Разработка открытого урока по теме «Физическое приложение определенного интеграла» 1 курс СПО
росжелдор
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Ростовский государственный университет путей сообщения»
(ФГБОУ ВПО РГУПС)
Тихорецкий техникум железнодорожного транспорта
(ТТЖТ - филиал РГУПС)
Моисеева С.А.
РАЗРАБОТКА ОТКРЫТОГО УРОКА «ФИЗИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА»
по дисциплине математика для студентов 1 курса
Тихорецк
2013
План урока
Тема урока: Физическое приложение определенного интеграла
Раздел: Начала математического анализа
Вид занятия: практическое
Цели урока:
Образовательные: Проверить знания и умения по теме «Вычисление определенного интеграла и площади криволинейной трапеции».
Формировать комплексное представление о практических приложениях интеграла в различных областях.
Развивающие: способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.
Воспитательные: содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности, умения общаться, общей культуры.
Оборудование: комплект карточек для самостоятельной работы, компьютер, системно – обобщающие схемы, инструменты для работы у доски.
Организационный момент
Взаимное приветствие
Проверка готовности студентов к уроку (рабочее место, внешний вид)
Организация внимания
Сообщение целей урока
Закрепление и проверка уровня усвоения материала по теме «Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона – Лейбница. Геометрический смысл интеграла»
Индивидуальное задание на применение геометрического смысла интеграла
Фронтальный опрос
Самостоятельная работа на вычисление определенного интеграла
Изучение нового материала
Объяснение нового материала преподавателем
Решение типового примера на вычисление пути по известному закону изменения скорости
Усвоение новых знаний
Решение примеров и задач под руководством преподавателя
Решение кейс - задачи
Проверка умений студентов применять знания в измененных, нестандартных условиях
Тестовая работа с проверкой в классе.
Домашнее задание
Итог урока
Ход урока
Организационный момент.
Цель.
Сегодня мы повторим формулы нахождения первообразных, проверим ваши навыки их нахождения, рассмотрим приложение определенного интеграла к решению различных физических задач, т. е. возможность применения элементов интегрального исчисления в описании и изучении процессов и явлений реального мира.
Закрепление и проверка уровня усвоения материала.
Индивидуальные задания
Фронтальный опрос
Что называется первообразной?
Повторим таблицу первообразных
Сформулируйте три правила нахождения первообразных.
Вычислить первообразную функций
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
3х2+4х
2 sin 3x
13 EMBED Equation.3 1415
х3 – х2 + 3
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
2 сos 3x
13 EMBED Equation.3 1415
Какую фигуру называют криволинейной трапецией?
Какие из фигур, изображенных на рис. являются криволинейными трапециями?
Запишите формулу для вычисления площади криволинейной трапеции.
Запишите формулу Ньютона- Лейбница.
Проверим работу у доски
Самостоятельная работа (индивидуальная работа по карточкам) (Приложение 1)
Студентам даются карточки с заданиями (всего 31 вариант) и таблица с буквами и правильными ответами. На доске записаны числа от 1 до 31. Студент, выполнивший задание, записывает на доске под номером своей карточки букву, которая соответствует ответу его примера и получает новую карточку. За правильно решенные 2-3 задания он получает оценку. При положительном результате должно получиться предложение «Чистая совесть – самая мягкая подушка».
Итог. Полученная фраза не связана непосредственно с темой урока, хотя в жизни мы часто слышим похожие фразы: «Жить по совести», «В ладу со своей совестью», "Работу выполняю качественно, поэтому моя совесть чиста". Кто еще знает похожие пословицы? Кто знает притчу про эту пословицу? Необязательное задание на дом: найти притчу в интернете.
Вы хорошо (не очень) справились с нахождением определенных интегралов (работа показала, сто часть студентов не в полной мере овладело навыками нахождения определенных интегралов).
Объяснение нового материала.
Приступая к рассмотрению задач на применение интеграла, вспомним некоторые понятия, связанные с дифференциальным исчислением:
Какое действие называется дифференцированием?
Каков физический смысл производной? (это скорость изменения некоторого процесса)
Какие задачи решили с помощью производной?
Изучая производную, мы говорили о физическом смысле производной – это скорость изменения некоторого процесса, т.е. если некоторый процесс протекает по закону s=s(t), то производная 13 EMBED Equation.3 1415выражает скорость протекания процесса в момент времени t. Рассматривая производную скорости по t, получим скорость изменения скорости, т.е. ускорение: 13 EMBED Equation.3 1415.
Путь (перемещение)
Предположим, что точка движется по прямой (по оси ОХ)
Какой путь она пройдет за время t?
Из физики известно, если V = const, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Если движение равноускоренное, то путь считают функцией времени S = s(t), тогда скорость в любой момент времени равна производной пути 13 EMBED Equation.3 1415.
