Презентация по математике на тему Замечательные кривые

Замечательные кривые Фоменко Марина Юрьевна, учитель математики МБОУ «Сакская СШ № 4 им. Героя Советского Союза Ф. И. Сенченко», г. Саки, Республика Крым Актуальность темы заключается в демонстрации применения математических знаний в практической деятельности человека. В школьном курсе математики не изучаются свойства замечательных кривых, которые широко используются в жизни. Гипотеза: Использование данного материала на уроках математики расширяет кругозор учащихся по кривым, изучаемым в школьной программе – окружность, парабола и гипербола, и показывает их практическое применение в жизни. Цель данной работы: изучение теории и практики замечательных кривых.Задачи: Отобрать, изучить, обобщить и систематизировать материал по теме, создать наглядные пособия в виде презентации и приборов для построения кривых.Практическая значимость работы: Считаю, что моя работа пригодится учителям доступно и красочно продемонстрировать учащимся практическое применение свойств замечательных кривых, научить строить кривые при помощи обычных школьных инструментов.Знакомство с кривыми, изучение их свойств позволит расширить геометрические представления, углубить знания, повысить интерес к геометрии; создаст содержательную основу для дальнейшего изучения математики, физики и других наук. Конические сечения – замечательные кривые Сечением конуса плоскостью параллельно окружности основания является окружность. Если плоскость сечения наклонять не параллельно ни одной образующей конуса, то в сечении получим эллипс Если плоскость сечения будет параллельна только одной образующей конуса, то в сечении получим параболу. При этом мы по-прежнему сечением задеваем лишь одну «полу» конуса. Наклоняя плоскость дальше, мы пересекаем и вторую «полу». В случае, если плоскость сечения будет параллельна двум образующим конуса, то в сечении получим гиперболу. На рисунке можно увидеть одну из её ветвей Замечательные кривые 2 порядка в координатной плоскости Общее уравнение кривой 2 порядка Определение: Кривой второго порядка называется множество точек М(х,у) на плоскости ХОУ, координаты которых удовлетворяют следующему общему уравнению кривой второго порядка: где коэффициенты А, 2В, С, 2D, 2E и F - любые числа и, кроме того, числа А, В и С не равны нулю одновременно, т.е. . Уравнения окружности, эллипса, гиперболы и параболы являются частными случаями данного уравнения Окружность Определение: Окружность - замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра). Окружность с центром в точке С(а;b) и радиусом R имеет уравнение в прямоугольных координатах: Эллипс (от др. - греч. недостаток) Определение: Эллипсом называется геометрическое место точек М, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек плоскости (F1 и F2), называемых фокусами, есть постоянная величина. Требуется, чтобы эта постоянная была больше расстояния между фокусами. F1М и F2М - фокальные радиусы точки М. Для любой точки М эллипса имеем: F1M + F2M = const > F1F2 Каноническое уравнение эллипса имеет вид: Где а и b - длины большой и малой полуосей эллипса. Гипербола (греч. hyperbole) - плоская кривая линия Определение: Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина. Требуется, чтобы эта постоянная была меньше расстояния между фокусами. F1М и F2М - фокальные радиусы точки М. Для любой точки М гиперболы имеем: F1M - F2M = const = 2а < F1F2 Каноническое уравнение гиперболы имеет вид: или 2а и 2b - стороны основного прямоугольника гиперболы. а и b - действительная и мнимая полуоси гиперболы Парабола (греч. parabole) - кривая второго порядка Определение:Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой (предполагается, что эта прямая не проходит через фокус). Каноническое уравнение параболы:р - расстояние от фокуса до директрисы (параметр параболы) Некоторые другие замечательные кривые Спираль Архимеда Пусть по радиусу равномерно вращающегося диска с постоянной скоростью ползет муравей. Проползая вперед, он одновременно смещается в сторону вращения диска. Путь муравья представляет кривую. Она называется спиралью Архимеда (в переводе с латыни спираль означает «изгиб», «извив») Синусоида