Конспект уроку геометрії в 11 класі
Тема: Правильні многогранники
Мета уроку:
навчальна: ознайомити учнів з поняттям «правильний многогранник», навчити розрізняти правильні многогранники, визначати кількість граней, вершин та ребер ;
розвивальна: познайомити учнів з галузями, де зустрічаються правильні многогранники, їх цінність для науки, розвивати пізнавальний інтерес;
виховна: виховувати інтерес до вивчення математики через використання інформаційних технологій , естетичну культуру, загальнотрудових навичок.
Хід уроку.
І. Організаційний момент.(1 хв)
ІІ. Актуалізація знань учнів.(4 хв)
Математичний диктант «Вірю – не вірю»
( учні на листочках ставлять «+» , якщо твердження правильне, або «-», якщо ні, кожна правильна відповідь – 0,5 бала, по закінченню, учні взаємоперевіряють роботу, якщо учень бажає оцінка заноситься до журналу)
1. (+) Всі бічні грані піраміди - трикутники
2. (+) Висота прямої призми дорівнює її висоті
3. (+) Трикутна піраміда має 4 грані
4. (+) Апофема правильної піраміди довша за її висоту
5. (+) П’ятикутна призма має 15 ребер6. (+) Бічні грані правильної піраміди – рівнобедрені трикутники
7. (-) Бічні грані зрізаної піраміди – паралелограми
8. (-) Чотирикутна призма має 4 грані
9. (+) Основи призми рівні і паралельні
10. (-) Будь-яка грань призми – паралелограм
11. (+) Бічне ребро піраміди може дорівнювати висоті
12. (+) Трикутна призма має 6 вершин.
Фронтальне опитування : (3 хв)
1.Сформулюйте означення правильного многокутника.
2. Чому дорівнюють внутрішні кути правильного
а)трикутника ; б)чотирикутника ; в)п’ятикутника.
3. Сформулюйте означення многогранного кута.
4.Сформулюйте означення опуклого многогранника.
ІІІ. Мотивація навчальної діяльності учні: (2 хв)
Є в шкільній геометрії особливі теми , які чекаєш з нетерпінням , передчуваючи зустріч з неймовірно красивим матеріалом . До таких тем можна віднести тему «Правильні многогранники». Тут не тільки відкривається цікавий світ геометричних тіл , які володіють неповторними властивостями , а й цікаві наукові гіпотези. Жодне геометричне тіло не володіє такою досконалістю , як правильні многогранники .У житті і практичній діяльності ми часто зустрічаємось із многогранниками, а тому нам потрібно добре знати їх характеристики, властивості і вміти застосовувати їх для розв’язування різноманітних задач. Сьогодні ми завершуємо вивчення теми «Многогранники», в якій вивчили призму і піраміду, нам залишилось познайомитись з п’ятьма многогранниками - особливо красивими, правильними многогранниками. Крім цього ми вивчимо нові латинські слова, поєднаємо математику з хімією, фізикою, біологією та іншими науками.
Епіграф:
«Правильних многогранників так мало, але цей скромний за кількістю загін зумів увійти в самі глибини різних наук».
Льюїс Керролл Льюїс Керролл –англійський письменник, математик, філософ та фотограф. Найбільш відомі його роботи – «Аліса в Країні чудес» і «Аліса в Задзеркаллі».
ІV. Вивчення нового матеріалу. ( 8 хв)
У курсі планіметрії ви познайомилися з правильними многокутниками.
Многокутник називається правильним, якщо у нього всі сторони і всі кути рівні. Існує безліч правильних многокутників.
Опуклий многогранник називається правильним, якщо його грані є правильними многокутниками з однією й тією ж кількістю сторін, а в кожній вершині многогранника сходиться одне і те ж число ребер.
Існує п’ять типів правильних опуклих многогранників:
- правильний тетраедр ;
- правильний гексаедр (куб) ;
- правильний октаедр;
- правильний додекаедр;
- правильний ікосаедр.
Які властивості мають правильні многогранники ?
Давайте запишемо:
- всій його грані рівні правильні многокутники.
