Равносильность неравенств (объяснение материала)
Урок алгебры (под редакцией А.Г. Мордковича, 2013) в 11 классе по теме "Равносильность неравенств"(базовый уровень)
Урок 1: Объяснения нового материала
Три пути ведут к знанию:путь размышления – это путьсамый благородный, путь подражания – это путьсамый легкий и путь опыта – это путьсамый горький.
Конфуций
Тип урока: изучение нового материала.
Оборудования: учебники, блокноты, интерактивная доска, карточки с заданиями.
Цели и задачи урока
Цели :
Образовательная: ввести определение равносильности, записать теоремы равносильности.
Развивающая: развивать память, наблюдательность, логическое мышление, математическую речь учащихся, умение анализировать и сравнивать, развивать познавательный интерес к предмету, развивать умение выделять главное, логически излагать мысли.
Воспитательная: воспитывать коммуникативную культуру учащихся, навыки коллективной деятельности, сотрудничества, взаимопомощи, воспитание дисциплинированности, аккуратности записей в тетради, внимательности, активизировать деятельность учащихся на уроке.
Задачи:
а)Обучающая - на основе имеющихся у учащихся знаний подвести учащихся к понятию равносильности неравенств, определить вместе с ними это понятие;
б) развивающая - формирование приемов обобщения, алгоритмизации;
в) воспитывающая - воспитывать умение участвовать в диалоге, понимать точку зрения собеседника, признавать право на иное мнении, показ практической применимости математических знаний.
Ход урока
1.Организационный момент (сообщение темы и цели урока).
Приветствие, проверка отсутствующих в классе. Проверка выполнения домашнего задания. Как справились с домашним заданием? Что вызвало затруднение?
2.Актуализация знаний
1) Опорные знания: производная, таблица производных, физический смысл производной.
2) Связь с прошлой темой: на уроке используются таблицы производной, вычисляются производные функций.
Задание классу:
Вычислить производные следующих функций:
(1)/ = ((2х-3)6)/=
(х)/ = ((х5+20))/=
(30х)/= (Соs 3х)/=
(х3)/= ( 5х10)/=
Назвать физический смысл производной.
Ребята я предлагаю сегодня на уроке привести в систему, обобщить и расширить знания о равносильности уравнений и неравенств системам.
3. Формулирование новой темы, определение основных целей.
Сегодня мы с вами рассмотрим тему: «Равносильность уравнений». Узнаем, что такое равносильность уравнений, дадим определение «равносильности», запишем с вами определения и теоремы равносильности, рассмотрим примеры.
4. Объяснение нового материала.
Начнем, с определения равносильных неравенств:
Решением неравенства f(x)>g(x) называют всякое значение переменной x, которое обращает заданное неравенство с переменной в верное числовое неравенство.
Термин решение используют в трёх смыслах: как общее решение, как частное решение и как процесс.
Опр.: Два неравенства с одной переменной f(x)>g(x) и p(x)>h(x) называют равносильными, если их решения (т.е. множества частных решений) совпадают.
Использование знака > непринципиально, может быть любой другой знак неравенства как строгого, так и нестрогого.
Опр.: Если решение неравенства f(x)>g(x) (1) содержится в решении
неравенства p(x)>h(x), (2) то неравенство (2) называют следствием неравенства (1).
Неравенство x2>9 является следствием неравенства 2x>6.В самом деле, решив каждое неравенство, получим:
x2−9>0(x−3)⋅(x+3)>0x∈(−∞;−3)∪(3;+∞) и
2x>6x>3x∈(3;+∞)
Решение второго неравенства является частью решения первого, поэтому первое неравенство — следствие второго неравенства.
Решение неравенств, встречающихся в школьном курсе, основано на шести теоремах о равносильности:
Теорема 1.
Если какой-либо член неравенства перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, оставив знак неравенства без изменения, то получится неравенство, равносильное данному.
Теорема 2.
Если обе части неравенства возвести в одну и ту же нечётную степень, оставив знак неравенства без изменения, то получится неравенство, равносильное данному.
Теорема 3.
Показательное неравенство af(x)>ag(x) равносильно:
а) неравенству того же смысла f(x)>g(x), если a>1;
б) неравенству противоположного смысла f(x)<g(x), если 0<a<1
Теорема 4.
a) Если обе части неравенства f(x)>g(x) умножить на одно и то же выражение h(x), положительное при всех x из области определения (области допустимых значений переменной) неравенства f(x)>g(x), оставив при этом знак неравенства без изменения, то получится неравенство f(x)⋅h(x)>g(x)⋅h(x), равносильное данному.
б) Если обе части неравенства f(x)>g(x) умножить на одно и то же выражение h(x), отрицательное при всех x из области определения неравенства f(x)>g(x), изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство f(x)⋅h(x)<g(x)⋅h(x), равносильное данному.
Теорема 5.
Если обе части неравенства f(x)>g(x) неотрицательны в области его определения (в ОДЗ), то после возведения обеих частей неравенства в одну и ту же чётную степень n получится неравенство того же смысла f(x)n>g(x)n, равносильное данному.
Теорема 6.
Если f(x)>0 и g(x)>0, то логарифмическое неравенство logaf(x)>logag(x) равносильно:
а) неравенству того же смысла f(x)>g(x), если a>1;
б) неравенству противоположного смысла f(x)<g(x), если 0<a<1.
5. Закрепление нового материала.
Пример 1. ]Хотелось бы, конечно, возвести обе части в квадрат, это возможно только при неотрицательности обеих частей. Но что же нам делать с теми х, для которых правая часть отрицательна? Для всякого решения неравенства правая часть больше левой, являющейся неотрицательным числом в ОДЗ, и, стало быть, сама неотрицательна. Итак, следствием нашего неравенства будет такая система:
, где возведенное в квадрат неравенство, неотрицательность правой части ОДЗ
Пример 2.
Решение. Здесь опять же заведомо можно возвести в квадрат только тогда, когда . Однако теперь уже нельзя отбросить тех, для которых правая часть отрицательна:
Итак, у нас получилось два случая: если правая часть неотрицательна , то из нашего неравенства следует система Если же правая часть отрицательна, то неравенство верно на ОДЗ (ведь тогда отрицательная правая часть должна быть меньше положительной левой, а это верно на ОДЗ) и следует система где неотрицательность меньшей части и ОДЗ.
Неравенство равносильно такой совокупности двух систем:
Пример 3.
Решение. На сей раз обе части неравенства всегда неотрицательны, так что возведение в квадрат дает неравенство, равносильное исходному на его естественной области определения. Возведение в квадрат дает неравенство: , (8) область определения дает неравенства: (9) и (10).
Мы не учитываем (10), т.к. если правое, меньшее, подкоренное выражение неотрицательно, то левое и подавно неотрицательно. Стало быть, из неравенства следует такая система:
, возведенное в кв. неравенствово и неотрицательность меньшей части.
Неравенство равносильно системе:
6. Подведение итогов.
Сегодня мы с вами рассмотрели тему: «Равносильность неравенств». Узнали, что такое равносильность уравнений, дали определение «равносильности», записали с вами определения и теоремы равносильности, рассмотрели примеры.
1. Было ли интересно на уроке?
2. Все ли было на уроке понятно?
7. Домашнее задание.
Читать § 55 по учебнику (под редакцией А.Г. Мордковича, 2013); решить № 1665(в), № 1674 (б), № 1675 (г) по задачнику(под редакцией А.Г. Мордковича, 2013).