Методическое пособие по теме «Тригонометрия»

Методическое пособие
по теме «Тригонометрия»
для студентов I курса




Методическое пособие для студентов 1 курса по теме «Тригонометрия»
Асиновский техникум промышленной индустрии и сервиса. - 2012.
Составитель:
Л.В. Журавлёва, преподаватель математики АТпромИС.
Методическое пособие по теме «Тригонометрия» предназначен для студентов 1 курса, обучающимся по направлению начального профессионального образования социально-экономического профиля по профессии: 260807.01 «Повар, кондитер»; Рассмотрено на заседании методического объединения « Общеобразовательных дисциплин»/
Протокол № 3 от 15.11. 2012 г.
Рекомендовано к печати Методическим советом Асиновского техникума промышленной индустрии и сервиса
Протокол № 3 от 15.11. 2012 года

Аннотация
Данное пособие предназначено для студентов 1 курса, обучающихся по направлению начального профессионального образования социально-экономического профиля по профессиям: 260807.01 «Повар, кондитер». В пособие входит теоретический материал по теме «Тригонометрические функции», «Тригонометрические уравнения», «Преобразование тригонометрических выражений», соответствующий структуре изложения материала по УМК А.Г. Мордковича (базовый уровень), представлены примеры с решениями, а также задания для самостоятельной работы, подкреплённые ответами и рекомендациями. Пособие содержит пробные контрольные и зачётные работы по данным темам. В приложении - справочный материал по теме «Тригонометрия»
Теоретический и практический материал поможет студентам качественно подготовиться к текущему контролю, повторить и систематизировать знания по данной теме при подготовке к выпускной итоговой аттестации.
При составлении данного методического пособия преследовались следующие цели:
оказание методической помощи:
при изучении данной темы студентам, пропустившим занятия по различным причинам;
при повторении данной темы в ходе подготовки к сдаче зачётов, решению контрольных работ и подготовке к итоговой аттестации;
ликвидация пробелов знаний студентов по данной теме.
К каждому заданию дано несколько ответов, из которых только один верный. Указать в бланке ответов выбранный номер правильного ответа, поставив значок «» в соответствующей клеточке бланка, для геометрической задачи внести в клетку результат.
Время теста: 90 мин.
Критерии: «5» - 10-11 прав. ответов;«3» - 5,6 прав. ответов;
«4» - 7-9 прав. ответов;«2» - 4 и менее прав. отв.

Содержание

Зачётный раздел№1
Конспект№1 «Тригонометрические функции любого аргумента.
Определение и свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Радианная мера угла».
Конспект№2 «Зависимость между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента»
Конспект№3 «Формулы приведения».
Контрольная работа №1 по теме «Тригонометрические функции».
Обобщающее занятие по зачётному разделу №1
Зачет №1 по теме: «Тригонометрические функции»
Зачётный раздел№2
Конспект№4 «Тригонометрические уравнения»
Контрольная работа №2 по теме «Тригонометрические уравнения»
Обобщающее занятие по зачётному разделу №2
Зачет №2 по теме: «Тригонометрические уравнения»
Зачётный раздел№3
Конспект№5 «Формулы суммы и разности двух аргументов»
Конспект№6 «Тригонометрические функции двойного и половинного аргументов»
Конспект№7 «Формулы суммы и разности тригонометрических функций»
Контрольная работа №3 по теме «Преобразования тригонометрических выражений»
Обобщающее занятие по зачётному разделу №3
Зачет №3 по теме: «Преобразования тригонометрических выражений»
Итоговая контрольная работа по теме «Тригонометрия»
Справочный материал по теме «Тригонометрия»
Список использованной литературы

К каждому заданию дано несколько ответов, из которых только один верный. Указать в бланке ответов выбранный номер правильного ответа, поставив значок «» в соответствующей клеточке бланка, для геометрической задачи внести в клетку результат.
Время теста: 90 мин.
Критерии: «5» - 10-11 прав. ответов;«3» - 5,6 прав. ответов;
«4» - 7-9 прав. ответов;«2» - 4 и менее прав. отв.
Зачётный раздел №1
Конспект №1
«Тригонометрические функции любого аргумента.
Определение и свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Радианная мера угла».
-526695-675186 Отметим на оси Ох от начала координат точку А и проведем через нее окружность с центром в точке О. Радиус ОА будем называть начальным радиусом. Угол Р (ОМ; ОЕ) можно описать как получившийся в результате вращения вокруг начала координат луча с началом в точке О от положения ОМ - начального до положения ОЕ - конечного. Это вращение может происходить или против часовой стрелки или по часовой стрелке, причем
а) либо на неполный оборот,
б) либо на целое число полных оборотов;
в) либо на целое число полных оборотов и неполный оборот.
Меры углов, ориентированных против часовой стрелки, считаются положительными, а по часовой стрелки - отрицательными.
Будем считать равными углами такие углы, для которых при совмещении каким либо образом их начальных лучей совмещаются и конечные лучи, причем движение от начального луча к конечному осуществляется в одну и ту же сторону на одно и то же количество полных и неполных оборотов, вокруг точки О. Нулевые углы считаются равными. Свойства мер углов:
Существует угол, мера которого равна 1 - единица измерения углов;
Равные углы имеют равные меры;
Мера суммы двух углов равна сумме мер углов;
Мера нулевого угла равна нулю.
Наиболее распространенные меры углов - градусная и радианная.
Единицей измерения углов в градусной мере является угол величины в один градус - 1/180 часть развернутого угла. Из курса геометрии известно, что мера угла в градусах выражается числом от 00 до 1800 . что касается угла поворота, то он может выражаться в градусах каким угодно действительным числом от -∞ до + ∞.
В качестве окружности с центром в начале координат мы будем брать окружность единичного радиуса, обозначая точки ее пересечения с координатными осями A(1;0), B(0;1), C(-1;0), D(0;-1). В качестве начального угла у рассматриваемых углов будет браться луч ОА.
Координатные оси абсцисс и ординат взаимно перпендикулярны и разбивают плоскость на четыре координатные четверти: I, II, III, IV (см. рисунок).
В зависимости от того, в какой координатной четверти окажется радиус ОМ, угол α будет так же углом этой четверти.
Так, если 00<α<900 , то угол α – угол первой четверти;
Если 900<α<1800 , то угол α – угол второй четверти;
Если 1800<α<2700 , то угол α – угол третьей четверти;
Если 2700<α<3600 , то угол α – угол четвертой четверти.
Очевидно, что при прибавлении к углу целого числа оборотов получается угол той же четверти.
Например, угол 4300 является углом 1 – ой четверти, так как 4300 = 3600 + 700 = 700;
Угол 9200 является углом 3-ей четверти, так как 9200 = 3600 ·2 + 2000 = 2000
(т.е. число целых оборотов можно не учитывать!)
Углы 00, ± 900 , ± 1800, ± 2700, ± 3600 – не относятся ни к какой четверти!
Давайте определим, углом, какой четверти является угол α, если:
19050161925 α =2830 (4) α = 1900 (3) α =1000 (2) α = -200 (4ч –отрицательное направление)
Выполнить самостоятельно: α = 1790 α = 3250 α =8000 (2) α = -1200
В курсе геометрии были определены синус, косинус, тангенс и котангенс угла α при 00 ≤ α ≤ 1800 . Теперь мы рассмотрим эти определения на случай произвольного угла α.
Пусть при повороте около точки О на угол α начальный радиус ОА переходит в радиус ОМ.
Синусом угла α называется отношение ординаты точки М к длине радиуса.
Косинусом угла α называется отношение абсциссы точки М к длине радиуса.
Тангенсом угла α называется отношение ординаты точки М к ее абсциссе.
Котангенсом угла α называется отношение абсциссы точки М к ее ординате.
Так как координаты точки М равны х и у, а длина радиуса равна единице, то
Sinα = у/R=y; cosα = x/R = x; tgα = y/x = ; ctgα = x/y =
Рассмотрим примеры вычисления тригонометрических функций с помощью таблиц значений некоторых углов. Прочерки сделаны в том случае, когда выражение не имеет смысла.
α
(град) 00 300 450 600 900 1800 2700 3600

