Графический способ решения задач с параметрами в среде GeoGebra
Графический способ решения задач с параметрами в среде GeoGebraМатериал, связанный с уравнениями и неравенствами, составляет значительную часть курса математики. Это объясняется тем, что уравнения и неравенства широко используются в различных разделах математики, при решении важных прикладных задач. Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач, содержащих параметры. Сегодня нет необходимости доказывать актуальность темы «Задачи с параметрами» в рамках обучения математике в школе. Также задачи с параметрами включены в задания ЕГЭ. Они часто бывают весьма сложными и требуют нестандартного подхода к решению.
В последние годы задание уровня С5 в вариантах ЕГЭ традиционно является задачей с параметром. Очень часто для её решения бывает рациональным графический способ.
В преподавании математики все чаще используют интерактивные геометрические системы, т.е. программные среды, которые позволяют делать геометрические построения на компьютере таким образом, что при движении исходных объектов фигура сохраняет свою целостность.
Одним из таких свободно распространяемых (GPL) сред является GeoGebra. GeoGebra имеет широкие возможности. В ней можно создавать динамические («живые») чертежи для использования на разных уровнях обучения геометрии, алгебры и других смежных дисциплин. GeoGebra обеспечивает наглядность учебного материала.
Рассмотрим использование среды GeoGebra при решении задач с параметрами из ЕГЭ.
Задача 1. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение x2-8x=2x-a-16 имеет ровно три различных решения.
Решение. Перепишем уравнение в виде (x-4)2=2x-a и рассмотрим графики функций y=(x-4)2 и y=2x-a.График первой функции — парабола, график второй функции — угол с вершиной в точке а.
Для построения динамического чертежа в среде GeoGebra:
- набираем в строке ввода функцию y=(x-4)2;
- при помощи инструмента «Ползунок» на панели инструментов добавляем ползунок – точку на горизонтальном отрезке, которая может менять своё значение (в данном случае ползунок – это различные значения параметра a);
- набираем в строке ввода функцию y=2x-a.
Среда GeoGebra позволяет изменить чертеж, дополняя новыми элементами, благодаря которым он становится более наглядным.
Рис. 1 Рис. 2
Рис. 3
Уравнение будет иметь три различных решения в следующих случаях.
1. Вершина параболы совпадает с вершиной угла (рис. 1).
2. Одна из сторон угла касается параболы (рис. 2, рис. 3).
Замечание. Двигая ползунок непосредственно вправо или влево, меняем расположение графика функции y=2x-a и определяем количество общих точек графиков функций y=2x-a, y=x-42.В первом случае a=4, и уравнение имеет три корня: 2, 4, 6.
Рассмотрим второй случай. Пусть правая сторона угла касается параболы. Тогда имеем уравнение (x-4)2=2x-2a. Оно должно иметь единственное решение. Это возможно при условии, что его дискриминант равен нулю.
Приведём уравнение к стандартному виду:
x2-10x+16+2a=0. D1=25-16+2a=0, откуда a=4,5.
Если параболы касается левая сторона угла, получаем уравнение
(x-4)2=2a-2x; x2-6x+16-2a=0.
Оно имеет единственное решение, только если a=3,5 .
Ответ: 3,5; 4; 4,5.
Задача 2. Найдите все значения а, при каждом из которых множеством решений неравенства 5-x+x+a≤3 является отрезок.
Решение. Перепишем неравенство в виде
5-x≤3-x+a.Нарисуем эскизы графиков левой и правой частей неравенства.
Рис. 4 Рис. 5
Рис. 6
Рис. 7
Из рисунков видно, что график правой части неравенства лежит выше левой при aϵ(-8;4). Заметим, что при a=-2 решением кроме отрезка будет еще и точка x=5, что противоречит условию (рис. 5).
Рассмотрим случай касания (рис. 6):
f'5-x=-125-x=-1⇔5-x=0,25⇔x=4,75,
тогда
g4,75=12⇔0,5=3-4,75+a⇔a=-2,25.
Итак, интервал (-2,25;-2] не удовлетворяет условию задачи. Замечание. Аналогично, как и в предыдущем примере, двигаем ползунок до тех пор, пока график функции y=5-x будет лежать ниже графика функции y=3-x+a или иметь с ним общие точки для всех х таких, которые принадлежат некоторому отрезку (принадлежащему области определения функции y=5-x ) оси абсцисс.
Ответ: -8;-2,25∪(-2;4).
Список литературы
Зиатдинов Р.А. О возможностях использования интерактивной геометрической среды GeoGebra 3.0 в учебном процессе // Материалы 10-й Международной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения» (СКМП-2009), СмолГУ, г. Смоленск, 2009, C. 39-40.
http://reshuege.ru/test?theme=171 / Решу ЕГЭ. Образовательный портал для подготовки к экзаменам (Математика).