- всі плоскі кути рівні,
- всі двогранні кути, що містять дві грані із загальним ребром, рівні,
- всі ребра рівні,
- всі многогранні кути рівні.
(Під час пояснення учні в своїх зошитах записують важливі факти та дані, назви тіл Архімеда та Кеплера-Пуансо, гіпотезу Кеплера.)Протягом всього життя людина тісно пов'язана з многогранниками. Не дивлячись на відсутність знання таких складних термінів, як «тетраедр», «октаедр», «додекаедр», вона вже з дитинства цікавиться цими унікальними фігурами. Адже суть «кубиків» - однієї з найпопулярніших дитячих ігор - полягає в тому, щоб побудувати з многогранників певний об'єкт. Впродовж багатьох століть людей притягують ці тіла. Древні єгиптяни будували гробниці своїм фараонам у формі тетраедра, що ще раз підкреслює велич і цих фігур.
Назви многогранників прийшли з Древньої Греції, в них вказується число граней: «едра» - грань; «тетра» - 4; «гекса» - 6; «окта» - 8; «ікоса» - 20; «додека» - 12. У дослівному перекладі з грецького "тетраедр", "октаедр", "гексаедр", "додекаедр", "іко-саедр" означають: "чотиригранник", "восьмигранник", "шестигранник". "дванадцяти-гранник", "двадцятигранник".
Платон вважав, що світ складається з чотирьох «сти-хій» - вогню, землі, повітря і води, а атоми цих «стихій» мають форму чотирьох правильних многогранників. Тетраедр втілював вогонь, оскільки його вершина направлена вгору, як у полум'я, що розгорілося; ікосаедр - як найбільш обтічний - воду; гексаедр - найстійкіша з фігур - землю, октаедр - повітря. У наш час цю систему можна по-рівняти з 4 станами речовини - тверді, рідкі, гази і плазма. П'ятий многогранник – додекаедр символізував весь світ і вважався найголовнішим. Це була одна з перших спроб ввести в науку ідею систематизації.
Евклід (300 р. до н. е.) — старогрецький математик, автор “Початків”. Правильним многогранникам присвячена 13-я книга "Початків" Евкліда. Деякий «платонізм» Ев-кліда пов'язаний з тим, що вчення Платона розглядається вчення про чотири елемен-ти, яким відповідають чотири правильні многогранники (тетраедр, октаедр, ікосаедр, куб), п'ятий же многогранник, додекаедр, «дістався фігурі всесвіту». «Початки» мо-жуть розглядатися як вчення про побудову п'яти правильних многогранників — так званих «платонових тіл». І завершуються доведенням того факту, що інших правильних тіл не існує.Архімед Сиракузський ( 287-212рр. до н.е.) узагальнив поняття правильного многогранника і відкрив нові математичні об'єкти – напівправильні многогранники. Так він назвав многогранники, в яких всі грані – правильні многокутники більш як одного виду, а всі многогранні кути конгруентні. Лише в наш час вдалося довести, що тринадцятьма відкритими Архімедом напівправильними многогранниками вичерпується вся безліч цих геометричних фігур. Безліч архімедівських тіл можна розбити на декілька груп. Тіла АрхімедаПершу з них складають п'ять многогранників, які одержують з платонових тіл в результаті їх зрізування: зрізаний тетраедр, зрізаний гексаедр (куб), зрізаний октаедр, зрізаний додекаедр і зрізаний ікосаедр. Іншу групу тіл Архімеда складають два тіла, які називаються квазіправильними многогранниками. Частка «квазі» підкреслює, що гранями цих многогранників є правильні многокутники двох типів, причому кожна грань одного типа оточена многокутниками іншого типа. Ці два тіла називаються ромбокубооктаедром і ікосододекаедром.Кеплер спробував зв’язати з властивостями правильних многогранників деякі властивості Сонячної системи. Він запропонував виражати відстань між шістьма відомими тоді планетами через розміри п’яти правильних випуклих многогранників.
Навколо сфери Меркурія, найближчої до Сонця планети, описаний октаедр.
Цей октаедр вписаний в сферу Венери, навколо якої описаний ікосаедр.