(рад) 0 π 2π
sin α 0 1 0 -1 0
cos α 1 0 -1 0 1
tg α 0 1 - 0 - 0
ctg α - 1 0 - 0 -
Рассмотрим примеры:
Пример №1
Найти sin300; cos450; tg600;
Решение: а) находим в столбике таблицы sinα и в строчке 300, на пересечении столбца и строчки находим значение sin300- это число . Пишут так: sin300=
б) находим в столбике таблицы cosα и в строчке 450, на пересечении столбца и строчки находим значение cos450 - это число . Пишут так: cos450 =
в) находим в столбике таблицы tgα и в строчке 600, на пересечении столбца и строчки находим значение tg600- это число . Пишут так: tg600=.
Пример №2
Вычислить: а) 2сos600 + cos300 = 2·
б)3tg450 ·tg600 = 3·1·= 3
Вычислите самостоятельно: а) 5sin300 - ctg450
б) 2sin300 + 6cos600 – 4tg450
в) 4tg600·sin600
г) 2cos00 -4sin900 +5tg1800
Рассмотрим некоторые свойства тригонометрических функций.
Выясним, какие знаки имеют синус, косинус, тангенс и котангенс в каждой из координатных четвертей. Пусть при повороте радиуса ОА, равного R, на угол α, точка А перешла в точку М с координатами х и у. Так как Sinα = у/R=y, то знак Sinα зависит от знака у.
В I и II четвертях у>0, а в II и IV четвертях – у <0.
Знак cosα зависит от х, так как cosα = x/R = x, то для углов I и IV четвертях – у >0, а во
II и III четвертях у <0.
Так как tgα = y/x = ; ctgα = x/y = , то в I и III четвертях tgα и ctgα имеют знак «+», а во II и IV четвертях они имеют знак «минус».
Знаки синус, косинус, тангенс и котангенс в каждой из четвертей покажем на рисунке.
ЗНАКИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
+ +

- -
- -
Знаки синуса Знаки косинуса знаки тангенса и котангенс
- +
+ -
+ -
- +
- +
- +


Выясним теперь вопрос о четности и нечетности тригонометрических функций.
Синус, тангенс и котангенс являются нечетными функциями, а косинус является четной функцией
sin (-α) = - sin α cos (-α) = cos α tg (-α) = - tg α ctg (-α) = -ctg α
нечетная четная нечетная нечетнаяНапример:
cos(-400) = cos400; sin( -300) = -sin300 = - ; tg(-600) = -tg600 = -
Отметим еще одно свойство тригонометрических функций:
При изменении угла на целое число оборотов значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса не изменяются.
Например: а)sin 7650 = sin(2·3600 + 450) =sin450 =
б)cos (-11700) = cos11700 = cos(3·3600 +900)= cos900 = 0.
Попробуй определить знак выражения:
а)sin (-300) ; cos (-700); tg(-45)0; б) sin1000·cos3000; в) cos3200·ctg170
Мы уже отмечали, что наряду с градусной мерой угла существует и радианная мера углов.
Единицей измерения углов в радианной мере является угол величины в один радиан - это такой центральный угол, которой опирается (или стягивает) дугу окружности, по длине равной ее радиусу.
Если обозначить 10 и 1рад. соответственно градусную и радианную меры, то для выражения градусной меры через радианную будем использовать формулу , а для выражения радианной меры углов через градусную будем использовать формулу πрад=180°π∙nрад1 рад ≈ 570, а 10 ≈ 0,017рад
Выразим в градусах а) 4,5рад. б)
4,5рад. = 4,5·
= ·
Найдем радианную меру углов: а) 450 б) 720
Решение: 450 = 450 ·
720 = 720 ·
Найдем значение sin2,5
Решение: sin2,5= sin(2+ 0,5) = sin0,5= 0,5
Выполнить самостоятельно:
1. Выразите в радианной мере углы: 300; 450; 600; 900 ; 1800; 2700; 3600.
2.Выразите в градусной мере углы: 0,5; ; ; -
3.Используя значения таблицы синуса, косинуса, тангенса и котангенса, найдите:
а) 2sin б) cos
К каждому заданию дано несколько ответов, из которых только один верный. Указать в бланке ответов выбранный номер правильного ответа, поставив значок «» в соответствующей клеточке бланка, для геометрической задачи внести в клетку результат.
Время теста: 90 мин.
Критерии: «5» - 10-11 прав. ответов;«3» - 5,6 прав. ответов;
«4» - 7-9 прав. ответов;«2» - 4 и менее прав. отв.

Конспект№2
«Зависимость между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента»
Основное тригонометрическое тождество
Для произвольного угла найдем соотношения между тригонометрическими функциями.
Для любого угла справедливо равенство:
(1)
Доказательство. На единичной окружности углу соответствует точка . Квадрат расстояния между точками и равен единице: , откуда следует .■
Определение 1. , где .
Определение 2. , где .
, где ; .
Действительно, .
Разделив обе части равенства (1) на , получим , т.е. , .
Разделим обе части равенства (1) на : , , .
Из основного тригонометрического тождества (1) следуют формулы:
, .
Знаки перед корнями соответствуют знакам .
Из формулы найдем : , где .
Из формулы найдем : , где .
Рассмотрим применение основных тригонометрических функций
Пример№1
Упростите выражение: 1-cos2α
Из основного тригонометрического тождества sin2α + cos2α = 1 выразим cos2α, получим cos2α =1 - sin2α. Подставим это выражение в данное и получим:
1-cos2α = 1 – (1 - sin2α) = 1 –1 + sin2α = sin2α
Пример №2
Упростите выражение: 1 - sin2α - cos2α
Из основного тригонометрического тождества sin2α + cos2α = 1 выразим cos2α, получим cos2α =1 - sin2α. Подставим это выражение в данное и получим:
1 - sin2α – (1 - sin2α) = 1 - sin2α – 1 + sin2α = 0.
Пример №3
Упростите выражение: sinx cosx tgx
Вспомним формулу tgx = , подставим это выражение в данное и получим:
sinx cosx сократим числитель и знаменатель на общий множитель cosx,
sinx cosx = sin2x
окончательно имеем: sinx cosx tgx = sinx cosx = sin2x
Пример №4
Упростите выражение:
т.к. = tgx, то , получим: =
Пример №5
Упростите выражение:cos2x – (ctg2x + 1)sin2 x
Решение: воспользуемся формулой ctg2x + 1= , получим:
cos2x – (ctg2x + 1)sin2 x = cos2x – sin2 x = cos2x – 1 = - (1 - cos2x ) = - sin2x.
Пример №6
Найти cosα, tgα, ctgα, если известно, что sinα = .
Решение: найдем сначала cosα. Из формулы sin2α + cos2α = 1 выразим cos2α, получим cos2α =1 - sin2α. Так как α является углом 2-ой четверти, то его косинус отрицателен. Значит,

Зная синус и косинус угла α, можно найти его тангенс:

Для отыскания котангенса угла α удобно воспользоваться формулой tgα·ctgα = 1. Имеем:
Пример№7
Известно, что tgα = 2 и 0<α<π/2. Найти sinα, cosα, ctgα.
Воспользовавшись формулой 1 + tg2 α = , найдем cosα. Имеем:
1 + 22 = ; = 5, cos2 α = 1/5
По условию угол α является углом 1-ой четверти, поэтому его косинус положителен. Значит, cosα =
Зная cosα и tgα , можно найти sinα. Из формулы tgα = получаем:
sinα = tgα· cosα =2·=
Для отыскания котангенса угла α удобно воспользоваться формулой tgα·ctgα = 1. Имеем:
Выполните самостоятельно:
Упростите выражение: а) sin2 α -1; б) cos2x + (1 - sin2α); в) ;
г) tgα·ctgα + ctg2 α; д) (tg2x + 1)( 1-cos2α); е)7сos2 α + 7sin2 α – 5; ж) сos4 α + sin2 α· сos2 α
Вычислите: а) сosα, если sinα = 0,6, 900 <α<1800 ; б) sinα и tgα, если cosα = 0,8, ;
в) tgα = 7. Найти сtgα, cosα.

