Лекция по математике тема: Сумма и разность синусов (косинусов).Формулы приведения

Лекция Тема: Сумма и разность синусов (косинусов).Формулы приведенияПлан
1.Формулы суммы и разности синусов (косинусов).
2.Примеры решения упражнений3. Формулы приведения4.Примеры применения формул приведенияФормулы суммы и разности синусов (косинусов).
Рассмотрим формулы, позволяющие превратить сумму и разницу синусов (косинусов) в произведение. Запишем формулы сложения для синуса:
(1)
(2)
Складывая почленно левые и правые части этих равенств, получим:
+= (3) Введём обозначения: x+y=, x-y=
Получим ;.Обозначим, имогут принимать любые значения. Тогда равенство (3) можно переписать так:

Это тождество называют формулой суммы синусов.
Вычтем почленно от равенства (1) равенство (2): -= .
Если воспользоваться ранее введёнными обозначениями, получим равенство, которое называют формулой разности синусов:

Запишем формулы сложения для косинуса:

Складывая и отнимая почленно эти равенства, получаем: (4)
(5)
Введём обозначения x+y=, x-y=, получаем формулы суммы и разности косинусов:


Примеры решения упражненийПример. Преобразуйте в произведение: 1) ; 2) ; 3);
4) ; 5).
Решение:1) =.
2) .
3) ==.
4) ====.
5) =.
Формулы приведенияИз всех существующих способов задания формул приведения оптимальным является следующая таблица:

- - - -
- - - -
- - - -
- - - -
Напомним, что
К наиболее распространенным случаям применения формул относят перевод тригонометрических функций углов: ; ; к тригонометрическим функциям угла .
1)  если в формуле содержатся углы 180° и 360° (π и 2π), то наименование функции не изменяется;
если же в формуле  содержатся  углы  90° и 270° (π/2 и 3π/2), то наименование функции меняется на сходное (синус на косинус, тангенс на котангенс.);
2)  чтобы определить знак в правой части формулы (+ или—), достаточно, считая угол  φ острым, определить знак  выражения, стоящего в левой части формулы.
Примеры применения формул приведенияПример 1. Упростите выражения:






С помощью формул приведения нахождение значений тригонометрических функций любого угла можно свести к нахождению значений тригонометрических функций угла от 0 до .
Пример 2. Приведите угол к промежутку и найдите его значение:



Упражнения для закрепления материала1.Преобразовать в произведение: 1)cos50º+ cos20º; 2) cos2 -cos4;
3)sin+ sin4;4) sin5º- sin3º
5) cos +cos; 6) sin(х+)+ sin(х-); 7) cos(-) –cos(+).
2.Упростить выражение: 1) ; 2); 3).
3. Преобразовать в произведение: 1); 2); 3).
4) ; 5); 6)1-.
4.Доказать тождество: 1);
2);
3);4);
5).
5. Приведите к тригонометрической функции угла .

6. Приведите к тригонометрической функции угла
7. Преобразуйте выражение:




Контрольные вопросы1. Запишите формулу: 1) суммы синусов; 2) разности синусов; 3) суммы косинусов;4) разности косинусов.
2. Сформулируйте правила, которыми можно руководствоваться при применении формул приведения.
Литература
1.Ш.А.Алимов, стр.156-161.
2.А.Г.Мерзляк, стр.211-214.
3..О.Н.Афанасьєва, стор.98-99