Скорость изменения скорости – это ускорение, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Обратная задача.
Если известен закон изменения скорости, то S – это первообразная для V, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415, а а – первообразная для V, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.
Как найти перемещение точки за промежуток времени [t1 ; t2]?
Если скорость точки постоянна и равна V, то перемещение вычисляется так:
S = V(t2-t1)
Пусть теперь это скорость меняется и задан закон этого изменения V=V(t).
Известно, что 13 EMBED Equation.3 1415
Перемещение за промежуток времени [t1 ; t2] равно:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 - закон изменения ускорения.
Тогда 13 EMBED Equation.3 1415
Полезная схема: 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Пример Тело движется прямолинейно со скоростью v(t)=3t2+4t+1 (м/с). Найти путь, пройденный телом за первые 3с.
Решение.
Так как путь, пройденный за промежуток времени выражается интегралом, то 13 EMBED Equation.3 1415(м)
Закрепление нового материала
Решение задач (Приложение 5)
Задача №1 Скорость поезда, движущегося под уклон, задана уравнением v(t) = 15+0,2t. Вычислите длину уклона, если поезд прошел его за 15 секунд.
Решение. Согласно формуле имеем 13 EMBED Equation.3 1415(м)
Задача №2 Поезд движется прямолинейно со скоростью 13 EMBED Equation.3 1415 (м/с). Найти длину пути, пройденного поездом от начала движения до остановки.
Решение. Скорость движения равно нулю в моменты начала движения и остановки. Найдем момент остановки, для чего решим уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415(м)
Задача №3 Скорость движения тела изменяется по закону 13 EMBED Equation.3 1415 м/с. Найти длину пути, пройденного телом за 3-ю секунду его движения.
Решение. 13 EMBED Equation.3 1415(м)
Задача №4 Тело брошено вертикально вверх со скоростью, которая изменяется по закону 13 EMBED Equation.3 1415м/с. Найти наибольшую высоту подъема.
Решение: Найдем время, в течении которого тело поднималось вверх: 13 EMBED Equation.3 1415 (в момент наибольшего подъема скорость равна нулю; 13 EMBED Equation.3 1415(с). Поэтому 13 EMBED Equation.3 1415 (м).
Задача №5 Два тела одновременно выходят из одной точки: одно – со скоростью 13 EMBED Equation.3 1415 м/с, другое – со скоростью 13 EMBED Equation.3 1415 м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 20 с, если движутся по прямой в одном направлении?
Решение: 13 EMBED Equation.3 1415(м), 13 EMBED Equation.3 1415 (м). 13 EMBED Equation.3 1415(м)
Задача №6 Два тела одновременно начали прямолинейное движение из некоторой точки в одном направлении со скоростями 13 EMBED Equation.3 1415 м/с и 13 EMBED Equation.3 1415м/с. Через сколько секунд расстояние между ними будет равно 250 м?
Решение: Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 - момент встречи. Тогда
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то получаем уравнение 13 EMBED Equation.3 1415, откуда 13 EMBED Equation.3 1415(с)
Задача №7 Электровоз движется с ускорением, меняющимся по закону 13 EMBED Equation.3 1415. В момент времени t0 = 1с электровоз имел скорость V0 = 0,05м/с.
Вычислить скорость движения электровоза в момент времени t = 3с.
Решение: Скорость – это первообразная ускорению, находим формулу для вычисления скорости 13 EMBED Equation.3 1415
Найдем С из условия 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Отсюда 13 EMBED Equation.3 1415
Обобщение материала по разделу «Начала математического анализа»
Итог. Рассмотрев зависимости между физическими величинами, можем сделать вывод, что физические задачи делятся на две категории – нахождение производной и нахождение первообразной (интеграла). Рассмотрим некоторые задачи на применение производной и интеграла используя схему (1).
Задача №7 (кейс задача) Электровоз движется прямолинейно изменяется по закону 13 EMBED Equation.3 1415(м/с).
Какая скорость была у электровоза в момент времени t = 2с .
Найти ускорение электровоза в момент времени t = 2с.
Путь, пройденный электровозом за 2 секунды от начала движения.
Решение.
Скорость в момент времени – это значение функции при t = 2: 13 EMBED Equation.3 1415м/с
Ускорение тела определяется выражением 13 EMBED Equation.3 1415
Тогда 13 EMBED Equation.3 1415(м/с2).
13 EMBED Equation.3 1415(м)
Первичная проверка понимания и осознания материала
Тестовая работа с проверкой в классе (Приложение 6)
Домашнее задание.
Итог урока. К величинам, которые вычисляются с помощью интеграла можно отнести перемещение, работу, массу, электрический заряд, давление, теплоту. К ним можно присоединить геометрические величины – длину, площадь, объем.