К каждому заданию дано несколько ответов, из которых только один верный. Указать в бланке ответов выбранный номер правильного ответа, поставив значок «» в соответствующей клеточке бланка, для геометрической задачи внести в клетку результат.
Время теста: 90 мин.
Критерии: «5» - 10-11 прав. ответов;«3» - 5,6 прав. ответов;
«4» - 7-9 прав. ответов;«2» - 4 и менее прав. отв.

Конспект№3
«Формулы приведения».
Формулы приведения позволяют вычислять значения тригонометрических функций произвольного аргумента через значения тригонометрических функций острого угла. Рассмотрим это утверждение подробно для функций .
Если аргумент больше , то разделив на , получим , где и . Далее, используя периодичность функций получаем ; .Если , то утверждение доказано. Пусть . Покажем, что и в этом случае вычисление можно свести к значениям данных функций для угла , при этом значения , равные и не рассматриваем. Действительно, любой угол можно представить в зависимости от величины в виде , , , , где .
Значения синусов и косинусов таких углов вычисляются по формулам суммы и разности аргументов.
,,
,,
,,
, ,
,,
,,
,.
Данные формулы называются формулами приведения для синуса и косинуса. Докажем некоторые из них:
,,
, и т.д.
Аналогичные рассуждения можно провести для тангенса и котангенса. Если аргумент больше , то, используя их периодичность, можем записать: , , где .Для перехода к аргументу воспользуемся формулами приведения для синуса и косинуса: .
Аналогично доказываются следующие формулы приведения для тангенса и котангенса:, , .
Для запоминания формул приведения удобно использовать следующее правило.
1) При переходе через углы наименование тригонометрической функции меняется на кофункцию ( на , на , на , на ). При переходе через углы и наименование функции сохраняется.
2) Знак перед приведенной функцией определяется знаком приводимой функции, в зависимости от четверти, к которой принадлежит ее аргумент.
Например: .
Наименование функции меняем на кофункцию, так как аргумент содержит слагаемое . Знак перед приведенной функцией «+», поскольку , а во второй четверти .
Другие примеры: 1.
Наименование функции не меняем на кофункцию, так как аргумент содержит слагаемое . Знак перед приведенной функцией «-», поскольку , а в третьей четверти cosx<0
2. вынесем за скобки «минус». Т.е. поменяем знак у каждого слагаемого, т.е. поменяем местами слагаемые, чтобы получить формулу приведения , т.к. функция синус нечетная, то знак минус вынесем за скобки
= - = - sinα
3.cos(α-π) = cos(-(π - α) функция косинус четная, а значит знак минус можно просто опустить
cos(α-π) = cos(-(π - α) = cos(π - α) = - cosα
4.Иногда удобно использовать таблицы формул приведения. Найдем, используя таблицу. Смотрим столбик и находим sinx , а в строчке находим . На пересечении столбца и строчки найдем значение выражения cosx. Окончательно имеем: = cosx.
ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ
х π + α π - α 2π + α 2π - α
sin x - sin x sin x sin x - sin x
cos x - cos x - cos x cos x cos x
tg x tg x - tg x tg x - tg x
ctg x ctg x - ctg x ctg x - ctg x
х
sin x cos x cos x - cos x - cos x
cos x - sin x sin x sin x - sin x
tg x - ctg x ctg x - ctg x ctg x
ctg x - tg x tg x - tg x tg x
Выполните самостоятельно:
Приведите к тригонометрической функции угла α
;
;
;

Найдем значение выражения cos1200
Решение:
Мы представили 1200 как разность 1800 и 600. Учитывая, что для углов 1800 наименование функции сохраняется, получим туже функцию cos. Угол 1800 - 600 является углом второй четверти, где функция косинус имеет знак минус. Окончательно имеем: cos1200 = cos(1800 – 600) = - cos600 = -0,5
Найдем значение выражения: cos
Решение: из дроби выделим целую часть, для этого разделим 8 на 3. Целых 2 и остаток 8-2·3 = 8-6 = 2, т.е. =
cos ()наименование функции не меняем на кофункцию, так как аргумент содержит слагаемое 2. Знак перед приведенной функцией «+», поскольку , а в первой четверти cosx>0
cos ()= cos приведем угол к углу первой четверти, т.е. = π-, тогда cos ()= cos = cos(π-) наименование функции не меняем на кофункцию, так как аргумент содержит слагаемое . Знак перед приведенной функцией «-», поскольку , а во второй четверти cosx<0. Окончательно имеем:
cos ()= cos = cos(π-) = - cos= - 0,5
Проверь себя!
Упростить выражение:
а)sin(900 –α) + cos(1800 + α) + tg(2700+α) + ctg(3600 +α) (ответ: 0)
б) sin(π/2+α) - cos(α-π) + tg(π - α) + ctg(5π/2 - α) ( ответ: 2cosα)
2. Найдите значение выражения: а) sin 2400; б) cos (-2100); в) tg3000
Ответ. а) -; б) -; в) -
К каждому заданию дано несколько ответов, из которых только один верный. Указать в бланке ответов правильного ответа, поставив значок «» в соответствующей клеточке бланка, для геометрической задачи внести в клетку результат.
Время теста: 90 мин.
Критерии: «5» - 10-11 прав. ответов;«3» - 5,6 прав. ответов;
«4» - 7-9 прав. ответов;«2» - 4 и менее прав. отв.

Контрольная работа №1
По теме «Тригонометрические функции»
Цель: проверка знаний и практических умений студентов
Дано: cosα = 0,6, 1,5 π<α<2π. Вычислить а) sinα б)tg(π/2 +α)
Докажите равенство:
Найдите наименьшее и наибольшее значения выражения 6 sinα
Переведите из градусной меры в радианную: а)1500 б)2700
Переведите из радианной меры в градусную: а)
Упростите выражение: (1 – sin2 α): (1- cos2 α)
Внимание!
Если вы выполнили предложенную вам работу, я предлагаю вам проверить правильность ее выполнения:
№1 Решение: а) sinα = -Т.к cosα = 0,6, 1,5 π<α<2π,
б) tg(π/2 +α) = - ctgα = -
№2 Решение:
№3 Решение: 6 sinα , т.к. -1 ≤ sinα ≤ 1, то . -6 ≤ 6 sinα ≤ 6. Значит наименьшее значение функции равно -6, а наибольшее значение функции равно 6.
№4 Решение: а)1500 = б)2700 =
№5 Решение: а)
№6 Решение: (1 – sin2 α): (1- cos2 α) = cos2x : sin2x = ctg2x
Надеюсь, что вы не нашли ошибочных решений у себя или их было очень мало!
К каждому заданию дано несколько ответов, из которых только один верный. Указать в бланке ответов выбранный номер правильного ответа, поставив значок «» в соответствующей клеточке бланка, для геометрической задачи внести в клетку результат.
Время теста: 90 мин.
Критерии: «5» - 10-11 прав. ответов;«3» - 5,6 прав. ответов;
«4» - 7-9 прав. ответов;«2» - 4 и менее прав. отв.
Обобщающее повторение по зачетному разделу №1
Теоретическая разминка
(ответь сам или найди ответ с помощью материалов предыдущих занятий)
1. Для каких значений угла имеет смысл выражения:

2. Какие знаки имеет синус, косинус, тангенс и котангенс в каждой из координатных четвертей?
3. а) Чему равен ;
б) Чему равен
4. а) Выразите в радианах
б) Выразите в радианах
5. а) Назовите формулу, выражающую связь между синусом и
косинусом одного и того же угла.
б) Чему равно выражение
6. а) Как выражается тангенс угла через косинус того же угла?
б) Как выражается котангенс угла через синус того же угла?
7. а) Назовите формулы приведения для первой, второй, третьей и четвертой четвертей.
Найдите ошибку:

Подумай и реши:
1. Упростите выражение:

2. Вычислите и , если
3. Упростите выражение:
К каждому заданию дано несколько ответов, из которых только один верный. Указать в бланке ответов выбранный номер правильного ответа, поставив значок «» в соответствующей клеточке бланка, для геометрической задачи внести в клетку результат.
Время теста: 90 мин.
Критерии: «5» - 10-11 прав. ответов;«3» - 5,6 прав. ответов;
«4» - 7-9 прав. ответов;«2» - 4 и менее прав. отв.
Зачет №1 по теме: «Тригонометрические функции »

