Урок-лекция. Простейшие тригонометрические уравнения. Урок №1

1
Тема . Простейшие тригонометрические уравнения .

Цель . Усвоение учащимися вывода и использование формул для определения корней уравнения sin x = a , cos x = a , tg x = a , ctg x = a .

Тип урока. Урок – лекция

Мотивация обучения .
Решая квадратные уравнения , мы пользовались выведенными формулами корней , что значительно упрощало работу . Выведем формулы корней тригонометрических уравнений для упрощения их решения .
Объявляется тема и дидактическая цель урока .

Изучение нового материала .
I. Определение . Равенство тригонометрических выражений , содержащих неизвестное только под знаком тригонометрических функций называется тригонометрическим уравнением .
sin x = a

Если (а( > 1 , то уравнение sin x = a не имеет решений , так как (sin x( ( 1 для любого х . Отложим на оси ординат а – значение синуса. Этому значению на единичной окружности соответствуют точки 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, причём 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
На этом отрезке функция синус возрастает и уравнение sin x = a имеет единственный корень
х1 = arcsin a.
На отрезке 13 EMBED Equation.3 1415 функция синус убывает и принимает все значения от – 1 до 1 . По теореме о корне уравнение имеет один корень x2 = ( - arcsin a /
Итак , с учётом периодичности уравнение sin x = a имеет два решения
х1 = arcsin a + 2(n, n ( Z
x2 = ( - arcsin a + 2(n , n ( Z .
Удобно записывать эти оба решения одной формулой :
х =(-1)k arcsin a + (k, k ( Z .
Если k = 2n , то х1 = arcsin a + 2(n, n ( Z .
Если k = 2n + 1 ,то x2 = ( - arcsin a + 2(n , n ( Z .
При изучении свойств функции у = sin x мы находили путём логических рассуждений нули функции из условия sin x = 0 , экстремальные точки из условия sin x = 1 и sin x = - 1 . Фактически мы находили корни особых случаев решения уравнения sin x = а .
Они имели вид :
sin x = 0 х = (n, n ( Z .
sin x = 1 х = 13 EMBED Equation.3 1415+ 2(n, n ( Z .
sin x = -1 х = -13 EMBED Equation.3 1415+ 2(n, n ( Z .
Примеры

1. sin x = 13 EMBED Equation.3 1415
х =(-1)k arcsin 13 EMBED Equation.3 1415 + (k, k ( Z .
так как arcsin 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415 , то
х =(-1)k 13 EMBED Equation.3 1415 + (k, k ( Z .
2. sin 2x = – 13 EMBED Equation.3 1415
2х =(-1)k arcsin 13 EMBED Equation.3 1415 + (k, k ( Z .
так как arcsin 13 EMBED Equation.3 1415= - arcsin 13 EMBED Equation.3 1415= - 13 EMBED Equation.3 1415 , то
2х =(-1)k+1 13 EMBED Equation.3 1415 + (k, k ( Z .
х =(-1)k+1 13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415, k ( Z .
II. cos x = a

Если (а( > 1 , то уравнение cos x = a не имеет решений , так как ( cos x ( ( 1 для любого х . Пусть ( а ( ( 1 . Надо найти все такие числа х , для которых cos x = a . На отрезке 13 EMBED Equation.3 1415 существует одно такое решение – это арккосинус числа а.
Косинус чётная функция , и , значит , на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415уравнение имеет в точности одно решение , это число - a
·rccos a.
Итак, уравнение cos x = a на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415 длиной 2( имеет два решения :
х1 = arccos a ,
х2= - arccos a.
Вследствие периодичности функции косинус все остальные решения отличаются от этих на 2(n , n( Z и объединяются в одну формулу :
х = ( arccos a + 2(n , n( Z .
Решение уравнения можно проиллюстрировать на единичной окружности .

По определению cos x – это абсцисса точки Рх единичной окружности . Если (а( < 1 , то таких точек две ; если же а = 1 или а = - 1 , то одна .

При а = 1 числа arccos a и - arccos a совпадают ( они равны нулю ) , поэтому решением уравнения cos x=1 будет х = 2( n , n( Z .
При а = - 1 имеем : cos x= -1 х = ( + 2( n , n( Z .
При а = 0 имеем : cos x= 0 х = 13 EMBED Equation.3 1415+ ( n , n( Z .
Примеры :
cos x= 13 EMBED Equation.3 1415
х = ( arccos 13 EMBED Equation.3 1415 + 2( n , n( Z .
так как arccos13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 , то
х = ( 13 EMBED Equation.3 1415 + 2( n , n( Z .
Ответ : ( 13 EMBED Equation.3 1415 + 2( n , n( Z .

tg x = a
При любом а на интервале 13 EMBED Equation.3 1415имеется только одно значение х , такое число х , что tg x = a - это arctg a.
Поэтому уравнение tg x = a на интервале 13 EMBED Equation.3 1415 имеет единственный корень . Функция у = tg x периодическая , её наименьший период (. Следовательно , остальные корни отличаются от найденного на (n ,
х = arctg a + (n , n( Z .

Решение уравнения tg x = a проиллюстрируем на единичной окружности .


Для любого числа а на линии тангенсов есть лишь одна точка с ординатой а , это точка
Т ( 1 ; а ). Прямая ОТ пересекается с единичной окружностью ; при этом интервалу

13 EMBED Equation.3 1415 соответствует точка х1 правой полуокружности , такая , что х = arctg a .
Для уравнения сtg x = a корень х = arсctg a + (n , n( Z .
Примеры :
tg x = 13 EMBED Equation.3 1415
х = arctg 13 EMBED Equation.3 1415 + (n , n( Z .
х = 13 EMBED Equation.3 1415 + (n , n( Z .
Ответ : х = 13 EMBED Equation.3 1415 + (n , n( Z .
сtg x = 13 EMBED Equation.3 1415
Это уравнение можно решить двумя способами .
I . tg x = 13 EMBED Equation.3 1415 II . сtg x = 13 EMBED Equation.3 1415
х = arctg 13 EMBED Equation.3 1415 + (n , n( Z ; х = arcctg13 EMBED Equation.3 1415 + (n , n( Z;
х = 13 EMBED Equation.3 1415 + (n , n( Z ; х = 13 EMBED Equation.3 1415 + (n , n( Z ;

Ответ : х = 13 EMBED Equation.3 1415 + (n , n( Z .

Домашнее задание : уч. Никольский С.М. п 11.1 . № 11.2 ( а-в) , 11.3(а-в) .

Итог урока : 1. С какими новыми уравнениями познакомились ?
2. Каковы формулы корней простейших
тригонометрических уравнений ?



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native