Надеюсь, что сегодня вы смогли ответить на вопрос «Зачем это нужно?» и «Где это применяется?»
Приложение 1
Индивидуальные задания
1
13 EMBED Equation.3 1415
17
13 EMBED Equation.3 1415
2
13 EMBED Equation.3 1415
18
13 EMBED Equation.3 1415
3
13 EMBED Equation.3 1415
19
13 EMBED Equation.3 1415
4
13 EMBED Equation.3 1415
20
13 EMBED Equation.3 1415
5
13 EMBED Equation.3 1415
21
13 EMBED Equation.3 1415
6
13 EMBED Equation.3 1415
22
13 EMBED Equation.3 1415
7
13 EMBED Equation.3 1415
23
13 EMBED Equation.3 1415
8
13 EMBED Equation.3 1415
24
13 EMBED Equation.3 1415
9
13 EMBED Equation.3 1415
25
13 EMBED Equation.3 1415
10
13 EMBED Equation.3 1415
26
13 EMBED Equation.3 1415
11
13 EMBED Equation.3 1415
27
13 EMBED Equation.3 1415
12
13 EMBED Equation.3 1415
28
13 EMBED Equation.3 1415
13
13 EMBED Equation.3 1415
29
13 EMBED Equation.3 1415
14
13 EMBED Equation.3 1415
30
13 EMBED Equation.3 1415
15
13 EMBED Equation.3 1415
31
13 EMBED Equation.3 1415
16
13 EMBED Equation.3 1415
Приложение 2
Карточка вариантов ответов
А
В
Г
Д
Е
И
К
М
О
18
13 EMBED Equation.3 1415
8
1
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
П
С
Т
У
Ш
Ч
Ь
Я
17
6
3
106
13 EMBED Equation.3 1415
4
14
2
Приложение 3
Таблица ответов к самостоятельной работе «Разминка»
1
4
17
18
2
13 EMBED Equation.3 1415
18
2
3
6
19
13 EMBED Equation.3 1415
4
3
20
2
5
18
21
8
6
2
22
13 EMBED Equation.3 1415
7
6
23
18
8
13 EMBED Equation.3 1415
24
2
9
13 EMBED Equation.3 1415
25
17
10
13 EMBED Equation.3 1415
26
13 EMBED Equation.3 1415
11
6
27
1
12
3
28
106
13
14
29
13 EMBED Equation.3 1415
14
6
30
13 EMBED Equation.3 1415
15
18
31
18
16
13 EMBED Equation.3 1415
Приложение 6
Вариант 1
1. Скорость катера, движущегося прямолинейно, изменяется по закону 13 EMBED Equation.3 1415. Ускорение катера в момент времени 13 EMBED Equation.3 1415 равно
Варианты ответа:
А) 85
Б) 45
В) 123
Г) 42
2. Скорость катера, движущегося прямолинейно, изменяется по закону 13 EMBED Equation.3 1415.
Скорость катера на пути контролируется четырьмя камерами через определенное время от начала движения. Установите соответствие между временем и скоростью передвижения катера.
1.
t = 2
А)
46
2.
t = 3
Б)
136
3.
t = 4
В)
19
4.
t = 5
Г)
85
Д)
225
3. Скорость катера, движущегося прямолинейно, изменяется по закону 13 EMBED Equation.3 1415. Время катера, при котором ускорение а = 45, равно .
Ответ: ________________
4. Скорость катера, движущегося прямолинейно, изменяется по закону 13 EMBED Equation.3 1415.
Путь, пройденный катером за 4 секунды от начала движения, равен .
Ответ: ________________
Вариант 2
1. Скорость пассажирского поезда, движущегося прямолинейно, изменяется по закону 13 EMBED Equation.3 1415. Ускорение пассажирского поезда в момент времени 13 EMBED Equation.3 1415 равно
Варианты ответа:
А) 92
Б) 56
В) 24
Г) 88
2. Скорость пассажирского поезда, движущегося прямолинейно, изменяется по закону 13 EMBED Equation.3 1415.
Скорость пассажирского поезда на пути контролируется четырьмя камерами через определенное время от начала движения. Установите соответствие между временем и скоростью передвижения пассажирского поезда.
1.
t = 1
А)
528
2.
t = 2
Б)
4
3.
t = 3
В)
496
4.
t = 4
Г)
204
Д)
56
3. Скорость пассажирского поезда, движущегося прямолинейно, изменяется по закону 13 EMBED Equation.3 1415.
Время пассажирского поезда, при котором ускорение а = 212, равно .
Ответ: ________________
4. Скорость пассажирского поезда, движущегося прямолинейно, изменяется по закону 13 EMBED Equation.3 1415.
Путь, пройденный пассажирским поездом за 3 секунды от начала движения, равен .