Рассмотрите внимательно предполагаемый вариант зачета №1 и попробуйте свои силы. Желаю удачи!
Запишите cos с помощью наименьшего положительного числа:
а) sin ; б) sin ; в) cos; г) cos ;
2. Сравните с нулем выражения и выберите правильную серию ответов:
sin; cos5 и tg1,6.
а) - - + б) + + -; в) - + - ; г) - + +.
3. Найдите значение выражения:
5 sin2 - 3 cos2 + tg
а) 2,5 б)1,25; в) 1,75; г) 1,5.
4.Упростите выражение:

а) соs; б) -sin2; в) sin2; г) соs2;
5.Дано: соs = - и <
Найти: sin
а) - ; б) ; в) ;г) -
6. Упростите выражение:

а) 2tg2; б) -2сtg2; в) 2сtg2; г) -2tg2;
8. Найдите значение выражения: , если tg= -2 а) -; б) -3; в) ; г) -5.
К каждому заданию дано несколько ответов, из которых только один верный. Указать в бланке ответов выбранный номер правильного ответа, поставив значок «» в соответствующей клеточке бланка, для геометрической задачи внести в клетку результат.
Время теста: 90 мин.
Критерии: «5» - 10-11 прав. ответов;«3» - 5,6 прав. ответов;
«4» - 7-9 прав. ответов;«2» - 4 и менее прав. отв.
Зачётный раздел №2
Конспект № 4
«Тригонометрические уравнения»
Простейшие тригонометрические уравнения
Простейшие тригонометрические уравнения решаются по формулам:
sinх=ax=(-1)κarcsin𝒂+𝛑𝛋 (|𝒂|≤1), 𝛋∈Zcosх=ax=±arccos𝒂+2𝛑n (|𝒂|≤1), n∈Ztgx=𝒂 x=arctg𝒂+𝛑m, m∈Zctgx=𝒂 x=arcctg𝒂+𝛑m, m∈ZПри решении частных случаев уравнений удобно использовать более простые формулы:
sinx=-1 x= - π2+2𝛑𝛋, 𝛋∈Zsinx=0 x=𝛑𝛋, 𝛋∈Zsinx=1 x= π2+2𝛑𝛋, 𝛋∈Zcosx=-1 x=𝛑+2𝛑n, n∈Zcosx=0 x= π2+𝛑n, n∈Zcosx=1 x=2𝛑n, n∈Z Пример:
5sin(2х-π3) = 2 Решение:
sin(2х-π3)=252х- π3=(-1)κarcsin25+𝛑𝛋, 𝛋∈Z2х= π3+(-1)κarcsin25+𝛑𝛋, 𝛋∈Z х=π6+12(-1)κarcsin25+π2𝛋, 𝛋∈Z
Ответ: π6+12(-1)κarcsin25+π2𝛋, 𝛋∈Z
Некоторые способы решения тригонометрических уравнений
1. Введение новой переменной
Приводимые к квадратным
Однородные
Симметричные
Универсальная подстановка
2. Разложение на множители
Вынесение общего множителя за скобки
Применение формул сокращенного умножения
Применение тригонометрических тождеств
3. Понижение степени уравнения
4. Метод вспомогательного аргумента
5. Метод оценки левой и правой частей уравнения
6. Графический способ
7. Метод сравнения аргументов одноименных функций
1. ВВЕДЕНИЕ НОВОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Однородные уравнения
1) sin2х-2sinхcosх=3cos2х;
2) 6sin2х+sinхcosх-cos2х=2;
3) sin2х-cos2х=2-2sin2х;
4) 2sin2х+cos2х+3sinхcosх=3
Пример:
2sin2х+cos2х+3sinхcosх=3
Решение:
2sin2х+cos2х+3sinхcosх=3sin2х+3cos2хsin2х+2cos2х-3sinхcosх=0 | :cos2х≠0
Действительно, если cosх=0, то из данного уравнения следует, что sinх=0, однако, sin2х+cos2х=1, следовательно, cosх≠0tg²x – 3tgx + 2 = 0
Замена: tgx=у
у²-3у+2=0
у₁= 1; у₂=2
Выполним обратную замену:
tgx=1 или tgx=2
x=π4+𝛑𝛋, 𝛋 Z x=arctg2+𝛑n, n Z
Ответ: π4+𝛑𝛋, 𝛋 Z; arctg2+𝛑n, n Z
Введение новой переменной. Симметричные уравнения
Уравнения, которые при замене sinх на cosх и наоборот не изменяются, являются симметричными. Такие уравнения решаются с помощью замены:
у=sinх+cosх, |у|≤2 у²=1+2sinхcosх sinхcosх=у²-12 → sin2х=у²-1
1) 2(sinх+cosх)=4sinхcosх;
2) sinх+cosх+sinхcosх=1;
3) sinх-22sinхcosх+cosх=0;
4) sinх+cosх=1+sin2х;
Пример:
2(sinх+cosх)=4sinхcosх Решение:
Пусть у=sinх+cosх, |у|≤2, тогда sinхcosх=у²-12 2у=2(у²-1)
2у-2у²+2=0
у₁=2, у₂=- 22Таким образом, решение исходного уравнения сводится к решению двух тригонометрических уравнений:
sinх+cosх=2, sinх+cosх=-2212sinх+12cosх=112sinх+12cosх=- 12sin(х+π4)=1 sin(х+π4)=- 12х=π4+2𝛑n, nZх=(-1)κ+1π6 - π 4+𝛑𝛋, 𝛋Z
Ответ: π4+2𝛑n, nZ; (-1)κ+1π6 - π 4+𝛑𝛋, 𝛋Z.
Метод универсальной тригонометрической подстановки
Формулы универсальной тригонометрической подстановки:
sinx=2tgx21+tg²x2 ; cosx=1-tg²x21+tg²x2 ; tgx=2tgx21-tg²x2 ; ctgx = 1-tg²x22tgx21) 2cos2x+2tg²x = 5;
2) sinx + ctgx2 = 2;
3) ctg(π4 - x)=5tg2x + 7;
4) (cosx- sinx)(2tgx+ 1cosx) + 2=0;
Пример:
2cos2x+2tg²x = 5
Решение:
Подстановка: cos2х=1-tg²х1+tg²х2*1-tg²х1+tg²х +2tg²x = 5
Замена: tg²x=𝒂 , 𝒂≥0
2(1-a)1+a + 2𝒂 = 5
𝒂₁=3; 𝒂₂= - 1 2 - не подходит, т.к. 𝒂≥0
Выполним обратную замену:
tg²x=3;
tgx=3 , x=π3 + 𝛑n, n∈Z,
tgx=-3 ; x=- π3 + 𝛑𝛋, 𝛋ϵZ.
Ответ: ±π3 + 𝛑m, m∈ZРазложение на множители
1) 3cosх+sin2х=0;
2) 3sinх-sin2х=0;
3) sin3х(1+ctgx)+cos3х(1+tgx)=cos2х;
4) sinх+sin2х+sin3х=cosх+cos2х+cos3х;
Пример:
sinх+sin2х+sin3х=0
Решение:
(sinх+sin3х)+sin2х=02sin2хcosх+sin2х=0
sin2х(2cosх+1)=0
sin2х=0 или 2cosх+1=0
2х=𝛑n, nZ cosх=- 12х=π2n, n∈Z х=arccos(- 12)+2𝛑𝛋, 𝛋Z
х=±2π3+2𝛑𝛋, 𝛋∈ZОтвет: π2n, n∈Z; ±2π3+2𝛑𝛋, 𝛋∈Z
Понижение степени
QUOTE = QUOTE QUOTE = QUOTE
Если показатели степеней синусов и косинусов, входящих в уравнение, четные, то понижение степени производится по формулам половинного аргумента.
1) sin3х+sin5х=2cos22х - 2sin23х;
2) sin22х+sin23х+sin24х+sin25х = 2;
3) sin2х+sin25х =1;
4) cos23х+cos24х+cos25х = 32;

