Задачи экономического содержания для подготовки к ЕГЭ
Вариант 1
Задание 17. 15-го января Аркадий планирует взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата следующие:
- 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;
- выплата должна производиться один раз в месяц со 2-го по 14-е число каждого месяца;
- 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.
Дата 15.01 15.02 15.03 15.04 15.05 15.06 15.07
Долг (в млн рублей) 1 0,8 0,6 0,5 0,4 0,3 0
Найдите наименьшее значение r, при котором Аркадию в общей сумме придётся выплатить больше 1,5 млн рублей.
Решение.
В начале следующего месяца долг в 1 млн рублей увеличивается на r процентов, то есть становится равный . Аркадий должен погасить эту сумму так, чтобы сумма долга составила 0,8 млн рублей (согласно таблице). Следовательно, первая выплата банку должна составить
млн рублей
или, если ввести обозначение , то
.
В следующем месяце остаток 0,8 млн рублей также увеличивается на r процентов, то есть становится равный и выплаты должны быть такими, чтобы сумма долга стала равной 0,6, то есть
.
Аналогично для всех последующих месяцев, имеем:
Общая сумма выплат будет равна
,
и после подстановки вместо соответствующих значений, получаем:
Заменяя m на , имеем:
.
По условию задачи нужно найти такое наименьшее целое r, при котором сумма станет больше 1,5, то есть приходим к неравенству вида
Из последнего неравенства видно, что наименьшее целое r=14.
Ответ: 14.
Вариант 2
Задание 17. 15-го января Алиса планирует взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата следующие:
- 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;
- выплата должна производиться один раз в месяц со 2-го по 14-е число каждого месяца;
- 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.
Дата 15.01 15.02 15.03 15.04 15.05 15.06 15.07
Долг (в млн рублей) 1 0,9 0,7 0,5 0,3 0,1 0
Найдите наименьшее значение r, при котором Алисе в общей сумме придётся выплатить больше 1,4 млн рублей.
Решение.
В первый месяц Алиса взяла в банке кредит в 1 млн рублей. В следующем месяце он увеличивается на r процентов и становится равный млн рублей. После этого, Алиса выплачивает часть долга так, чтобы сумма долга осталась равной 0,9 млн рублей (см. таблицу), то есть первая выплата Алисы должна составить
млн рублей.
Введем для удобства обозначение , тогда
млн рублей.
В следующем месяце ситуация повторяется, сумма долга 0,9 увеличивается на r процентов, и делаются выплаты так, чтобы сумма долга стала равной 0,7:
млн рублей.
По аналогии получаем для всех последующих месяцев:
и общая сумма выплат равна
или, подставляя вместо m , получаем:
.
В задаче необходимо найти наименьшее целое r, при котором сумма выплат становится больше 1,4 млн рублей, то есть нужно рассмотреть неравенство
Отсюда видно, что наименьшее цело r=12.
Ответ: 12.
Вариант 5
Задание 17. В июле 2016 года Инга планирует взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата следующие:
- каждый январь долг увеличивается на 30% по сравнению с кондом предыдущего года;
- выплата должна производиться один раз в год с февраля по июнь;
- в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
Дата Июль 2016 Июль 2017 Июль 2018 Июль 2019
Долг (в млн рублей) S 0,6S 0,3S 0
Найдите наибольшее значение S, при котором каждая из выплат Инги будет меньше 5 млн рублей.
Решение.
Инга берет кредит в S млн рублей под 30% годовых, то есть в следующем году сумма кредита становится равной 1,3S млн рублей. После этого Инга должна внести платеж так, чтобы остаток долга составил 0,6S млн рублей, то есть Инга должна заплатить
млн рублей.
В следующем году сумма 0,6S также увеличивается на 30%, становится равной и делается выплата так, чтобы остаток составил 0,3S млн рублей, то есть
млн рублей.
Наконец, в третий год, выплаты равны:
млн рублей.
Отсюда видно, что наибольший размер выплат приходится на первый год и равен 0,7S млн рублей. По условию задачи нужно найти наибольшее значение S, при котором каждая из выплат Инги будет меньше 5 млн рублей. То есть получаем неравенство вида
,
откуда
.
Так как S – целое число, то наибольшее значение S=7. То есть Инга может взять максимум 7 млн рублей в банке.
Ответ: 7.
Вариант 6.
Задание 17. В июле 2016 года Инга планирует взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата следующие:
- каждый январь долг увеличивается на 30% по сравнению с кондом предыдущего года;
- выплата должна производиться один раз в год с февраля по июнь;
- в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
Дата Июль 2016 Июль 2017 Июль 2018 Июль 2019
Долг (в млн рублей) S 0,6S 0,3S 0
Найдите наибольшее значение S, при котором каждая из выплат Инги будет меньше 5 млн рублей.
Решение.
Инга берет кредит в S млн рублей под 30% годовых, то есть в следующем году сумма кредита становится равной 1,3S млн рублей. После этого Инга должна внести платеж так, чтобы остаток долга составил 0,6S млн рублей, то есть Инга должна заплатить
млн рублей.