Синусоида – волнообразная плоская кривая, которая является графиком тригонометрической функции y = sin x в прямоугольной системе координат. Изменение какой-либо величины по закону синуса называется гармоническим колебанием. Циклоида Представьте, что по прямой линии без скольжения катится круг. Если проследить за траекторией, которую опишет при этом фиксированная точка , взятая на окружности этого круга , получим кривую. Она называется циклоидой. Гипоциклоиды Все кривые, которые вычерчивает точка на окружности, катящейся внутри другой окружности, принадлежит семейству гипоциклоид (от греческого «гипо» - «под», «внизу» и «циклоидес» - «кругообразный») КАРДИОИДА и УЛИТКА ПАСКАЛЯ (греческое слово «кардио» означает «сердце») Понаблюдаем за какой-нибудь точкой окружности, когда последняя катится по внешней стороне неподвижной окружности равного радиуса. Траекторией точки будет кардиоида. Если, точку, описывающую кривую, взять не на самой окружности, а несколько сбоку, то получим кривую, называемую улиткой Паскаля. Построение замечательных кривых с помощью школьных инструментов Окружность Эллипс Для построения эллипса возьмите плотный лист бумаги. Прикрепите к нему в двух точках нитку. И натяните карандашом эту нитку. Нарисуйте линию, двигая карандаш и натягивая нитку. Гипербола Используя определение гиперболы, нетрудно изготовить простейший прибор для её вычерчивания. Нужно взять линейку, нить и три кнопки. Две кнопки воткнуть в лист бумаги ( в этих точках будут фокусы гиперболы ) и к ним привязать концы нити. Третью кнопку втыкают в линейку около её края, привязав к ней нить недалеко от середины нити, но не в середине. Если теперь, прижимая нить к краю линейки кончиком карандаша и держа нить всё время в натянутом состоянии, двигать карандаш, то её графит будет вычерчивать на бумаге одну из ветвей гиперболы. Заметим, что если нить привязать к третьей кнопке ровно в середине нити то гипербола вырождается в прямую – срединный перпендикуляр отрезка между фокусами. Парабола Для построения параболы на листе бумаги нужно закрепить линейку (её край будет директрисой будущей параболы), в точке F, которая станет фокусом параболы, булавкой прикрепить конец нити, другой конец которой закрепить в вершине острого угла чертёжного треугольника, притом так, чтобы длина нити равнялась катету этого треугольника. Перемещая второй катет вдоль линейки, и прижимая нить остриём карандаша к первому катету треугольника, мы получим кривую, точки которой находятся на одинаковом расстоянии от края линейки и от точки F, то есть параболу. Синусоида Сделайте из плотной бумаги, скатав её несколько раз, трубочку. Разрежьте эту трубочку наклонно. Если трубочку не разворачивать, то в сечении будет эллипс. Какую линию образует разрез, если развернуть одну из частей трубочки? Перерисуйте эту линию на лист бумаги. Это – синусоида. Циклоида Построить циклоиду очень просто. Для этого понадобится круг с точкой на его окружности. Прокатите этот круг по краю линейки без скольжения и проследите за траекторией, которую опишет при этом отмеченная точка Начертите получившуюся кривую. Гипоциклоида Для получения гипоциклоиды возьмите кусок толстого картона и вырежьте в нем круг радиусом 12 см. Из того же материала вырежьте три круга радиусами 4 см, 3 см и 2 см. Положите кусок картона с вырезанным в нем отверстием на лист бумаги, вложите в этот вырез первый из трех кружков, чтобы он касался края, и отметьте на окружности маленького круга точку. Проследите за тем, какую линию опишет отмеченная точка, когда кружок катится по окружности выреза без скольжения. Проделайте то же самое со вторым и третьим кругами. КАРДИОИДА и УЛИТКА ПАСКАЛЯ Чтобы получить кардиоиду и улитку Паскаля, вырежьте два одинаковых картонных круга. Один из них закрепите неподвижно. Второй приложите к первому, отметьте на его краю фиксированную точку, наиболее удаленную от центра первого круга. Прокатите без скольжения подвижный круг по неподвижному, и понаблюдайте, какую линию опишет фиксированная точка. Начертите эту линию. Свойства замечательных кривых и их применение Окружность Эллипс Гипербола Парабола Спираль Архимеда Циклоида Синусоида Кардиоида и улитка Паскаля