Пример:
sin10х + cos10х = 2916cos42х Решение:
(1-cos2х2)5+(1+cos2х2)5 = 29 16cos42х
Замена: cos2х=t
(1-t2)5+(1+t2)5=2916t42+20t²+10t⁴=58t⁴
24t⁴-10t²-1=0
Пусть t²=y, где y≥0, тогда
24y²-10y-1=0
y₁= 1 2y₂= - -112 ; y₂‹0,
Тогда t²= 12 , t₁= 12 , t₂=-12Выполним обратную замену:
cos2х= 12 , х=±π8+𝛑n, n∈Zcos2х=- 12 , х=±3π8+𝛑n, n∈ZОтвет: π8 + πκ4, 𝛋∈Z
К каждому заданию дано несколько ответов, из которых только один верный. Указать в бланке ответов выбранный номер правильного ответа, поставив значок «» в соответствующей клеточке бланка, для геометрической задачи внести в клетку результат.
Время теста: 90 мин.
Критерии: «5» - 10-11 прав. ответов;«3» - 5,6 прав. ответов;
«4» - 7-9 прав. ответов;«2» - 4 и менее прав. отв.

Контрольная работа № 2
по теме «Тригонометрические уравнения»
Цель: проверка знаний и практических умений студентов
1 вариант
А1. arccos a имеет смысл, если:
а) а[0;]; б) а[-1;1]; в) а[-;]; г) а(-1;1).
А2. Решением уравнения cos х = 0 являются:
а) х =+2n, nZ; б) x =n, nZ; в) x =+n, nZ; г) x =+2n, nZ.
А3. Вычислите: arcsin 0 + arctg
а)0,5; б) 1; в); г).
А 4. Уравнение 2tg х = -3:
а) имеет одно решение; б) не имеет решения; в) имеет два решения;
г) имеет бесконечное множество решений.
А5. Уравнение sin х = имеет решения:
а) x =(-1)n+2n, nZ; б) x =(-1)n+2n, nZ; в) x =(-1)n +n, nZ;
г) x =(-1)n+n, nZ.
В. Решите уравнения:
а) cos () = ; б) sin2 x – 3 cos x – 3 = 0; в) 1 + sin x = 0.


2 вариант
А1. arcsin a имеет смысл, если:
а) а[0;]; б) а[-1;1]; в) а[-;]; г) а(-1;1).
А2. Решением уравнения cos х = - 1 являются:
а) х =+2n, nZ; б) x =n, nZ; в) x =+n, nZ; г) x =+2n, nZ.
А3. Вычислите: arcos 0 + arctg 1
а)0,5; б) 1; в); г).
А 4. Уравнение ctg х - 4 = 0:
а) имеет одно решение; б) не имеет решения; в) имеет два решения;
г) имеет бесконечное множество решений.
А5. Уравнение sin x = имеет решения:
а) x =(-1)n+2n, nZ; б) x =(-1)n+2n, nZ; в) x =(-1)n +n, nZ;
г) x =(-1)n+n, nZ.
В. Решите уравнения:
а) sin () = ; б) cos2 x – 4 sin x – 1 = 0; в) 1 + sin x = 0.

Критерии оценки контрольной работы
Задания Баллы Примечание
А1 – А5 5 Каждый правильный ответ 1 балл
В 6 Каждый правильный ответ 2 балла
Максимальный балл за работу – 11 баллов
Шкала перевода баллов в отметки
Отметка Число баллов, необходимое для получения отметки
« 5» (отлично) 10-11
« 4» (хорошо) 9-10
« 3» (удовлетворительно) 6-8
« 2 « (неудовлетворительно) менее 5
Ответы к контрольной работе
1 Вариант 2 Вариант
А1б) б)
А2в) г)
А3 в) г)
А4г) г)
А5 в) в)
В а) x =+ + 4πn, nZ;
б) х = π + 2πn, nZ; в) x =+ 2πn, nZ. а) x =( - 1)n - + 2πn, nZ;
б) х = 0 + πn,nZ; в) x =+ 2πn, nZ

К каждому заданию дано несколько ответов, из которых только один верный. Указать в бланке ответов выбранный номер правильного ответа, поставив значок «» в соответствующей клеточке бланка, для геометрической задачи внести в клетку результат.
Время теста: 90 мин.
Критерии: «5» - 10-11 прав. ответов;«3» - 5,6 прав. ответов;
«4» - 7-9 прав. ответов;«2» - 4 и менее прав. отв.

Обобщающее занятие по зачётному разделу №2

Теоретическая разминка
(ответь сам или найди ответ с помощью материалов предыдущих занятий)

Теоретическая часть:
Определение арккосинуса числа а.
Решение уравнения вида cos t = a (показать на окружности).
Арккосинус отрицательного числа (показать на окружности).
Определение арксинуса числа а.
Решение уравнения вида sin t = a (показать на окружности).
Арксинус отрицательного числа (показать на окружности).
Определение арктангенса числа а.
Решение уравнения вида tg t = a (показать на окружности).
Арктангенс отрицательного числа (показать на окружности).
Определение арккотангенса числа а.
Решение уравнения вида ctg t = a (показать на окружности).
Арккотангенс отрицательного числа (показать на окружности).
Однородные тригонометрические уравнения первой степени.
Однородные тригонометрические уравнения второй степени.

Практическая часть:
Вычислить:
а) б)
в) г)
Решить уравнения:
а) б)
в) г)
д) е)

Решить неравенства:
а) б)
в) г)
д) е)
К каждому заданию дано несколько ответов, из которых только один верный. Указать в бланке ответов выбранный номер правильного ответа, поставив значок «» в соответствующей клеточке бланка, для геометрической задачи внести в клетку результат.
Время теста: 90 мин.
Критерии: «5» - 10-11 прав. ответов;«3» - 5,6 прав. ответов;
«4» - 7-9 прав. ответов;«2» - 4 и менее прав. отв.

Зачет №2 по теме: «Тригонометрические уравнения»
Рассмотрите внимательно предполагаемый вариант зачета №2 и попробуйте свои силы. Желаю удачи!

Проверяемые элементы содержания и виды деятельности:
умение решать простейшие тригонометрические уравнения.
1. Решите уравнение .
1) 2) 3) 4)
2. Решите уравнение cos2x = 0.
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
3. Решите уравнение ctg2 x = 3.
1) 2) 3) 4)
4. Решите уравнение -3sinx = 0.
1) πm, mZ; 2) 2 πm, mZ; 3) , mZ; 4) , mZ.
5. Решите уравнение .
1) 2) 3) 4)
6. Решите уравнение .
1) х=π+k, k Z; 2) х=+k, k Z; 3) х=2k, k Z; 4) х=π+2k, k Z.
7. Решите уравнение .
1) x=π+2πk, k Z; 2) x=-πk, k Z; 3) x= -+πk, k Z; 4) x=2πk, k Z.
8. Решите уравнение sinx – sin2 x = cos2х.
1) х=+2k, k Z; 2) х=2k, k Z; 3) х=k, k Z; 4) х=+k, k Z.
9. Найдите сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения . 1) 2) 0 3) 4)
10. Найдите сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения .
1) 2) 3) 4)
11.Решите уравнение .
1) 2) 3) 4)
12. Решите уравнение .
1) 2) 3) 4)
13.Решите уравнение
1) х= π+2k, k Z; 2) х=+k, k Z; 3) х=k, k Z; 4) х=+k, k Z.
14. Решите уравнение sinx - cosx = 0.
1) +k, k Z; 2) +2k, k Z; 3) +k, k Z; 4) -+k, k Z.
15. Решите уравнение .
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
16. Решите уравнение .
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
17. Решите уравнение .

18. Решите уравнение .

19. Решите уравнение .

20. Решите уравнение .

21. Решите уравнение .

22. Решите уравнение .

23. Решите уравнение .

24. Решите уравнение .