Навколо ікосаедра описана сфера Землі, а навколо цієї сфери - додекаедр.
Додекаедр вписаний в сферу Марса, навколо якої описаний тетраедр.
Навколо тетраедра описана сфера Юпітера, вписана в куб.
Навколо куба описана сфера Сатурна.
Пізніше від оригінальної ідеї Кеплера довелося відмовитися, але результатом його пошуків стало відкриття двох законів Кеплера, що змінили курс фізики і астрономії.
V.Практична робота.(10 хв)
1.Довести , що правильних многогранників 5.
2. Вивести формули площі повної поверхні правильних многогранників.
3. Порахувати число граней , вершин , ребер правильних многогранників.
Насправді, щоб отримати який-небудь правильний многогранник, згідно визначення, в кожній вершині має сходитися однакова кількість граней, кожна з яких є правильним многокутником. Сума плоских кутів многогранного кута повинна бути менше 360о. Нехай k – число плоских кутів, які сходяться в одній вершині многогранника. Перебираючи всі можливі цілі розв’язки нерівностей: 60 k < 360, 90 k < 360, 108 k < 360, можна довести, що правильних многогранників лише п’ять.
S= S = S= S= S=
Правильні многогранники
Назва Вид грані Число граней Число вершин Число реберПравильний тетраедр 4 4 6
Правильний гексаедр (куб)
6 8 12
Правильний октаедр 8 6 12
Правильний додекаедр 12 20 30
Правильний ікосаедр
20 12 30
Теорема Ейлера
В+Г-Р=2
VІ. Повідомлення учнів(8 хв)
Повідомлення про зіркові многогранники .
Головоломки Рубика.
Правильні многогранники в хімії.
Правильні многогранники і біологія.
Мистецтво і правильні многогранники.
VII. Розв’язування задач.(6 хв)
1.Площа однієї грані правильного тетраедра дорівнює 15 см’.Чому дорівнює площа повної поверхні тетраедра?
2. Площа повної поверхні правильного додекаедра дорівнює 240 см’. Знайдіть площу однієї грані.
3. Ребро куба дорівнює 4 см. Чому дорівнює відстань між протилежними гранями куба.
4. Знайдіть суму плоских кутів при вершині правильного октаедра .
5. Знайдіть суму всіх плоских кутів правильного ікосаедра.
VIII. Підведення підсумків, виставлення і коментування оцінок. (1 хв)Які многогранники називаються правильними? Скільки їх існує?
Що таке Ейлерова характеристика?
Які тіла носять назву тіл Кеплера - Пуансо?
Які нові знання отримали на уроці?
Наскільки значимі многогранники в нашому житті?
Чи є вони абстракцією, вигадкою людини, лише штучно прив'язаною до реального життя?
Зв'язок геометрії, з якими науками ви побачили сьогодні на уроці?
Як ви думаєте, чи знадобляться вам знання даної теми у вашій майбутній професії?
IX. Рефлексія діяльності учнів на уроці.(1 хв)Що сподобалося на уроці?Який матеріал був найбільш цікавий?
Що корисного для життя, для навчання ви винесли з уроку? (вчилися самостійно працювати, досягати успіху, володіти собою, захищати свої знання, бути впевненими в собі).
Чи отримали задоволення від власної праці?
Що було непотрібним, зайвим? Що негативного ви помітили на уроці? Що заважало на уроці?
Якого життєвого досвіду ви набули (володіти собою, захищати свої знання, бути впевненими в собі, поводити себе в незвичних умовах тощо)?
Охарактеризуйте свій емоційний стан протягом уроку (хвилювались, боялись, дивувались, зосереджувались) та в кінці уроку (задоволені, виснажені, впевнені, раді, успішні).
Оцініть свою роботу на уроці за допомогою різнокольорових карток: погано працював(синя), добре(жовта), відмінно(червона).
X. Домашнє завдання. (1 хв.)Задача 1. Виготовити модель правильного многогранника.Задача 2. Площа поверхні правильного ікосаедра дорівнює 360 см2. Знайдіть площу однієї грані та ребро ікосаедра.Задача 3. Знайти висоту правильного тетраедра з ребром 10 см.