Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Решение систем линейных уравнений методом Крамера Автор: Федосеева Е.Н.,учитель МАТЕМАТИКИМАОУ СОШ №91 г.Пермь Цель работы: изучить метод Крамера решения систем линейных уравнений;исследовать возможность применения метода Крамера к решению систем линейных уравнений; Задачи исследования: Познакомиться с биографией математика Габриэля Крамера;Познакомиться с матричным способом записи систем линейных уравнений;Познакомиться с понятием «определитель»;Изучить метод Крамера для решения систем линейных уравнений;Определить условия оптимальности применения метода Крамера. Габриэль Крамер родился 31 июля 1704 года в Женеве (Швейцария), в семье врача. Швейцарский математик,ученик и друг Иоганна Бернулли. Уже в детстве он опережал своих сверстников в интеллектуальном развитии и демонстрировал завидные способности в области математики. Крамер является одним из создателей линейной алгебры. Одной из самых известных его работ является «Введение в анализ алгебраических кривых», опубликованный на французском языке в 1750 году. В ней Крамер строит систему линейных уравнений и решает её с помощью алгоритма, названного позже его именем-метод Крамера. Габриэль Крамер-автор… Понятие матрица: Прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов, называется матрицей размера mхn. Матрицы, как правило, обозначают прописными буквами латинского алфавита и записывают в виде: или коротко А=(aij). Числа aij, образующие матрицу А= (aij), называют её элементами, причём индекс i обозначают номер строки, а j–номер столбца, где расположен данный элемент. Квадратная матрица А называется невырождённой, если её определитель не равен нулю: det A≠0. В противном случае, когда det A=0, матрица называется вырождённой. Определитель матрицы: Определителем второго порядка квадратной матрицы А=(aij) называет число Замечание: правило вычисления определителя второго порядка иллюстрирует рисунок и состоит в том,что из произведения элементов главной диагонали вычитается произведение элементов побочной диагонали. Метод Крамера Метод Крамера-способ решения систем линейных алгебраических уравнений с числом уравнений равным числу неизвестных с не нулевым главным определителем матрицы коэффициентов системы (причём для таких уравнений решение существует и единственно). Назван по имени Габриэля Крамера (1704-1752), предложившего этот метод в 1750 г. Единственное решение системы линейных уравнений АХ=В с невырожденной квадратной матрицей А=(aij) можно получить по формулам: где ∆=det A-определитель основной матрицы, а определители получается из ∆ заменой i-го столбца столбцов свободных членов. Решим систему двух линейных уравнений методом Крамера: 1) Составим матрицу А из коэффициентов системы уравнений:А= 3 7 4 -32) Составим определитель этой матрицы, вычислим его, по указанной выше схеме, и убедимся, что он отличен от нуля:∆= 3 7 =3*(-3)-7*4=-9-28=-37 4 -3 3) Составим определители Δ1 и Δ2: а)Составим определитель , поставив вместо первого столбца свободные члены системы ( те, что после знака равенства, а второй столбец оставим без изменений): ∆1=46 7 =46*(-3)-7*12=-138-84=-222 12 -3б)Составим определитель , поставив вместо второго столбца свободные члены системы ( те, что после знака равенства, а первый столбец оставим без изменений):∆2= 3 46 =3*12-46*4=36-184=-148 4 12 ∆i4)Найдем решения системы по формуле : xi=∆ , т.е ∆1 -122 ∆2 -148X=∆ = -37 =6; y= ∆ = -37 =4Ответ: (6;4) Литература:Алгебра, 7 класс. В 2 ч. Ч.2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений/[А.Г. Мордкович и др.]-М.:Мнемозина, 2009.-270 с.Высшая математика : учебное пособие / К.А. Смотрицкий, Е.А. Сетько, А.С. Ляликов, Е.А. Ровба. - Минск : Вышэйшая школа, 2012. - 392 с. - ISBN 978-985-06-2106-1 ; То же [Электронный ресурс]. - URL:  http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=135993