Ответы:
№ вопроса 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Ответ 3 1 1 1 3 4 2 1 2 1 3 4 2 1 2 1
№ вопроса 17 18 19 20 21 22 23 24
Ответ 1 2 2 1 1 3 2 2

К каждому заданию дано несколько ответов, из которых только один верный. Указать в бланке ответов выбранный номер правильного ответа, поставив значок «» в соответствующей клеточке бланка, для геометрической задачи внести в клетку результат.
Время теста: 90 мин.
Критерии: «5» - 10-11 прав. ответов;«3» - 5,6 прав. ответов;
«4» - 7-9 прав. ответов;«2» - 4 и менее прав. отв.

Зачётный раздел №3
Конспект № 5
«Преобразование тригонометрических выражений»
Косинус суммы и разности двух аргументов
Для любых двух углов и справедливо тождество
.
Доказательство. На единичной окружности возьмем точки , и , соответствующие углам и .
Найдем координаты данных точек пользуясь определениями синуса и косинуса:
,
, .
рисунок 1.1Очевидно, что отрезки и равны как хорды, стягивающие равные дуги. Выразим длины этих отрезков через координаты точек , , и .
;
.
Так как , то, возводя обе части этого равенства в квадрат и выполняя преобразования, получаем цепочку эквивалентных равенств



. ■
Для любых двух углов и справедливо тождество
.
Доказательство.

так как и .■
Синус суммы и разности аргументов
Предварительно докажем формулы:
1) ; 2) .
1) .
2)

Теорема 1. Для любых углов и справедливо тождество
.
Доказательство. Используя формулы 1) и 2), докажем теорему 1

■
Теорема 2. Для любых углов и справедлива формула
.
Доказательство.

так как , .
Тангенс суммы и разности двух аргументов
Тангенс суммы двух аргументов можно получить из рассмотренных выше формул:
Рассмотрим примеры на применение данных формул
Пример 1
Используя формулы сложения, вычислить cos750 ; sin750.Решение:
соs 750 = cos(450 + 300) = cos450cos300 – sin450sin300 =
Sin 750 = sin(450 + 300)= sin450cos300 + cos450sin300=
Закончите вычисления с помощью вышерассмотренных формул:
а) сos1050= cos(600 +450) =
б)sin150 = sin(450 – 300) =
Пример 2
Дано sinα = 0,6, sinβ = 0,8, π/2<α<π, π/2<β<π. Найти sin(α+β)
Решение: sin(α+β) = sinαcosβ+sinβcosα
Так как по условию задачи углы α и β принадлежат второй четверти, то cosα и cosβ имеют знак «минус». Используем формулs cos2α = 1-sin2α; cos2β = 1-sin2β
cos2α = 1-0,62= 1-0,36 = 0,64
cosα = -= -0,8
cos2β = 1-0,82= 1-0,64 = 0,36
cosα = -= -0,6
Подставим полученные данные и имеющиеся в условии данные в формулу sin(α+β) = sinαcosβ+sinβcosα и выполним действия
sin(α+β) = 0,6·(-0,8)+0,8·(-0,6) = -0,48-0,48=-0,96
Используя решение примера №2 в качестве образца, вычислите
cos(α + β), если sinα = 0,6, sinβ = 0,8, π/2<α<π, π/2<β<π
Пример №3.
Найдите значение выражения cos760cos160 + sin760sin160
Решение: cos760cos160 + sin760sin160 здесь развернутая формула косинуса разности двух углов. Вспомним, что, значит: cos760cos160 + sin760sin160 = cos(760 – 160) = cos600 = 0,5
Вычислите самостоятельно:
а)sin580cos130 + cos580sin130
б)cos160cos140 – sin160sin140

Пример №4
Упростить выражение: cos(α + β) + cos(α - β)
Решение: воспользовавшись формулами косинуса суммы косинуса разности, получим: cos(α + β) + cos(α - β) = cosαcosβ – sinαsinβ + cosαcosβ + sinαsinβ = 2 cosαcosβ
Упростите самостоятельно:
а) cos(α + β) – cosαcosβ;
б) sinα cosβ – sin(α - β).
К каждому заданию дано несколько ответов, из которых только один верный. Указать в бланке ответов выбранный номер правильного ответа, поставив значок «» в соответствующей клеточке бланка, для геометрической задачи внести в клетку результат.
Время теста: 90 мин.
Критерии: «5» - 10-11 прав. ответов;«3» - 5,6 прав. ответов;
«4» - 7-9 прав. ответов;«2» - 4 и менее прав. отв.

Конспект №6
Тригонометрические функции двойного и
половинного аргументов
Теорема 1. Для любого угла справедливы тождества:
;
,(1)
которые называются формулами двойного угла.
Доказательство. В формулах и положим равным . Получим тождества: , .■
Следствие. Из формулы следуют формулы:
.
Доказательство.


Теорема 2. Формулы двойного угла для тангенса и котангенса имеют вид:
, где ;
, где .
Доказательство.
В формулах и положим равным . В результате получим формулы двойного угла для тангенса и котангенса.
Используя формулы двойных углов, можно получить формулы половинного угла для тригонометрических функций.
1. Из формул следствия теоремы 1 найдем и :
, .
В данных формулах заменим на :
, ,
откуда следует , .
Знаки перед корнями соответствуют знакам и .
2. , где ;
, где .
Знаки перед корнями соответствуют знакам и .
Доказательство. Формулы получаются при почленном делении каждого тождества из предыдущего пункта 1.
3.Для любого справедлива формула ;
для любого справедлива формула .
Доказательство первой формулы:
.
Вторая формула доказывается аналогично.
4. Выразим тригонометрические функции через тангенс половинного аргумента. Докажем, что для любого угла , , справедливы формулы: , , , если при этом , то .
Доказательство. .
Разделив числитель и знаменатель дроби на (, так как ), получим: .
Аналогичным способом доказывается вторая формула:
;
;
Рассмотрим примеры на применение вышерассмотренных формул
Пример №1
Упростите выражение:
Решение: В числите дроби мы видим формулу синуса двойного угла sin2α =2 sinαcosβ, имеем
( здесь мы числитель и знаменатель дроби сократили на одинаковый множитель sinα).
Пример №2
Упростите выражение: cos2 β- cos2β
Решение: в данном выражении встречается формула косинуса двойного угла
cos2β = cos2 β-sin2β
упростим выражение cos2 β- cos2β = cos2 β – (cos2 β-sin2β) = cos2 β – cos2 β+sin2β = sin2β
Упростите следующие выражения самостоятельно:
а) ; б) cos2β + sin2β; в)
Пример №3
Найти значение sin2α, если cosα = -0,8, α - угол 3-ей четверти.
Решение: сначала вычислим sinα . Так как α – угол 3-ей четверти, то sinα<0. Поэтому

По формуле синуса двойного угла имеем: sin2α =2 sinαcosβ = 2·(-0,6)·(-0,8) = 0,96
Самостоятельно найди значение cos2α, если sinα = -0,8, α - угол 3-ей четверти.
Пример №4
Упростить выражение:
Решение: к выражению 1 – cosα применим формулу 1 – cos2α= 2sin2α и, представим α в виде произведения 2· , получим 1 – cosα =2sin2.
К выражению 1 + cosα применим формулу 1 + cos2α= 2cos2α и, представим α в виде произведения 2· , получим 1 + cosα =2cos2.
Упростим данное выражение =
Упростите самостоятельно: а) ; б)
Пример №5
Вычислите: а) 2sin450cos450
Решение: 2sin450cos450 = sin2·450 = sin900 = 1
б) 4cos2 450 -4sin450
Решение: 4cos2 450 -4sin450 = 4(cos2 450 -sin450) =4 cos2·450 =4 cos900= 0
в)
Вычислите самостоятельно: а) 2sin150cos150 б) cos2 150 –sin150 в) .

Конспект №7
К каждому заданию дано несколько ответов, из которых только один верный. Указать в бланке ответов выбранный номер правильного ответа, поставив значок «» в соответствующей клеточке бланка, для геометрической задачи внести в клетку результат.
Время теста: 90 мин.
Критерии: «5» - 10-11 прав. ответов;«3» - 5,6 прав. ответов;
«4» - 7-9 прав. ответов;«2» - 4 и менее прав. отв.