В следующем году сумма 0,6S также увеличивается на 30%, становится равной и делается выплата так, чтобы остаток составил 0,3S млн рублей, то есть
млн рублей.
Наконец, в третий год, выплаты равны:
млн рублей.
Отсюда видно, что наибольший размер выплат приходится на первый год и равен 0,7S млн рублей. По условию задачи нужно найти наибольшее значение S, при котором каждая из выплат Инги будет меньше 5 млн рублей. То есть получаем неравенство вида
,
откуда
.
Так как S – целое число, то наибольшее значение S=7. То есть Инга может взять максимум 7 млн рублей в банке.
Ответ: 7.
Вариант 9.
Задание 17. В начале 2001 года Алексей приобрёл ценную бумагу за 11 000 рублей. В конце каждого года цена бумаги возрастает на 4000 рублей. В начале любого года Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 10 %. В начале какого года Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через пятнадцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?
Решение.
Чтобы извлечь наибольшую прибыль, Алексей должен воспользоваться банковским депозитом, когда 10% от суммы, вырученной за ценную бумагу, превысит 4000 руб.
Найдем значение суммы, от которой 10% будут равны 4000, получим:
То есть ценную бумагу в 11000 рублей нужно довести до суммы большей или равной 40000 рублей и полученную сумму положить в банк. Ценная бумага дойдет до этого уровня через
то есть через 8 лет, и в начале 2009-го года полученную сумму нужно положить на банковский депозит.
Ответ: 2009.
Вариант 15
Задание 17. В двух областях есть по 20 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,2 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х^2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется у^2 человеко-часов труда.
Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?
Решение.
Чтобы произвести максимальный объем сплава, необходимо добыть максимальное количество алюминия и никеля в обеих областях, в равных пропорциях, чтобы не было переизбытка материала. Очевидно, что в первой области 20 рабочих следует разделить на две равные группы по 10 человек, которые буду добывать
кг алюминия
и
кг никеля
в сутки.
Во второй области следует также поровну распределить рабочих по 10 человек, которые добудут
кг алюминия
и
кг никеля
В итоге, поставляя на завод в сумме по 30 кг алюминия и 30 кг никеля, можно будет выплавлять по 60 кг сплава ежедневно.
Ответ: 60.
Вариант 16
Задание 17. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 500 ц/га, а на втором – 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором – 500 ц/га.
Фермер может продать картофель по цене 5000 руб. за центнер, а свёклу – по цене 8000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?
Решение.
Вычислим доход фермера с первого поля, если он засеет на нем картофель. Урожайность картофеля на нем 500 ц/га, цена картофеля 5000 за центнер, размер поля 10 гектар, получаем размер дохода
руб.
Теперь сравним доход, если на первом поле будет засеяна свекла, получим
руб.
Отсюда видно, что на первом поле выгоднее сажать картофель.
Аналогично сравним доход, приносимый вторым полем:
- для картофеля:
руб;
- для свёклы:
руб.
Следовательно, на втором поле выгоднее сажать свёклу.
Таким образом, максимально возможный доход фермер может получить в сумме
млн. руб.
Ответ: 65.
Вариант 29
Задание 17. В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 60 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 2 кг алюминия или 1 кг никеля. Во второй шахте имеется 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 1 кг алюминия или 2 кг никеля.
Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?
Решение.
В первой шахте 60 рабочих, работающих по 5 часов каждый и добывающих или 2 кг алюминия, или 1 кг никеля. Во второй шахте 100 рабочих, работающих 5 часов и добывающие 1 кг алюминия и 2 кг никеля в час. Чтобы обеспечить максимальный объем выплавки сплава, необходимо добиться соотношения 2:1 в добычи алюминия к никелю. Обозначим через рабочих, добывающих алюминий в первой шахте, а через число рабочих, добывающих алюминий во второй шахте, получим
или в виде
.
Отсюда получаем уравнение
Получили линейную зависимость между числом рабочих в первой и второй шахтах. Следовательно, максимальная выплавка сплава будет получена, если взять или :
- для :
объем выплавки составит:
кг;
- для :
объем выплавки составит:
кг.
Ответ: 1320.
Вариант30
Задание 17. Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 30 квадратных метров и номера «люкс» площадью 40 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 940 квадратных метров. Предприниматель может определить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 4000 рублей в стуки, а номер «люкс» – 5000 рублей в стуки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в стуки на своем отеле предприниматель?
Решение.
Предположим, что в отеле стандартных номеров и номеров типа «люкс». В сумме по площади они должны покрывать пространство в 940 кв. м. Это можно записать в виде уравнения
Очевидно, что максимальная прибыль будет получена, если вся площадь будет использована под номера без остатка. Это условие можно записать в виде
и
.
Неравенство должно выполняться, иначе значение будет дробным и не вся площадь будет использована под номера.
Из последнего неравенства имеем
Так как это число номеров, то оно может принимать значения 1,2,...,22. При этом, если , то , а если , то . Для определения наибольшего дохода достаточно рассмотреть эти два крайних варианта. В первом случае размер дохода составит
,
а во втором
.
Ответ: 125000.