Ответ: ________________
Вариант 3
1. Скорость гоночного автомобиля, движущегося прямолинейно, изменяется по закону 13 EMBED Equation.3 1415. Ускорение гоночного автомобиля в момент времени 13 EMBED Equation.3 1415 равно
Варианты ответа:
А) 28
Б) 12
В) 45
Г) 46
2. Скорость гоночного автомобиля, движущегося прямолинейно, изменяется по закону 13 EMBED Equation.3 1415.
Скорость гоночного автомобиля на пути контролируется четырьмя камерами через определенное время от начала движения. Установите соответствие между временем и скоростью передвижения гоночного автомобиля.
1.
t = 1
А)
490
2.
t = 2
Б)
2
3.
t = 3
В)
253
4.
t = 5
Г)
28
Д)
102
3. Скорость гоночного автомобиля, движущегося прямолинейно, изменяется по закону 13 EMBED Equation.3 1415.
Время гоночного автомобиля, при котором ускорение а = 46, равно .
Ответ: ________________
4. Скорость гоночного автомобиля, движущегося прямолинейно, изменяется по закону 13 EMBED Equation.3 1415.
Путь, пройденный гоночным автомобилем за 5 секунд от начала движения, равен .
Ответ: ________________
Вариант 4
1. Скорость велосипедиста, движущегося прямолинейно, изменяется по закону 13 EMBED Equation.3 1415.
Ускорение велосипедиста в момент времени 13 EMBED Equation.3 1415 равно
Варианты ответа:
А) 144
Б) 347
В) 146
Г) 560
2. Скорость велосипедиста, движущегося прямолинейно, изменяется по закону 13 EMBED Equation.3 1415.
Скорость велосипедиста на пути контролируется четырьмя камерами через определенное время от начала движения. Установите соответствие между временем и скоростью передвижения велосипедиста.
1.
t = 1
А)
11
2.
t = 2
Б)
119
3.
t = 3
В)
50
4.
t = 4
Г)
139
Д)
218
3. Скорость велосипедиста, движущегося прямолинейно, изменяется по закону 13 EMBED Equation.3 1415.
Время велосипедиста, при котором ускорение а = 114, равно .
Ответ: ________________
4. Скорость велосипедиста, движущегося прямолинейно, изменяется по закону 13 EMBED Equation.3 1415.
Путь, пройденный велосипедистом за 4 секунды от начала движения, равен .
Ответ: ________________
Приложение 7
Правильные ответы
1 вариант
2 вариант
3 вариант
4 вариант
Задание 1
Б
А
Г
А
Задание 2
1 – В
1 – Б
1 – Б
1 – А
2 –А
2 –Д
2 –Г
2 –В
3 – Г
3 – Г
3 – Д
3 – Б
4 –Б
4 –В
4 –А
4 – Д
Задание 3
4
3
2
4
Задание 4
108
144
475
280
Приложение 5
Задачи на применение первообразной и интеграла
№1 Скорость поезда, движущегося под уклон, задана уравнением 13 EMBED Equation.3 1415. Вычислите длину уклона, если поезд прошел его за 15 секунд.
№2 Поезд движется прямолинейно со скоростью 13 EMBED Equation.3 1415(м/с). Найти длину пути, пройденного поездом от начала движения до остановки.
№3 Скорость движения тела изменяется по закону 13 EMBED Equation.3 1415 м/с. Найти длину пути, пройденного телом за 3-ю секунду его движения.
№4 Тело брошено вертикально вверх со скоростью, которая изменяется по закону 13 EMBED Equation.3 1415м/с. Найти наибольшую высоту подъема.
№5 Два тела одновременно выходят из одной точки: одно – со скоростью 13 EMBED Equation.3 1415 м/с, другое – со скоростью 13 EMBED Equation.3 1415 м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 20 с, если движутся по прямой в одном направлении?
№6 Два тела одновременно начали прямолинейное движение из некоторой точки в одном направлении со скоростями 13 EMBED Equation.3 1415 м/с и 13 EMBED Equation.3 1415м/с. Через сколько секунд расстояние между ними будет равно 250 м?
№7 Электровоз движется с ускорением, меняющимся по закону 13 EMBED Equation.3 1415. В момент времени t0 = 1с электровоз имел скорость V0 = 0,05м/с.
Вычислить скорость движения электровоза в момент времени t = 3с.
№8 Скорость электровоза, движется прямолинейно изменяется по закону 13 EMBED Equation.3 1415(м/с).
Какая скорость была у электровоза в момент времени 13 EMBED Equation.3 1415с.
Найти ускорение электровоза в момент времени t = 2с.
Путь, пройденный электровозом за 2 секунды от начала движения.
13PAGE 15
13PAGE 14215
S
V
а
S V а
дифференцирование
интегрирование
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native