Конспект №7
Формулы суммы и разности тригонометрических функций
Теорема: сумма синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на косинус их полуразности
Sin α + Sinβ = 2
Докажем это: положим, α = х + у; и β = х – у и воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности. Получим: Sin α + Sinβ = Sin (х + у) + Sin(х – у) = sinxcosy + cosxsiny + sinxcosy – cosxsiny = 2 sinxcosy
Из равенства α = х + у; и β = х – у найдем сумму этих выражений α + β = 2х, откуда х = ; найдем разность выражений: α - β = 2у и выразим у; у = . Поэтому
Sin α + Sinβ = 2
Аналогично можно вывести формулы разности синусов, суммы и разности косинусов:
Формула разности синусов: Sin α - Sinβ = 2
Разность синусов двух углов равна удвоенному произведению синуса полуразности этих углов на косинус их полусуммы.
Формула суммы косинусов: cosα + cosβ = 2
Сумма косинусов двух углов равна удвоенному произведению косинусов полусуммы этих углов на косинус полуразности этих углов.
Формула разности косинусов: cosα - cosβ = - 2
Разность косинусов двух углов равна взятому со знаком «минус» удвоенному произведению синуса полусуммы этих углов на синус их полуразности.
Формула суммы тангенсов:
Формула разности тангенсов:
Рассмотрим примеры применения полученных формул.
Пример №1
Упростим сумму Sin 100 + Sin500
Решение: Sin 100 + Sin500 = =2
Пример №2
Представить в виде произведения: cos150 + cos450 = 2
Пример№3
Докажите, что
Доказательство: преобразуем левую часть равенства используя формулы суммы синуса и косинуса суммы двух углов:

Пример №4 Найдите значение выражения:
преобразуем левую часть равенства используя формулы разности синуса и косинуса разности двух углов: =
Попробуйте свои силы: 1. Представить в виде произведения:
а) cos460 - cos740; б)sin150 + sin450 ; в)cos500 + cos100 ; г) tg150 + tg450
Докажите, что

К каждому заданию дано несколько ответов, из которых только один верный. Указать в бланке ответов выбранный номер правильного ответа, поставив значок «» в соответствующей клеточке бланка, для геометрической задачи внести в клетку результат.
Время теста: 90 мин.
Критерии: «5» - 10-11 прав. ответов;«3» - 5,6 прав. ответов;
«4» - 7-9 прав. ответов;«2» - 4 и менее прав. отв.

Контрольная работа № 2
по теме: « Преобразования тригонометрических выражений»
Цель: проверка знаний и практических умений студентов
Подготовительный вариант
Вычислите: a)cos1000cos400 + sin1000sin400; б) cos2750 – sin2750
Упростите выражение: (1-cos2(π-x))(1-cos2(1,5π-x))
Дано: cosα = 0,6, 1,5 π<α<2π. Вычислить а) sin2α б)cos (π/6- α)
Докажите тождество: (sint -cost)2 = 1 - sin2t
Вычислите:
Проверь свое решение:
№1 Решение:
а)cos1000cos400 + sin1000sin400 = cos(1000 – 400) = cos600 = 0,5
б) cos2750 – sin2750 = cos1500 = cos(1800 -300) = -cos300 = -
№2 Решение: (1-cos2(π-x))(1-cos2(1,5π-x)) = (1-cos2x)(1-sin2x) = sin2x·cos2x= 0,5sin22x
№3 Решение:
а) sin2α = 2sinαcosα. Т.к. cosα = 0,6, 1,5 π<α<2π, то
sin2α = 2sinαcosα = 2·(-0,8)·0,6 = - 0,96
б) cos (π/6- α) = cos
№4 Решение:
(sint – cost)2 = sin2t – 2sintcost + cos2t = 1 – sin2t
1 - sin2t = 1- sin2t
№5Решение:
Надеюсь, что ошибок было мало и можно готовиться к зачету!
К каждому заданию дано несколько ответов, из которых только один верный. Указать в бланке ответов выбранный номер правильного ответа, поставив значок «» в соответствующей клеточке бланка, для геометрической задачи внести в клетку результат.
Время теста: 90 мин.
Критерии: «5» - 10-11 прав. ответов;«3» - 5,6 прав. ответов;
«4» - 7-9 прав. ответов;«2» - 4 и менее прав. отв.

Обобщающее повторение
по зачетному разделу №3
Теоретическая разминка
(ответь сам или найди ответ с помощью материалов предыдущих занятий)
Чему равен синус суммы двух углов?
Чему равен косинус суммы двух углов?
Чему равна разность синусов двух углов?
Чему равна разность косинусов двух углов?
Чему равна сумма синусов двух углов?
Чему равна сумма косинусов двух углов?
Чему равен синус разности двух углов?
Чему равен косинус разности двух углов
Назовите формулы двойного угла.
Найдите ошибку:

Реши самостоятельно
1. Упростите выражение:

2. Упростите выражение:

3. Вычислите , если

5. Докажите тождество:

6. Сократите дробь:

7. Сократите дробь:

Благодарю за сотрудничество. Надеюсь на удачную сдачу зачета!
К каждому заданию дано несколько ответов, из которых только один верный. Указать в бланке ответов выбранный номер правильного ответа, поставив значок «» в соответствующей клеточке бланка, для геометрической задачи внести в клетку результат.
Время теста: 90 мин.
Критерии: «5» - 10-11 прав. ответов;«3» - 5,6 прав. ответов;
«4» - 7-9 прав. ответов;«2» - 4 и менее прав. отв.

Зачет №3 по теме:
« Преобразование тригонометрических выражений »

Запишите формулы сложения для тригонометрических функций.
Выведите формулы приведения для аргументов π/2 + α ; π – α.
Запишите формулу двойного аргумента.
Выведите формулы для cos2α, cosα/2.
Запишите формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.
Запишите формулы преобразования разности тригонометрических функций в произведение.
Вычислите sin140cos310 + sin310 cos140
Упростите выражение tqx (1 + cos2x)
Вычислите sin x/2, если sinx = 0,6, 0<x<π/2.
Упростите выражение: cos500 cos200 – 0/5cos700
Вычислите: sin1050 + sin750
Упростите: 2sin400sin500

К каждому заданию дано несколько ответов, из которых только один верный. Указать в бланке ответов выбранный номер правильного ответа, поставив значок «» в соответствующей клеточке бланка, для геометрической задачи внести в клетку результат.
Время теста: 90 мин.
Критерии: «5» - 10-11 прав. ответов;«3» - 5,6 прав. ответов;
«4» - 7-9 прав. ответов;«2» - 4 и менее прав. отв.

Итоговая контрольная работа по теме «Тригонометрия»

1 вариант
1). Вычислить:

2). Упростить выражение:

3). Доказать тождество:

4). Решить уравнение
а).

5). Зная, что и , найти .
2 вариант
1). Вычислите:

2). Упростить выражение:

3). Доказать тождество:

4). Решить уравнение
а).

5). Зная, что и , найти .
К каждому заданию дано несколько ответов, из которых только один верный. Указать в бланке ответов выбранный номер правильного ответа, поставив значок «» в соответствующей клеточке бланка, для геометрической задачи внести в клетку результат.
Время теста: 90 мин.
Критерии: «5» - 10-11 прав. ответов;«3» - 5,6 прав. ответов;
«4» - 7-9 прав. ответов;«2» - 4 и менее прав. отв.

