Конспект урока алгебры в 11 классе по теме Решение нестандартных показательных уравнений

государственное бюджетное общеобразовательное учреждение
Самарской области лицей города Сызрани
городского округа Сызрань Самарской области







Открытый урок по алгебре и началам анализа в 11 классе:
«Решение нестандартных показательных уравнений»
(комбинированный урок)
Форма урока: урок-практикум
Уровень: школьный






Составила: учитель математики
Гусева Наталья Владимировна





г. Сызрань
2014-2015 учебный год
Открытый урок по теме:
«Решение нестандартных показательных уравнений».

Цели:
Образовательные:
систематизировать, обобщить, расширить знания и умения учащихся, связанные с применением методов решения показательных уравнений;
сформировать умения решать нестандартные показательные уравнения;
способствовать развитию навыков самостоятельного применения знаний при решении показательных уравнений, в том числе нестандартными способами.
Развивающие:
формировать познавательную мотивацию учащихся в учебный процесс;
формировать эмоциональную включенность учащихся в учебный процесс;
формировать развитие познавательного интереса;
формировать развитие у учащихся самостоятельности.
Воспитательные:
умственное воспитание: формирование логического, абстрактного, системного мышления;
воспитание сознательной дисциплины и норм поведения;
воспитание ответственности, умения принимать самостоятельные решения;
воспитание интереса к истории математики как науки.
Оборудование: интерактивная доска, слайдовая презентация.
План урока:
I. Проверка домашнего задания.
II. Повторение теоретического материала.
III. Изучение нового материала. Решение нестандартных показательных уравнений.
IV. Самостоятельная работа по выбору.
V. Подведение итогов урока.
VI. Задание на дом.

Ход урока
I. Проверка домашнего задания.
II. Повторение теоретического материала.
Фронтальный опрос учащихся.
Какая функция называется показательной?
Какими свойствами обладает показательная функция?
Какова её область определения?
Какова область изменения?
Какова показательная функция по монотонности?
Возрастает или убывает функция:
а) y=13 EMBED Equation.3 1415; б) y=13 EMBED Equation.3 1415; в) y=13 EMBED Equation.3 1415; г) y=13 EMBED Equation.3 1415?
Сформулируйте теорему о корне.
- Повторим методы решения простейших показательных уравнений на конкретных примерах. Как будете решать уравнения? (слайдовая презентация)
1) 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415
4) 13 EMBED Equation.3 1415
5) 13 EMBED Equation.3 1415

III. Изучение нового материала. Решение нестандартных показательных уравнений.

Решить уравнения:
1) 13 EMBED Equation.3 1415 (Учитель на доске дает образец решения уравнения.)
Решение.
Подбором определяем, что x=2 – корень данного уравнения.
13 EMBED Equation.3 1415
Докажем, что других корней у уравнения нет.
13 EMBED Equation.3 1415, так как 13 EMBED Equation.3 1415, то и 13 EMBED Equation.3 1415.
Функция 13 EMBED Equation.3 1415- возрастающая на R, а функция 13 EMBED Equation.3 1415 - убывающая на R.
Значит, уравнение13 EMBED Equation.3 1415 имеет единственный корень. Поэтому корней у данного уравнения, кроме 13 EMBED Equation.3 1415, нет.
Ответ: 2.


2) 13 EMBED Equation.3 1415(Учитель делает только первый переход к равносильному уравнению, а затем кто-то из учеников решает на доске, комментируя решение.)
Решение:
1-ый способ.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415,
так как13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
В левой части уравнения убывающая функция (как сумма двух убывающих функций, поэтому, если уравнение имеет корень, то он единственный). Очевидно, что 13 EMBED Equation.3 1415, так как 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 1.

2-й способ.
13 EMBED Equation.3 1415, так как 13 EMBED Equation.3 1415.
В левой части уравнения убывающая функция (как сумма трех убывающих показательных функций). Тогда по теореме о корне – уравнение имеет единственный корень, а поэтому единственный корень имеет и равносильное ему данное уравнение.
13 EMBED Equation.3 1415.
Нетрудно видеть, что 13 EMBED Equation.3 1415- корень 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 1.


3) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: (Один из учащихся решает на доске)
13 EMBED Equation.3 1415, разделим обе части уравнения на 13 EMBED Equation.3 1415, тогда
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
В левой части уравнения (*) - сумма двух убывающих функций есть функция убывающая. А поэтому, если уравнение (*) имеет корень, то он единственный.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 2.

4) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
Найдем О.Д.З. х: 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда один из них равен нулю, а другой при этом не теряет смысла.
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 Пусть 13 EMBED Equation.3 1415, тогда
13 EMBED
·Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 Пустое множество
13 EMBED Equation.3 1415,
но 13 EMBED Equation.3 1415(О.Д.З.), т.е.
13 EMBED Equation.3 1415(это третий корень
данного уравнения). Ответ: 1; 5; 13 EMBED Equation.3 1415.

5) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
Обозначим 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415и получим квадратное относительно y уравнение.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 ; 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Итак, имеем:
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
В левой части уравнения возрастающая функция,
а в правой – убывающая. Уравнение не может иметь
более одного корня.
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 1; 3.

6) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415, следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
Рассмотрим 13 EMBED Equation.3 1415.
Наибольшее значение квадратичная функция 13 EMBED Equation.3 1415 принимает при 13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, 13 EMBED Equation.3 1415,а 13 EMBED Equation.3 1415.
Данное равенство справедливо при
13 EMBED Equation.3 1415, что возможно при 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 0.

7)При каких значениях параметра «b» уравнение
13 EMBED Equation.3 1415 имеет два различных корня?
Решение:
Обозначим13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
Для того чтобы корни 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415были положительны и различны, необходимо и достаточно:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

IV. Самостоятельная работа по выбору.
За 10 минут решить любые два (из трех) уравнения (слайдовая презентация):
1) 13 EMBED Equation.3 1415,
2) 13 EMBED Equation.3 1415,
3) 13 EMBED Equation.3 1415.
На интерактивной доске приготовлены решения этих уравнений
(для сличения после 10 минут).
1) Решение:
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415- убывающие функции на R, сумма двух убывающих функций есть функция убывающая, поэтому уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 имеет единственный корень 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 2.

2) Решение:
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415 , или 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 2; -2.

3) 13 EMBED Equation.3 1415, разделим обе части уравнения на 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415, тогда уравнение примет вид:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 1; 3.

V. Подведение итогов урока.
Мы рассмотрели примеры решения трансцендентных уравнений.
Огласить отметки за решение уравнений на уроке.
Задание на дом:
1) Решить уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415.
2) При каких значениях параметра «a» уравнение
13 EMBED Equation.3 1415 имеет единственное решение?
3) Решите уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415.
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native