисел, но что среди чисел существует такое совершенство и согласие, что нам надо размышлять дни и ночи над их удивительной закономерностью.» Математики и астрономы Ближнего и Среднего Востока вслед за астрономами древнего Вавилона и эллинистической эпохи широко пользовались шестидесятеричными дробями, арифметические действия с которыми они называли «арифметикой астрономов». По аналогии с шестидесятеричными дробями самаркандский ученый XV в. ал-Каши в работе «Ключ арифметики» ввел десятичные дроби которыми он пользовался для повышения точности извлечения корней. Независимо от него по такому же пути шел открывший в 1585 г. десятичные дроби в Европе Симон Стевин, который в своих «приложениях к алгебре» (1594 г.) показал, что десятичные дроби можно использовать для бесконечно близкого приближения к действительному числу. Таким образом, уже в XVI в. зародилась идея о том, что естественным аппаратом для введения и обоснования понятия иррационального числа являются десятичные дроби. В современных учебных руководствах основа определения иррационального числа опирается на идеи ал-Каши, Стевина и Декарта об измерении отрезков и о неограниченном приближении к искомому числу с помощью бесконечных десятичных дробей. Однако обоснованием свойств действительных чисел и полная теория их была разработана лишь в XIX в.
2 этап: Актуализация знаний
Постановка проблемы:
Учащимся предлагается задача ( на экране ): Периметр прямоугольного треугольника равен 48 см, один его катет на 4 см больше другого. Чему равны стороны этого треугольника?
Даётся время на обдумывание решения известным им способом ( с помощью теоремы Пифагора). Затем решение задачи поэтапно выводится на экран.
Решение. Первый этап. Составление математической модели. Пусть x см — меньший катет треугольника, тогда больший катет равен (x + 4) см. Так как периметр треугольника равен 48 см, то right267335гипотенуза равна 48 - x - (x + 4), т. е. (44 - 2х) см.
На чертеже представлена геометрическая модель задачи: прямоугольный треугольник с обозначенными длинами сторон. Применив к этому треугольнику теорему Пифагора, получим
Математическая модель задачи составлена. Второй этап. Работа с составленной моделью. Последовательно находим:
Третий этап: ответ на вопрос задачи.
Ответ: 12 см, 16 см, 20 см.
Замечание. Математическую модель только что решенной задачи можно было составить и по-другому. Пусть, как и раньше, x см — меньший катет, (x + 4) см — больший катет треугольника. Гипотенузу выразим по теореме Пифагора:
см.
Так как, по условию, периметр треугольника (т. е. сумма трех его сторон) равен 48 см, то получаем уравнение
и далее
Пришли к уравнению, которое решать ещё не умеем. Как же решаются такие уравнения?
Учащиеся предлагают варианты решения.
Далее учитель сообщает, что такие уравнения называются иррациональными, а о способах их решения расскажет один из учащихся этого же класса.
3 этап: Первичное восприятие и усвоение нового теоретического учебного материала (правил, понятий, алгоритмов)
Объяснение нового материала
На данном этапе урока, новый материал объясняет один из учеников. Заранее ученику было дано задание, подыскать материал по данной теме. Под руководством учителя приготовить презентацию по данной теме, подобрать примеры уравнений.
Всё сообщение учащегося сопровождается демонстрацией на экране.
Определение: Иррациональным называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень.
Примеры:
Способы решения иррациональных уравнений:
1 способ: возведение в квадрат обеих частей уравнения.
2 способ: замена переменной.
Примеры решения некоторых простейших иррациональных уравнений
Решим уравнение:
Возведём в квадрат обе части уравнения:
Сделаем проверку, чтобы убедиться, что найденный нами корень, не посторонний.
Решим уравнение:
Решим уравнение:
Решите уравнение самостоятельно:
Решим уравнение методом замены переменной:
Рассмотрим некоторые иррациональные уравнения и их вид после применения способа замены переменной:
4 этап: Применение теоретических положений в условиях выполнения упражнений и решения задач.
Работа в группах.
Учащиеся делятся на 2 группы.
Решение поставленной проблемы. Теперь, когда вы узнали какими способами, можно решить иррациональные уравнения попробуем найти ответ на задачу, которую мы рассматривали в начале занятия.
Учащиеся пробуют решить уравнение самостоятельно.
Работа по карточкам. Карточки по очереди раздаются каждой группе.
1 карточка:
Определите способ, подходящий для решения данных уравнений:
2карточка: Найдите ошибку в решении:
Вопросы учащимся: Какими способами вы будете решать уравнение, если в обеих частях стоят выражения находящиеся под знаком корня? Сумма таких выражений? Разность таких выражений?
5 этап: Рефлексия, подведение итогов.
Учащимся раздаются листки-опросники, которые они должны заполнить.
ФИ_____________________
Сегодня на занятия я узнал(а):
2)Ещё бы я хотел(а) побольше узнать о ________________________________________________________________________________________________________________________________________________