Справочный материал по теме «Тригонометрия»

\s
Макеты числовой окружности Связь градусной и радианной мер
036830
4572036830

Определение тригонометрических функций
Синусом числа t называется ордината точки Рt числовой окружности : sin t = у
Косинусом числа t называется абсцисса точки Рt числовой окружности : соs t = х
Cекансом числа t называется обратное значение косинусу числа t :
Косекансом числа t называется обратное значение синусу числа t : Тангенсом числа t называется отношение sin t к cos t.
Котангенсом числа t называется отношение cos t к sin t.
Ось тангенсов – прямая х = 1.
Ось котангенсов – прямая у = 1.
20186652984578105-4445
Знаки тригонометрических функций по четвертям
sin t
4584706350
cos t
6013456350
tg t и ctg t
458470635
Чётные и нечётные функции
Функция f называется чётной, если для любого х из её области определения f ( - х) = f (х).
Функция f называется нечётной, если для любого х из её области определения f ( - х) = - f (х).
График чётной функции симметричен относительно оси ординат.
График нечётной функции симметричен относительно начала координат.
Функции y = sin x, y = tg x , y = ctg x - нечётные, т.к. sin (- x) = - sin x , tg (- x) = - tg x , ctg (- x) = - ctg x .
Функция y = cos x - чётная , т.к. cos (- x) = cos x .
Мнемоническое правило для запоминания формул приведения
1. Функция в правой части берётся с тем же знаком, который имеет исходная функция, если считать,
что угол α является углом I четверти.
2. Для углов название исходной функции сохраняется; для углов и название
исходной функции заменяется (синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс)
Периодичность тригонометрических функций
Функция y = f(x) называется периодической , если существует число Т (Т ≠ 0), что для любого х из области определения f(x -T) = f(x) = f(x +T).

Период функции представляющей собой сумму непре- рывных и периодических функций, равен наименьшему кратному периодов слагаемых.
#
; Наименьший положительный период функций
y = sin x и y = cos x равен .
Наименьший положительный период функций
y = tg x и y = ctg x равен является .
Формула для нахождения периода:
# , то
# ,то
Функция Преобразование графика функции y = f (x)
у = f (x) + а Параллельный перенос вдоль оси ординат на а единиц вверх.
у = f (x) - а Параллельный перенос вдоль оси ординат на а единиц вниз.
у = f (x + а) Параллельный перенос вдоль оси абсцисс на а единиц влево.
у = f (x - а) Параллельный перенос вдоль оси абсцисс на а единиц вправо.
у = k f (x), k › 0 Растяжение вдоль оси ординат в k раз. (Растяжение от оси абсцисс в k раз)
у = f (x) , k › 0 Сжатие вдоль оси ординат в k раз. (Сжатие к оси абсцисс в k раз)
у = - f (x) Симметричное отображение его относительно оси ОХ.
у = f (-x) Симметричное отображение его относительно оси ОУ.
у = f (k x), k › 0 Сжать вдоль оси ОХ в k раз.
у = , k › 0 Растянуть вдоль оси ОХ в k раз.
у = | f (x)| Часть графика расположенная выше оси абсцисс остаётся без изменения, а расположенная ниже оси абсцисс отображается симметрично этой оси.
у = f (|x|) Часть графика, расположенная в области х ≥ 0, остаётся без изменения , а его часть для области х ≤ 0 заменяется симметричным отображение относительно оси ОУ части графика для х ≥ 0.
Замечание: Чтобы построить график функции , необходимо выполнить преобразование
, а затем только строить график
Графики основных тригонометрических функций
y = sin x
228600-5080
D(y) = R E(y) = [-1; 1] y = cos x
27432040640
D(y) = R E(y) = [-1; 1]
y = tg x
52959016510
E(y) = R y = ctg x
61722043815
E(y) = R
Две точки, симметричные относительно
Оси абсцисс
57150024130
Оси ординат
51054024130
Начала координат
56324513970

Значения тригонометрических функций некоторых углов
t 00
0 300
450
600
900
1200
1350
1500
1800
2100
2250
2400
2700
3000
3150
3300
3600

sin t 0 1 0 - 1 0
cos t 1 0 - 1 0 1
tg t 0 1 -- - 1 0 1 - - 1 0
ctg t -- 1 0 - 1 -- 1 0 - 1 -
Решение тригонометрических уравнений

-51435351790 sin x = a, |a|≤ 1
Частные случаи: sin x = 1
sin x = 0
sin x = -1
sin2x = a, 0 ≤ a ≤ 1
sin x = a,
69850275590 cos x = a, |a|≤ 1
Частные случаи: cos x = 1
cos x = 0
cos x = -1
cos2x = a, 0 ≤ a ≤ 1
cos x = a,
tg x = a ,
68707041275
tg2x = a,
tg x = a ,
сtg x = a ,
46672510795
сtg2x = a,
сtg x = a ,
Арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс
55880097790
arcsin a = x , sin x = a, |a| ≤ 1.
2) arcsin (-a) = - arcsin a 59118534290
arccos a = x , cos x = a, |a| ≤ 1.
2) arccos (-a) = - arccos a
a 0 1 a 0 1
arcsin a 0 arccos a 0
70802585090
arctg a = x , tg x = a, R
arctg (-a) = - arctg a 73088585090
arcctg a = x , ctg x = a, R.
2) arcctg (-a) = - arcctg a
a 0 1 -1 a 0 1 -1
arctg a 0 arcctg a
Обратные тригонометрические функции
y = arcsin x
342900-12065
D(y) = [-1; 1]
y = arccos x
445135102235
D(y) = [-1; 1]
y = arctg x
2051051270
D(y) = R
y = arcctg x
115570-17145
D(y) = R

Тождества
1) , если |х| ≤ 1
2) sin (arcsin x) = x, если - 1≤ х ≤ 1
3) сos (arccos x) = x, если - 1≤ х ≤ 1
4) arcsin (sin x) = x, если
5) arcсos (cos x) = x, если 0 ≤ х ≤
6) sin (arccos x) = , если |х| ≤ 1
7) сos (arcsin x) = , если |х| ≤ 1 1)
2) tg (arctg x) = x
3) сtg (arcctg x) = x
4) arctg (tg x) = x, если |x| <
5) arcсtg (ctg x) = x, если 0 < х <
Формулы тригонометрии
Основные формулы




Формулы двойного угла
Формулы понижения степени

Формулы половинного угла

Формулы сложения
Произведение тригонометрических функций

Дополнительные формулы
Формулы тройного угла

Сумма тригонометрических функций
Универсальная подстановка

Формула дополнительного угла
, где
Решение простейших тригонометрических уравнений





















Однородные тригонометрические уравнения
Уравнения вида a sin x + b cos x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением I степени; уравнение вида a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0 называют однородным тригоно-
метрическим уравнением II степени.
Чтобы решить однородное уравнение первой степени, необходимо обе части уравнения разделить на sin x или cos x, а при решении однородного уравнения второй степени разделить обе части уравнения на sin2x или сos2x. (сos x ≠ 0 и sin x ≠ 0, т.к. sin x и cos x обращаются в нуль в различных точках).
разделим на cos x
|:cos2x

Список используемой литературы
Алгебра и начала математического анализа: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений/ А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницын и др.; Под ред. А.Н.Колмогорова. – 13-е изд. – М.: Просвещение, 2008.-384с.
Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса6/ Б.М.Ивлев, С.М.Саакян, С.И.Шварцбург.-2-е изд. – М.:Просвещение, 1994.-176с.
Алгебра и начала анализа. Тесты для промежуточной аттестации в 10-м классе. Под редакцией Ф.Ф.Лысенко. Ростов-на-Дону: Легион_М,2008.-80стр.(Промежуточная аттестация)
Цыпкин А.Г., Пинский А.И.Справочник по методам решения задач по математике для средней школы.2-е изд.,перераб. и доп.-М.; Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит., 1989.-576 с.
Клово А.Г.Экзаменационные материалы для подготовки к ЕГЭ. ЕГЭ-2008. Математика. М.: ФГУ «Федеральный центр тестирования», 2007.
Челомбитько В.П.Математика: весь курс: теория, задачи, решения: для выпускников и абитуриентов. М, Эксмо,2007.-448 с.
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер: Пособие для школьников и абитуриентов. М.: Илекса, 2003.-320 с.
1 А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа 10-11. Часть Учебник
А.Г. Мордкович и др. Алгебра и начала анализа, 10-11. Часть 2. Задачник
А.Г. Мордкович, Е.Е. Тульчинская. Алгебра и начала анализа, 10-11. Контрольные работы.

Л.О. Денищева и Т.А. Корешкова. Алгебра и начала анализа, 10-11. Тематические тесты и зачеты.
Л.А. Александрова. Алгебра и начала анализа-10. Самостоятельные работы.
Л.А. Александрова. Алгебра и начала анализа-11. Самостоятельные работы.